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2026年中考数学二轮复习：分式
一．选择题（共10小题）
1．对于一列非零数a1，a2，a3， ，设a1＝x，，且从第三个数起，以后每一个数都等于前面两个数的商，如：，， ，以此类推．以下结论：
①；
②若，则；
③若a1a2a3 a61＝2，则；
④若的值为整数，则整数x有6个不同值．其中正确的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．如果a2﹣3a﹣2＝0，则（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．2
3．在计算分式的值时，若x分别取2025，2024，2023，…，2，1，0，1，，…，，，，再将所得结果相加之和等于（　　）
A．2026 B．﹣1 C．2025 D．
4．若把分式中m和n的值都扩大2倍，那么分式的值（　　）
A．不变 B．缩小为原来的
C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍
5．已知，且，则x的值是（　　）
A． B． C． D．
6．《庄子 天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意为：一尺木棍，第一天截取它的一半，以后每天截取剩下部分的一半，那么永远也截取不尽．照这样推算，前n天截取的木棍总长度为（　　）尺．
A． B． C． D．
7．下列各式的变形，正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
8．下列计算正确的是（　　）
A．a2 a4＝a8 B．（﹣3a2b）3＝﹣27a5b3
C． D．
9．若分式的值为0，则m的值是（　　）
A．0 B．±3 C．﹣3 D．3
10．下列分式中，最简分式是（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题（共5小题）
11．操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值．
解：由知x≠0，所以，即
∴
∴的值为7的倒数，即
迁移应用：以上解法先将已知等式的两边取倒数，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：
已知，则的值为　 　 ．
12．已知x2﹣3x+1＝0，则的值是　 　 ．
13．小明发现了一个数字游戏，游戏规则如下：
①有一组数字a1，a2， ，an；
②每次随机去掉两个数字，如a1和a2，计算a1a2+（a1+a2），结果记为b1，将b1与剩下的数字组成新的一组数字；
③重复②的操作，使得最后只剩下一个数字，记为c．
小明用同一组数字重复多次游戏，发现最后剩下的数字c始终不变．
根据游戏规则，若a1，a2，a3，…，，则c的值为　 　 ．（用含m，n的式子表示）
14．计算：　 　 ．
15．已知a2+2a＝1．则代数式的值为 　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．先化简，再求值：
，其中x＝5，y＝3．
17．先化简，再求值：，其中．
18．如果两个分式M与N的和为k（k为正整数），则称M与N互为“和整分式”，其中k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，k＝1．
（1）已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，求出k的值；
（2）已知分式，，C与D互为“和整分式”，且k＝2．
①求G所代表的代数式；
②若x为整数，分式D的值为正整数，直接写出x的值．
19．先化简：（a），再从﹣2，﹣1，0这几个整数中选择一个你认为合适的a的值，代入求值．
20．阅读理解：
定义：若分式A和分式B满足A﹣B＝n（n为正整数），则称A是B的“n差分式”．
例如：，我们称是的“3差分式”，
解答下列问题：
（1）分式是分式的“　 　 差分式”．
（2）分式是分式的“2差分式”．
①C＝　 　 （含x的代数式表示）；
②若A的值为正整数，x为正整数，求A的值．
（3）已知xy＝2，分式是的“4差分式”（其中x，y为正数），求（x﹣y）的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．对于一列非零数a1，a2，a3， ，设a1＝x，，且从第三个数起，以后每一个数都等于前面两个数的商，如：，， ，以此类推．以下结论：
①；
②若，则；
③若a1a2a3 a61＝2，则；
④若的值为整数，则整数x有6个不同值．其中正确的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】分式的值；规律型：数字的变化类．
【专题】规律型；分式；运算能力．
【答案】B
【分析】先求出前几个数，得到这列数6个数为一个周期，循环出现，再逐一进行判断即可．
【解答】解：先求出前几个数如下：
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴这列数6个数为一个周期，循环出现，
∵1000÷6＝166……4，
∴，故①正确，符合题意；
∵，
∴x2+3x＝3，
∴3x2＝9（1﹣x），
∴，故②正确，符合题意；
∵周期乘积a1 a2 a3 a4 a5 a6＝1，
61÷6＝10……1，
∴a1 a2 a3 a61＝a1＝x＝2，
∴，故③错误，不符合题意；
∵998÷6＝166……2，999÷6＝166……3，
∴，a999＝a3＝x+3，
∴，
∵的值为整数，
∴x+2＝±1，x+2＝±2，x+2＝±3，x+2＝±6，
∴满足条件的整数x共有8个．
又∵x≠﹣3，x≠0，x≠﹣2，
故满足条件的整数x共有6个．故④正确，符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查分式中的规律探究，分式的求值，正确的地找到规律是解题的关键．
2．如果a2﹣3a﹣2＝0，则（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．2
【考点】分式的化简求值．
【专题】分式；运算能力．
【答案】D
【分析】先对分式进行化简，再由a2﹣3a﹣2＝0得到a2﹣3a＝2，最后整体代入即可．
【解答】解：
＝a（a﹣3）
＝a2﹣3a，
∵a2﹣3a﹣2＝0，
∴a2﹣3a＝2，
则原式＝2．
故选：D．
【点评】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是根据运算法则来计算．
3．在计算分式的值时，若x分别取2025，2024，2023，…，2，1，0，1，，…，，，，再将所得结果相加之和等于（　　）
A．2026 B．﹣1 C．2025 D．
【考点】分式的值；规律型：数字的变化类．
【专题】规律型；分式；运算能力．
【答案】B
【分析】将分式变形为分式1，将x值代入运算，找出变化的规律，依据规律解答即可．
【解答】解：分式1，
当x＝0时，原式＝﹣1，
当x＝1时，原式＝0，
当x＝2025时，原式＝1，
当x时，原式，
当x＝2024时，原式＝1，
当x时，原式，
...，
当x＝2时，原式＝1，
当x时，原式1，
∴当x＝2025与当x时，原式是值互为相反数，它们的和为0，
当x＝2024与当x时，原式是值互为相反数，它们的和为0，
...，
当x＝2与当x时，原式是值互为相反数，它们的和为0，
∴将所得结果相加之和＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题主要考查了分式的值，数字变化的规律，利用分式的性质找出当x取互为倒数的值时，原式的值互为相反数的规律是解题的关键．
4．若把分式中m和n的值都扩大2倍，那么分式的值（　　）
A．不变 B．缩小为原来的
C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍
【考点】分式的基本性质．
【专题】分式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据分式的基本性质，将m和n都扩大2倍后代入分式计算即可．
【解答】解：若把分式中m和n的值都扩大2倍，
∴新分式 ，
∴分式的值扩大为原来的2倍，
故选：C．
【点评】本题考查了分式的基本性质，解题时注意代数式的化简，正确进行计算是解题关键．
5．已知，且，则x的值是（　　）
A． B． C． D．
【考点】分式的加减法．
【专题】分式；运算能力．
【答案】B
【分析】将已知的分式合理变形，然后整体代入即可．
【解答】解：∵，
∴（a）2＝9，即：
a22＝9，
∴a211．
∵，
∴a2﹣1＝3a．
∵，
∴，
∴5，
∴，
∴，
∴x＝5，
解得x．
故选：B．
【点评】此题考查分式的加减，将已知的分式合理变形是关键．
6．《庄子 天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意为：一尺木棍，第一天截取它的一半，以后每天截取剩下部分的一半，那么永远也截取不尽．照这样推算，前n天截取的木棍总长度为（　　）尺．
A． B． C． D．
【考点】列代数式（分式）；有理数的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据题意，第一天截取，第二天截取，第三天截取，依次类推即可，n天后剩余长度为，因此前n天截取总长度1减去剩余长度．
【解答】解：第一天截取它的一半，以后每天截取剩下部分的一半，那么永远也截取不尽．
第一天截取，则剩下；
第二天截取，则剩下；
第三天截取，则剩下；
……
由此可以得到第n天截取，剩下，
∴前n天截取的木棍总长度为．
故选：D．
【点评】本题主要考查了有理数的乘方的意义，数字类规律的应用，熟练掌握有理数的乘方的意义是解题的关键．
7．下列各式的变形，正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】分式的基本性质．
【专题】分式；运算能力．
【答案】D
【分析】判断分式变形是否正确．根据分式的性质进行逐项分析，即可作答．
【解答】解：根据分式的性质逐项分析判断如下：
A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了分式的性质，熟练掌握该知识点是关键．
8．下列计算正确的是（　　）
A．a2 a4＝a8 B．（﹣3a2b）3＝﹣27a5b3
C． D．
【考点】分式的混合运算；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】分式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据指数法则、积的乘方、分式乘法和加法等知识逐项判断即可．
【解答】解：选项A．a2 a4＝a2+4＝a6≠a8，该项错误，不符合题意；
选项B．（﹣3a2b）3＝（﹣3）3 （a2）3 b3＝﹣27a6b3≠﹣27a5b3，该项错误，不符合题意；
选项C．，该项错误，不符合题意；
选项D．，该项正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查同底数幂相乘，积的乘方运算和分式运算，掌握知识点是解题的关键．
9．若分式的值为0，则m的值是（　　）
A．0 B．±3 C．﹣3 D．3
【考点】分式的值为零的条件．
【专题】分式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据分式的值为0时，分子为0而分母不为0解答即可．
【解答】解：由题意可得：，
解得m＝3，
故选：D．
【点评】本题考查分式的值为零的条件，正确进行计算是解题关键．
10．下列分式中，最简分式是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】最简分式．
【专题】分式；运算能力．
【答案】B
【分析】最简分式是指分子与分母没有公因式的分式，公因式包括变量和数字系数．据此逐项判断，即可求解．
【解答】解：A.，不是最简分式，不符合题意；
B.是最简分式，符合题意；
C.，不是最简分式，不符合题意；
D.1，不是最简分式，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是最简分式，熟知一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值．
解：由知x≠0，所以，即
∴
∴的值为7的倒数，即
迁移应用：以上解法先将已知等式的两边取倒数，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：
已知，则的值为　　 ．
【考点】分式的化简求值；倒数．
【专题】分式；运算能力．
【答案】．
【分析】把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可．
【解答】解：∵，
∴，
．
∴
＝52﹣2﹣1
＝22．
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了分式的化简求值，理解例题的思路是解题的关键．
12．已知x2﹣3x+1＝0，则的值是　1　 ．
【考点】分式的化简求值；完全平方公式．
【专题】分式；运算能力．
【答案】1．
【分析】根据题意得出，然后利用完全平方公式代入求解即可．
【解答】解：将x2﹣3x+1＝0两边同时除以x，得，
∴
＝32﹣2﹣2×3
＝1．
【点评】题目主要考查分式的化简求值，根据题意得出是解题关键．
13．小明发现了一个数字游戏，游戏规则如下：
①有一组数字a1，a2， ，an；
②每次随机去掉两个数字，如a1和a2，计算a1a2+（a1+a2），结果记为b1，将b1与剩下的数字组成新的一组数字；
③重复②的操作，使得最后只剩下一个数字，记为c．
小明用同一组数字重复多次游戏，发现最后剩下的数字c始终不变．
根据游戏规则，若a1，a2，a3，…，，则c的值为　　 ．（用含m，n的式子表示）
【考点】分式的混合运算；规律型：数字的变化类．
【专题】分式；运算能力．
【答案】．
【分析】计算当n＝2时b1，n＝3时c的值，由此归纳得出结论即可．
【解答】解：当n＝2时，∵a1，a2，
∴b1＝a1a2+（a1+a2）
（）
，
∴b1+11；
当n＝3时，a1，a2，a3，根据题意得：
c＝b1a3+（b1+a3）
，
∴c+11；
综上，n＝2时，结果为：，c+1，
当n＝3 时，结果为：，c+1，
∴对于n个数，c满足c+1．
∴c1．
故答案为：．
【点评】此题考查数字变化类和分式的混合运算，理解题意和正确进行分式的混合运算是关键．
14．计算：　　 ．
【考点】分式的加减法．
【专题】分式；运算能力．
【答案】．
【分析】通过因式分解分母，将第二个分式简化，再与第一个分式相加．
【解答】解：
．
故答案为：．
【点评】本题考查了分式的加减，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
15．已知a2+2a＝1．则代数式的值为 　6　 ．
【考点】分式的混合运算；完全平方公式．
【专题】分式；运算能力．
【答案】6．
【分析】a2+2a＝1同除以a得到，再利用完全平方公式变形求值即可．
【解答】解：把a2+2a＝1两边同除以a整理得：，
∴，
故答案为：6．
【点评】本题考查完全平方公式变形求值，解题的关键是得到．
三．解答题（共5小题）
16．先化简，再求值：
，其中x＝5，y＝3．
【考点】分式的化简求值．
【专题】分式；运算能力．
【答案】，．
【分析】先对前后两个括号内的分式分别通分、合并同类项，再将除法运算转化为乘法运算，约分化简为最简分式；最后代入x＝5，y＝3计算最终结果．
【解答】解：原式
．
当x＝5，y＝3时，原式．
【点评】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是准确识别分式的分子分母，通过通分、合并和约分进行化简，最后代入数值计算．
17．先化简，再求值：，其中．
【考点】分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；整式的混合运算—化简求值．
【专题】分式；运算能力．
【答案】x+3，6．
【分析】先化简给定的代数式，再计算出x的值，最后代入求值．化简时，先处理括号内的分式运算，再进行乘除，最后合并整式；计算x时，利用负指数幂和零指数幂的运算法则．
【解答】解：原式
＝2x+2﹣（x﹣1）
＝2x+2﹣x+1
＝x+3，
＝4﹣1
＝3，
当x＝3时，原式＝3+3＝6．
【点评】本题主要考查了整式的混合运算、分式的混合运算、负整数指数幂和零指数幂的运算，熟练掌握运算法则和因式分解是解题的关键．
18．如果两个分式M与N的和为k（k为正整数），则称M与N互为“和整分式”，其中k称为“和整值”．如分式，，，则M与N互为“和整分式”，k＝1．
（1）已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，求出k的值；
（2）已知分式，，C与D互为“和整分式”，且k＝2．
①求G所代表的代数式；
②若x为整数，分式D的值为正整数，直接写出x的值．
【考点】分式的加减法；分式的值．
【专题】分式；运算能力．
【答案】（1）是，k＝2；
（2）①G＝3x﹣9②﹣2或0．
【分析】（1）根据分式的加减法的运算法则求出A+B＝2，即可得出结论；
（2）①由题意可得，再去分母、整理求出G的值即可．
②将①所求G的值代入D，再化简D得到最简结果，根据x为整数，分式D的值也为正整数可得出x的值．
【解答】解：（1）根据分式的加减法的运算法则可得：
，
∴A与B互为“和整分式”，“和整值”k＝2；
（2）①∵，，C与D互为“和整分式”，且“和整值”k＝2，
∴，
，
（2x+3）（x﹣3）+G＝2（x+3）（x﹣3），
G＝2（x+3）（x﹣3）﹣（2x+3）（x﹣3）
＝2x2﹣18﹣2x2+3x+9
＝3x﹣9；
②由条件可得．
由条件可知x+3＝1或3，
当x+3＝1时，x＝﹣2，
当x+3＝3时，x＝0，
∴x值为﹣2或0．
【点评】本题考查分式的加减法，分式方程，分式的值，掌握相关知识是解决问题的关键．
19．先化简：（a），再从﹣2，﹣1，0这几个整数中选择一个你认为合适的a的值，代入求值．
【考点】分式的化简求值．
【专题】分式；运算能力．
【答案】a+1；1．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把合适的a的值代入进行计算即可得到答案．
【解答】解：原式
＝a+1，
∵要满足分式有意义，
∴a+2≠0，a+1≠0，
∴a≠﹣2，a≠﹣1，
∴从﹣2，﹣1，0中选择a＝0，
当a＝0时，原式＝0+1＝1．
【点评】本题考查分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
20．阅读理解：
定义：若分式A和分式B满足A﹣B＝n（n为正整数），则称A是B的“n差分式”．
例如：，我们称是的“3差分式”，
解答下列问题：
（1）分式是分式的“　1　 差分式”．
（2）分式是分式的“2差分式”．
①C＝　18+6x （含x的代数式表示）；
②若A的值为正整数，x为正整数，求A的值．
（3）已知xy＝2，分式是的“4差分式”（其中x，y为正数），求（x﹣y）的值．
【考点】分式的加减法；分式的定义．
【专题】分式；运算能力．
【答案】（1）1；
（2）①18+6x；②x＝2，则A＝6；x＝1，则A＝3；
（3）．
【分析】（1）根据材料提示进行计算即可求解；
（2）根据“2差分式”的计算方法可得A﹣B＝2，结合分式的混合运算即可求解；
（3）根据“4差分式”的计算方法可得，根据分式的混合运算，乘法公式的运算可得，结合xy＝2，由此即可求解．
【解答】解：（1）根据材料提示进行计算可得：
，
故答案为：1；
（2）①，
∴C﹣2x2﹣6x＝18﹣2x2，
解得，C＝18+6x；
故答案为：18+6x；
②，x为正整数，
∴当3﹣x＝1时，x＝2，则A＝6；
当3﹣x＝2时，x＝1，则A＝3；
当3﹣x＝3时，x＝0，不符合题意，舍去；
当3﹣x＝6时，x＝﹣3，不符合题意，舍去；
∴A的值为3或6；
（3）原方程整理得：
，
，
，
，且xy＝2，
∴（x﹣y）2＝8，
∵x，y为正数，
∴，
∴（x﹣y）的值为．
【点评】本题主要考查定义新运算，分式的混合运算，乘法公式的运用，熟练掌握以上知识点是关键．

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