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2026年中考数学二轮复习：图形的对称
一．选择题（共10小题）
1．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，等边△ABC的边长为13，点E在边BC上，BE＝7，CD⊥BC，垂足为C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当PE+PF的值最小时，BF的长为（　　）
A．8 B．8.5 C．9 D．9.5
3．已知有序数对（a，b）及常数k，我们称有序数对（ka+b，a﹣b）为有序数对（a，b）的“k阶结伴数对”．如（3，2）的“1阶结伴数”对为（1×3+2，3﹣2）即（5，1）．若有序数对（a，b）（b≠0）与它的“k阶结伴数对”关于y轴对称，则此时k的值为（　　）
A．﹣2 B． C．0 D．
4．春节是中华民族的传统节日，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，3），B（5，3）两处灯笼的位置关于直线l对称，则直线l一定经过点（　　）
A．（0，3） B．（2，﹣1） C．（3，3） D．（4，0）
5．如图，在平面直角坐标系中，A（1，2），B（4，1），点P在x轴上．要使PA+PB的值最小，则点P的坐标为（　　）
A．（1，0） B．（2，0） C．（3，0） D．（4，0）
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，动点E，F分别在对角线BD上（点E在点F左侧），连接AE，CF，若EF＝5，则AE+CF的最小值为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，将三角形纸片PMN按下列方式折叠，所得PQ为△PMN中线的是（　　）
A． B．
C． D．
8．点点同学在学习“生活中的轴对称”之后，对图形的变换进行操作实践．P为长方形纸片ABCD的边AB上一点，点E、M分别为AD、CD上的动点，如图，先把纸片ABCD沿PE对折，点A翻折至点F，再把纸片沿PM对折，点B翻折至点H．当点E、M运动时，若∠FPH＝32°，则∠EPM的值是（　　）
A．90° B．106° C．122° D．148°
9．如图，已知直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，以AB为斜边作Rt△ABD，将△ABD沿AB翻折得到△ABE，连接CE，已知AD＝3，CE＝4，则点A到CE的距离为（　　）
A． B． C． D．3
10．春节是中华民族的传统节日，古人常用写“桃符”的方式来祈福避祸；而现在，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．如图，在平面直角坐标系中，A，B两处灯笼的位置关于y轴对称，若点A的坐标为（﹣1，2），则点B的坐标为（　　）
A．（1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（1，2）
二．填空题（共5小题）
11．如图，正方形ABCD边长为8，E是对角线BD上的动点，以AE为斜边向右侧作等腰直角△AEF（∠EFA＝90°），G在BD上且BG＝3DG，连接FG，FD，则GF+DF的最小值为　 　 ．
12．将一张长方形纸片ABCD按照如图所示的方式折叠，EF为折痕，点A、B的对应点分别为点G、H，若∠1＝α，则∠2＝ 　 　 .（用含α的式子表示）
13．小明同学喜欢玩折纸游戏，在学习完角的知识后，发现折纸的过程中蕴含着丰富的数学知识．于是他找出一张长方形纸片ABCD，按如图所示方式折叠，AE，BE为折痕，且点D的对应点D′恰好落在折痕BE上，进而研究该折纸过程中角的变化．若∠AEC′＝α，则∠AEB用含α的式子表示为　 　 ．
14．如图，△ABC为等边三角形，D是AB边上一点，E是BC边上一点，连接DE，将△BDE沿直线DE翻折得到△FDE，点B与点F对应，EF和DF分别交AC于点M，N，若DF⊥AB，AD＝1，EC＝2，则△NMF的面积为 　 　 ．
15．如图，在四边形纸片ABCD中，AD∥BC，将∠ABC，∠DAB分别对折，如果两条折痕恰好相交于DC上一点E，点C，D都落在边AB上的F处，若四边形ABCD的面积是6，BE＝2，则AB＝ 　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是　 　 ；
（2）在y轴上找一点P，使得PB+PC的值最小，则PB+PC的最小值是　 　 ．
（3）在x轴上找一点M，使，求M的坐标．
17．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝15，点D为AC边上的点（不与点A，C重合），点E为点C关于直线BD的对称点．
（1）若点E在边AB上，请用无刻度的直尺和圆规在图1中作出点E（不写作法，保留作图痕迹），此时DE的长为　 　 ；（如需画草图，请使用备用图）
（2）若∠AEC＝90°，请用无刻度的直尺和圆规在图2中作出点E．（不写作法，保留作图痕迹）
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在格点上．
（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△ADE；
（2）△ABC的面积为　 　 ；
（3）已知点P为x轴上一点，且使得△ABP的周长最小，求这个周长最小值以及点P点坐标．
19．如图，△ABC是一张等腰三角形纸片，AB＝AC，折叠等腰三角形，使点B与AC边上的M点重合，折痕为EF，且∠BMC＝90°，
（1）若∠BAC＝40°，求∠C的度数；
（2）证明：△FMC为等腰三角形；
（3）若AC＝7，BC＝5，求MC的长．
20．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3．点E，F分别在边AD，BC上，将该矩形沿EF折叠，使点A的对应点M落在边CD上，点B的对应点为点N，MN交BC于点G．
（1）连接AM，求的值；
（2）若DM＝x，BF＝y，求y关于x的函数表达式．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】C
【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
【解答】解：A、选项图形不能找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，不是轴对称图形，不符合题意；
B、选项图形不能找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，不是轴对称图形，不符合题意；
C、选项图形能找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，是轴对称图形，符合题意；
D、选项图形不能找到一条直线，使直线两旁的部分能够重合，不是轴对称图形，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是关键．
2．如图，等边△ABC的边长为13，点E在边BC上，BE＝7，CD⊥BC，垂足为C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当PE+PF的值最小时，BF的长为（　　）
A．8 B．8.5 C．9 D．9.5
【考点】轴对称﹣最短路线问题；等边三角形的性质．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】C
【分析】作E点关于CD的对称点E′，连接PE'，E'F，过E′作E′F'⊥AB于点F'，可证得EP+FP的值最小时，点F位于F'处，再求出BF'的长即可解决问题．
【解答】解：如图，作E点关于CD的对称点E′，连接PE'，E'F，过E′作E′F'⊥AB于点F'，
则E'P＝EP，
∴EP+FP＝E′P+PF≥E′F≥E'F'，
即当EP+FP的值最小时，点F位于F'处．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∵E′F'⊥AB，
∴∠F'E′B＝30°，
∵等边△ABC的边长为13，BE＝7，
∴CE'＝CE＝13﹣7＝5，
∴BE′＝BC+CE＝13+5＝18，
∴BF'BE'＝9，
∴当EP+FP的值最小时，BF的长为9，
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，两点之间线段最短，垂线段最短，能够确定当EP+FP的值最小时，点F的位置是解题的关键．
3．已知有序数对（a，b）及常数k，我们称有序数对（ka+b，a﹣b）为有序数对（a，b）的“k阶结伴数对”．如（3，2）的“1阶结伴数”对为（1×3+2，3﹣2）即（5，1）．若有序数对（a，b）（b≠0）与它的“k阶结伴数对”关于y轴对称，则此时k的值为（　　）
A．﹣2 B． C．0 D．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
【专题】新定义；平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】B
【分析】根据新定义可得：有序数对（a，b）（b≠0）的“k阶结伴数对”是（ka+b，a﹣b），并根据y轴对称：横坐标互为相反数，纵坐标相等，可列方程组，从而可解答．
【解答】解：∵有序数对（a，b）（b≠0）的“k阶结伴数对”是（ka+b，a﹣b），
∴，
解得：k．
故选：B．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，新定义“k阶结伴数对”的理解和运用，能根据题意列出方程组是解此题的关键．
4．春节是中华民族的传统节日，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣1，3），B（5，3）两处灯笼的位置关于直线l对称，则直线l一定经过点（　　）
A．（0，3） B．（2，﹣1） C．（3，3） D．（4，0）
【考点】坐标与图形变化﹣对称．
【专题】平面直角坐标系；几何直观．
【答案】B
【分析】根据点A和点B坐标，求出直线l，据此可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为点A坐标为（﹣1，3），点B坐标为（5，3），
则，
所以点A和点B关于直线x＝2对称，
即直线l为x＝2，
则该直线一定经过点（2，﹣1）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣对称，熟知轴对称的性质是解题的关键．
5．如图，在平面直角坐标系中，A（1，2），B（4，1），点P在x轴上．要使PA+PB的值最小，则点P的坐标为（　　）
A．（1，0） B．（2，0） C．（3，0） D．（4，0）
【考点】轴对称﹣最短路线问题；坐标与图形性质．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】作B点关于x轴的对称点B'，连接AB'交x轴于点P，连接BP，当A、P、B'三点共线时，PA+PB有最小值，求出直线AB'的解析式为y＝﹣x+3与x轴的交点即可．
【解答】解：作B点关于x轴的对称点B'，连接AB'交x轴于点P，连接BP，
∴PB＝B'P，
∴AP+PB＝AP+PB'≥AB'，
当A、P、B'三点共线时，PA+PB有最小值，
∵A（1，2）、B（4，1），
∴B'（4，﹣1），
设直线AB'的解析式为y＝kx+b，
，
∴，
∴y＝﹣x+3，
令y＝0，则x＝3，
∴P（3，0），
故选：C．
【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，会待定系数法求函数解析式是解题的关键．
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝12，动点E，F分别在对角线BD上（点E在点F左侧），连接AE，CF，若EF＝5，则AE+CF的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；矩形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】D
【分析】过点A作AG∥BD，使得AG＝5，连接CG交BD于点F，交AD于点H，连接AC交BD于点O，易证四边形AEFG是平行四边形，推出AE＝FG，此时AE+CF取得最小值，再根据矩形的性质证明△AOE≌△COF（AAS），推出AE＝CF，再证明∠BAE＝∠DCF，进而证明△ABE≌△CDF（SAS），推出BE＝DF，利用勾股定理求出BD＝15，结合EF＝5，求出BE＝DF＝5，证明△AGH≌△DFH（AAS），推出GH＝HF，DH＝AH＝6，由勾股定理求出，再根据CF＝AE＝FG，得到，即可求解．
【解答】解：如图，过点A作AG∥BD，使得AG＝5，连接CG交BD于点F，交AD于点H，连接AC交BD于点O，
由条件可知四边形AEFG是平行四边形，
∴AE＝FG，
∴AE+CF＝FG+CF，
此时AE+CF取得最小值，
∵四边形AEFG是平行四边形，
∴AE∥CF，
∴∠AEO＝∠CFO，∠OAE＝∠OCF，
由条件可知OA＝OC，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴AE＝CF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
∴∠BAC﹣∠OAE＝∠DCA﹣∠OCF，即∠BAE＝∠DCF，
∵AE＝CF，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴BE＝DF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠ADC＝90°，
∴，
∴，
∵AG∥BD，
∴∠HDF＝∠HAG，∠AGH＝∠DFH，
∴△AGH≌△DFH（AAS），
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即AE+CF的最小值为．
故选：D．
【点评】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，合理作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
7．如图，将三角形纸片PMN按下列方式折叠，所得PQ为△PMN中线的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】翻折变换（折叠问题）；三角形的角平分线、中线和高．
【专题】三角形；几何直观；推理能力．
【答案】A
【分析】对于选项A，由折叠性质得MQ＝NQ，进而得PQ是△PMN的中线，据此可对选项A进行判断；
对于选项B，由折叠性质得PQ＝NQ，由于PQ与MQ不一定相等得MQ与NQ不一定相等，进而得PQ不一定是△PMN的中线，据此可对选项C进行判断；
对于选项C，由折叠性质得CQ＝MQ，NQ＞CQ，进而得NQ＞MQ，则PQ不是△PMN的中线，据此可对选项D进行判断；
对于选项D，由折叠性质得DQ＝MQ，NQ＞DQ，进而得NQ＞MQ，则PQ不是△PMN的中线，据此可对选项D进行判断，综上所述即可得出答案．
【解答】解：对于选项A，如图1所示：
∵将△ANQ沿AQ折叠，点N落在点M处，
∴MQ＝NQ，
∴PQ是△PMN的中线，
故选项A符合题意；
对于选项B，如图2所示：
∵将△BQM沿BQ折叠，点N落在点P处，
∴PQ＝NQ，
∵PQ与MQ不一定相等，
∴MQ与NQ不一定相等，
∴PQ不一定是△PMN的中线，
故选项C不符合题意；
对于选项C，如图3所示：
∵将△PMQ沿PQ折叠，点M落在NQ上的点C处，
∴CQ＝MQ，NQ＞CQ，
∴NQ＞MQ，
∴PQ不是△PMN的中线，
故选项D不符合题意；
对于选项D，如图4所示：
∵将△PMQ沿PQ折叠，点M落在PN上的点D处，
∴DQ＝MQ，NQ＞DQ，
∴NQ＞MQ，
∴PQ不是△PMN的中线，
故选项D不符合题意，
故选：A．
【点评】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，三角形中线的定义，熟练掌握图形的翻折变换及其性质，理解三角形中线的定义是解决问题的关键．
8．点点同学在学习“生活中的轴对称”之后，对图形的变换进行操作实践．P为长方形纸片ABCD的边AB上一点，点E、M分别为AD、CD上的动点，如图，先把纸片ABCD沿PE对折，点A翻折至点F，再把纸片沿PM对折，点B翻折至点H．当点E、M运动时，若∠FPH＝32°，则∠EPM的值是（　　）
A．90° B．106° C．122° D．148°
【考点】翻折变换（折叠问题）；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】设∠FPE＝α，∠HPM＝β，则∠EPM＝α+β+32°，由折叠性质得∠APE＝∠FPE＝α，∠BPM＝∠HPM＝β，根据∠APE+∠EPM+∠BPM＝180°得α+β＝72°，据此可得∠EPM的度数．
【解答】解：设∠FPE＝α，∠HPM＝β，
∵∠FPH＝32°，
∴∠EPM＝∠FPE+∠HPM+∠FPH＝α+β+32°，
由折叠性质得：∠APE＝∠FPE＝α，∠BPM＝∠HPM＝β，
∵P为长方形纸片ABCD的边AB上一点，
∴∠APE+∠EPM+∠BPM＝180°，
∴α+α+β+32°+β＝180°，
∴α+β＝72°，
∴∠EPM＝α+β+32°＝106°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，邻补角的定义，角的计算，理解图形的翻折变换及其性质，邻补角的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键．
9．如图，已知直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，以AB为斜边作Rt△ABD，将△ABD沿AB翻折得到△ABE，连接CE，已知AD＝3，CE＝4，则点A到CE的距离为（　　）
A． B． C． D．3
【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质．
【专题】三角形；图形的全等；展开与折叠；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】过点C作CF⊥AE于点F，根据折叠的性质，证明△AFC≌△BDA（AAS），三角形的面积，解答即可．
【解答】解：过点A作AM⊥CE于点M，过点C作CF⊥AE于点F，
根据折叠的性质，得∠EAB＝∠DAB，∠D＝∠AEB＝90°，AE＝AD＝3，
∵∠BAC＝90°，
∴90°﹣∠EAB＝90°﹣∠DAB，
∴∠FAC＝∠DBA，
又∠ADB＝∠CFA＝90°，
在△FAC和△DBA中，
∵，
∴△AFC≌△BDA（AAS），
∴CF＝AD＝3，
∴AE CF＝9，
∴，
∴，
∴CE AM＝9，
∵CE＝4，
∴，
故点A到CE的距离为，
故选：C．
【点评】本题考查了折叠的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键．
10．春节是中华民族的传统节日，古人常用写“桃符”的方式来祈福避祸；而现在，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．如图，在平面直角坐标系中，A，B两处灯笼的位置关于y轴对称，若点A的坐标为（﹣1，2），则点B的坐标为（　　）
A．（1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（﹣1，﹣2） D．（1，2）
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标；坐标确定位置．
【专题】平面直角坐标系；推理能力．
【答案】D
【分析】根据轴对称的点的坐标特征求解即可．
【解答】解：∵A，B关于y轴对称，点A的坐标为（﹣1，2），
∴点B的坐标为（1，2）．
故选：D．
【点评】本题考查了关于y轴对称的点的坐标特征，理解关于y轴的对称点的坐标是横坐标互为相反数，纵坐标相同是解答关键．
二．填空题（共5小题）
11．如图，正方形ABCD边长为8，E是对角线BD上的动点，以AE为斜边向右侧作等腰直角△AEF（∠EFA＝90°），G在BD上且BG＝3DG，连接FG，FD，则GF+DF的最小值为　千米　 ．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；正方形的性质．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】 千米．
【分析】作AH⊥BD于H，作射线HF，可证得△BAE∽△HAF，从而∠AHF＝∠ABD＝45°，从而得出点F在过H点且与BD成45° 的直线L上运动，直线l交AD于V，连接AG，交FH交于F′，当点F在F′处时，GF+DF最小，可求得BH＝AH，进而解答即可．
【解答】解：如图，作AH⊥BD于H，作射线HF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝AD，∠ABD∠ABC，
∴∠BAH∠BAD，
∴，
∵△AEF是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴∠BAE＝∠FAH，
∴△BAE∽△HAF，
∴∠AHF＝∠ABD＝45°，
∴点F在过H点且与BD成45°的直线L上运动，直线l交AD于V，AH＝DHBD，
∴HF⊥AD，
连接AG，交FH交于F′，
当点F在F′处时，GF+DF最小，
∵BDAB＝4（千米），BG＝3DG，
∴BH＝AH＝2（千米），BG＝3（千米），DG（千米），
∴GH＝BG﹣BH（千米），
∴AG（千米），
∴GF+DF的最小值为千米，
故答案为：千米．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键作辅助线，构造相似三角形．
12．将一张长方形纸片ABCD按照如图所示的方式折叠，EF为折痕，点A、B的对应点分别为点G、H，若∠1＝α，则∠2＝ 　　 .（用含α的式子表示）
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】先求出∠GFD＝180°﹣α得∠GFE＝180°﹣α+∠2，由折叠性质得∠AFE＝∠GFE＝180°﹣α+∠2，然后根据∠1+∠AFE＝∠GFE＝360°得α+180°﹣α+∠2+180°﹣α+∠2＝360°，由此可得∠2的度数．
【解答】解：∵∠1+∠GFD＝180°，∠1＝α，
∴∠GFD＝180°﹣∠1＝180°﹣α，
∴∠GFE＝∠GFD+∠2＝180°﹣α+∠2，
由折叠性质得：∠AFE＝∠GFE＝180°﹣α+∠2，
∴∠1+∠AFE＝∠GFE＝360°，
∴α+180°﹣α+∠2+180°﹣α+∠2＝360°，
∴∠2．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了图形的折叠变换及其性质，角的计算，理解图形的折叠变换及其性质，熟练掌握角的计算是解决问题的关键．
13．小明同学喜欢玩折纸游戏，在学习完角的知识后，发现折纸的过程中蕴含着丰富的数学知识．于是他找出一张长方形纸片ABCD，按如图所示方式折叠，AE，BE为折痕，且点D的对应点D′恰好落在折痕BE上，进而研究该折纸过程中角的变化．若∠AEC′＝α，则∠AEB用含α的式子表示为　　 ．
【考点】轴对称的性质；角的计算．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】．
【分析】令∠CEB＝∠C′EB＝β，再结合轴对称的性质进行表示即可．
【解答】解：由折叠可知，
令∠CEB＝∠C′EB＝β，
因为∠AEC′＝α，
所以∠AED＝180°﹣α﹣2β．
因为∠AED＝∠AED′，
所以180°﹣α﹣2β＝α+β，
整理得，．
因为∠AEB＝α+β，
所以∠AEB．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了轴对称的性质及角的计算，熟知轴对称的性质是解题的关键．
14．如图，△ABC为等边三角形，D是AB边上一点，E是BC边上一点，连接DE，将△BDE沿直线DE翻折得到△FDE，点B与点F对应，EF和DF分别交AC于点M，N，若DF⊥AB，AD＝1，EC＝2，则△NMF的面积为 　　 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】在Rt△ADN中，根据AD＝1，∠AND＝30°得AN＝2，DN，由折叠性质得BD＝FD，BE＝FE，∠F＝∠B＝60°，由此得∠FMN＝90°，在Rt△FMN中，设FM＝a，根据∠FNM＝30°得FN＝2a，MN，进而得BD＝FD，则AB＝AD+BD，在Rt△ECM中，根据EC＝2，∠CEM＝30°得CM＝1，EM，进而得BE＝FE，则CB＝BE+EC，再根据AB＝CB得a＝1，继而得FM＝1，MN，据此可得△NMF的面积．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝CB，∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵DF⊥AB，
∴∠ADN＝90°，
在Rt△ADN中，AD＝1，∠AND＝90°﹣∠A＝30°，
∴AN＝2AD＝2，
由勾股定理得：DN，
由折叠性质得：BD＝FD，BE＝FE，∠F＝∠B＝60°，
在△FMN中，∠FNM＝∠AND＝30°，
∴∠FMN＝180°﹣（∠FNM+∠F）＝180°﹣（30°+60°）＝90°，
∴∠EMC＝∠FMN＝90°，
∴△FMN和△ECM都是直角三角形，
在Rt△FMN中，设FM＝a，
∵∠FNM＝30°，
∴FN＝2FM＝2a，
由勾股定理得：MN，
∴FD＝DN+FN，
∴BD＝FD，
∴AB＝AD+BD，
在Rt△ECM中，EC＝2，∠CEM＝90°﹣∠C＝30°，
∴CM＝1/2EC＝1，
由勾股定理得：EM，
∴FE＝EM+FM，
∴BE＝FE，
∴CB＝BE+EC，
∵AB＝CB，
∴，
解得：a＝1，
∴FM＝a＝1，MN，
∴△NMF的面积为：MN FM．
【点评】此题主要考查了图形的翻折变换及性质，等边三角形的性质，含有30度角的直角三角形的性质，勾股定理，理解图形的翻折变换及性质，等边三角形的性质，灵活利用含有30度角的直角三角形的性质及勾股定理勾股定理进行计算是解决问题的关键．
15．如图，在四边形纸片ABCD中，AD∥BC，将∠ABC，∠DAB分别对折，如果两条折痕恰好相交于DC上一点E，点C，D都落在边AB上的F处，若四边形ABCD的面积是6，BE＝2，则AB＝ 　　 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；平行线的性质；三角形的面积．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】．
【分析】由AD∥BC得∠C+∠D＝180°，由折叠性质得∠BFE＝∠C，∠BEF＝∠BEC，∠AFE＝∠D，∠AEF＝∠AED，S△BEF＝S△BCE，S△AEF＝S△AED，由此得∠BFE+∠AFE＝180°，∠CEF＝2∠BEF，∠DEF＝2∠AEF，S四边形BCEF＝2S△BEF，S四边形ADEF＝2S△AEF，则点A，F，B在同一条直线上，再根据四边形ABCD的面积是6得2S△BEF+2S△AEF＝6，由此得S△ABE＝3，然后根据∠CEF+∠DEF＝180°得∠AEB＝90°，再由三角形面积公式求出AE＝3，最后在Rt△AEB中，由勾股定理即可求出AB的长．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠C+∠D＝180°，
由折叠性质得：∠BFE＝∠C，∠BEF＝∠BEC，∠AFE＝∠D，∠AEF＝∠AED，S△BEF＝S△BCE，S△AEF＝S△AED，
∴∠BFE+∠AFE＝∠C+∠D＝180°，∠CEF＝2∠BEF，∠DEF＝2∠AEF，S四边形BCEF＝2S△BEF，S四边形ADEF＝2S△AEF，
∴点A，F，B在同一条直线上，
∵四边形ABCD的面积是6，
∴S四边形BCEF+S四边形ADEF＝6，
∴2S△BEF+2S△AEF＝6，
∴S△BEF+S△AEF＝3，
∴S△ABE＝S△BEF+S△AEF＝3，
∵∠CEF+∠DEF＝180°，
∴2∠BEF+2∠AEF＝180°，
∴∠BEF+∠AEF＝90°，
∴∠AEB＝∠BEF+∠AEF＝90°，
∴△AEB是直角三角形，
∴S△AEBAE BE＝3，
∵BE＝2，
∴AE×2＝3，
∴AE＝3，
在Rt△AEB中，由勾股定理得：AB．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，勾股定理，三角形的面积，理解图形的翻折变换及其性质，熟练掌握勾股定理及三角形的面积公式是解决问题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是　4　 ；
（2）在y轴上找一点P，使得PB+PC的值最小，则PB+PC的最小值是　3　 ．
（3）在x轴上找一点M，使，求M的坐标．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；坐标与图形性质；三角形的面积．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】（1）
4；
（2）
3；
（3）（0，0）或（4，0）．
【分析】（1）根据点的坐标画出图形，再利用分割法求出三角形ABC的面积；
（2）先找到点B关于y轴的对称点B′，连接B′C交y轴一点P，可得PB+PC的值最小值；
（3）设M（m，0），根据构建方程求解．
【解答】解：（1）如图所示：△ABC即为所求：
△ABC的面积4；
故答案为：4；
（2）如图所示，点P即为所求：
PB+PC的最小值＝B'C，
故答案为：3；
（3）设M为（m，0），
∵，
∴，
解得m＝0或4，
∴点M的坐标是（0，0）或（4，0）．
【点评】本题考查作图﹣轴对称，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称的性质，学会用分割法求三角形面积．
17．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝15，点D为AC边上的点（不与点A，C重合），点E为点C关于直线BD的对称点．
（1）若点E在边AB上，请用无刻度的直尺和圆规在图1中作出点E（不写作法，保留作图痕迹），此时DE的长为　　 ；（如需画草图，请使用备用图）
（2）若∠AEC＝90°，请用无刻度的直尺和圆规在图2中作出点E．（不写作法，保留作图痕迹）
【考点】作图﹣轴对称变换；角平分线的定义；勾股定理；圆周角定理．
【专题】作图题；几何直观；运算能力．
【答案】（1）如图1中，点E即为所求．
DE；
（2）如图2中，点E即为所求．
【分析】（1）作射线BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作DE⊥AB于点E，点E即为所求，利用面积法求出DE即可；
（2）以AB为直径作⊙D，以B为圆心，BC为半径作弧交⊙D于点E，连接AE，EC，BE，点E即为所求．
【解答】解：（1）如图1中，点E即为所求．
∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝15，
∴AB17，
∵BD平分∠ABC，DC⊥BC，DE⊥AB，
∴DC＝DE，
∵△ABC的面积8×1517×DE15×DC，
∴DE＝DC；
故答案为：
（2）如图2中，点E即为所求．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，勾股定理，圆周角定理，角平分线的定义，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，灵活运用所学知识解决问题．
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在格点上．
（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△ADE；
（2）△ABC的面积为　5　 ；
（3）已知点P为x轴上一点，且使得△ABP的周长最小，求这个周长最小值以及点P点坐标．
【考点】作图﹣轴对称变换；轴对称﹣最短路线问题；勾股定理．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）如图，△ADE即为所求；
（2）5；
（3）如图，点P即为所求．P（，0），△PAB的周长的最小值＝AB+BA5．
【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出B，C的对应点D，E即可；
（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
（3）作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点P，连接PA，点P即为所求，求出直线A′B的解析式，可得点P的坐标，利用勾股定理求出AB，BA′可得△PAB周长的最小值．
【解答】解：（1）如图，△ADE即为所求；
（2）△ABC的面积＝3×42×32×21×4＝5．
故答案为：5；
（3）如图，点P即为所求．
设直线BA′的解析式为y＝kx+b＜则有，
解得，
∴直线A′B的解析式为yx﹣1，
当y＝0时，x，
∴P（，0），
∵AB，A′B5，
∴△PAB的周长的最小值＝AB+BA5．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，勾股定理，轴对称﹣最短问题，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
19．如图，△ABC是一张等腰三角形纸片，AB＝AC，折叠等腰三角形，使点B与AC边上的M点重合，折痕为EF，且∠BMC＝90°，
（1）若∠BAC＝40°，求∠C的度数；
（2）证明：△FMC为等腰三角形；
（3）若AC＝7，BC＝5，求MC的长．
【考点】翻折变换（折叠问题）；等腰三角形的判定与性质；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）70°；
（2）由折叠性质得：FM＝FB，
∴∠FMB＝∠FBM，
∵∠BMC＝90°，
∴△BMC是直角三角形，
∴∠C+∠FBM＝90°，
又∵∠BMC＝∠FMC+∠FMB＝90°，
∴∠C＝∠FMC，
∴FM＝FC，
∴△FMC是等腰三角形；
（2）．
【分析】（1）根据AB＝AC，∠C＝∠ABC，再根据三角形内角和定理及∠BAC＝40°可得出∠C的度数；
（2）由折叠性质得FM＝FB，则∠FMB＝∠FBM，再根据∠C+∠FBM＝90°，∠FMC+∠FMB＝90°得∠C＝∠FMC，由此得FM＝FC，据此可得出结论；；
（3）设MC＝a，则AM＝7﹣a，在Rt△BMC和Rt△BMA中，由勾股定理得BM＝BC2﹣MC2＝AB2﹣AM2，由此得a，据此可得MC的长．
【解答】（1）解：在△ABC中，AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
由三角形内角和定理得：∠C+∠ABC+∠BAC＝180°，
∴2∠C+∠BAC＝180°，
∵∠BAC＝40°，
∴2∠C+40°＝180°，
∴∠C＝70°；
（2）证明：由折叠性质得：FM＝FB，
∴∠FMB＝∠FBM，
∵∠BMC＝90°，
∴△BMC是直角三角形，
∴∠C+∠FBM＝90°，
又∵∠BMC＝∠FMC+∠FMB＝90°，
∴∠C＝∠FMC，
∴FM＝FC，
∴△FMC是等腰三角形；
（3）解：设MC＝a，
∵AC＝7，
∴AM＝AC﹣MC＝7﹣a，
∵∠BMC＝90°，
∴∠BMA＝180°﹣∠BMC＝90°，
∴△BMC和△BMA都直角三角形，
在△BMC中，BC＝5，
由勾股定理得：BM2＝BC2﹣MC2＝52﹣a2，
在Rt△BMA中，AB＝AC＝7，
由勾股定理得：BM2＝AB2﹣AM2＝72﹣（7﹣a）2，
∴52﹣a2＝72﹣（7﹣a）2，
解得：a，
∴MC＝a．
【点评】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理，理解图形的翻折变换及其性质，熟练掌握等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，勾股定理是解决问题的关键．
20．在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3．点E，F分别在边AD，BC上，将该矩形沿EF折叠，使点A的对应点M落在边CD上，点B的对应点为点N，MN交BC于点G．
（1）连接AM，求的值；
（2）若DM＝x，BF＝y，求y关于x的函数表达式．
【考点】翻折变换（折叠问题）；函数关系式；矩形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；图形的相似；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）过点F作FH⊥AD于点H，证明四边形ABFH是矩形得FH＝AB＝3，再证明△DAM和△HFE相似，利用相似三角形的性质可得的值；
（2）连接AF，MF，依题意得CM＝2﹣x，CF＝3﹣y，在Rt△ABF和Rt△CFM中，利用勾股定理及AF＝MF即可得出y关于x的函数表达式．
【解答】解：（1）过点F作FH⊥AD于点H，如图1所示：
∴∠FHE＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，且AB＝2，AD＝3，
∴CD＝AB＝3，BC＝AD＝2，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴∠BAD＝∠B＝∠FHE＝90°，
∴四边形ABFH是矩形，
∴FH＝AB＝3，
在Rt△FHE中，∠HFE+∠HEF＝90°，
由折叠性质得：EF⊥AM，
∴∠DAM+∠HEF＝90°，
∴∠DAM＝∠HFE，
在△DAM和△HFE中，
∠D＝∠FHE＝90°，∠DAM＝∠HFE，
∴△DAM∽△HFE，
∴；
（2）连接AF，MF，如图2所示：
∵DM＝x，BF＝y，
∴CM＝CD﹣DM＝2﹣x，CF＝BC﹣BF＝3﹣y，
在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF2＝AB2+BF2＝22+y2，
在Rt△CFM中，由勾股定理得：MF2＝CM2+CF2＝（2﹣x）2+（3﹣y）2，
由折叠性质得：AF＝MF，
∴22+y2＝（2﹣x）2+（3﹣y）2，
整理得：．
【点评】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，理解图形的翻折变换及其性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键．

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