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2026年中考数学二轮复习：图形认识初步
一．选择题（共10小题）
1．如图，将一副直角三角板的直角顶点重合摆放，可得∠ACD＝∠BCE，理由是（　　）
A．同角的余角相等 B．等角的余角相等
C．同角的补角相等 D．等角的补角相等
2．已知线段AB＝24，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB运动，M为AP的中点，N为BP的中点，当P运动时，下列一定不会发生变化的是（　　）
A．BN的长度 B．2BM﹣BP的值
C．MN的长度 D．MA+PN的值
3．一个角的余角比它本身大10°，则这个角的度数是（　　）
A．40° B．50° C．80° D．90°
4．如图，将三个大小不同的正方形的一个顶点重合放置，则α，β，γ三个角的数量关系为（　　）
A．α+β+γ＝90° B．α+β﹣γ＝90°
C．α﹣β+γ＝90° D．α+2β﹣γ＝90°
5．如图1，现将正方体相对的两个面涂上阴影，再将正方体沿某些棱剪开，得到如图2所示的展开图，则没有被剪开的棱有（　　）
A．BF B．FG C．CD D．GH
6．已知点A、B、C是同一直线上的三个点．若AB＝4，延长AB到点C，使，则AC的长度为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．如图所示，∠AOD＝∠BOC，若∠AOB＝100°，∠COD＝40°，则∠BOD的度数为（　　）
A．25° B．30° C．45° D．60°
8．如图，小明网购了一个精美的正方体礼物盒，需要动手将平面展开图折叠成立体纸盒，则完成后的正方体纸盒是（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，A，B，C，D四点在一直线上，AB＝2，BC＝4，CD＝1，F为线段AD上的动点，点F到A，B，C，D距离的和的最小值为m，最大值为n，则m+n的值为（　　）
A．14 B．20 C．26 D．28
10．南开中学所在的重庆市沙坪坝区是巴渝文化的重要发祥地，汇集了磁器口古镇、歌乐山烈士陵园等诸多历史文化地标与人文景观．如图所示，以南开中学为观测点，磁器口古镇大约位于南开中学的（　　）
A．北偏东25° B．西偏北25° C．北偏西25° D．西偏南25°
二．填空题（共5小题）
11．若∠A＝36°6'，∠B＝56.6°，则∠A+∠B＝　 　 ．（结果用度表示）
12．如图，已知线段AB长度为12，线段CD长度为4，线段CD在线段AB上自由运动（点C与A点不重合，D与B点不重合），若点E为AC的中点．则2BE﹣BD的值为　 　 ．
13．如图，已知∠AOB＝80°，∠BOC＝50°，OE平分∠AOC，则∠AOE＝　 　 ．
14．在指针式时钟表盘上，上午10点半的时候，时针和分针所成夹角的大小为　 　 度．
15．如图，线段AB＝20cm，点C为线段AB上一点，BC＝6cm，点D，E分别为AC和AB的中点，则线段DE的长为　 　 cm．
三．解答题（共5小题）
16．如图，C为线段AB上一点，D为CB的中点，AC＝4，AD＝7．
（1）求AB的长；
（2）若点E在线段AB上，且，求BE的长．
17．如图，已知∠AOC，∠BOD都是直角．
（1）若∠AOB＝30°，求∠COD的度数；
（2）若∠DOC：∠AOD＝5：13，求∠COD的度数．
18．在小组讨论中，针对题目：已知点A，B，C均在直线l上，AB＝12，BC＝4，M是AB的中点，N是BC的中点，求MN的长．
欣欣的解答过程如下：
如图1，∵M是AB的中点，N是BC的中点，
∴，，
∵AB＝12，BC＝4，
∴BM＝6，BN＝2，
∴MN＝BM+BN＝8．
乐乐说：“欣欣的解答不完整．”
（1）你同意乐乐的说法吗？如果同意，请将欣欣的解答过程补充完整；如果不同意，请说明理由．
（2）我们发现角的很多规律和线段类似，已知∠AOB＝100°，∠BOC＝40°，射线OM平分∠AOB，射线ON平分∠BOC，求∠MON的度数．
19．定义：如果一条射线把一个角分成两个角，其中较大角的度数是原角度数的0.6倍，则称该射线为这个角的近似黄金分割线．如图（1），∠AOB＝60°，∠BOP＝36°则OP为∠AOB的近似黄金分割线．
（1）若∠AOB＝100°，OP为∠AOB的近似黄金分割线，则∠AOP＝ 　 　 ；
（2）如图（2），如果点A，O，B三点在同一条直线上时，当射线OP在直线AB上方绕O点转动时，OM，ON始终分别为∠AOP和∠BOP的近似黄金分割线，当∠BOP＝α°时，求∠MON的度数（可以用含α的代数式表示）；
（3）在（2）的基础上，若OP恰好为∠MON的平分线，求∠α的度数．
20．【新定义】已知射线OC在∠AOB的内部，若∠AOB，∠AOC和∠BOC三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“量尺金线”．
（1）如图1，若∠AOB中OC是∠AOB的“量尺金线”，且∠AOC＞∠BOC，则∠AOB与∠BOC的数量关系为　 　 ；
（2）如图2，若OC平分∠AOB，试说明射线OC是∠AOB的“量尺金线”；
（3）如图3，∠MPN＝60°，若射线PQ是∠MPN的“量尺金线”，直接写出∠QPN的度数．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，将一副直角三角板的直角顶点重合摆放，可得∠ACD＝∠BCE，理由是（　　）
A．同角的余角相等 B．等角的余角相等
C．同角的补角相等 D．等角的补角相等
【考点】余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】A
【分析】根据题意，结合图形得到∠ACD、∠BCE都是∠DCB的余角，从而得到结果．
【解答】解：∵∠ACD+∠DCB＝90°，∠DCB+∠BCE＝90°，
∴∠ACD、∠BCE都是∠DCB的余角，
∴∠ACD＝∠BCE（同角的余角相等）．
故选：A．
【点评】本题考查了余角的定义，同角的余角相等的性质，熟练掌握余角及其性质是解题的关键．
2．已知线段AB＝24，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB运动，M为AP的中点，N为BP的中点，当P运动时，下列一定不会发生变化的是（　　）
A．BN的长度 B．2BM﹣BP的值
C．MN的长度 D．MA+PN的值
【考点】线段的和差；两点间的距离．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】C
【分析】根据题意，画出示意图，再结合线段中点的定义进行计算即可．
【解答】解：当点P在线段AB上时，如图所示，
∵M为AP的中点，N为BP的中点，
∴PMAP，PNBP，
∴MN＝PM+PN；
当点P在线段AB延长线上时，如图所示，
∵M为AP的中点，N为BP的中点，
∴PMAP，PNBP，
∴MN＝PM﹣PN，
∴点P运动时，MN的长度一定不会发生变化．
故选：C．
【点评】本题主要考查了线段的和差及两点间的距离，能根据题意画出示意图及熟知线段中点的定义是解题的关键．
3．一个角的余角比它本身大10°，则这个角的度数是（　　）
A．40° B．50° C．80° D．90°
【考点】余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】A
【分析】设这个角为x°，则它的余角为（90﹣x）°，然后依据这个角的余角比它大10°列方程求解即可．
【解答】解：设这个角为x，则它的余角为90°﹣x°．
根据题意得：90°﹣x°＝x°+10°，
解得：x＝40°．
故选A．
【点评】本题主要考查的是余角和补角的定义，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键．
4．如图，将三个大小不同的正方形的一个顶点重合放置，则α，β，γ三个角的数量关系为（　　）
A．α+β+γ＝90° B．α+β﹣γ＝90°
C．α﹣β+γ＝90° D．α+2β﹣γ＝90°
【考点】余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】根据α+∠1＝∠1+β+∠2＝∠2+γ＝90°，即可求得∠1＝90°﹣α，∠2＝90°﹣γ，代入β＝90°﹣∠1﹣∠2，从而求解．
【解答】解：如图：
由条件可知α+∠1＝∠1+β+∠2＝∠2+γ＝90°，
∴∠1＝90°﹣α，∠2＝90°﹣γ，
∴β＝90°﹣90°+α﹣90°+γ＝α+γ﹣90°，
即α﹣β+γ＝90°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了余角的计算，正确理解β＝90°﹣∠1﹣∠2这一关系是解决本题的关键．
5．如图1，现将正方体相对的两个面涂上阴影，再将正方体沿某些棱剪开，得到如图2所示的展开图，则没有被剪开的棱有（　　）
A．BF B．FG C．CD D．GH
【考点】几何体的展开图．
【专题】展开与折叠；空间观念．
【答案】D
【分析】根据正方体表面展开图的特征进行解答即可．
【解答】解：如图2，由展开图的形状可知，棱GH没有被剪开，
故选：D．
【点评】本题考查了几何体的展开图，熟记正方体的展开图的11结构种形式是解题的关键．
6．已知点A、B、C是同一直线上的三个点．若AB＝4，延长AB到点C，使，则AC的长度为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【考点】线段的和差．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】C
【分析】根据题意，先求出BC的长，据此求出AC的长即可．
【解答】解：∵AB＝4，，
∴BC＝2．
又∵点C在AB的延长线上，
∴AC＝AB+BC＝4+2＝6．
故选：C．
【点评】本题主要考查了线段的和差，能根据题意依次求出BC及AC的长是解题的关键．
7．如图所示，∠AOD＝∠BOC，若∠AOB＝100°，∠COD＝40°，则∠BOD的度数为（　　）
A．25° B．30° C．45° D．60°
【考点】角的计算．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】由∠AOD＝∠BOC可得∠BOD＝∠AOC，即可求解．
【解答】解：∵∠AOD＝∠BOC，
∴∠AOC+∠COD＝∠BOD+∠COD，
∴∠AOC＝∠BOD，
∵∠AOC+∠BOD＝∠AOB﹣∠COD，
∴∠AOC+∠BOD＝100°﹣40°＝60°，
∴∠BOD＝30°，
故选：B．
【点评】本题考查有关角的计算，关键是由∠AOD＝∠BOC得到∠BOD＝∠AOC．
8．如图，小明网购了一个精美的正方体礼物盒，需要动手将平面展开图折叠成立体纸盒，则完成后的正方体纸盒是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】展开图折叠成几何体．
【专题】展开与折叠；空间观念．
【答案】A
【分析】根据平面图形的折叠及正方体的展开图解题．
【解答】解：由题意可知，
没有阴影的两个面是相对面，故选项D不符合题意；
含有两个阴影三角形的面与含有一个小正方形的面是相对面，含有两个阴影三角形的面中的每个带阴影的三角形的底边与没有阴影的长方形共棱，故选项B、C不符合题意；
所以完成后的正方体纸盒是A，
故选：A．
【点评】此题主要考查了展开图折叠成几何体，关键是掌握几何体的展开图的特特点．
9．如图，A，B，C，D四点在一直线上，AB＝2，BC＝4，CD＝1，F为线段AD上的动点，点F到A，B，C，D距离的和的最小值为m，最大值为n，则m+n的值为（　　）
A．14 B．20 C．26 D．28
【考点】线段的和差．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】C
【分析】根据题意，得出当点F在线段BC之间时，点F到A，B，C，D的距离之和最小，再对点F在点A和点D的情况分别进行计算，据此求出最大值n即可解决问题．
【解答】解：由题知，
当点F在线段BC之间时（包括端点），F到A，B，C，D的距离之和最小，
则m＝4+2+4+1＝11；
当点F在点A处时，
0+2+6+7＝15；
当点F在点D处时，
7+5+1+0＝13，
因为15＞13，
所以n＝15，
所以m+n＝11+15＝26．
故选：C．
【点评】本题主要考查了线段的和差，能根据题意求出m和n的值是解题的关键．
10．南开中学所在的重庆市沙坪坝区是巴渝文化的重要发祥地，汇集了磁器口古镇、歌乐山烈士陵园等诸多历史文化地标与人文景观．如图所示，以南开中学为观测点，磁器口古镇大约位于南开中学的（　　）
A．北偏东25° B．西偏北25° C．北偏西25° D．西偏南25°
【考点】方向角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】C
【分析】先明确观测点是南开中学，再根据图中给出的角度和方向标识，判断磁器口古镇相对于观测点的方位，最后结合选项进行选择．
【解答】解：以南开中学为观测点，则：
∴磁器口古镇大约位于南开中学的北偏西25°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了方位角的定义，熟练掌握方位角的表示方法是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．若∠A＝36°6'，∠B＝56.6°，则∠A+∠B＝　92.7°　 ．（结果用度表示）
【考点】角的计算；度分秒的换算．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】92.7°．
【分析】按照度、分、秒的计算方法进行计算即可．
【解答】解：∵∠A＝36°6′，∠B＝56.6°，
∴∠A+∠B＝36°6′+56.6°
＝36°6′+56°36′
＝92°42′
＝92.7°．
故答案为：92.7°．
【点评】本题考查度、分、秒的计算，掌握计算法则是正确计算的前提，满60进1是关键．
12．如图，已知线段AB长度为12，线段CD长度为4，线段CD在线段AB上自由运动（点C与A点不重合，D与B点不重合），若点E为AC的中点．则2BE﹣BD的值为　16　 ．
【考点】线段的和差．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】16．
【分析】令AE＝CE＝m，再据此用m分别表示出BE和BD，进一步求出2BE﹣BD的值即可．
【解答】解：∵点E为AC的中点，
∴令AE＝CE＝m．
∵AB＝12，CD＝4，
∴BE＝12﹣m，BD＝8﹣2m，
∴2BE﹣BD＝2（12﹣m）﹣（8﹣2m）＝16．
故答案为：16．
【点评】本题主要考查了线段的和差，熟知线段中点的定义及能根据题意得出图中各线段之间的数量关系是解题的关键．
13．如图，已知∠AOB＝80°，∠BOC＝50°，OE平分∠AOC，则∠AOE＝　65°　 ．
【考点】角的计算；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】65°．
【分析】利用角的和差关系进行计算可得答案．
【解答】解：∵∠AOC＝∠AOB+∠BOC，∠AOB＝80°，∠BOC＝50°，
∴∠AOC＝80°+50°＝130°．
又∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE∠AOC＝65°，
故答案为：65°．
【点评】本题考查了角的计算，角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解题关键．
14．在指针式时钟表盘上，上午10点半的时候，时针和分针所成夹角的大小为　105　 度．
【考点】钟面角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】105．
【分析】上午9点半时，分针指向数字6，时针在数字9的基础上再转30分钟，故计算出数字9和数字6之间的夹角（小于平角），再加上时针30分钟所转的角度即可得到答案．
【解答】解：上午9点半时，分针指向数字6，时针在数字9的基础上再转30分钟，故计算出数字9和数字6之间的夹角（小于平角），再加上时针30分钟所转的角度可得：
＝90°+15°
＝105°，
∴上午9点半的时候，时针和分针所成夹角的大小为105°．
故答案为：105．
【点评】本题主要考查了钟面角，熟练掌握该知识点是关键．
15．如图，线段AB＝20cm，点C为线段AB上一点，BC＝6cm，点D，E分别为AC和AB的中点，则线段DE的长为　3　 cm．
【考点】两点间的距离；线段的和差．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力．
【答案】3．
【分析】根据题意，由AB＝20cm，点E是AB的中点，由线段中点的定义可得：，再根据AB＝20cm，BC＝6cm，则AC＝AB﹣BC＝20﹣6＝14（cm），再根据点D是AC的中点，由线段的中点定义可得：，最后由DE＝AE﹣AD进行计算即可．
【解答】解：∵AB＝20cm，点E是AB的中点，
∴．
∵AB＝20cm，BC＝6cm，
∴AC＝AB﹣BC＝20﹣6＝14（cm），
∵点D是AC的中点，
∴，
∴DE＝AE﹣AD＝10﹣7＝3（cm）．
故答案为：3．
【点评】本题考查了两点间的距离，线段的和差，掌握两点间的距离，线段的和差计算是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．如图，C为线段AB上一点，D为CB的中点，AC＝4，AD＝7．
（1）求AB的长；
（2）若点E在线段AB上，且，求BE的长．
【考点】线段的和差．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】（1）10；
（2）7或5．
【分析】（1）根据线段中点的定义进行计算即可；
（2）先求出CE的长，再对点E的位置进行分类讨论即可解决问题．
【解答】解：（1）∵AC＝4，AD＝7，
∴CD＝AD﹣AC＝7﹣4＝3．
∵D为CB的中点，
∴BC＝2CD＝6，
∴AB＝AC+BC＝4+6＝10；
（2）∵，CD＝3，
∴CE＝1．
当点E在点C左侧时，
BE＝BC+CE＝6+1＝7；
当点E在点C右侧时，
BE＝BC﹣CE＝6﹣1＝5，
综上所述，BE的长为7或5．
【点评】本题主要考查了线段的和差，熟知线段中点的定义及巧用分类讨论的数学思想是解题的关键．
17．如图，已知∠AOC，∠BOD都是直角．
（1）若∠AOB＝30°，求∠COD的度数；
（2）若∠DOC：∠AOD＝5：13，求∠COD的度数．
【考点】余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】（1）30°；
（2）56.25°．
【分析】（1）根据互余的意义，即可求出答案；
（2）设出未知数，利用题目条件，列方程求解即可．
【解答】解：（1）∵∠AOC＝90°，∠BOD＝90°，∠AOB＝30°，
∴∠COB＝∠AOC﹣∠AOB＝90°﹣30°＝60°，
∴∠COD＝∠BOD﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°；
（2）设∠DOC＝x°，则∠AOD＝90°+x°，
∵∠DOC：∠AOD＝5：13，
∴x°：（90+x°）＝5：13，
解得：x＝56.25°即，∠COD＝56.25°；
【点评】本题考查余角和补角的意义，通过图形直观得出角度的和或差，以及各个角之间的关系是得出正确答案的关键．
18．在小组讨论中，针对题目：已知点A，B，C均在直线l上，AB＝12，BC＝4，M是AB的中点，N是BC的中点，求MN的长．
欣欣的解答过程如下：
如图1，∵M是AB的中点，N是BC的中点，
∴，，
∵AB＝12，BC＝4，
∴BM＝6，BN＝2，
∴MN＝BM+BN＝8．
乐乐说：“欣欣的解答不完整．”
（1）你同意乐乐的说法吗？如果同意，请将欣欣的解答过程补充完整；如果不同意，请说明理由．
（2）我们发现角的很多规律和线段类似，已知∠AOB＝100°，∠BOC＝40°，射线OM平分∠AOB，射线ON平分∠BOC，求∠MON的度数．
【考点】线段的和差．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）MN的长是8或4．
（2）∠MON的度数为30°或70°．
【分析】（1）当点C在点B右侧时，根据线段中点的定义可得AMAB，BNBC，MN＝AM+BN，以此即可解答；
（2）当点C在A、B之间时，根据线段中点的定义可得AMAB，BNBC，MN＝AM﹣BN，以此即可解答．
【解答】解：（1）同意乐乐的说法，补充完整解题过程：
已知点A，B，C均在直线l上，AB＝12，BC＝4，M是AB的中点，N是BC的中点，求MN的长．
情况一：点C在B的右侧
∵M是AB的中点
∴BMAB12＝6，
∵N是BC的中点
∴BNBC4＝2，
∴MN＝BM＝6+2＝8．
情况二：点C在A、B之间
∵M是AB的中点
∴BMAB12＝6，
∵N是BC的中点
∴BNBC4＝2
∴MN＝BM﹣BN＝6﹣2＝4．
∴MN的长是8或4．
（2）情况一：OC在∠AOB内部
∵OM平分∠AOB，
∴∠MOB∠AOB＝50°，
∵ON 平分∠BOC，
∴∠BON∠BOC＝20°，
∴∠MON＝∠MOB﹣∠BON＝50°﹣20°＝30°．
情况二：OC在∠AOB外部
∵OM平分∠AOB，∴∠MOB∠AOB＝50°，
∵ON 平分∠BOC，∴∠BON∠BOC＝20°，
∴∠MON＝∠MOB+∠BON＝50°+20°＝70°．
∴∠MON的度数为30°或70°．
【点评】本题主要考查线段中点的定义、角平分线的性质，根据题意，学会利用分类讨论思想解决问题是解题关键．
19．定义：如果一条射线把一个角分成两个角，其中较大角的度数是原角度数的0.6倍，则称该射线为这个角的近似黄金分割线．如图（1），∠AOB＝60°，∠BOP＝36°则OP为∠AOB的近似黄金分割线．
（1）若∠AOB＝100°，OP为∠AOB的近似黄金分割线，则∠AOP＝ 　40°或60°　 ；
（2）如图（2），如果点A，O，B三点在同一条直线上时，当射线OP在直线AB上方绕O点转动时，OM，ON始终分别为∠AOP和∠BOP的近似黄金分割线，当∠BOP＝α°时，求∠MON的度数（可以用含α的代数式表示）；
（3）在（2）的基础上，若OP恰好为∠MON的平分线，求∠α的度数．
【考点】角的计算．
【专题】几何图形问题；线段、角、相交线与平行线；能力层次；几何直观．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用黄金分割线公式分别代入得出2种结果；
（2）已知∠BOP＝α°，求平面的另一个余角；
（3）再根据平分线的定义分别解出．
【解答】解：（1）∵OP为∠AOB的近似黄金分割线，
∴∠BOP＝0.6∠AOB或∠AOP＝0.6∠AOB，
∴若∠BOP＝0.6∠AOB＝0.6×100°＝60°，
则∠AOP＝∠AOB﹣∠BOP＝100°﹣60°＝40°
若∠AOP＝0.6∠AOB，
则∠AOP＝0.6×100°＝60°，
综上，∠AOP＝40°或60°．
（2）∵∠BOP＝α°，∴∠AOP＝180°﹣α°．
若∠AOM＝0.6∠AOP，那么∠BON＝0.6∠BOP，
则∠POM＝0.4∠AOP，∠PON＝0.4∠BOP，
∴∠MON＝∠POM+∠PON
＝0.4∠AOP+0.4∠BOP
＝0.4×（180°﹣α°）+0.4 α°
＝72°．
若∠AOM＝0.6∠AOP，∠PON＝0.6∠BOP，
则∠POM＝0.4∠AOP，
∴∠MON＝∠PON+∠POM
＝0.6∠BOP+0.4∠AOP
＝0.6 α°+0.4×（180°﹣α°）
＝72°+0.2α°．
若∠MOP＝0.6∠AOP，∠BON＝0.6∠BOP，
则∠PON＝0.4∠BOP，
∴∠MON＝∠MOP+∠PON
＝0.6∠AOP+0.4∠BOP
＝0.6×（180°﹣α°）+0.4 α°
＝108°﹣0.2α°．
若∠MOP＝0.6∠AOP，∠PON＝0.6∠BOP，
∴∠MON＝∠MOP+∠PON
＝0.6∠AOP+0.6∠BOP
＝0.6×（180°﹣α°）+0.6 α°
＝108°．
综上，∠MON＝72°或72°+0.2α°或108°﹣0.2α°或108°．
（3）
∵OP平分∠MON，∴∠MOP＝∠NOP．
若∠MOP＝0.6∠AOP＝0.6×（180°﹣∠α）＝180°﹣0.6∠α，∠NOP＝0.6∠BOP＝0.6∠α，
根据∠MOP＝∠NOP，
可知108°﹣0.6∠α＝0.6∠α，
1.2∠α＝108°，
∠α＝90°，
若∠MOP＝0.6∠AOP＝108°﹣0.6∠α，∠NOP＝0.4∠BOP＝0.4∠α，
根据∠MOP＝∠NOP，
可知108°﹣0.6∠α＝0.4∠α，
∠α＝108°．
若∠MOP＝0.4∠AOP＝0.4×（180°﹣∠α）＝72°﹣0.4∠α，∠NOP＝0.6∠α，
根据∠MOP＝∠NOP，
可知72°﹣0.4∠α＝0.6α，
∠α＝72°，
若∠MOP＝72°﹣0.4∠α，∠NOP＝0.4∠α，
根据∠MOP＝∠NOP，
可知72°﹣0.4∠α＝0.4∠α，
0.8∠α＝72°，
∠α＝90°．
综上，∠α＝90°、108°或72°．
【点评】本题考查了黄金分割线、平分线的应用，关键是明确黄金分割所涉及的比．
20．【新定义】已知射线OC在∠AOB的内部，若∠AOB，∠AOC和∠BOC三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“量尺金线”．
（1）如图1，若∠AOB中OC是∠AOB的“量尺金线”，且∠AOC＞∠BOC，则∠AOB与∠BOC的数量关系为　∠AOB＝3∠BOC ；
（2）如图2，若OC平分∠AOB，试说明射线OC是∠AOB的“量尺金线”；
（3）如图3，∠MPN＝60°，若射线PQ是∠MPN的“量尺金线”，直接写出∠QPN的度数．
【考点】角的计算；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）∠AOB＝3∠BOC；
（2）详见解析；
（3）40°，30°，20°．
【分析】（1）根据“量尺金线”定义即可得到答案；
（2）由角平分线的定义可以证明；
（3）分∠QPN＝2∠MPQ、∠QPN＝∠MPQ、三种情况分别画出图形进行解答即可．
【解答】解：（1）∵∠AOB中OC是∠AOB的“量尺金线”，且∠AOC＞∠BOC，
∴∠AOC＝2∠BOC，
∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝2∠BOC+∠BOC＝3∠BOC，
故答案为：∠AOB＝3∠BOC
（2）∵OC平分∠AOB，
∴∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，
∴射线OC是∠AOB的“量尺金线”；
（3）当∠QPN＝2∠MPQ时，
∵∠MPN＝60°，∠MPN＝∠QPN+∠MPQ＝2∠MPQ+∠MPQ＝3∠MPQ，
∴∠MPQ＝20°，
∴∠QPN＝2∠MPQ＝2×20°＝40°；
当∠QPN＝∠MPQ时，
∵∠MPN＝60°，∠MPN＝∠QPN+∠MPQ＝∠MPQ+∠MPQ＝2∠MPQ，
∴；
当时，
∵∠MPN＝60°，∠MPN＝∠QPN+∠MPQ＝∠QPN+2∠QPN＝3∠QPN，
∴∠QPN＝20°；
综上可知，∠QPN的度数为40°，30°，20°．
【点评】此题考查了几何图形中角度计算和角平分线的相关计算等知识，掌握角的计算是解题的关键．

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