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2026年中考数学二轮复习：无理数与实数
一．选择题（共10小题）
1．下列各数中，哪个是无理数（　　）
A．﹣2 B． C．3.97 D．
2．如图，在数轴上，点A表示实数a，则下列各式中结果小于1的是（　　）
A．﹣a B．1﹣a C．|a|﹣1 D．|a|
3．估算的值在（　　）
A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间
4．如图，数轴上A，B两点分别对应实数a，b，点O为原点，且OA＞OB，则下列结论正确的是（　　）
A．a+b＞0 B．ab＞0 C． D．
5．古希腊数学家希帕索斯是最早发现无理数的人，下列各数中，为无理数的是（　　）
A．0.121212 B． C． D．（π﹣2）0
6．下列判断正确的是（　　）
A．﹣64的立方根是﹣4 B．49的算术平方根是±7
C．的立方根是 D．的平方根是
7．下列有关的说法中，错误的是（　　）
A．7的平方根是 B．是无理数
C． D．的相反数是
8．若m＝3，，，则m，n，k的大小关系是（　　）
A．k＜m＜n B．m＜k＜n C．k＜n＜m D．m＜n＜k
9．估计的值应在（　　）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
10．若，则下列估算正确的是（　　）
A．2＜m＜3 B．3＜m＜4 C．4＜m＜5 D．5＜m＜6
二．填空题（共5小题）
11．比较大小：2　 　 ．（选填“＞”、“＝”、“＜”）．
12．数轴上点A表示，那么到点A的距离等于的点所表示的数是　 　 ．
13．若m为正整数，且满足，则m＝　 　 ．
14．一个数值转换器的原理如图所示．当输入的x的值为64，则输出的数是　 　 ．
15．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式|b﹣a|+|a+c|﹣|c﹣b|的值等于 　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．我们规定，若实数a，b满足a﹣m＝m﹣b，则称a与b是关于m的对称数．
（1）若a与8是关于4的对称数，则a的值是　 　 ；
（2）若与是关于m的对称数，求m的值；
（3）若有理数x，y满足，判断与是否是关于7的对称数．
17．已知3a﹣5的算术平方根是2，2a+b的立方根是﹣2，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求4a+b+2c的平方根．
18．已知a+10的算术平方根是3，3a﹣b+3的立方根是﹣2．
（1）求a，b的值；
（2）c是的整数部分，求b﹣2a+2c的平方根．
19．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了3个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．
（1）求m的值；
（2）求的值；
（3）在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有|2c+4|与互为相反数，求c+3d的平方根．
20．（1）用“＜”“＞”或“＝”填空：　 　 ，　 　 ；
（2）由（1）呈现的结果可得：　 　 ，　 　 ．
猜想：　 　 ，　 　 ．
（3）计算：（结果保留根号）．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．下列各数中，哪个是无理数（　　）
A．﹣2 B． C．3.97 D．
【考点】无理数．
【答案】D
【分析】根据有理数、无理数的定义判断即可．
【解答】解：A、﹣2是有理数，故此选项不符合题意；
B、是有理数，故此选项不符合题意；
C、3.97是有理数，故此选项不符合题意；
D、是无理数，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
2．如图，在数轴上，点A表示实数a，则下列各式中结果小于1的是（　　）
A．﹣a B．1﹣a C．|a|﹣1 D．|a|
【考点】实数大小比较；绝对值；实数与数轴．
【专题】实数．
【答案】C
【分析】利用数轴进行判断出﹣2＜a＜﹣1．
【解答】解：∵﹣2＜a＜﹣1，
∴1＜﹣a＜2，1＜|a|＜2，
∴2＜1﹣a＜3，
∴0＜|a|﹣1＜1，
故选：C．
【点评】本题考查了数轴、绝对值及有理数的运算，题目较容易，关键是根据数轴上点的位置判断a的范围．
3．估算的值在（　　）
A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间
【考点】估算无理数的大小；二次根式的混合运算．
【专题】实数；数感．
【答案】D
【分析】将原式简化为，通过估算的范围，即可作答．
【解答】解：，
∵，
∴，
即 ，
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的乘法运算，无理数的估算，熟练掌握以上知识点是关键．
4．如图，数轴上A，B两点分别对应实数a，b，点O为原点，且OA＞OB，则下列结论正确的是（　　）
A．a+b＞0 B．ab＞0 C． D．
【考点】实数与数轴；绝对值．
【专题】数与式；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】由数轴可知a＜0＜b，且|a|＞|b|．根据这两个条件，逐一判断每个选项的正确性．
【解答】解：∵a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，
∴a+b＜0，
故A错误；
∵a＜0，b＞0，异号两数相乘结果为负，
∴ab＜0，B错误；
∵a＜0，
∴0，
∵b＞0，
∴0，
∴，C错误；
∵已知OA＞OB，即|a|＞|b|，且|b|＞0，
∴1，D正确．
故选：D．
【点评】本题考查了数轴的性质、实数的符号与绝对值的大小比较，以及实数的四则运算规律．熟练掌握利用数轴判断数的符号和绝对值大小是解题的关键．
5．古希腊数学家希帕索斯是最早发现无理数的人，下列各数中，为无理数的是（　　）
A．0.121212 B． C． D．（π﹣2）0
【考点】无理数；零指数幂；算术平方根．
【专题】实数；数感．
【答案】B
【分析】根据无理数的定义逐一判断即可得答案．
【解答】解：A．0.121212是分数，属于有理数，不符合题意；
B．是无理数，符合题意；
C．分数是，属于有理数，不符合题意；
D．（π﹣2）0＝1，是整数，属于有理数，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了无理数算术平方根和零指数幂，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．
6．下列判断正确的是（　　）
A．﹣64的立方根是﹣4 B．49的算术平方根是±7
C．的立方根是 D．的平方根是
【考点】立方根；平方根；算术平方根．
【答案】A
【分析】根据立方根、平方根、算术平方根的定义分别计算判断即可．
【解答】解：A、﹣64的立方根是﹣4，故此选项符合题意；
B、49的算术平方根是7，故此选项不符合题意；
C、的立方根是，故此选项不符合题意；
D、的平方根是，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了立方根、平方根、算术平方根，熟练掌握这几个定义是解题的关键．
7．下列有关的说法中，错误的是（　　）
A．7的平方根是 B．是无理数
C． D．的相反数是
【考点】估算无理数的大小；相反数；平方根；算术平方根；无理数．
【专题】实数；数感．
【答案】A
【分析】根据平方根，无理数的定义，无理数的估算，相反数的定义逐项判断即可．
【解答】解：根据平方根，无理数的定义逐项分析判断如下：
A．7的平方根是，故A说法错误，符合题意；
B． 是无理数，故B说法正确，不符合题意；
C．∵22＜7＜32，
∴，
故C说法正确，不符合题意；
D． 的相反数是，
故D说法正确，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了平方根，无理数的定义，无理数的估算，相反数的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
8．若m＝3，，，则m，n，k的大小关系是（　　）
A．k＜m＜n B．m＜k＜n C．k＜n＜m D．m＜n＜k
【考点】实数大小比较；算术平方根；立方根．
【专题】实数．
【答案】A
【分析】分别6次方比较幂的大小得出结论．
【解答】解：∵m，n，k都是正数，分别求它们的6次幂，∴m6＝729，n6＝1000，k6＝49，
∴49＜729＜1000，
∴k＜m＜n，
故选：A．
【点评】本题考查了实数的比较大小，根据题目出的数据采取统一乘方是解题的关键．
9．估计的值应在（　　）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
【考点】估算无理数的大小．
【专题】实数；数感．
【答案】C
【分析】先确定与60相邻的两个完全平方数是49、64，从而估计大小即可解答．
【解答】解：∵49＜60＜64，
∴，
∴，
∴在7和8之间，
故选：C．
【点评】本题考查了估算无理数的大小的方法逼近法，掌握无理数估算的方法是解题的关键．
10．若，则下列估算正确的是（　　）
A．2＜m＜3 B．3＜m＜4 C．4＜m＜5 D．5＜m＜6
【考点】估算无理数的大小．
【专题】实数；数感．
【答案】B
【分析】先整理，则，即可作答．
【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴3＜m＜4，
故选：B．
【点评】本题考查了无理数的估算，熟练掌握该知识点是关键．
二．填空题（共5小题）
11．比较大小：2　＜　 ．（选填“＞”、“＝”、“＜”）．
【考点】实数大小比较．
【答案】＜
【分析】求出2，再比较即可．
【解答】解：2，
故答案为：＜，
【点评】本题考查了实数的大小比较，能选择适当的方法比较两个数的大小是解此题的关键．
12．数轴上点A表示，那么到点A的距离等于的点所表示的数是　4或﹣2　 ．
【考点】实数与数轴．
【专题】数与式；实数；运算能力；推理能力．
【答案】4或﹣2．
【分析】设到点A 的距离等于3 的点表示的数为x，根据数轴上两点间距离公式，可得：|x|＝3，这个绝对值方程有两种情况，分别求解即可．
【解答】解：当x3时：x34，
当x3时：x32，
∴到点A的距离等于3的点表示的数是4或﹣2．
故答案为：4或﹣2．
【点评】本题考查了数轴上两点间的距离公式和绝对值方程的解法，熟练掌握数轴上两点间的距离公式（绝对值表达式），并能通过分类讨论解绝对值方程，是解题的关键．
13．若m为正整数，且满足，则m＝　6　 ．
【考点】估算无理数的大小．
【专题】实数；推理能力．
【答案】6．
【分析】找到在哪两个相邻的整数之间即可．
【解答】解：∵，，
∴67，
∵m为正整数，
∴m＝6．
故答案为：6．
【点评】此题考查估算无理数的大小，找到相邻的整数是关键．
14．一个数值转换器的原理如图所示．当输入的x的值为64，则输出的数是　　 ．
【考点】实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】．
【分析】计算出64的算术平方根，若结果为无理数，则输出，若结果为有理数，则把结果作为新数输入，继续求算术平方根，直至结果为无理数作为输出的结果，据此求解即可．
【解答】解：64的算术平方根是8，8是有理数，
8的算术平方根是，
是无理数，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了与流程图有关的实数计算，熟练掌握运算法则是关键．
15．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数式|b﹣a|+|a+c|﹣|c﹣b|的值等于 　﹣2a ．
【考点】实数与数轴；绝对值．
【专题】实数；运算能力．
【答案】﹣2a．
【分析】由数轴可得a＜0＜c＜b，|a|＞|c|，进而根据有理数的运算法则得b﹣a＞0，a+c＜0，c﹣b＜0，再绝对值的性质化简即可求解．
【解答】解：由数轴可得，b﹣a＞0，a+c＜0，c﹣b＜0，
∴|b﹣a|+|a+c|﹣|c﹣b|
＝b﹣a+（﹣a﹣c）﹣（b﹣c）
＝b﹣a﹣a﹣c﹣b+c
＝﹣2a，
故答案为：﹣2a．
【点评】本题考查了有理数与数轴，掌握有理数的运算法则是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．我们规定，若实数a，b满足a﹣m＝m﹣b，则称a与b是关于m的对称数．
（1）若a与8是关于4的对称数，则a的值是　0　 ；
（2）若与是关于m的对称数，求m的值；
（3）若有理数x，y满足，判断与是否是关于7的对称数．
【考点】实数的运算．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）0，
（2）m＝5；
（3）与是关于7的对称数．理由如下：
∵，
∴2x+2yx，
∵x，y是有理数，
∴y＝2x，x＝2，
∴x＝2，y＝4，
∴x2，3y12，
27＝7﹣（12），
∴7＝7﹣（），
故与是关于7的对称数．
【分析】（1）根据新定义列式计算即可；
（2）根据新定义列式计算即可；
（3）根据条件化简可得2x+2yx，根据x、y是有理数得到x＝2，y＝4，再根据新定义推出x+3y＝14即可验证．
【解答】解：（1）根据新定义可知a﹣4＝4﹣8，
解得a＝0，
故答案为：0；
（2）根据新定义可知21﹣m＝m﹣11+2，
解得：m＝5；
（3）与是关于7的对称数．理由如下：
，
∴2x+2yx，
∵x，y是有理数，
∴y＝2x，x＝2，
∴x＝2，y＝4，
∴x2，3y12，
27＝7﹣（12），
∴7＝7﹣（），
故与是关于7的对称数．
【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是关键．
17．已知3a﹣5的算术平方根是2，2a+b的立方根是﹣2，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求4a+b+2c的平方根．
【考点】估算无理数的大小；平方根；算术平方根；立方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先估算的大小，求出它的整数部分c，再根据3a﹣5的算术平方根是2，2a+b的立方根是﹣2，列出关于a，b的方程，解方程求出a，b即可；
（2）把（1）中所求的a，b，c代入4a+b+2c进行计算，从而求出它的平方根即可．
【解答】解：（1）∵，
∴的整数部分4，即c＝4，
∵3a﹣5的算术平方根是2，2a+b的立方根是﹣2，
∴3a﹣5＝4，2a+b＝﹣8，
解得：a＝3，b＝﹣14，c＝4；
（2）由（1）可知：a＝3，b＝﹣14，c＝4，
∴4a+b+2c
＝4×3+（﹣14）+2×4
＝6，
∴4a+b+2c的平方根为．
【点评】本题主要考查了估算无理数的大小和平方根，解题关键是熟练掌握平方根的定义和估算无理数的大小．
18．已知a+10的算术平方根是3，3a﹣b+3的立方根是﹣2．
（1）求a，b的值；
（2）c是的整数部分，求b﹣2a+2c的平方根．
【考点】估算无理数的大小；平方根；算术平方根；立方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）a＝﹣1，b＝8；
（2）±4．
【分析】（1）根据已知，由a+10的算术平方根是3，3a﹣b+3的立方根是﹣2，可得a+10＝9，3a﹣b+3＝﹣8，进而求出a，b的值；
（2）先估算的范围，求出c的值，然后把a，b，c的值分别代入b﹣2a+2c，求值，最后求平方根即可．
【解答】解：（1）∵a+10的算术平方根是3，3a﹣b+3的立方根是﹣2，
∴a+10＝9，3a﹣b+3＝﹣8，
解得：a＝﹣1，
把a＝﹣1代入3a﹣b+3＝﹣8，得3×（﹣1）﹣b+3＝﹣8，
解得：b＝8，
∴a＝﹣1，b＝8；
（2）∵，
∴，
∴的整数部分是3，即c＝3，
∴b﹣2a+2c
＝8﹣2×（﹣1）+2×3
＝8+2+6
＝16，
∴16的平方根是±4，即b﹣2a+2c的平方根是±4．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，平方根，算术平方根，立方根，掌握利用“夹逼法”估算无理数的大小，平方根定义，算术平方根定义，立方根定义是解题的关键．
19．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了3个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．
（1）求m的值；
（2）求的值；
（3）在数轴上还有C，D两点分别表示实数c和d，且有|2c+4|与互为相反数，求c+3d的平方根．
【考点】实数与数轴；相反数；非负数的性质：绝对值；平方根；非负数的性质：算术平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）；
（2）3；
（3）．
【分析】（1）根据已知条件和两点间的距离公式求出答案即可；
（2）先估算m的大小，再根据绝对值的性质和二次根式的性质进行化简即可；
（3）根据绝对值与二次根式的非负性和已知条件，列出关于c，d的方程，解方程求出c，d，从而求出c+3d的值，最后根据平方根的定义求出答案即可．
【解答】解：（1）由题意得：；
（2）∵，
∴，
即0＜m＜1，
∴m+2＞0，m﹣1＜0，
∴；
（3）由题可知：，
∴2c+4＝0，d﹣3＝0，
解得：c＝﹣2，d＝3，
∴c+3d＝﹣2+3×3＝7，
∴c+3d的平方根为．
【点评】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握两点间的距离公式、绝对值与二次根式的非负性和平方根的定义．
20．（1）用“＜”“＞”或“＝”填空：　＜　 ，　＜　 ；
（2）由（1）呈现的结果可得：　　 ，　　 ．
猜想：　　 ，　　 ．
（3）计算：（结果保留根号）．
【考点】实数大小比较；绝对值．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）＜，＜；
（2），，，；
（3）．
【分析】（1）通过比较被开方数的大小，利用“被开方数越大，算术平方根越大”的性质，直接判断两个无理数的大小关系．
（2）根据第（1）问得到的大小关系，判断绝对值内式子的正负，再依据绝对值的代数意义（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数）进行化简，最后通过特例归纳出一般规律．
（3）利用第（2）问得出的绝对值化简规律，将原式中的每一项绝对值进行化简，然后通过去括号、合并同类二次根式，实现中间项的抵消，从而得到最终结果．
【解答】解：（1）∵1＜2，
∴，
∵2＜3，
∴，
故答案为：＜，＜；
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
故答案为：，，，；
（3）原式
．
【点评】本题主要考查了算术平方根的性质、绝对值的代数意义、二次根式的加减运算以及规律的归纳与应用，熟练掌握绝对值的化简方法和裂项相消的解题技巧是解题的关键．

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