资源简介

2026年中考数学二轮复习：一元一次方程
一．选择题（共10小题）
1．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳三尺二寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余3.2尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？”设木长x尺，则可列方程为（　　）
A． B．
C．2（x+1）＝x﹣3.2 D．2（x﹣1）＝x﹣3.2
2．学校开学初有一批学生需要住宿，如果每间宿舍安排6人，就会有1人没床位；如果每间宿舍安排8人，则正好空出1间宿舍．问该校有多少学生住宿？如果设该校有x人住宿，那么依题意可以列出的方程是（　　）
A． B． C． D．
3．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则a﹣b的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．7
4．下列等式中是一元一次方程的是（　　）
A．2+3＝3+2 B．8y﹣9＝9﹣y C． D．x2+2x+1＝4
5．已知整式：，其中a0，a1，a2，…，an﹣1，an均为正整数，n为自然数，且满足a0＜a1＜a2＜…＜an﹣1＜an，a0 a1 a2…an﹣1 an＝K，下列说法：
①当K＝8时，整式A可以为二次三项式；
②当K≤10时，满足条件的多项式A有15个；
③当K＝6且n＝1时，记满足条件的整式分别为A1，A2， ，Am，则关于x的方程|A1|+|A2|+…+|Am|＝15的解为 x＝﹣2或．
其中正确的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．下列说法正确的是（　　）
A．如果a2＝b2，那么a＝b
B．如果a＝b，那么
C．如果，那么5x﹣3＝8y+4
D．如果，那么m＝n
7．以下方程中，与方程2x﹣1＝1﹣x的解相同的方程是（　　）
A．2（x﹣1）＝1﹣x B．
C．3（x﹣1）＝1 D．3（x﹣1）+1＝0
8．一台仪器由1个A部件和3个B部件构成．用1m3钢材可以做40个A部件或240个B部件，现要用6m3钢材制作这种仪器，应用多少立方米钢材制作A部件，多少立方米钢材制作B部件，才能制作尽可能多的仪器？设用xm3钢材制作A部件，则可列式为（　　）
A．3×40x＝240（6﹣x） B．40x＝240（6﹣x）×3
C．240x＝40（6﹣x）×3 D．3×240x＝40（6﹣x）
9．已知关于x的方程1的解为正整数，则符合条件的所有整数k的和为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．小明为了求1+2+22+23+ +2100的值，进行了以下探究：他令M＝1+2+22+23+ +2100，在等式两边同乘2得，2M＝2+22+23+24+ +2101，因此2M﹣M＝2101﹣1，所以M＝2101﹣1．即1+2+22+23+ +2100＝2101﹣1．请仿照以上推理计算：1+3+32+33+ +32023的值为（　　）
A．32024﹣1 B． C． D．
二．填空题（共5小题）
11．明代数学家程大位的《算法统宗》中有云“我问开店李三公，多少客人在店中．一房七客多七客，一房九客一房空”，题意：每房住7人多7人，每房住9人空1房．求房间数与客人数．本题可设x间房，则列方程：　 　 ．
12．如图，数轴上点A，B，C对应的数分别为x﹣2，x，5．
（1）把数轴沿着点B左右对折，点A落在数轴上的点D处，若点D是线段BC的中点，则x的值为　 　 ；
（2）在（1）的条件下，若点A，B，C同时在数轴上运动，点A以每秒1个单位长度的速度向右运动，点B以每秒2个单位长度的速度向左运动，点C以每秒1个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t秒，若A，B，C三点中其中一点是另外两点所连线段的中点，则t的值为　 　 ．
13．已知关于x的一元一次方程的解是非负整数，则符合条件的所有整数a的和为：　 　 ．
14．代数式mx﹣n的值随x取值的变化而变化，如表是当x取不同值时对应的整式的值：
x ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0
mx﹣n 9 6 3 0 ﹣3 ﹣6
则关于x的方程﹣mx+n＝3的解为x＝　 　 ．
15．如图，商品条形码是商品的“身份证”，共有13位数字．它是由前12位数字和校验码构成，其结构分别代表“国家代码、厂商代码、产品代码、和校验码”．
其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．其算法为：
步骤1：计算前12位数字中偶数位数字的和a，即a＝9+1+3+5+7+9＝34；
步骤2：计算前12位数字中奇数位数字的和b，即b＝6+0+2+4+6+8＝26；
步骤3：计算3a与b的和c，即c＝3×34+26＝128；
步骤4：取大于或等于c且为10的整数倍的最小数d，即d＝130；
步骤5：计算d与c的差就是校验码x，即x＝130﹣128＝2．
如图，若条形码中被污染的两个数字的和是7，则被污染的两个数字中右边的数字是 　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．列方程解下列问题：
某电商用22000元从厂家购进了A、B两种商品共500件，其中A商品每件进价80元，B商品每件进价20元．
（1）求购进A、B两种商品各多少件．
（2）该电商以每件30元的价格销售B商品，售出后开展促销活动，剩下的B商品在原来售价基础上降价售完．已知B商品共获利润1800元，求促销活动中，B商品降价了多少元．
17．列方程解决问题：
小维和小浩分别从甲、乙两地同时出发，小维骑自行车，小浩步行，沿同一条道路相向匀速而行，出发0.5小时后两人相遇．已知小维骑自行车比小浩步行每小时多行进10千米，甲、乙两地相距7.5千米．
（1）两人每小时分别行进多少千米？
（2）相遇后，两人保持原速度原方向继续前进，小维到达乙地后休息0.4小时，再沿原路以15千米/小时的速度返回甲地，求小维返回甲地时，小浩距离甲地的距离．
18．解方程：
（1）4x+4＝3（20﹣x）；
（2）．
19．如图，数轴上有两个点A，B，点A所表示的数为a，点B所表示的数为b，且满足|a+10|+（15﹣b）2＝0．
（1）a＝　 　 ；b＝　 　 ．
（2）若点C从点B出发，沿数轴以每秒2个单位的速度向左运动，点D从点A出发沿数轴向右运动，经过5秒后，原点O恰好是线段CD的中点，求点D的速度．
（3）我们规定：在数轴上，当两点都位于原点同侧且距离为2时，则称这两个点为“最美距离”．若P，Q是数轴上的两个动点，点P从原点出发沿着数轴以每秒5个单位的速度向点A运动，到达A点后掉头向B运动，到达B点后再掉头向A运动，如此在点A与点B之间往返运动，而点Q从原点出发沿着数轴以每秒1个单位的速度向点B运动，当Q到达B点后停止运动，P也随之停止．求经过多少秒，P，Q两点位于“最美距离”？
20．如图，直线AB与CD交于点O，∠COB＝90°．
（1）如图1，若∠MON＝90°，∠AON＝5∠BOM，∠COM＝　 　 ．
（2）如图2，若∠POB＝120°，射线OM从射线OB的位置开始，绕点O以逆时针每秒2°的速度向射线OC运动，射线ON从射线OC的位置开始，绕点O以逆时针每秒1°的速度向射线OA运动的过程中，设运动时间为t秒（0＜t＜45），求∠PON与∠COM之间的数量关系．
（3）如图3，射线OM从射线OC的位置开始，绕点O以顺时针每秒1.5°的速度运动，在运动的过程中，射线OM始终是∠BON的角平分线，同时射线OP从射线OD的位置开始，绕点O以逆时针每秒3°的速度运动，设射线OM、ON的运动时间均为t（0＜t＜60），在运动的过程中，当射线OM、ON、OP其中一条射线为另外两条射线组成角的角平分线时，直接写出时间t的所有的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，是《算经十书》之一，书中记载了这样一个题目：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳三尺二寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余3.2尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？”设木长x尺，则可列方程为（　　）
A． B．
C．2（x+1）＝x﹣3.2 D．2（x﹣1）＝x﹣3.2
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程；数学常识．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】设木长x尺，根据题意列出方程解答即可．
【解答】解：根据题意可得：（x+3.2）＝x﹣1，
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确得出等量关系是解题的关键．
2．学校开学初有一批学生需要住宿，如果每间宿舍安排6人，就会有1人没床位；如果每间宿舍安排8人，则正好空出1间宿舍．问该校有多少学生住宿？如果设该校有x人住宿，那么依题意可以列出的方程是（　　）
A． B． C． D．
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【答案】C
【分析】设该校有x人住宿，根据房间数不变即可得出关于x的一元一次方程．
【解答】解：设该校有x人住宿，
根据题意得：1．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据房间数不变列出关于x的一元一次方程是解题的关键．
3．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则a﹣b的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．7
【考点】一元一次方程的应用；数学常识．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”列方程求解．
【解答】解：由题意得：a+0＝4﹣3，且a﹣3＝4+b，
解得a＝1，b＝﹣6，
∴a﹣b＝1﹣（﹣6）＝7，
故选：D．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键．
4．下列等式中是一元一次方程的是（　　）
A．2+3＝3+2 B．8y﹣9＝9﹣y C． D．x2+2x+1＝4
【考点】一元一次方程的定义．
【答案】B
【分析】只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程，据此进行判断即可．
【解答】解：2+3＝3+2中不含未知数，则A不符合题意，
8y﹣9＝9﹣y符合一元一次方程的定义，则B符合题意，
2＝3不是整式方程，则C不符合题意，
x2+2x+1＝4中未知数的最高次数是2，则D不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查一元一次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．
5．已知整式：，其中a0，a1，a2，…，an﹣1，an均为正整数，n为自然数，且满足a0＜a1＜a2＜…＜an﹣1＜an，a0 a1 a2…an﹣1 an＝K，下列说法：
①当K＝8时，整式A可以为二次三项式；
②当K≤10时，满足条件的多项式A有15个；
③当K＝6且n＝1时，记满足条件的整式分别为A1，A2， ，Am，则关于x的方程|A1|+|A2|+…+|Am|＝15的解为 x＝﹣2或．
其中正确的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】一元一次方程的应用；绝对值；规律型：数字的变化类．
【专题】一次方程（组）及应用；推理能力．
【答案】D
【分析】对于说法①，当K＝8时，存在系数序列（1，2，4）满足条件对应二次三项式；对于说法②，当K≤10时，仅考虑n≥1的情况，枚举所有满足条件的系数序列，共15个；对于说法③，当K＝6且n＝1时有两个多项式，解绝对值方程|1+6x|+|2+3x|＝15，可得x＝﹣2或．
【解答】解：说法①：当K＝8时，取a0＝1，a1＝2，a2＝4，
则满足a0＜a1＜a2且乘积为8，A＝1+2x+4x2为二次三项式，
∴说法①正确；
说法②：当K≤10时，n≥1，枚举序列：
n＝1：（1，2）至（1，10）共9对，（2，3），（2，4），（2，5）共3对，
故n＝1时总计有9+3＝12个多项式；
n＝2：（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5）共3个；
n≥3：无序列满足乘积≤10；
∴总15个多项式，
∴说法②正确．
说法③：当K＝6且 n＝1时，序列为（1，6）和（2，3），对应A1＝1+6x，A2＝2+3x，
则方程|1+6x|+|2+3x|＝15．
分段讨论：
当时，则﹣3﹣9x＝15，解得x＝﹣2；
当时，则1﹣3x＝15，解得（不符合题意，舍去）；
当时，则3+9x＝15，解得；
综上，解为x＝﹣2或，说法③正确．
综上，三个说法均正确．
故选：D．
【点评】本题考查了整式的定义、解绝对值方程、一元一次方程及分类讨论思想的应用，掌握规律是解题的关键．
6．下列说法正确的是（　　）
A．如果a2＝b2，那么a＝b
B．如果a＝b，那么
C．如果，那么5x﹣3＝8y+4
D．如果，那么m＝n
【考点】等式的性质．
【专题】方程与不等式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据等式的基本性质判断即可．
【解答】解：根据等式的基本性质逐项分析判断如下：
A、若a2＝b2，则a＝±b，不一定有a＝b，故A错误，不符合题意；
B、若c＝0，则无意义，等式不成立，故B错误，不符合题意；
C、由两边乘20，得5（x﹣3）＝4（2y+1），即5x﹣15＝8y+4，与给定结论5x﹣3＝8y+4不符，故C错误，不符合题意；
D、由且a≠0（分式有意义），两边乘a得m＝n，故D正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了等式的基本性质，掌握等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式是解题的关键．
7．以下方程中，与方程2x﹣1＝1﹣x的解相同的方程是（　　）
A．2（x﹣1）＝1﹣x B．
C．3（x﹣1）＝1 D．3（x﹣1）+1＝0
【考点】同解方程；解一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】先解出2x﹣1＝1﹣x的解，然后对选项逐一求解，验证即可．
【解答】解：解方程2x﹣1＝1﹣x可得：
．
A．2（x﹣1）＝1﹣x，
2x﹣2＝1﹣x，
2x+x＝1+2，
3x＝3，
x＝1，故不符合题意；
B．，
，故不符合题意；
C．3（x﹣1）＝1，
3x﹣3＝1，
3x＝1+3，
3x＝4，
，故不符合题意；
D．3（x﹣1）+1＝0
3x﹣3+1＝0，
3x﹣2＝0，
3x＝2，
，故符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了一元一次方程的解法，掌握一元一次方程的解法是关键．
8．一台仪器由1个A部件和3个B部件构成．用1m3钢材可以做40个A部件或240个B部件，现要用6m3钢材制作这种仪器，应用多少立方米钢材制作A部件，多少立方米钢材制作B部件，才能制作尽可能多的仪器？设用xm3钢材制作A部件，则可列式为（　　）
A．3×40x＝240（6﹣x） B．40x＝240（6﹣x）×3
C．240x＝40（6﹣x）×3 D．3×240x＝40（6﹣x）
【考点】一元一次方程的应用；列代数式．
【答案】A
【分析】当制作的两种部件正好配套时制作的仪器最多，设用x立方米钢材制作A部件，则用（6﹣x）立方米钢材制作B部件，根据制作的B部件的总数量是制作的A部件总数量的3倍，可列出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：设用x立方米钢材制作A部件，则用（6﹣x）立方米钢材制作B部件，根据题意得：3×40x＝240（6﹣x），
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
9．已知关于x的方程1的解为正整数，则符合条件的所有整数k的和为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】一元一次方程的解．
【答案】C
【分析】先求出方程1的解，再根据其解为正整数，即可确定整数k的值，再求和即可．
【解答】解：1，
2（kx﹣1）﹣（x﹣3）＝6，
2kx﹣2﹣x+3＝6，
2kx﹣x＝6+2﹣3，
（2k﹣1）x＝5，
当2k﹣1≠0，即k≠0.5时，方程的解是x，
∵关于x的方程1的解为正整数，k为整数，
∴2k﹣1＝1或2k﹣1＝5，
解得k＝1或k＝3，
∴符合条件的所有整数k的和为1+3＝4，
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，正确计算是解题的关键．
10．小明为了求1+2+22+23+ +2100的值，进行了以下探究：他令M＝1+2+22+23+ +2100，在等式两边同乘2得，2M＝2+22+23+24+ +2101，因此2M﹣M＝2101﹣1，所以M＝2101﹣1．即1+2+22+23+ +2100＝2101﹣1．请仿照以上推理计算：1+3+32+33+ +32023的值为（　　）
A．32024﹣1 B． C． D．
【考点】解一元一次方程；有理数的混合运算；等式的性质．
【专题】计算题；实数；运算能力．
【答案】B
【分析】先设S＝1+3+32+33+ +32023，则3S＝3+32+33+ +32024，再求出3S﹣S的值，最后求出S的值．
【解答】解：设S＝1+3+32+33+ +32023，
∴3S＝3+32+33+ +32024，
∴3S﹣S＝3+32+33+ 32003+32024﹣（1+3+32+33+ +32023）
＝32024﹣1．
∴．
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的混合运算的应用，正确理解题干中的推理过程是解决本题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．明代数学家程大位的《算法统宗》中有云“我问开店李三公，多少客人在店中．一房七客多七客，一房九客一房空”，题意：每房住7人多7人，每房住9人空1房．求房间数与客人数．本题可设x间房，则列方程：　7x+7＝9（x﹣1）　 ．
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程；数学常识．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】7x+7＝9（x﹣1）．
【分析】根据题意一房七客多七客，一房九客一房空得出方程即可．
【解答】解：根据题意得：7x+7＝9（x﹣1），
故答案为：7x+7＝9（x﹣1）．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据题意，得出等量关系，列出方程是解决问题的关键．
12．如图，数轴上点A，B，C对应的数分别为x﹣2，x，5．
（1）把数轴沿着点B左右对折，点A落在数轴上的点D处，若点D是线段BC的中点，则x的值为　1　 ；
（2）在（1）的条件下，若点A，B，C同时在数轴上运动，点A以每秒1个单位长度的速度向右运动，点B以每秒2个单位长度的速度向左运动，点C以每秒1个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t秒，若A，B，C三点中其中一点是另外两点所连线段的中点，则t的值为　或10　 ．
【考点】一元一次方程的应用；数轴．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）1；
（2）或10．
【分析】（1）根据折叠的性质计算即可；
（2）运动t秒后：表示出ABC的位置，结合中点列方程求解即可．
【解答】解：（1）∵点D是线段BC的中点，B对应x，C对应5，
∴D点对应的数为，
把数轴沿着点B左右对折，点A落在点D处，说明B是线段AD的中点，即
x，
4x＝2（x﹣2）+x+5，
解得x＝1，
故答案为：1；
（2）由（1）得，初始时A、B、C对应的数分别为﹣1、1、5，
运动t秒后：
A的位置：﹣1+t，
B的位置：1﹣2t，
C的位置：5﹣t，
分三种情况讨论：
情况1：B是A、C的中点，
2（1﹣2t）＝（﹣1+t）+（5﹣t），
解得t（舍去，时间不能为负），
情况2：A是B、C的中点，
2（﹣1+t）＝（1﹣2t）+（5﹣t），
解得t，
情况3：C是A、B的中点，
2（5﹣t）＝（﹣1+t）+（1﹣2t），
解得t＝10，
所以t的值为或10．
故答案为：或10．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是分类讨论思想的运用．
13．已知关于x的一元一次方程的解是非负整数，则符合条件的所有整数a的和为：　31　 ．
【考点】一元一次方程的解；解一元一次方程；有理数的加法．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】31．
【分析】先根据等式的性质求出方程的解，根据方程的解为非整数得出m的值，进而得出答案．
【解答】解：解方程，得x，
∵方程的解是非负整数，
∴a﹣8＝1或a﹣8＝2或a﹣8＝4，
∴a的值为9或10或12，所以符合条件的所有整数a的和为：9+10+12＝31．
故答案为：31．
【点评】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，不等式组的整数解，解不等式和不等式组等知识点，能得出关于m的不等式组是解此题的关键．
14．代数式mx﹣n的值随x取值的变化而变化，如表是当x取不同值时对应的整式的值：
x ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0
mx﹣n 9 6 3 0 ﹣3 ﹣6
则关于x的方程﹣mx+n＝3的解为x＝　﹣1　 ．
【考点】一元一次方程的解；代数式求值．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣1．
【分析】根据等式的性质得到mx﹣n＝﹣3，再由表格中的数据即可得到答案．
【解答】解：∵﹣mx+n＝3，
∴mx﹣n＝﹣3，
由表格可知当x＝﹣1时，mx﹣n＝﹣3，
∴关于x的方程﹣mx+n＝3的解为x＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查了等式的性质，一元一次方程的解，解题关键是恰当地进行等式变形，根据表格求解．
15．如图，商品条形码是商品的“身份证”，共有13位数字．它是由前12位数字和校验码构成，其结构分别代表“国家代码、厂商代码、产品代码、和校验码”．
其中，校验码是用来校验商品条形码中前12位数字代码的正确性．它的编制是按照特定的算法得来的．其算法为：
步骤1：计算前12位数字中偶数位数字的和a，即a＝9+1+3+5+7+9＝34；
步骤2：计算前12位数字中奇数位数字的和b，即b＝6+0+2+4+6+8＝26；
步骤3：计算3a与b的和c，即c＝3×34+26＝128；
步骤4：取大于或等于c且为10的整数倍的最小数d，即d＝130；
步骤5：计算d与c的差就是校验码x，即x＝130﹣128＝2．
如图，若条形码中被污染的两个数字的和是7，则被污染的两个数字中右边的数字是 　3　 ．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】3．
【分析】设被污染的两个数字左边的数字为x，则右边的数字是7﹣x，然后根据题中的算法表示出a、b、c，即可得出d，再由校验码为9列出一元一次方程，解方程即可得出答案．
【解答】解：设被污染的两个数字左边的数字为x，则右边的数字是7﹣x，
由题意得：a＝9+9+2+7﹣x+3+5＝35﹣x，
b＝6+1+x+1+2+4＝14+x，
c＝3×（35﹣x）+14+x＝119﹣2x，
∵d为10的整数倍，且0≤x≤7，
∴d＝120或d＝110，
∵由图可得校验码为9，
∴当d＝120时，120﹣（119﹣2x）＝9，解得：x＝4，则右边的数为7﹣x＝3，
当d＝110时，110﹣（119﹣2x）＝9，解得：x＝9，不符合题意，舍去，
∴最右边的数为3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，正确列出一元一次方程是解此题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．列方程解下列问题：
某电商用22000元从厂家购进了A、B两种商品共500件，其中A商品每件进价80元，B商品每件进价20元．
（1）求购进A、B两种商品各多少件．
（2）该电商以每件30元的价格销售B商品，售出后开展促销活动，剩下的B商品在原来售价基础上降价售完．已知B商品共获利润1800元，求促销活动中，B商品降价了多少元．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）购进A商品200件，B商品300件；
（2）在促销活动中，B商品降价了6元．
【分析】（1）设A商品x件，则B商品（500﹣x）件，根据题意列方程求解即可；
（2）设B商品降价了y元，根据促销前的利润+促销后的利润＝1800元列方程求解即可．
【解答】解：（1）设A商品x件，则B商品（500﹣x）件，
80x+20（500﹣x）＝22000，
80x+10000﹣20x＝22000，
解得：x＝200，
答：A商品200件，B商品300件；
（2）设B商品降价了y元，
，
解得：y＝6，
答：在促销活动中，B商品降价了6元．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
17．列方程解决问题：
小维和小浩分别从甲、乙两地同时出发，小维骑自行车，小浩步行，沿同一条道路相向匀速而行，出发0.5小时后两人相遇．已知小维骑自行车比小浩步行每小时多行进10千米，甲、乙两地相距7.5千米．
（1）两人每小时分别行进多少千米？
（2）相遇后，两人保持原速度原方向继续前进，小维到达乙地后休息0.4小时，再沿原路以15千米/小时的速度返回甲地，求小维返回甲地时，小浩距离甲地的距离．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）小维每小时行进12.5千米，小浩每小时行进2.5千米；
（2）小维返回甲地时，小浩距离甲地的距离为3.75千米．
【分析】（1）设小维每小时行进x千米，则小浩每小时行进（x﹣10）千米，根据题意，列出方程求解即可；
（2）设小维返回甲地时，小浩距离甲地的距离为y千米，根据题意，列出方程求解即可．
【解答】解：（1）设小维每小时行进x千米，则小浩每小时行进（x﹣10）千米，
由题意得：0.5[x+（x﹣10）]＝7.5，
0.5（2x﹣10）＝7.5，
x﹣5＝7.5，
解得：x＝12.5，
∴小浩每小时行进12.5﹣10＝2.5千米，
答：小维每小时行进12.5千米，小浩每小时行进2.5千米；
（2）设小维返回甲地时，小浩距离甲地的距离为y千米，
由题意得：，
解得：y＝3.75，
答：小维返回甲地时，小浩距离甲地的距离为3.75千米．
【点评】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是理解题意，找到题中的等量关系，正确列出方程．
18．解方程：
（1）4x+4＝3（20﹣x）；
（2）．
【考点】解一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）x＝8；
（2）y＝3．
【分析】（1）先去括号，再移项，合并同类项，然后系数化为1即可；
（2）先去分母，再去括号，再移项，合并同类项，然后系数化为1即可．
【解答】解：（1）去括号得4x+4＝60﹣3x
移项，合并同类项得7x＝56
系数化为1得x＝8，
∴原方程的解为x＝8；
（2）．
去分母得5（y﹣1）＝20﹣2（y+2），
去括号得5y﹣5＝20﹣2y﹣4，
移项，合并同类项得7y＝21，
系数化为1得y＝3，
∴原方程的解为y＝3．
【点评】本题考查了解一元一次方程（二）——去括号，解一元一次方程（三）——去分母等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．
19．如图，数轴上有两个点A，B，点A所表示的数为a，点B所表示的数为b，且满足|a+10|+（15﹣b）2＝0．
（1）a＝　﹣10　 ；b＝　15　 ．
（2）若点C从点B出发，沿数轴以每秒2个单位的速度向左运动，点D从点A出发沿数轴向右运动，经过5秒后，原点O恰好是线段CD的中点，求点D的速度．
（3）我们规定：在数轴上，当两点都位于原点同侧且距离为2时，则称这两个点为“最美距离”．若P，Q是数轴上的两个动点，点P从原点出发沿着数轴以每秒5个单位的速度向点A运动，到达A点后掉头向B运动，到达B点后再掉头向A运动，如此在点A与点B之间往返运动，而点Q从原点出发沿着数轴以每秒1个单位的速度向点B运动，当Q到达B点后停止运动，P也随之停止．求经过多少秒，P，Q两点位于“最美距离”？
【考点】一元一次方程的应用；两点间的距离；数轴；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）﹣10；15；
（2）点D的速度为1单位/秒；
（3）经过秒、4.5 秒、8 秒、 秒时，P、Q两点位于“最美距离”．
【分析】（1）根据绝对值与平方数的非负性，若两个非负数的和为0，则这两个非负数分别为0，据此可求出a、b的值；
（2）先根据点C的运动速度和时间求出点C运动后的位置，再结合原点O是线段CD的中点，求出点D运动后的位置，最后根据点D的运动时间求出其速度；
（3）根据题目已知条件分阶段列方程求解．
【解答】解：（1）由|a+10|+（15﹣b）2＝0，
因为绝对值和平方均非负，
得a+10＝0，15﹣b＝0
解得a＝﹣10，b＝15；
故答案为：﹣10；15；
（2）设点D的速度为v单位/秒，
5秒后，点C的位置：15﹣2×5＝5，
5秒后，点D的位置：﹣10+5v，
原点O是CD的中点，
故5+（﹣10+5v）＝0，
解得v＝1，
所以，点D的速度为1单位/秒；
（3）Q的运动时间最长为15÷1＝15秒，
分阶段讨论：
阶段1：P向A运动（0≤t≤2），
P位置：﹣5t，
Q位置：t，
两点在原点同侧且距离为2，只有左侧满足：
|﹣5t﹣t|＝2，
解得t；
阶段2：P向B运动（2＜t≤7），
P位置：﹣10+5（t﹣2）＝5t﹣20，
Q位置：t，
分两种同侧情况：①左侧（5t﹣20＜0，t＜0）：无解；
②右侧（5t﹣20＞0，t＞0）：t﹣（5t﹣20）＝2，
t＝4.5秒；
阶段3：P再次向A运动（7＜t≤15），
P位置：15﹣5（t﹣7）＝50﹣5t，
Q位置：t，
两点均在右侧：|（50﹣5t）﹣t|＝2，
解得：t＝8秒或t秒，
故经过秒、4.5 秒、8 秒、 秒时，P、Q两点位于“最美距离”．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程．
20．如图，直线AB与CD交于点O，∠COB＝90°．
（1）如图1，若∠MON＝90°，∠AON＝5∠BOM，∠COM＝　75°　 ．
（2）如图2，若∠POB＝120°，射线OM从射线OB的位置开始，绕点O以逆时针每秒2°的速度向射线OC运动，射线ON从射线OC的位置开始，绕点O以逆时针每秒1°的速度向射线OA运动的过程中，设运动时间为t秒（0＜t＜45），求∠PON与∠COM之间的数量关系．
（3）如图3，射线OM从射线OC的位置开始，绕点O以顺时针每秒1.5°的速度运动，在运动的过程中，射线OM始终是∠BON的角平分线，同时射线OP从射线OD的位置开始，绕点O以逆时针每秒3°的速度运动，设射线OM、ON的运动时间均为t（0＜t＜60），在运动的过程中，当射线OM、ON、OP其中一条射线为另外两条射线组成角的角平分线时，直接写出时间t的所有的值．
【考点】一元一次方程的应用；角平分线的定义；角的计算．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）75°；
（2）∠COM＝2∠PON+30°；
（3）t的值为30或或48．
【分析】（1）根据∠AON＝5∠BOM以及∠AON和∠BOM的互余关系可得∠BOM的度数，进而根据∠COB＝90°可得∠COM的度数；
（2）分别用含t的代数式表示出∠PON与∠COM，即可求得∠PON与∠COM的关系；
（3）分情况探讨射线OM、ON、OP其中一条射线为另外两条射线组成角的角平分线，得到含t的相等关系，列出方程求解即可．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝180°，∠MON＝90°，
∴∠AON+∠BOM＝90°，∠NOC+∠MOC＝90°，
∵∠AON＝5∠BOM，
∴5∠BOM+∠BOM＝90°，
解得：∠BOM＝15°，
∵∠COB＝90°，
∴∠COM＝90°﹣15°＝75°，
故答案为：75°；
（2）由题意得：∠BOM＝2t°，∠CON＝t°，
∵∠BOC＝90°，
∴∠COM＝（90﹣2t）°，
∵∠POB＝120°，
∴∠POC＝30°，
∴∠PON＝（30﹣t）°，
∴∠COM＝2∠PON+30°；
（3）由题意得：∠DOP＝3t°，∠COM＝1.5t°，OM在∠BOC内旋转，
①OM平分∠PON，
∵射线OM始终是∠BON的角平分线，
∴OP与OB重合，
∴3t＝90，
解得：t＝30；
②OP平分∠MON，
∴∠POM＝∠MON∠BOM，
∴3t﹣90﹣（90﹣1.5t）（90﹣1.5t），
5.25t＝225，
t；
③ON平分∠MOP，
∴∠BOP＝3∠MOB，
3t﹣90＝3（90﹣1.5t），
7.5t＝360，
t＝48．
综上：t的值为30或或48．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用．数形结合得到射线OM、ON、OP其中一条射线为另外两条射线组成角的角平分线的图形是解决本题的难点；根据图形得到能解决问题的相等关系是解决本题的关键．

展开更多......

收起↑