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九年级数学（三）
温馨提示：
1.数学试卷 4页，八大题，共 23 小题，满分 150 分，考试时间 120 分钟，请合理分配时间
2.请你仔细核对每页试卷下方页码和题数，核实无误后再答题。
3.请将答案写在答题卷上，在试卷上答题无效。
4.请你仔细思考，认真答题，不要过于紧张，祝考试顺利！
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，满分 40 分）
1．-5的绝对值为（ ）
A 1． 1 B．﹣5 C． D．5
5 5
2．2025年全省经济顶压前行、向新向优，社会大局保持和谐稳定，美好安徽建设迈出新
的坚实步伐，其中全年全部工业增加值约 1.5万亿元，用科学计数法将数据 1.5万亿表示
为（ ）
A.1.5 1010 B.1.5 1011 C.1.5 1012 D.1.5 1013
3．2025年 9月 3日，东风﹣5C液体洲际战略核导弹亮相纪念中国人民抗日战争暨世界反
法西斯战争胜利 80周年阅兵式．如图为东风﹣5C洲际导弹的部分图片及其示意图，下列
说法正确的是（ ）
A．主视图与俯视图相同 B．主视图与左视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都不相同
4．下列运算正确的是（ ）
A．a2 a3＝a6 B．（﹣2a2）3＝﹣6a6 C．a4÷a＝a3 D．2a+3a＝5a2
3 2 1 正面＜
5．不等式组 +4 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
3 ≤ 2
A． B． C． D．
6．已知关于 x的一元二次方程 x2﹣4x+k＝0 有两个实数根 x1，x2，且满足 x1+x2＝3x1x2，
则 k的值为（ ）
A 3 B 3 C 4． ． ． D． 4
4 4 3 3
7．我国计划在 2026年发射嫦娥七号探测器，开展月球南极的科学探测．某校航天社团为
筹备航天主题科普展，准备从“玉兔一号月球车”“嫦娥五号返回舱”“嫦娥六号钻取器”“嫦娥
七号飞跃器”这四个航天科普模型中随机选取两个布置展区，则恰好选中“玉兔一号月球车”
和“嫦娥七号飞跃器”的概率为（ ）
A. 1 B. 1 C. 1 D. 1
12 6 4 3

8．如图，在菱形 ABCD中，∠B＝120°，E是 AB的中点，则 的值为（ ）

7 7
A． B．
7 5
21 5 7
C． D．
14 14
9．已知实数 a、b、c满足 4a﹣2b+c＜0，a+b+c=0，则（ ）
A．b2≤4ac且 a＜b B．b2≥4ac且 a＞b
C．b2≤4ac且 a＞b D．b2≥4ac且 a＜b
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10．如图 1，有一张矩形纸片 ABCD，已知 AB＝10，AD＝12，现将纸片进行如下操作：
先将纸片沿折痕 BF进行折叠，使点 A落在 BC边上的点 E处，点 F在 AD上（如图 2）；
然后将纸片沿折痕 DH进行第二次折叠，使点 C落在第一次的折痕 BF上的点 G处，点
H在 BC上（如图 3），则下列结论错误的是（ ）
3
A. AF的长为 10 B. = C. △BGH的周长为 12 + 4 2 D. GH的长为 5
4
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 第 13题图
11．比较大小： 34 ___ 6
12．一闹钟的时针长8cm，当它从当天上午10点转到下午3点，针尖走过的路径长为 cm.
(结果保留 )
13．如图，在平面直角坐标系中， OABC的顶点 C在 x轴正半轴上，O为坐标原点，顶

点 A在反比例函数 y= （k为常数，且 k≠0，x＜0）的图象上，AB边交 y轴于点 D，
且 BD＝2AD，若 OABC的面积为 12，则 k的值为 ．
14．已知二次函数：y＝ax2﹣4ax+3a．
(1)若该二次函数的图象开口向上，当 1≤x≤4时，y的最大值是 9，则 a的值为 ；
(2)若对于该抛物线上的两点 M（x1，y1），N（x2，y2），当 t-3≤x1≤t，x2≥4时，均满足 y1≥y2，
则 t的取值范围是 ．
三、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）
15．先化简，再求值： ( 3x x ) 2x ，其中 x 2024
x 1 x 1 x2 1
16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点坐标分别为
A（3，4），B（0，6），C（1，3）．
(1)将△ABC向左平移 4个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
(2)将△A1B1C1绕点 A1逆时针旋转 90°得到△A1B2C2，画出△A1B2C2；
(3)△A1B2C2可由△ABC通过旋转得到，请直接写出旋转中心的坐标 ．
四、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分）
17．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y＝mx+n（m≠0，m、n

为常数）的图象与反比例函数 y= （k≠0）的图象交于第二、四
象限内的 A、B两点，与 y轴交于点 C，过点 A作 AM⊥x轴，垂
足为 M，AM＝3，OM＝1，点 B的纵坐标为﹣1．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)连接 OA、OB，求△AOB的面积．
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18．如图，将若干个小正方体按如图所示的规律摆成“L ”立体图形．
(1)图形 1中小正方体个数记作a1 5，
图形 2中小正方体个数记作 a2 7，...
图形5中的小正方体有 a5 ______个；
图形 n（ n是正整数）中的小正方体有 an _____ 个(用 n．含． 的．代．数．式．表．示．，．结．果．需．化．简．．)；
(2)结合上述规律，试判断是否存在正整数 n，使得 an 1 an 1等于 an 的 3倍？若存在，求
n的值；若不存在，说明理由．
五、（本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分）
19．如图，某高楼 BC顶部有一发射塔 AB，已知和 BC处于同一水平面上有一高楼 DE，
其高度为 130米，在楼 DE底端 D点测得 A的仰角为 71.57°，在高楼 DE的顶端 E点
测得 B的仰角为 37°，B，E之间的距离为 80 米，A、B、C在同一直线上，且 AC⊥
CD，ED⊥CD．
(1)求高楼 BC的高度；
(2)求发射塔 AB的高度．
（结果精确到 1m，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，
tan37°≈0.75，sin71.57°≈0.95，cos71.57°≈0.32，tan71.57°≈3.00）
20．如图，AB是⊙O直径，弦 CD⊥AB于点 E，过点 C作 DB的垂线，交 AB的延长线于
点 G，垂足为点 F，连接 AC．
(1)求证：AC＝CG；
(2)若 OG＝9，CD＝8 3，求⊙O的半径．
六、（本题满分 12 分）
21． 2026春晚机器人不再是“伴舞工具”，而是能打、能演、能服务、能共情的“赛博
演员”，覆盖武术、小品、歌舞、微电影，动作与交互全面升级．某科技公司生产了 A，
B两种聊天机器人，现对其对话流畅度进行测试．公司从报名参与测试的志愿者中选取 20
人，分成两个小组，每个小组 10人，分别对机器人进行 30分钟的对话流畅度测试，并对
测试得分（10分为满分，8分或 8分以上为优秀）整理、描述、分析如下：
①A，B两种聊天机器人对话流畅度综合得分 ②A，B两种聊天机器人对话流畅度综合得
的折线统计图如下： 分的统计表如下：
A机器人 B机器人
平均数 a 6.9
众数 b 8
方差 c 1.69
优秀率 50% d
第 3页（共 4页）
注:方．差．公．式．：
2 = 1 [( 1 )2 + ( 22 ) + + ( )2]
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的 a＝ ，c＝ ， d＝ ．
（2）表格中 b的值不可能为 ． A. 4 B. 8 C. 9 D. 10
（3）经过对 A，B两种聊天机器人的对话流畅度的测试，技术人员从方差分析出 B种机
器人对话流畅度更为稳定，现科技公司准备对 B 种机器人加大生产计划，现计划生产 A
种机器人 100台，B种机器人 200台，请根据测试结果估计两种机器人共有多少台表现优
秀？
七、（本题满分 12 分）
22．如图 1，在△ABC中，点 D为 BC的中点，DE∥AB交线段 AC于点 E，点 F在边 AB
上，作 FG∥AC交线段 DE于点 G，连接 CG，EB，EF．
（1）如图 2，当点 D与点 G重合时，求证：DF=CE；
（2）如图 1，当点 D与点 G不重合时．
（ⅰ）求证：∠AFE＝∠EGC；
（ⅱ）如图 3，若 CG的延长线经过 BE的中点 M，直接写出 DE．．．． 的值．BF
图 1 图 2 图 3
八、（本题满分 14 分）
23．根据以下素材，探索完成任务．
如何设计击球线路的方案
素材 1 数学兴趣小组运用数学知识对羽毛球比赛进行技术分析，小组先对击
球线路进行探索．如图，在平面直角坐标系中，点 A，C在 x轴上，
球网 AB与 y轴的水平距离 OA＝3m，CA＝2m，击球点 P在 y轴上．
素材 2 若选择扣球，羽毛球的飞行高度 y(m)与水平距离 x(m)近似满足一次函
数关系 C1：y＝﹣0.4x+a，且当羽毛球的水平距离为 1m时（即距 y轴
的距离为 1m），飞行高度为 2.4m．
素材 3 若选择吊球，羽毛球的飞行高度 y(m)与水平距离 x(m)近似满足二次函
数关系 C2：y＝﹣0.4(x﹣b)2+3.2．
问题解决
任务 1 确定关键数据：求 a和 b的值．
任务 2 分析击球方式：兴趣小组探索发现，若选择扣球的方式，球刚好能经过点 B正上方 0.05m处，
求球网 AB的高度．并通过计算判断如果选择吊球的方式能否使球过网．
任务 3 拟定击球方案：根据以上分析，若击球点高度下降 0.4m，则在吊球路线形状保持不变的情况下，
通过计算说明：他应该向正前方移动多少米吊球，才能让羽毛球刚好落在点 C正上方 0.3m处？
第 4页（共 4页）九年级数学（三）答案
一、选择题（每题 4 分，共 40 分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D C A C A D B A D B
二、填空题（每题 5 分，共 20 分）
20
11. ＜ 12. 13. 4 14.(1)3 (2)3 t 4
3
三、解答题（共 9 题，总分 90 分）
15（8分） x 2 ，2026
16.(8分)解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A1B2C2即为所求．
（3）旋转中心的坐标为（1，2）．
17.(8分)(1)把 A（﹣1，3）代入反比例函数 2 =

，可得 3 =

1，解得：k＝﹣3，
3
∴反比例函数的解析式为 = ；一次函数的解析式为 y＝﹣x+2；
(2)令 x＝0，则 y1＝2，即 C（0，2），∴OC＝2，
∴ △ = + =
1
△ △ 2 × 2 × 1 +
1
2 × 2 × 3 = 1 + 3 = 4；
18. (8分)(1) 13 ， (2n 3)
(2) 不存在，理由如下 an 1 an 1 2(n 1) 3 2(n 1) 3 4n 6
3an 3(2n 3) 6n 9， ∴ 4n 6 6n 9, n
3
解得
2
∵n取正整数，故不存在
19. (10分)解：（1）过点 E作 EF⊥AC，垂足为 F，
由题意得：DE＝CF＝130米，BE＝80米，
在 Rt△BEF中，∠BEF＝37°，
∴BF＝BE sin37°≈80×0.60＝48（米），
∴BC＝BF+CF＝130+48＝178（米），
∴高楼 BC的高度约为 178米；
（2）在 Rt△BEF中，∠BEF＝37°，BE＝80米，
∴EF＝BE cos37°≈80×0.80＝64（米），
由题意得：EF＝CD＝64米，
在 Rt△ACD中，∠ADC＝71.57°，
∴AC＝CD tan71.57°≈64×3＝192（米），
∵BC＝178米，
∴AB＝AC﹣BC＝192﹣178＝14（米），
∴发射塔 AB的高度约为 14米．
20.(10分)（1）证明：∵DF⊥CG，CD⊥AB，
∴∠DEB＝∠BFG＝90°，
∵∠DBE＝∠GBF，
微信公共号：初高试卷资料库
∴∠D＝∠G，
∵∠A＝∠D，
∴∠A＝∠G，
∴AC＝CG．
(2)设⊙O的半径为 r．则 AG＝OA+OG＝r+9，
∵CA＝CG，CD⊥AB，
∴AE＝EG= +92 ，EC＝ED＝4 3，
∴OE AE 9 ＝ ﹣OA= 2 ，
在 Rt△OEC中，∵OC2＝OE2+EC2，
2 9 ∴r ＝（ ）2+ (4 3)2 ，
2
解得 r=-13(舍)，r=7
∴⊙O的半径为 7．
21.(12分)（1）a 7, c 6.2, d 5 40％ （2）B（3）100 200 4 130人
10 10
22.（12分）（1）先根据 DE∥AB，FG∥AC得，平行四边形 DCEF，从而 DF=CE
（方法不唯一）
(2) DE∥AB，FG∥AC得平行四边形 AFGE∴ AFE FEG ,又∵D 为中点，DE∥AB，
∴E为 AC中点，故 FG∥EC且 FG=EC,∴四边形 FGCE为平行四边形,故 FEG EGC .
∴ AFE EGC
3
(3)
4
23.（14分）任务 1： a 2.8, b 1
任务 2： 令 y＝﹣0.4x+2.8中 x＝3，则 y＝﹣0.4×3+2.8＝1.6，1.6-0.05=1.55
∴球网 AB的高度为 1.55m，
选择吊球，二次函数 y＝﹣0.4（3﹣1）2+3.2＝1.6＞1.55
∴选择吊球的方式也刚好能使球过网；
任务 3：∵吊球路线的形状保持不变，击球高度下降 0.4m，则最大高度下降 0.4
设向前移动 t米，则二次函数解析式为 y＝﹣0.4（x﹣1﹣t）2++3.2﹣0.4＝﹣0.4（x﹣1﹣t）
2++2.8，
∵OA＝3m，CA＝2m，
∴OC＝5m，
∵羽毛球刚好落在点 C正上方 0.3m处，
∴抛物线经过点（5，0.4），
代入得：﹣0.4（5﹣1﹣t）2++2.8＝0.3，
解得：t＝1.5或 6.25，
当 t＝6.25＞OA时，此时击球点在球网右侧，不合题意，舍去，
∴他应该向正前方移动 1.5米吊球，才能让羽毛球刚好落在点 C正上方 0.4m处．

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