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2026年中考数学二轮复习：图形的平移
一．选择题（共10小题）
1．如图所示，平面直角坐标系中，x轴负半轴上有一点A（﹣1，0），点A第1次向上平移1个单位至点A1（﹣1，1），接着又向右平移1个单位至点A2（0，1），然后再向上平移1个单位至点A3（0，2），向右平移1个单位至点A4（1，2），…，照此规律平移下去，点A平移至点A2021时，点A2021的坐标是（　　）
A．（1008，1010） B．（1009，1010）
C．（1009，1011） D．（1008，1011）
2．要用一根铁丝弯成如图所示的铁框，则这根铁丝至少长（　　）米？
A．2.5m B．5m C．4m D．无法确定
3．如图，面积为12cm2的△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，平移的距离是边BC长的2倍，则图中四边形ACED的面积为（　　）
A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．无法确定
4．如图，△ABC沿着BC方向平移得到△A′B′C′，点P是直线AA′上任意一点，若△ABC，△PB′C′的面积分别为S1，S2，则下列关系正确的是（　　）
A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．S1＝2S2
5．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，AI平分∠BAC，CI平分∠ACB，将∠BAC平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为（　　）
A．5 B．8 C．10 D．7
6．下列运动属于平移的是（　　）
A．冷水加热过程中小气泡上升成为大气泡
B．急刹车时汽车在地面上的滑动
C．投篮时的篮球运动
D．随风飘动的树叶在空中的运动
7．如图，将周长为12cm的△ABC沿边BC向右平移3cm得到△A′B′C′，则四边形ABC′A′的周长为（　　）
A．17cm B．18cm C．19cm D．20cm
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（1，0）．点P第1次向上跳动1个单位至点P1（1，1），紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2（﹣1，1），第3次向上跳动1个单位至点P3，第4次向右跳动3个单位至点P4，第5次又向上跳动1个单位至点P5，第6次向左跳动4个单位至点P6，…照此规律，点P第2020次跳动至点P2020的坐标是（　　）
A．（﹣506，1010） B．（﹣505，1010）
C．（506，1010） D．（505，1010）
9．如图，在平面直角坐标系中，正三角形OAB的顶点B的坐标为（0，2），点A在第一象限内，将△OAB沿直线OA的方向平移至△O′A′B′的位置，此时点A′的横坐标为3，则点B′的坐标为（　　）
A．（2，4） B．（2，3） C．（3，4） D．（3，3）
10．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2）、B（﹣1，0）、C（﹣1，3），将
△ABC向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到△A1B1C1，点A、B、C的
对应点分别为A1、B1、C1，则点A1的坐标为（　　）
A．（3，﹣3） B．（1，﹣1） C．（3，0） D．（2，﹣1）
二．填空题（共5小题）
11．如图，点A、B分别在x轴和y轴上，OA＝1，OB＝2，若将线段AB平移至A'B'，则a+b的值为 　 　 ．
12．如图，点A、B的坐标分别为（1，2）、（4，0），将△AOB沿x轴向右平移，得到△CDE，已知DB＝1，则点C的坐标为　 　 ．
13．如图：直角△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，则内部五个小直角三角形的周长为　 　 ．
14．已知一副直角三角板如图放置，其中BC＝3，EF＝4，把30°的三角板向右平移，使顶点B落在45°的三角板的斜边DF上，则两个三角板重叠部分（阴影部分）的面积为　 　 ．
15．两个全等的梯形纸片如图（1）摆放，将梯形纸片ABCD沿上底AD方向向右平移得到图（2）．已知AD＝4，BC＝8，若阴影部分的面积是四边形A′B′CD的面积的，则图（2）中平移距离A′A＝　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．如图，直线AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点G、H，∠EHD＝α（0°＜α＜90°）．小安将一个含30°角的直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线AB、CD上，且在点G、H的右侧，∠P＝90°，∠PMN＝60°．
（1）填空：∠PNB+∠PMD　 　 ∠P（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）若∠MNG的平分线NO交直线CD于点O，如图②．
①当NO∥EF，PM∥EF时，求α的度数；
②小安将三角板PMN保持PM∥EF并向左平移，在平移的过程中求∠MON的度数（用含α的式子表示）．
17．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0）．
（Ⅰ）如图①，则三角形ABC的面积为 　 　 ；
（Ⅱ）如图②，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．
①求三角形ACD的面积；
②点P（m，3）是一动点，若三角形PAO的面积等于三角形CAO的面积．请直接写出点P坐标．
18．在平面直角坐标系内，已知点A（3，0）、B（﹣5，3），将点A向左平移6个单位到达C点，将点B向下平移6个单位到达D点．
（1）写出C点、D点的坐标：C　 　 ，D　 　 ；
（2）把这些点按A﹣B﹣C﹣D﹣A顺次连接起来，这个图形的面积是　 　 ．
19．如图1所示，已知BC∥OA，∠B＝∠A＝120°
（1）说明OB∥AC成立的理由．
（2）如图2所示，若点E，F在BC上，且∠FOC＝∠AOC，OE平分∠BOF，求∠EOC的度数．
（3）在（2）的条件下，若左右平移AC，如图3所示，那么∠OCB：∠OFB的比值是否随之发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个比值．
（4）在（3）的条件下，当∠OEB＝∠OCA时，求∠OCA的度数．
20．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD．
（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC；
（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使S△PAB＝S四边形ABDC？若存在这样一点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；
（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）给出下列结论：
①的值不变，②的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．如图所示，平面直角坐标系中，x轴负半轴上有一点A（﹣1，0），点A第1次向上平移1个单位至点A1（﹣1，1），接着又向右平移1个单位至点A2（0，1），然后再向上平移1个单位至点A3（0，2），向右平移1个单位至点A4（1，2），…，照此规律平移下去，点A平移至点A2021时，点A2021的坐标是（　　）
A．（1008，1010） B．（1009，1010）
C．（1009，1011） D．（1008，1011）
【考点】坐标与图形变化﹣平移；规律型：点的坐标．
【专题】规律型；数感；推理能力．
【答案】C
【分析】探究规律，利用规律解决问题即可．
【解答】解：由题意，A1（﹣1，1），A3（0，2），A5（1，3），A7（2，4）， ，A2n﹣1（﹣2+n，n），
∴A2021（1009，1011），
故选：C．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
2．要用一根铁丝弯成如图所示的铁框，则这根铁丝至少长（　　）米？
A．2.5m B．5m C．4m D．无法确定
【考点】生活中的平移现象．
【答案】B
【分析】根据平移不改变图形的形状和大小，求出弯曲部分的长即可．
【解答】解：这根铁丝至少长：（1.5+1）×2＝5m，
故选：B．
【点评】本题考查的是图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．
3．如图，面积为12cm2的△ABC沿BC方向平移到△DEF的位置，平移的距离是边BC长的2倍，则图中四边形ACED的面积为（　　）
A．24cm2 B．36cm2 C．48cm2 D．无法确定
【考点】平移的性质；三角形的面积．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】B
【分析】根据平移的基本性质，及三角形的面积公式可知．
【解答】解：根据题意，△ABC沿着BC方向平移到△DEF的位置，
∴AB∥DE，AB＝DE，
∴四边形ABED为平行四边形，
又平移距离是边BC长的两倍，即BE＝2BC＝2CE，
连接AE，
∴S△ABC＝S△ACE，即S△ABE＝2S△ABC，
又S△ABE＝S△ADE，又S△ABC＝12cm2，
∴S四边形ACED＝3S△ABC＝36cm2．
故选：B．
【点评】本题结合图形的平移考查三角形面积的有关知识．平移的基本性质是：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．本题关键是利用了对应线段平行且相等的性质．
4．如图，△ABC沿着BC方向平移得到△A′B′C′，点P是直线AA′上任意一点，若△ABC，△PB′C′的面积分别为S1，S2，则下列关系正确的是（　　）
A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．S1＝2S2
【考点】平移的性质；平行线之间的距离．
【答案】C
【分析】根据平行线间的距离相等可知△ABC，△PB′C′的高相等，再由同底等高的三角形面积相等即可得到答案．
【解答】解：
∵△ABC沿着BC方向平移得到△A′B′C′，
∴AA′∥BC′，
∵点P是直线AA′上任意一点，
∴△ABC，△PB′C′的高相等，
∴S1＝S2，
故选：C．
【点评】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
5．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，AI平分∠BAC，CI平分∠ACB，将∠BAC平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为（　　）
A．5 B．8 C．10 D．7
【考点】平移的性质．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】D
【分析】连接BI、由点I为△ABC的内心，得出BI平分∠ABC，则∠ABI＝∠CBI，由平移得AB∥DI，则∠ABI＝∠BID，推出∠CBI＝∠BID，得出BD＝DI，同理可得CE＝EI，△DIE的周长＝DE+DI+EI＝DE+BD+CE＝BC＝5，即可得出结果．
【解答】解：连接BI、如图所示：
∵点I为△ABC的内心，
∴BI平分∠ABC，
∴∠ABI＝∠CBI，
由平移得：AB∥DI，
∴∠ABI＝∠BID，
∴∠CBI＝∠BID，
∴BD＝DI，
同理可得：CE＝EI，
∴△DIE的周长＝DE+DI+EI＝DE+BD+CE＝BC＝7，
即图中阴影部分的周长为7，
故选：D．
【点评】本题考查了三角形内心的定义、平移的性质及角平分线的定义等知识，熟练掌握三角形的内心是角平分线的交点是解题的关键．
6．下列运动属于平移的是（　　）
A．冷水加热过程中小气泡上升成为大气泡
B．急刹车时汽车在地面上的滑动
C．投篮时的篮球运动
D．随风飘动的树叶在空中的运动
【考点】生活中的平移现象．
【专题】应用题．
【答案】B
【分析】根据平移的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【解答】解：A、冷水加热过程中小气泡上升成为大气泡，有大小变化，不符合平移定义，故错误；
B、急刹车时汽车在地面上的滑动是平移，故正确；
C、投篮时的篮球不沿直线运动，故错误；
D、随风飘动的树叶在空中不沿直线运动，故错误．
故选：B．
【点评】把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移．注意平移是图形整体沿某一直线方向移动．
7．如图，将周长为12cm的△ABC沿边BC向右平移3cm得到△A′B′C′，则四边形ABC′A′的周长为（　　）
A．17cm B．18cm C．19cm D．20cm
【考点】平移的性质．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】B
【分析】根据平移的定义求得AA'和BC'的长，则四边形的周长即可求解．
【解答】解：由题意知，BB'＝CC'＝AA'＝3cm，
则四边形ABC'A'的周长＝12+3+3＝18cm．
故选：B．
【点评】本题考查了平移的定义，理解平移的定义求得AA'和BC'的长是关键．
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P（1，0）．点P第1次向上跳动1个单位至点P1（1，1），紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2（﹣1，1），第3次向上跳动1个单位至点P3，第4次向右跳动3个单位至点P4，第5次又向上跳动1个单位至点P5，第6次向左跳动4个单位至点P6，…照此规律，点P第2020次跳动至点P2020的坐标是（　　）
A．（﹣506，1010） B．（﹣505，1010）
C．（506，1010） D．（505，1010）
【考点】坐标与图形变化﹣平移；规律型：点的坐标．
【专题】规律型；平面直角坐标系；平移、旋转与对称；应用意识．
【答案】C
【分析】设第n次跳动至点Pn，根据部分点An坐标的变化找出变化规律“P4n（n+1，2n），P4n+1（n+1，2n+1），P4n+2（﹣n﹣1，2n+1），P4n+3（﹣n﹣1，2n+2）”，依此规律结合2020＝505×4即可得出点P2020的坐标．
【解答】解：设第n次跳动至点Pn，
观察发现：P（1，0），P1（1，1），P2（﹣1，1），P3（﹣1，2），P4（2，2），P5（2，3），P6（﹣2，3），P7（﹣2，4），P8（3，4），P9（3，5），…，
∴P4n（n+1，2n），P4n+1（n+1，2n+1），P4n+2（﹣n﹣1，2n+1），P4n+3（﹣n﹣1，2n+2）（n为自然数）．
∵2020＝505×4，
∴P2020（505+1，505×2），即（506，1010）．
故选：C．
【点评】本题考查了规律型中点的坐标，根据部分点Pn坐标的变化找出变化规律“P4n（﹣n﹣1，2n），P4n+1（﹣n﹣1，2n+1），P4n+2（n+1，2n+1），P4n+3（n+1，2n+2）（n为自然数）”是解题的关键．
9．如图，在平面直角坐标系中，正三角形OAB的顶点B的坐标为（0，2），点A在第一象限内，将△OAB沿直线OA的方向平移至△O′A′B′的位置，此时点A′的横坐标为3，则点B′的坐标为（　　）
A．（2，4） B．（2，3） C．（3，4） D．（3，3）
【考点】坐标与图形变化﹣平移；等边三角形的性质．
【专题】平移、旋转与对称．
【答案】A
【分析】先求得A（，1），A'（3，3），即可得到点A向右平移2个单位，向上平移2个单位可得点A'，再根据B的坐标为（0，2），即可得出点B′的坐标为（2，4）．
【解答】解：如图，过A作AD⊥x轴，过A'作A'C⊥x轴，
∵△AOB是等边三角形，点B的坐标为（0，2），
∴AO＝BO＝2，∠AOB＝60°，
∴∠AOD＝30°，
∴ADAO＝1，OD，
即A（，1），
又∵OC＝3，
∴A'C＝tan30°×OC＝3，
∴A'（3，3），
∴CD＝2，A'C﹣AD＝3﹣1＝2，
∴点A向右平移2个单位，向上平移2个单位可得点A'，
又∵B的坐标为（0，2），
∴点B′的坐标为（2，4），
故选：A．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质以及坐标与图形变化﹣平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
10．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，2）、B（﹣1，0）、C（﹣1，3），将
△ABC向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到△A1B1C1，点A、B、C的
对应点分别为A1、B1、C1，则点A1的坐标为（　　）
A．（3，﹣3） B．（1，﹣1） C．（3，0） D．（2，﹣1）
【考点】坐标与图形变化﹣平移．
【答案】B
【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．
【解答】解：将△ABC向右平移4个单位，再向下平移3个单位，得到△A1B1C1，点A、B、C的对应点分别为A1、B1、C1，
∵A（﹣3，2）
∴点A1的坐标为（﹣3+4，2﹣3），即（1，﹣1）．
故选：B．
【点评】本题考查了坐标系中点、图形的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
二．填空题（共5小题）
11．如图，点A、B分别在x轴和y轴上，OA＝1，OB＝2，若将线段AB平移至A'B'，则a+b的值为 　2　 ．
【考点】坐标与图形变化﹣平移；代数式求值．
【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称；应用意识．
【答案】2．
【分析】由作图可知，线段AB向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到线段A′B′，求出A′，B′的坐标可得结论．
【解答】解：由作图可知，线段AB向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到线段A′B′，
∵A（﹣1，0），B（0，2），
∴A′（2，﹣1），B′（3，1），
∴a＝﹣1，b＝3，
∴a+b＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，代数式求值，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
12．如图，点A、B的坐标分别为（1，2）、（4，0），将△AOB沿x轴向右平移，得到△CDE，已知DB＝1，则点C的坐标为　（4，2）　 ．
【考点】坐标与图形变化﹣平移．
【答案】（4，2）
【分析】利用DB＝1，B（4，0），得出△AOB沿x轴向右平移了3个单位长度，再利用平移中点的变化规律求解即可．
【解答】解：∵点A、B的坐标分别为（1，2）、（4，0），将△AOB沿x轴向右平移，得到△CDE，DB＝1，
∴OD＝3，
∴△AOB沿x轴向右平移了3个单位长度，
∴点C的坐标为：（4，2）．
故答案为：（4，2）．
【点评】此题主要考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
13．如图：直角△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，则内部五个小直角三角形的周长为　30　 ．
【考点】平移的性质．
【答案】30
【分析】由图形可知，内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，故内部五个小直角三角形的周长为大直角三角形的周长．
【解答】解：由图形可以看出：内部小三角形直角边是大三角形直角边平移得到的，
故内部五个小直角三角形的周长为AC+BC+AB＝30．
故答案为：30．
【点评】主要考查了平移的性质，需要注意的是：平移前后图形的大小、形状都不改变．
14．已知一副直角三角板如图放置，其中BC＝3，EF＝4，把30°的三角板向右平移，使顶点B落在45°的三角板的斜边DF上，则两个三角板重叠部分（阴影部分）的面积为　3　 ．
【考点】平移的性质．
【答案】3
【分析】根据特殊角的锐角三角函数值，求出EC、EG、AE的长，得到阴影部分的面积．
【解答】解：∵∠F＝45°，BC＝3，
∴CF＝3，又EF＝4，
则EC＝1，
∵BC＝3，∠A＝30°，
∴AC＝3，
则AE＝31，∠A＝30°，
∴EG＝3，
阴影部分的面积为：33（31）×（3）
＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查的是平移的性质，正确运用锐角三角函数和特殊角的三角函数值是解题的关键．
15．两个全等的梯形纸片如图（1）摆放，将梯形纸片ABCD沿上底AD方向向右平移得到图（2）．已知AD＝4，BC＝8，若阴影部分的面积是四边形A′B′CD的面积的，则图（2）中平移距离A′A＝　3　 ．
【考点】平移的性质；梯形．
【专题】计算题；压轴题．
【答案】3
【分析】由两梯形全等，得到上底及下底对应相等，设梯形A′B′C′D′的高为h，A′A＝x，则B′B＝x，由上底及下底的长分别表示出AD′和BC′，根据平移的性质得到图（2）除去阴影部分左边把右边四边形的面积相等，根据阴影部分的面积等于图（2）总面积的，得到阴影部分的面积等于梯形A′B′C′D′面积的一半，由梯形的面积公式分别表示出阴影部分的面积等于梯形A′B′C′D′的面积，把各自表示出的边代入，消去h求出x的值，即为平移距离A′A的长．
【解答】解：∵梯形ABCD与梯形A′B′C′D′全等，
∴AD＝A′D′＝4，BC＝B′C′＝8，
设梯形A′B′C′D′的高为h，A′A＝x，则B′B＝x，
∴AD′＝A′D′﹣A′A＝4﹣x，BC′＝B′C′﹣B′B＝8﹣x，
由平移的性质可知：S四边形A′ABB′＝S四边形D′DCC′，
又∵S阴影S四边形A′B′CD，
∴S阴影S四边形ABCD，
∴h（AD′+BC′）h（A′D′+B′C′），
即h（4﹣x+8﹣x）h（4+8），
化简得：6﹣x＝3，
解得：x＝3，
∴A′A＝3．
故答案为：3
【点评】此题考查了平移的性质，以及梯形的面积公式，平移的性质有：对应点的连线平行（或同一直线上）且相等，对应线段平行（或同一直线上）且相等．其中根据平移的性质及题意得出是解本题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．如图，直线AB∥CD，直线EF与AB、CD分别交于点G、H，∠EHD＝α（0°＜α＜90°）．小安将一个含30°角的直角三角板PMN按如图①放置，使点N、M分别在直线AB、CD上，且在点G、H的右侧，∠P＝90°，∠PMN＝60°．
（1）填空：∠PNB+∠PMD　＝　 ∠P（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）若∠MNG的平分线NO交直线CD于点O，如图②．
①当NO∥EF，PM∥EF时，求α的度数；
②小安将三角板PMN保持PM∥EF并向左平移，在平移的过程中求∠MON的度数（用含α的式子表示）．
【考点】平移的性质；平行公理及推论；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）＝；
（2）①60°；
②30°α或60°α．
【分析】（1）过P点作PQ∥AB，根据平行线的性质可得∠PNB＝∠NPQ，∠PMD＝∠QPM，进而可求解；
（2）①由平行线的性质可得∠ONM＝∠PMN＝60°，结合角平分线的定义可得∠ANO＝∠ONM＝60°，再利用平行线的性质可求解；
②利用平行线的性质及角平分线的定义计算可求解．
【解答】解：（1）过P点作PQ∥AB，
∴∠PNB＝∠NPQ，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD，
∴∠PMD＝∠QPM，
∴∠PNB+∠PMD＝∠NPQ+∠QPM＝∠MPN，
故答案为：＝
（2）①∵NO∥EF，PM∥EF，
∴NO∥PM，
∴∠ONM＝∠NMP，
∵∠PMN＝60°，
∴∠ONM＝∠PMN＝60°，
∵NO平分∠MNO，
∴∠ANO＝∠ONM＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠NOM＝∠ANO＝60°，
∴α＝∠NOM＝60°；
②点N在G的右侧时，如图②，
∵PM∥EF，∠EHD＝α，
∴∠PMD＝α，
∴∠NMD＝60°+α，
∵AB∥CD，
∴∠ANM＝∠NMD＝60°+α，
∵NO平分∠ANM，
∴∠ANO∠ANM＝30°α，
∵AB∥CD，
∴∠MON＝∠ANO＝30°α，
点N在G的左侧时，如图，
∵PM∥EF，∠EHD＝α，
∴∠PMD＝α，
∴∠NMD＝60°+α，
∵AB∥CD，
∴∠BNM+∠NMO＝180°，∠BNO＝∠MON，
∵NO平分∠MNG，
∴∠BNO[180°﹣（60°+α）]＝60°α，
∴∠MON＝60°α，
综上所述，∠MON的度数为30°α或60°α．
综上所述，∠MON的度数为30°α或60°α．
【点评】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，分类讨论是解题的关键．
17．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0）．
（Ⅰ）如图①，则三角形ABC的面积为 　6　 ；
（Ⅱ）如图②，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．
①求三角形ACD的面积；
②点P（m，3）是一动点，若三角形PAO的面积等于三角形CAO的面积．请直接写出点P坐标．
【考点】坐标与图形变化﹣平移；三角形的面积．
【专题】平面直角坐标系；应用意识．
【答案】（Ⅰ）6．
（Ⅱ）①9．
②P（﹣4，3）或（4，3）．
【分析】（Ⅰ）利用三角形的面积公式直接求解即可．
（Ⅱ）①连接OD，根据S△ACD＝S△AOD+S△COD﹣S△AOC求解即可．
②构建方程求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0），
∴OA＝2，OB＝2，OC＝4，
∴S△ABC BC AO6×2＝6．
故答案为6．
（Ⅱ）①如图②中由题意D（5，4），连接OD．
S△ACD＝S△AOD+S△COD﹣S△AOC
2×54×42×4＝9．
②由题意：2×|m|2×4，
解得m＝±4，
∴P（﹣4，3）或（4，3）．
【点评】本题考查坐标与图形的变化，三角形的面积，平移变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．在平面直角坐标系内，已知点A（3，0）、B（﹣5，3），将点A向左平移6个单位到达C点，将点B向下平移6个单位到达D点．
（1）写出C点、D点的坐标：C　（﹣3，0）　 ，D　（﹣5，﹣3）　 ；
（2）把这些点按A﹣B﹣C﹣D﹣A顺次连接起来，这个图形的面积是　18　 ．
【考点】坐标与图形变化﹣平移．
【专题】计算题；作图题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据平移的性质，结合A、B坐标，点A向左平移6个单位到达C点，横坐标减6，坐标不变；将点B向下平移6个单位到达D点，横坐标不变，纵坐标减6，即可得出；
（2）根据各点坐标画出图形，然后，计算可得．
【解答】解：（1）∵点A向左平移6个单位到达C点，将点B向下平移6个单位到达D点，
∴得C（﹣3，0），D（﹣5，﹣3）；
（2）如图，
S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD，
3×63×6，
＝18．
故答案为（﹣3，0），（﹣5，﹣3）；18．
【点评】本题考查了坐标的变化﹣平移，在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．
19．如图1所示，已知BC∥OA，∠B＝∠A＝120°
（1）说明OB∥AC成立的理由．
（2）如图2所示，若点E，F在BC上，且∠FOC＝∠AOC，OE平分∠BOF，求∠EOC的度数．
（3）在（2）的条件下，若左右平移AC，如图3所示，那么∠OCB：∠OFB的比值是否随之发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个比值．
（4）在（3）的条件下，当∠OEB＝∠OCA时，求∠OCA的度数．
【考点】平移的性质；平行线的判定与性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由BC∥OA得∠B+∠O＝180°，所以∠O＝180°﹣∠B＝60°，则∠A+∠O＝180°，根据平行线的判定即可得到OB∥AC；
（2）由OE平分∠BOF得到∠BOE＝∠FOE，加上∠FOC＝∠AOC，所以∠EOF+∠COF∠AOB＝30°；
（3）由BC∥OA得到OCB＝∠AOC，∠OFB＝∠AOF，加上∠FOC＝∠AOC，则∠AOF＝2∠AOC，所以∠OFB＝2∠OCB；
（4）设∠AOC的度数为x，则∠OFB＝2x，根据平行线的性质得∠OEB＝∠AOE，则∠OEB＝∠EOC+∠AOC＝30°+x，再根据三角形内角和定理得∠OCA＝180°﹣∠AOC﹣∠A＝60°﹣x，利用∠OEB＝∠OCA得到30°+x＝60°﹣x，解得x＝15°，所以∠OCA＝60°﹣x＝45°．
【解答】解：（1）∵BC∥OA，
∴∠B+∠O＝180°，
∴∠O＝180°﹣∠B＝60°，
而∠A＝120°，
∴∠A+∠O＝180°，
∴OB∥AC；
（2）∵OE平分∠BOF，
∴∠BOE＝∠FOE，
而∠FOC＝∠AOC，
∴∠EOF+∠COF∠AOB60°＝30°，
即∠EOC＝30°；
（3）比值不改变．
∵BC∥OA，
∴∠OCB＝∠AOC，∠OFB＝∠AOF，
∵∠FOC＝∠AOC，
∴∠AOF＝2∠AOC，
∴∠OFB＝2∠OCB，
即∠OCB：∠OFB的值为1：2；
（4）设∠AOC的度数为x，则∠OFB＝2x，
∵∠OEB＝∠AOE，
∴∠OEB＝∠EOC+∠AOC＝30°+x，
而∠OCA＝180°﹣∠AOC﹣∠A＝180°﹣x﹣120°＝60°﹣x，
∵∠OEB＝∠OCA，
∴30°+x＝60°﹣x，
解得x＝15°，
∴∠OCA＝60°﹣x＝60°﹣15°＝45°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质：同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．
20．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD．
（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC；
（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使S△PAB＝S四边形ABDC？若存在这样一点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；
（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）给出下列结论：
①的值不变，②的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值．
【考点】坐标与图形变化﹣平移；坐标与图形性质；平行线的性质；三角形的面积．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据平移规律，直接得出点C，D的坐标，根据：四边形ABDC的面积＝AB×OC求解；
（2）存在．设点P到AB的距离为h，则S△PABAB×h，根据S△PAB＝S四边形ABDC，列方程求h的值，确定P点坐标；
（3）结论①正确，过P点作PE∥AB交OC与E点，根据平行线的性质得∠DCP+∠BOP＝∠CPE+∠OPE＝∠CPO，故比值为1．
【解答】解：（1）依题意，得C（0，2），D（4，2），
∴S四边形ABDC＝AB×OC＝4×2＝8；
（2）存在．
设点P到AB的距离为h，
S△PABAB×h＝2h，
由S△PAB＝S四边形ABDC，得2h＝8，解得h＝4，
∴P（0，4）或（0，﹣4）；
（3）结论①正确，
过P点作PE∥AB交OC与E点，
∵AB∥PE∥CD，
∴∠DCP+∠BOP＝∠CPE+∠OPE＝∠CPO，
∴1．
【点评】本题考查了坐标与图形平移的关系，坐标与平行四边形性质的关系，平行线的性质及三角形、平行四边形的面积公式．关键是理解平移规律，作平行线将相关角进行转化．

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