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2026年中考数学二轮复习：图形的相似
一．选择题（共10小题）
1．已知线段a＝4，b＝9，则a，b的比例中项线段等于（　　）
A．﹣6 B．6 C．18 D．36
2．已知△ABC∽△DEF，相似比为2：3，若△ABC的周长为6，则△DEF的周长为（　　）
A．6 B．8 C．9 D．12
3．河南非遗叶雕，以刀为笔，以叶为纸，让自然与匠心碰撞出千年中原的别样风华．实际上，很多叶片都蕴含着黄金分割的比例．如图，点P大致是AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AP的长为6cm，则AB的长约为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，平行四边形ABCD中，点E是边BC上的一点，AE交对角线BD于F点，如果BE：BC＝2：3，那么下列各式中错误的是（　　）
A． B． C． D．
5．A4纸是我们常用的打印纸，把A4纸沿长边中点对折，形成两个相同的小长方形，我们发现折叠得到的小长方形与折叠前的大长方形相似，则大长方形与小长方形的相似比为（　　）
A．2：1 B．3：2 C． D．
6．如图，一支打开的圆珠笔AB的长约为20cm，若笔帽边沿上的点P恰是这支笔的一个黄金分割点（BP＞AP）．则笔尖到笔帽边沿的距离BP的长是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，在正方形ABCD中，点F是对角线BD上任意一点，将AF绕点A顺时针旋转90°得到AG，过点G作GE⊥AG交BC于点E，连接FE，BG，当点E恰好为BC中点时，则的值为（　　）
A． B． C． D．
8．明朝不仅驱除胡虏，收复了痛失430年的燕云十六州，而且让北方重新恢复了汉文化，现存的铁佛寺二十四诸天彩塑造像正是建成于明朝嘉靖年间．人物面部表情丰富，被游戏《黑神话 悟空》引用，动漫《西行记》也涉及相关神话人物名称．古人在设计造像时，使造像的腰部以下与全身高度比值接近黄金分割比，可以增加视觉美感，若造像全身高度3m，则腰部以下约为（　　）
A．1.854m B．1.584m C．1.416m D．1.236m
9．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C，直线DF分别交于l1、l2、l3点D、E、F，若AB＝3，AC＝9，DE＝2，则DF的长度是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．9
10．如图所示，在小孔成像问题中，若点O到AB的距离是21cm，O到CD的距离是7cm，则物体AB的长是像CD长的（　　）
A．2倍 B．3倍 C．倍 D．倍
二．填空题（共5小题）
11．如图，点E，F分别在矩形ABCD的边AB，CD上，且EF⊥AC于点G．若AD＝2，AB＝4，则AF+CE的最小值为　 　 ．
12．在△ABC中，∠ABC＝150°，将△ABC沿AB折叠得到△ABD，延长CB交AD于点E，若，则的值为 　 　 ．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，∠DBC＝45°，则tan∠ABC的值为　 　 ．
14．武义唐风温泉、永康香樟公园、磐安百丈潭近似地在一条直线上，香樟公园大致位于唐风温泉和百丈潭的黄金分割点上，并且距离唐风温泉更近．已知唐风温泉到百丈潭的直线距离为54千米，则香樟公园到百丈潭的直线距离为　 　 千米（结果保留根号）．
15．如图，在△ABC中，D是BC上一点，连接AD，AD＝AC，过C作CE⊥AB于点E，交AD于点F，且∠DAC＝2∠ACE，若AE＝1，BD＝3，则AD的长为　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．已知线段a＝3cm，b＝12cm．
（1）若线段a，b，c，d满足，c＝2cm，求线段d的长度；
（2）若线段k是线段a，b的比例中项，求线段k的长度．
17．如图，在△ABC中，CA＝CB＝2，∠A＝30°，点D在边AB上（不与点A，点B重合），点E在线段AB的延长线（射线BM）上，AD＝2BE，DF∥AC，与BC交于点G，EF∥BC．
（1）若DB＝3BE，求AD的长；
（2）求证：CG＝2FG．
（3）求证：当四边形BEFG的面积最大时，点B恰为DE的中点．
18．图1～图3均为5×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均为格点．
（1）观察：如图1，　 　 ；
（2）探究：如图2，仅用无刻度的直尺在AC上找一点M，连接BM，DM，使得△ABM∽△CDM；
小海说：作点B关于AC的对称点B′，连接B′D与AC交于点M．请判断小海的方案是否可行，并说明理由；
（3）应用：如图3，在BC上找一点F（仅借助无刻度的直尺作图），使BF＝2．
19．相似的图形结构往往可借鉴相似的解法路径．某小组在进行“探秘正方形内的45°角”数学主题探究活动时发现：连接正方形的两条对角线即能产生许多45°角，以正方形的任一顶点为顶点在正方形内部构造一个45°角时，可以得到许多结论．
【探究活动】
如图1，在正方形ABCD中，连接对角线AC、BD，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别与BD相交于点M、N．
（1）求证：△DAN∽△CAE．
（2）若BE＝1，试求BN﹣ND的值．
【拓展延伸】
探究活动后，小组队员继续在正六边形中构造探索：
（3）如图2，在边长为2的正六边形ABCDEF中，连接对角线CF，过点A构造∠GAI＝60°，当点G落在边CD上时，点I落在EF上，AI交CF于点H．当G为CD的三等分点时，CH﹣HF的值为　 　 ．
20．在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．
（1）如图1，若BC＝2BA，求tan∠AFB的度数；
（2）如图2，当AB＝5，且AF FD＝10时，求BC的长；
（3）如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当时，求的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．已知线段a＝4，b＝9，则a，b的比例中项线段等于（　　）
A．﹣6 B．6 C．18 D．36
【考点】比例线段．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】B
【分析】比例中项线段c满足c2＝a b，且线段长度为正值．
【解答】解：由条件可知c2＝a b＝4×9＝36，
∴c6，
故选：B．
【点评】本题考查了成比例线段．熟练掌握该知识点是关键．
2．已知△ABC∽△DEF，相似比为2：3，若△ABC的周长为6，则△DEF的周长为（　　）
A．6 B．8 C．9 D．12
【考点】相似三角形的性质．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】C
【分析】利用相似三角形的周长比等于相似比解决问题．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为2：3，
∴△ABC的周长：△DEF的周长＝2：3，
∵△ABC的周长＝6，
∴△DEF的周长＝9．
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质．
3．河南非遗叶雕，以刀为笔，以叶为纸，让自然与匠心碰撞出千年中原的别样风华．实际上，很多叶片都蕴含着黄金分割的比例．如图，点P大致是AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AP的长为6cm，则AB的长约为（　　）
A． B． C． D．
【考点】黄金分割．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】A
【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：∵点P大致是AB的黄金分割点（AP＞PB），AP＝6cm，
∴，
∴AB＝（33）（cm），
故选：A．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
4．如图，平行四边形ABCD中，点E是边BC上的一点，AE交对角线BD于F点，如果BE：BC＝2：3，那么下列各式中错误的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【专题】三角形；多边形与平行四边形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】根据题意设BE＝2k，则BC＝3k，求出CE＝k，即可判断A选项；根据平行四边形的性质，证明△BEF∽△DAF，列出比例式即可判断B选项；根据题意设BE＝2k，则BC＝3k，求出CE＝k，即可判断C选项；根据题意证明△BEF∽△DAF，列出比例式即可判断D选项．
【解答】解：∵BE：BC＝2：3，
∴设BE＝2k，则BC＝3k，
∴EC＝BC﹣BE＝k，
∴，
故A选项正确，不符合题意；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝CB，
∵BE：BC＝2：3，
∴，
∵AD∥BC，
∴△BEF∽△DAF，
∴，
∴，
故B选项错误，符合题意；
∵BE：BC＝2：3，
∴设BE＝2k，则BC＝3k，
∴EC＝BC﹣BE＝k，
∵AD＝BC＝3k，
∴，
故C选项正确，不符合题意；
∵BE：BC＝2：3，AD＝BC，
∴，
∵BC∥AD，
∴△BEF∽△DAF，
∴，
故D选项正确，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质是解题的关键．
5．A4纸是我们常用的打印纸，把A4纸沿长边中点对折，形成两个相同的小长方形，我们发现折叠得到的小长方形与折叠前的大长方形相似，则大长方形与小长方形的相似比为（　　）
A．2：1 B．3：2 C． D．
【考点】相似多边形的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】C
【分析】设大长方形的长为a，宽为b，则小长方形的长为b，宽为，根据矩形ABCD∽矩形BFEA列出比例式，求出a：b的值即可．
【解答】解：设大长方形的长为a，宽为b，如图，
则AB＝CD＝b，AD＝BC＝a，，BF＝AE，
∵矩形ABCD∽矩形BFEA，
∴，
∴，
∴a：b：1，
故选：C．
【点评】本题主要考查相似多边形的性质，熟知相似多边形的对应边成比例是解题的关键．
6．如图，一支打开的圆珠笔AB的长约为20cm，若笔帽边沿上的点P恰是这支笔的一个黄金分割点（BP＞AP）．则笔尖到笔帽边沿的距离BP的长是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】黄金分割．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】A
【分析】利用黄金分割点定义进行求解即可．
【解答】解：∵BP＞AP，AB＝20cm，
根据黄金分割点可得：
，
∴BP的长是，
故选：A．
【点评】本题主要考查了黄金分割点，解题的关键是掌握黄金分割点的定义．
7．如图，在正方形ABCD中，点F是对角线BD上任意一点，将AF绕点A顺时针旋转90°得到AG，过点G作GE⊥AG交BC于点E，连接FE，BG，当点E恰好为BC中点时，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质；旋转的性质．
【专题】图形的全等；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】B
【分析】先证明△ABG≌△ADF（SAS），可得∠ADF＝∠ABG＝45°，再证明A、G、B、E四点共圆可得∠GAE＝∠AEG＝45°，进而证明四边形AGEF为正方形，所以AF＝EF，连接FC，则FC＝AF，EF＝CF，作FH⊥BC于点H，H为EC中点，设HC＝a，则BC＝4a，DF＝BG，从而可得答案．
【解答】解：∵AF绕点A顺时针旋转90°得到AG，四边形ABCD是正方形，
∴AF＝AG，∠DAB＝∠FAG，
∴∠GAB＝∠FAD，
在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠ADF＝∠ABG＝45°，
∵∠ABE＝∠AGE＝90°，
∴A、G、B、E四点共圆，
∴∠AEG＝∠ABG＝45°，
∴∠GAE＝∠AEG＝45°，
∴AG＝EG＝AF，
又∵AF∥GE，∠FAG＝90°，
∴四边形AGEF为正方形，
则有AF＝EF，
如图所示，连接FC，则FC＝AF，
∴EF＝CF，
作FH⊥BC于点H，由三线合一知H为EC中点，
设HC＝a，则BC＝4a，
DFBG，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质和判定，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，熟练掌握这些内容是解题关键．
8．明朝不仅驱除胡虏，收复了痛失430年的燕云十六州，而且让北方重新恢复了汉文化，现存的铁佛寺二十四诸天彩塑造像正是建成于明朝嘉靖年间．人物面部表情丰富，被游戏《黑神话 悟空》引用，动漫《西行记》也涉及相关神话人物名称．古人在设计造像时，使造像的腰部以下与全身高度比值接近黄金分割比，可以增加视觉美感，若造像全身高度3m，则腰部以下约为（　　）
A．1.854m B．1.584m C．1.416m D．1.236m
【考点】黄金分割．
【专题】运算能力．
【答案】A
【分析】根据黄金分割的定义进行计算即可．
【解答】解：令造像腰部以下的长度为xm，
因为造像的腰部以下与全身高度比值接近黄金分割比，且造像全身高度3m
所以，
则x≈1.854，
即造像腰部以下的长度为1.854m．
故选：A．
【点评】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．
9．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1、l2、l3于点A、B、C，直线DF分别交于l1、l2、l3点D、E、F，若AB＝3，AC＝9，DE＝2，则DF的长度是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．9
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】B
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．
【解答】解：∵直线l1∥l2∥l3，
∴，
∴，
∴DF＝6．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟知平行线分线段成比例是解题的关键．
10．如图所示，在小孔成像问题中，若点O到AB的距离是21cm，O到CD的距离是7cm，则物体AB的长是像CD长的（　　）
A．2倍 B．3倍 C．倍 D．倍
【考点】相似三角形的应用．
【专题】图形的相似；应用意识．
【答案】B
【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：由题意知，△ABO∽△DCO，
∴3，
∴物体AB的长是像CD长的3倍，
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
11．如图，点E，F分别在矩形ABCD的边AB，CD上，且EF⊥AC于点G．若AD＝2，AB＝4，则AF+CE的最小值为　5　 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；轴对称﹣最短路线问题．
【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力．
【答案】5．
【分析】作FH⊥AB于点H，先求得EH的长为1，延长CD到点M，使DM＝DF，连接AM，作ER∥AM，交CD于点R，证明CR＝3，则点R为定点，且AF+CE＝RE+CE，作点R关于直线AB的对称点P，连接PR交AB于点N，连接PE、PC，PC交AB于点Q，则AF+CE＝RE+CE＝PE+CE，当点E与点Q重合时，PE+CE的值最小，此时AF+CE＝PC，AF+CE的值最小，根据勾股定理求出PC的长即可．
【解答】解：如图，作FH⊥AB于点H，则∠AHF＝∠EHF＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠HAD＝∠ADF＝90°，
∴四边形AHFD是矩形，
∴AH＝DF，HF＝AD＝2，
∵EF⊥AC于点G，
∴∠FGC＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠HEF＝∠GFC＝90°﹣∠ACD＝∠DAC，
∵∠EHF＝∠ADC＝90°，
∴△EHF∽△ADC，
∴，
∵DC＝AB＝4，
∴EH1，
延长CD到点M，使DM＝DF，连接AM，作ER∥AM，交CD于点R，
∵RM∥AE，
∴四边形AERM是平行四边形，
∴RM＝AE，RE＝AM，
∴RD＝RM﹣DM＝RM﹣DF＝AE﹣AH＝EH＝1，
∴CR＝4﹣1＝3，
∴点R为定点，
∵AD⊥FM，DM＝DF，
∴AM＝AF，
∴RE＝AM＝AF，
∴AF+CE＝RE+CE，
作点R关于直线AB的对称点P，连接PR交AB于点N，连接PE、PC，PC交AB于点Q，
∵AB垂直平分PR，
∴RE＝PE，
∴AF+CE＝RE+CE＝PE+CE≥PC，
∴当点E与点Q重合时，PE+CE＝PC，
∴AF+CE＝PC，此时AF+CE的值最小，
∵∠BCR＝∠B＝∠BNR＝90°，
∴四边形BCRN是矩形，
∴PN＝RN＝BC＝AD＝2，∠PRC＝90°，
∴PR＝PN+RN＝4，
∴PC5，
∴AF+CE的最小值是5，
故答案为：5．
【点评】此题考查矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、平移和轴对称的性质、最短路线问题的求解等知识与方法，根据平移和轴对称的性质正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
12．在△ABC中，∠ABC＝150°，将△ABC沿AB折叠得到△ABD，延长CB交AD于点E，若，则的值为 　　 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】．
【分析】连接CD，延长AB交CD于H点，过A点作AF∥CD交CE的延长线于F点，如图，设BC＝3a，先利用折叠的性质得到AD＝AC，BC＝BD，∠ABD＝∠ABC＝150°，则AH垂直平分CD，再证明△BCD为等边三角形得到CD＝BC＝3a，所以CHa，BHa，接着利用比例性质得到，然后证明△AEF∽△DEC，利用相似比得到AFCD＝a，再证明∠BAF＝90°，∠ABF＝30°，所以ABa，最后在Rt△ACH中利用勾股定理计算出ACa，从而可计算出的值．
【解答】解：连接CD，延长AB交CD于H点，过A点作AF∥CD交CE的延长线于F点，如图，设BC＝3a，
∵△ABC沿AB折叠得到△ABD，
∴AD＝AC，BC＝BD，∠ABD＝∠ABC＝150°，
∴AH垂直平分CD，
∵∠CBD＝360°﹣150°﹣150°＝60°，
∴△BCD为等边三角形，
∴CD＝BC＝3a，
∴CH＝DHCDa，
∴BHCHa，
∵，AC＝AD，
∴，
∴，
∵AF∥CD，
∴△AEF∽△DEC，
∴，
∴AFCD＝a，
∵AF∥CD，AH⊥CD，
∴AH⊥AF，
∴∠BAF＝90°，
∵∠ABF＝180°﹣∠ABC＝30°，
∴ABAFa，
∴AH＝AB+BHaaa，
在Rt△ACH中，ACa，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键．也考查了等边三角形的判定与性质、勾股定理和折叠的性质．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，∠DBC＝45°，则tan∠ABC的值为　3　 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；等腰三角形的性质．
【专题】图形的相似．
【答案】3．
【分析】过点A作BC的垂线，交BC于点E，过点D作BC的垂线，交BC于点F，设BC＝4a，证明△CDF∽△CAE得到，结合等腰三角形的性质求得AE＝6a，然后利用正切定义求解即可．
【解答】解：如图，过点A作BC的垂线，交BC于点E，过点D作BC的垂线，交BC于点F，设BC＝4a．
∵AE⊥BC，AB＝AC．
∴，
∵D是AC的中点，
∴，
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF．
∴△CDF∽△CAE．
∴．
∴AE＝2DF，，
∴CF＝EF＝a，
∴BF＝3a．
∵DF⊥BC，∠DBC＝45°，
∴∠BDF＝∠DBC＝45°
∴BF＝DF＝3a．
∴AE＝6a，
∴．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查锐角三角函数、相似三角形的判定及性质，等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的性质是解答的关键．
14．武义唐风温泉、永康香樟公园、磐安百丈潭近似地在一条直线上，香樟公园大致位于唐风温泉和百丈潭的黄金分割点上，并且距离唐风温泉更近．已知唐风温泉到百丈潭的直线距离为54千米，则香樟公园到百丈潭的直线距离为　（2727）　 千米（结果保留根号）．
【考点】黄金分割．
【专题】图形的相似；运算能力．
【答案】（2727）．
【分析】根据黄金分割的定义列式计算即可．
【解答】解：∵香樟公园大致位于唐风温泉和百丈潭的黄金分割点上，并且距离唐风温泉更近，唐风温泉到百丈潭的直线距离为54千米，
∴香樟公园到百丈潭的直线距离为54＝（2727）（千米），
故答案为：（2727）．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
15．如图，在△ABC中，D是BC上一点，连接AD，AD＝AC，过C作CE⊥AB于点E，交AD于点F，且∠DAC＝2∠ACE，若AE＝1，BD＝3，则AD的长为　　 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】．
【分析】设∠DAC＝2x，∠ACE＝x，则∠ADC＝∠ACD＝90°﹣x，导角可证明∠BAC＝∠BCA得到BA＝BC；在BE上取一点T，连接CT使得CT＝CA，过点T作TH⊥BC于H，则AT＝2AE＝2，∠ACT＝2∠ACE＝2x＝∠CAD，证明△ACT≌△CAT（SAS），得到AT＝CD＝2，则AB＝CD＝BD+CD＝5，BE＝AB﹣AE＝4，BT＝AB﹣AT＝3，求出，利用等面积法得到3CE＝5TH，则，，，，证明△AEF∽△CHT，得到，则，
【解答】解：由条件可设∠DAC＝2x，∠ACE＝x，
∵AD＝AC，
∴，
∴∠BCE＝∠ACD﹣∠ACE＝90°﹣2x，
由条件可知∠BEC＝∠AEC＝90°，
∴∠B＝90°﹣（90°﹣2x）＝2x，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝90°﹣x，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴BA＝BC；
如图所示，在BE上取一点T，连接CT使得CT＝CA，过点T作TH⊥BC于H，
∴AT＝2AE＝2，∠ACT＝2∠ACE＝2x＝∠CAD，
又∵CA＝DA＝TC，
∴△ACT≌△CAT（SAS），
∴AT＝CD＝2，
∴AB＝CD＝BD+CD＝5，
∴BE＝4，BT＝3，
∴，
∵，
∴3CE＝5TH，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵∠BAD＝90°﹣3x，∠BCT＝90°﹣3x，
∴∠EAF＝∠HCT，
又∵∠AEF＝∠CHT＝90°，
∴△AEF∽△CHT，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
16．已知线段a＝3cm，b＝12cm．
（1）若线段a，b，c，d满足，c＝2cm，求线段d的长度；
（2）若线段k是线段a，b的比例中项，求线段k的长度．
【考点】比例线段．
【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】（1）8cm；
（2）6cm．
【分析】（1）根据a、b、c、d是成比例线段，得a：b＝c：d，再根据比例的基本性质，求出d的值即可；
（2）根据线段比例中项的概念得出a：k＝k：b，再根据a＝3cm，b＝12cm，求出k的值，注意把负值舍去．
【解答】解：（1）∵a、b、c、d是成比例线段，
∴a：b＝c：d，
∵a＝3cm，b＝12cm，c＝2cm，
∴d＝8cm；
（2）∵线段k是线段a和b的比例中项，a＝3cm，b＝12cm，
∴k2＝ab＝36，
解得：k＝±6，
又∵线段是正数，
∴k＝6cm．
【点评】本题考查了比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质进行求解．
17．如图，在△ABC中，CA＝CB＝2，∠A＝30°，点D在边AB上（不与点A，点B重合），点E在线段AB的延长线（射线BM）上，AD＝2BE，DF∥AC，与BC交于点G，EF∥BC．
（1）若DB＝3BE，求AD的长；
（2）求证：CG＝2FG．
（3）求证：当四边形BEFG的面积最大时，点B恰为DE的中点．
【考点】相似形综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】（1）．
（2）证明：由题意，得BE sin30°＝FG sin60°，AD sin30°＝CG sin60°，
因为AD＝2BE，
所以CG＝2FG．
（3）证明：设BE＝x，则AD＝2x．
由题意，得△ABC∽△DEF∽△DBG，相似比为，
因为△ABC的面积为，
所以△DEF的面积为，△DBG的面积为，
所以四边形BEFG的面积为．
当时，四边形BEFG的面积最大，
此时，
∴点B恰为DE的中点．
【分析】（1）易得，再求出AB即可；
（2）易得BE sin30°＝FG sin60°，AD sin30°＝CG sin60°，即可得证；
（3）由题意，得△ABC∽△DEF∽△DBG，相似比为，进而表示出四边形BEFG的面积，利用二次函数最值求解即可．
【解答】（1）解：因为DB＝3BE，AD＝2BE，
所以．
由题意，得，
所以．
（2）证明：由题意，得BE sin30°＝FG sin60°，AD sin30°＝CG sin60°，
因为AD＝2BE，
所以CG＝2FG．
（3）证明：设BE＝x，则AD＝2x．
由题意，得△ABC∽△DEF∽△DBG，相似比为，
因为△ABC的面积为，
所以△DEF的面积为，△DBG的面积为，
所以四边形BEFG的面积为．
∵对称轴为直线x，且a＜0，
∴当时，四边形BEFG的面积最大，
此时，
∴点B恰为DE的中点．
【点评】本题主要考查了解直角三角形、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
18．图1～图3均为5×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均为格点．
（1）观察：如图1，　　 ；
（2）探究：如图2，仅用无刻度的直尺在AC上找一点M，连接BM，DM，使得△ABM∽△CDM；
小海说：作点B关于AC的对称点B′，连接B′D与AC交于点M．请判断小海的方案是否可行，并说明理由；
（3）应用：如图3，在BC上找一点F（仅借助无刻度的直尺作图），使BF＝2．
【考点】相似形综合题．
【专题】作图题；推理能力．
【答案】（1）；
（2）如图2中，点M即为所求．
小海的方案可行．
理由：∵点B与B′关于AC对称，
∴MB＝MB'，
∴∠B＝∠B'∠B'，
∵BB′∥CD，
∴∠B'＝∠D，
∴∠B＝∠D，
又∵∠BAM＝∠DCM＝90°，
∴△ABM∽△CDM；
（3）如图3中，点F即为所求．
【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理求解；
（2）根据要求作出图形，利用轴对称变换的性质解决问题即可；
（3）取格点P，Q，连接PQ交BC于点F，点F即为所求．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，AB＝1，CD＝2，
∴△ABE∽△DCE，
∴．
故答案为：；
（2）如图2中，点M即为所求．
小海的方案可行．
理由：∵点B与B′关于AC对称，
∴MB＝MB'，
∴∠B＝∠B'∠B'，
∵BB′∥CD，
∴∠B'＝∠D，
∴∠B＝∠D，
又∵∠BAM＝∠DCM＝90°，
∴△ABM∽△CDM；
（3）如图3中，点F即为所求．方法：取格点P，Q，连接PQ交BC于点F，点F即为所求．
理由：∵PB∥CQ，PB＝2，CQ＝3，
∴△PBF∽△QCF，
∴，
∵BC5，
∴BF＝2．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．
19．相似的图形结构往往可借鉴相似的解法路径．某小组在进行“探秘正方形内的45°角”数学主题探究活动时发现：连接正方形的两条对角线即能产生许多45°角，以正方形的任一顶点为顶点在正方形内部构造一个45°角时，可以得到许多结论．
【探究活动】
如图1，在正方形ABCD中，连接对角线AC、BD，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别与BD相交于点M、N．
（1）求证：△DAN∽△CAE．
（2）若BE＝1，试求BN﹣ND的值．
【拓展延伸】
探究活动后，小组队员继续在正六边形中构造探索：
（3）如图2，在边长为2的正六边形ABCDEF中，连接对角线CF，过点A构造∠GAI＝60°，当点G落在边CD上时，点I落在EF上，AI交CF于点H．当G为CD的三等分点时，CH﹣HF的值为　或　 ．
【考点】相似形综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，AC、BD是角平分线，
∴∠ADB＝∠ACB＝∠DAC＝45°，
又∵∠EAF＝45°，
∴∠DAC＝∠EAF，
∴∠DAC﹣∠FAC＝∠EAF﹣∠FAC，
即∠DAN＝∠EAC，
∴△DAN∽△CAE；
（2）；
（3）或．
【分析】（1）根据正方形的性质得到∠ADB＝∠ACB＝∠DAC＝45°，求得∠DAC＝∠EAF，得到∠DAC﹣∠FAC＝∠EAF﹣∠FAC，根据相似三角形的判定定理得到结论；
（2）根据BN﹣ND＝（BD﹣DN）﹣DN＝BD﹣2ND，在（1）的条件下，，求得，于是得到结论；
（3）连结AD，在正六边形ABCDEF中，∠ADG＝∠AFH＝∠FAD＝60°，得到∠GAD＝∠FAD，求得∠GAD＝∠HAF，根据相似三角形的性质得到，由G为CD的三等分点，得到或，求得或
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AC、BD是角平分线，
∴∠ADB＝∠ACB＝∠DAC＝45°，
又∵∠EAF＝45°，
∴∠DAC＝∠EAF，
∴∠DAC﹣∠FAC＝∠EAF﹣∠FAC，
即∠DAN＝∠EAC，
∴△DAN∽△CAE；
（2）解：∵BN﹣ND＝（BD﹣DN）﹣DN＝BD﹣2ND，
在（1）的条件下，，
∴，
∴BN﹣ND＝BD﹣2NDBCEC（BC﹣EC）BE；
（3）解：连结AD，
在正六边形ABCDEF中，∠ADG＝∠AFH＝∠FAD＝60°，
又∵∠GAI＝60°，
∴∠GAD＝∠FAD，
∴∠GAD﹣∠LAD＝∠FAD﹣∠LAD，
即∠GAD＝∠HAF，
∴△FAH∽△DAG，
∴，
∵G为CD的三等分点，
∴或，
∴或．
故答案为：或．
【点评】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，正多边形的性质，正方形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
20．在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．
（1）如图1，若BC＝2BA，求tan∠AFB的度数；
（2）如图2，当AB＝5，且AF FD＝10时，求BC的长；
（3）如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当时，求的值．
【考点】相似形综合题．
【专题】几何综合题．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）根据矩形的性质和直角三角形的性质，可得到∠AFB＝30°，即可求解；
（2）由三等角证得△FAB∽△EDF，从而得DE＝2，EF＝CE＝3，再由勾股定理求出DE，则；
（3）过点N作NG⊥BF于点G，可证得△NFG∽△BFA．再根据相似三角形的性质得出对应边成比例及角平分线的性质即可得解．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
由折叠的性质可知BF＝BC＝2AB，
∴，
∴∠AFB＝30°，
∴；
（2）由题意可得∠A＝∠D＝90°，
∴∠AFB+∠DFE＝90°，∠FED+∠DFE＝90°，
∴∠AFB＝∠DEF，
∴△FAB∽△EDF，
∴，
∴，
∴EF＝CE＝3，
由勾股定理得，
∴，
∴；
（3）过点N作NG⊥BF于点G，
∴∠NGF＝∠A＝90°，
又∵∠BFA＝∠NFG，
∴△NFG∽△BFA，
∴，
由折叠的性质得：BF＝BC＝AD，
∵，
∴，
∴，
又∵BM平分∠ABF，NG⊥BF，∠A＝90°，
∴NG＝AN，
∴，
在Rt△ABN和Rt△GBN中，
∵BN＝BN，AN＝GN，
∴Rt△ABN≌Rt△GBN（HL），
∴AB＝BG，
∴，
整理得：．
【点评】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，角平分线的性质，三角形相似的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，三角形相似的性质和勾股定理是解题的关键．
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