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2026年中考数学二轮复习：分式方程
一．选择题（共10小题）
1．若关于x的方程2的解为正数，则m的取值范围是（　　）
A．m＜6 B．m＞6 C．m＜6且m≠0 D．m＞6且m≠8
2．若数a使关于x的不等式组有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程3的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1
3．解分式方程3时，去分母后变形正确的是（　　）
A．2+（x+2）＝3（x﹣1） B．2﹣x+2＝3（x﹣1）
C．2﹣（x+2）＝3 D．2﹣（x+2）＝3（x﹣1）
4．对于非零实数a、b，规定a b．若2 （2x﹣1）＝1，则x的值为（　　）
A． B． C． D．
5．甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．小军家距学校5千米，原来他骑自行车上学，学校为保障学生安全，新购进校车接送学生，若校车速度是他骑车速度的2倍，现在小军乘校车上学可以从家晚10分钟出发，结果与原来到校时间相同．设小军骑车的速度为x千米/小时，则所列方程正确的为（　　）
A． B． C．10 D．10
7．已知关于x的分式方程2的解为正数，则k的取值范围为（　　）
A．﹣2＜k＜0 B．k＞﹣2且k≠﹣1
C．k＞﹣2 D．k＜2且k≠1
8．已知关于x的分式方程1无解，则m的值为（　　）
A．m＝1 B．m＝4 C．m＝3 D．m＝1或m＝4
9．已知实数x满足x2x4，则x的值是（　　）
A．﹣2 B．1 C．﹣1或2 D．﹣2或1
10．某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设计划每天加工x套服装，则根据题意可得方程为（　　）
A．18
B．18
C．18
D．18
二．填空题（共5小题）
11．若分式方程4的解为整数，则整数a＝　 　 ．
12．若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是 　 　 ．
13．定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a b．若（x+1） x，则x的值为 　 　 ．
14．若关于x的分式方程有正整数解，则整数m为　 　 ．
15．符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：ad﹣bc，请你根据上述规定求出下列等式中x的值．若，那么x＝　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．甲、乙两同学的家与学校的距离均为3000米．甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校、乙同学骑自行车去学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍．甲乙两同学同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟．
（1）求乙骑自行车的速度；
（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？
17．已知关于x的方程3．
（1）当m取何值时，此方程的解为x＝3；
（2）当m取何值时，此方程会产生增根；
（3）当此方程的解是正数时，求m的取值范围．
18．解分式方程：
（1）；
（2）．
19．新冠肺炎疫情期间，某小区计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂，乙品牌消毒剂每瓶的价格比甲品牌消毒剂每瓶价格的3倍少50元，已知用300元购买甲品牌消毒剂的数量与用400元购买乙品牌消毒剂的数量相同．
（1）求甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是多少元？
（2）若该小区从超市一次性购买甲、乙两种品牌的消毒剂共40瓶，且总费用为1400元，求购买了多少瓶乙品牌消毒剂？
20．探索发现：1；；
根据你发现的规律，回答下列问题：
（1）　 　 ，　 　 ；
（2）利用你发现的规律计算：
（3）灵活利用规律解方程：．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．若关于x的方程2的解为正数，则m的取值范围是（　　）
A．m＜6 B．m＞6 C．m＜6且m≠0 D．m＞6且m≠8
【考点】分式方程的解．
【答案】C
【分析】先得出分式方程的解，再得出关于m的不等式，解答即可．
【解答】解：原方程化为整式方程得：2﹣x﹣m＝2（x﹣2），
解得：x＝2，
因为关于x的方程2的解为正数，
可得：，
解得：m＜6，
因为x＝2时原方程无解，
所以可得，
解得：m≠0．
故选：C．
【点评】此题考查分式方程的应用，关键是根据分式方程的解法进行分析．
2．若数a使关于x的不等式组有且仅有三个整数解，且使关于y的分式方程3的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．1
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式；一元一次不等式组的整数解．
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】先解不等式组根据其有三个整数解，得a的一个范围；再解关于y的分式方程3，根据其解为正数，并考虑增根的情况，再得a的一个范围，两个范围综合考虑，则所有满足条件的整数a的值可求，从而得其和．
【解答】解：由关于x的不等式组得
∵有且仅有三个整数解，
∴x≤3，x＝1，2，或3．
∴，
∴a＜3；
由关于y的分式方程3得1﹣2y+a＝﹣3（y﹣1），
∴y＝2﹣a，
∵解为正数，且y＝1为增根，
∴a＜2，且a≠1，
∴a＜2，且a≠1，
∴所有满足条件的整数a的值为：﹣2，﹣1，0，其和为﹣3．
故选：A．
【点评】本题属于含参一元一次不等式组和含参分式方程的综合计算题，比较容易错，属于易错题．
3．解分式方程3时，去分母后变形正确的是（　　）
A．2+（x+2）＝3（x﹣1） B．2﹣x+2＝3（x﹣1）
C．2﹣（x+2）＝3 D．2﹣（x+2）＝3（x﹣1）
【考点】解分式方程．
【专题】计算题；分式方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，即可作出判断．
【解答】解：方程变形得：3，
去分母得：2﹣（x+2）＝3（x﹣1），
故选：D．
【点评】此题考查了解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．对于非零实数a、b，规定a b．若2 （2x﹣1）＝1，则x的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】解分式方程．
【专题】开放型．
【答案】A
【分析】根据题中的新定义化简所求式子，计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：2 （2x﹣1）1，
去分母得：2﹣（2x﹣1）＝4x﹣2，
去括号得：2﹣2x+1＝4x﹣2，
移项合并得：6x＝5，
解得：x，
经检验x是分式方程的解．
故选：A．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
5．甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x个零件，下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】分式方程及应用．
【答案】D
【分析】设甲每小时做x个零件，根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等得出方程解答即可．
【解答】解：设甲每小时做x个零件，可得：，
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
6．小军家距学校5千米，原来他骑自行车上学，学校为保障学生安全，新购进校车接送学生，若校车速度是他骑车速度的2倍，现在小军乘校车上学可以从家晚10分钟出发，结果与原来到校时间相同．设小军骑车的速度为x千米/小时，则所列方程正确的为（　　）
A． B． C．10 D．10
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】行程问题；压轴题．
【答案】B
【分析】设小军骑车的速度为x千米/小时，则小车速度是2x千米/小时，根据“小军乘小车上学可以从家晚10分钟出发”列出方程解决问题．
【解答】解：设小军骑车的速度为x千米/小时，则小车速度是2x千米/小时，由题意得，
．
故选：B．
【点评】此题考查列分式方程解应用题，找出题中蕴含的等量关系是解决问题的关键．
7．已知关于x的分式方程2的解为正数，则k的取值范围为（　　）
A．﹣2＜k＜0 B．k＞﹣2且k≠﹣1
C．k＞﹣2 D．k＜2且k≠1
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．
【专题】分式方程及应用．
【答案】B
【分析】根据分式方程的解法即可求出答案．
【解答】解：∵2，
∴2，
∴x＝2+k，
∵该分式方程有解，
∴2+k≠1，
∴k≠﹣1，
∵x＞0，
∴2+k＞0，
∴k＞﹣2，
∴k＞﹣2且k≠﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．
8．已知关于x的分式方程1无解，则m的值为（　　）
A．m＝1 B．m＝4 C．m＝3 D．m＝1或m＝4
【考点】分式方程的解．
【专题】分式方程及应用．
【答案】D
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x﹣3＝0，确定出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【解答】解：去分母得：3﹣2x﹣9+mx＝﹣x+3，
整理得：（m﹣1）x＝9，
当m﹣1＝0，即m＝1时，该整式方程无解；
当m﹣1≠0，即m≠1时，由分式方程无解，得到x﹣3＝0，即x＝3，
把x＝3代入整式方程得：3m﹣3＝9，
解得：m＝4，
综上，m的值为1或4，
故选：D．
【点评】此题考查了分式方程的解，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．
9．已知实数x满足x2x4，则x的值是（　　）
A．﹣2 B．1 C．﹣1或2 D．﹣2或1
【考点】换元法解分式方程．
【专题】换元法．
【答案】D
【分析】利用完全平方公式可把原式变为（x）2+x2＝0，用十字相乘法可得x的值．
【解答】解：x22+x2＝0
∴（x）2+（x）﹣2＝0
解得x2或1．
经检验，x1和x2均有实数根．
所以x2或1．
故选：D．
【点评】本题的关键是把x看成一个整体来计算，即换元法思想．
10．某服装厂准备加工400套运动装，在加工完160套后，采用了新技术，使得工作效率比原计划提高了20%，结果共用了18天完成任务，问计划每天加工服装多少套？在这个问题中，设计划每天加工x套服装，则根据题意可得方程为（　　）
A．18
B．18
C．18
D．18
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】应用意识．
【答案】A
【分析】关键描述语为：“共用了18天完成任务”，那么等量关系为：采用新技术前所用时间+采用新技术后所用时间＝18天．
【解答】解：设计划每天加工x套服装，那么采用新技术前所用时间为：，采用新技术后所用时间为：，
则所列方程为：18．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找出题目中的关键语，找到相应的等量关系是解决问题的关键．注意工作时间＝工作总量÷工作效率．
二．填空题（共5小题）
11．若分式方程4的解为整数，则整数a＝　±1　 ．
【考点】分式方程的解．
【专题】分式方程及应用；推理能力．
【答案】±1．
【分析】先将分式方程化简为整式方程，再用含a代数式表示x，由方程的解为整数及x＝±1为增根可求a．
【解答】解：方程两边同时乘以（x+1）（x﹣1）得（2x﹣a）（x+1）﹣4（x+1）（x﹣1）＝（x﹣1）（﹣2x+a），
整理得﹣2ax＝﹣4，
整理得ax＝2，
∵x，a为整数，
∴a＝±1或a＝±2，
∵x＝±1为增根，
∴a≠±2，
∴a＝±1．
故答案为：±1．
【点评】本题考查分式方程的解，解题关键是用含参代数式表示方程的解x并注意增根情况．
12．若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是 a≥1，且a≠4　 ．
【考点】分式方程的解；解一元一次不等式．
【答案】a≥1，且a≠4
【分析】在方程的两边同时乘以2（x﹣2），解方程，用含a的式子表示出x的值，再根据x≥0，且x≠2，解不等式组即可．
【解答】解：两边同时乘以2（x﹣2），
得：4x﹣2a＝x﹣2，
解得x，
由题意可知，x≥0，且x≠2，
∴，解得：a≥1，且a≠4，
故答案为：a≥1，且a≠4．
【点评】本题主要考查分式方程的解，解决此类问题时，通常先用含a的式子表示出x的值，再根据x的取值范围即可求出a的取值范围，但要注意分式的最简公分母不等于0．
13．定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a b．若（x+1） x，则x的值为 　　 ．
【考点】解分式方程．
【专题】新定义；分式方程及应用；运算能力．
【答案】．
【分析】根据新定义列出分式方程，解方程即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：，
化为整式方程得：x+x+1＝（2x+1）（x+1），
解得：x，
检验：当x时，x（x+1）≠0，
∴原方程的解为：x．
故答案为：．
【点评】本题考查了解分式方程，新定义，根据新定义列出分式方程是解题的关键．
14．若关于x的分式方程有正整数解，则整数m为　0、1　 ．
【考点】分式方程的解．
【专题】计算题；分式方程及应用；运算能力．
【答案】0、1
【分析】解分式方程，得x，因为分式方程有正整数解，进而可得整数m的值．
【解答】解：解分式方程，得x，
因为分式方程有正整数解，
所以1，即可m≠3，
则整数m的值是0、1．
故答案为0、1．
【点评】本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是准确求出分式方程的整数解．
15．符号“”称为二阶行列式，规定它的运算法则为：ad﹣bc，请你根据上述规定求出下列等式中x的值．若，那么x＝　4　 ．
【考点】解分式方程．
【专题】新定义．
【答案】4
【分析】根据已知得出分式方程1，求出分式方程的解，再代入x﹣1和1﹣x进行检验即可．
【解答】解：∵，
∴1，
方程两边都乘以x﹣1得：2+1＝x﹣1，
解得：x＝4，
检验：当x＝4时，x﹣1≠0，1﹣x≠0，
即x＝4是分式方程的解，
故答案为：4．
【点评】本题考查了分式方程的应用，解此题的关键是根据材料得出分式方程，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
三．解答题（共5小题）
16．甲、乙两同学的家与学校的距离均为3000米．甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校、乙同学骑自行车去学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍．甲乙两同学同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟．
（1）求乙骑自行车的速度；
（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？
【考点】分式方程的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设乙骑自行车的速度为x米/分钟，则甲步行速度是x米/分钟，公交车的速度是2x米/分钟，
根据题意列方程即可得到结论；
（2）300×2＝600米即可得到结果．
【解答】解：（1）设乙骑自行车的速度为x米/分钟，则甲步行速度是x米/分钟，公交车的速度是2x米/分钟，
根据题意得2，
解得：x＝300米/分钟，
经检验x＝300是方程的根，
答：乙骑自行车的速度为300米/分钟；
（2）∵300×2＝600米，
答：当甲到达学校时，乙同学离学校还有600米．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，根据题意得到乙的运动速度是解题关键．
17．已知关于x的方程3．
（1）当m取何值时，此方程的解为x＝3；
（2）当m取何值时，此方程会产生增根；
（3）当此方程的解是正数时，求m的取值范围．
【考点】分式方程的增根；解一元一次不等式．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）把x＝3代入方程3即可得出m的值；
（2）根据增根的定义，得出增根x＝2，从而得出m的值；
（3）把分式方程化为整式方程，根据解为正数，得出m的取值范围．
【解答】解：（1）把x＝3代入方程3，得
m＝﹣3；
（2）方程的增根为x＝2，
2x+m＝3x﹣6，
所以m＝﹣4；
（3）去分母得，2x+m＝3x﹣6，
解得x＝m+6，
因为x＞0，
所以m+6＞0，
解得m＞﹣6，
因为x≠2，
所以m≠﹣4．
【点评】本题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式，掌握方程和不等式的解法是解题的关键．
18．解分式方程：
（1）；
（2）．
【考点】解分式方程．
【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据解分式方程的步骤求解即可；
（2）根据解分式方程的步骤求解即可．
【解答】解：（1）去分母，得2（x﹣1）＝x+3，
解得x＝5，
经检验，x＝5是原分式方程的根，
∴x＝5；
（2）去分母，得4﹣x2＝﹣（x2﹣2x），
解得x＝2，
经检验，x＝2是原分式方程的增根，
∴原分式方程无解．
【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
19．新冠肺炎疫情期间，某小区计划购买甲、乙两种品牌的消毒剂，乙品牌消毒剂每瓶的价格比甲品牌消毒剂每瓶价格的3倍少50元，已知用300元购买甲品牌消毒剂的数量与用400元购买乙品牌消毒剂的数量相同．
（1）求甲、乙两种品牌消毒剂每瓶的价格各是多少元？
（2）若该小区从超市一次性购买甲、乙两种品牌的消毒剂共40瓶，且总费用为1400元，求购买了多少瓶乙品牌消毒剂？
【考点】分式方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；分式方程及应用；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设甲品牌消毒剂每瓶的价格为x元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为（3x﹣50）元，由题意列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买甲种品牌的消毒剂y瓶，则购买乙种品牌的消毒剂（40﹣y）瓶，由题意列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设甲品牌消毒剂每瓶的价格为x元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为（3x﹣50）元，
由题意得：，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解且符合实际意义，
3x﹣50＝40，
答：甲品牌消毒剂每瓶的价格为30元；乙品牌消毒剂每瓶的价格为40元；
（2）设购买甲种品牌的消毒剂y瓶，则购买乙种品牌的消毒剂（40﹣y）瓶，
由题意得：30y+40（40﹣y）＝1400，
解得：y＝20，
∴40﹣y＝40﹣20＝20，
答：购买了20瓶乙品牌消毒剂．
【点评】本题考查分式方程的应用和一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）正确找出等量关系，列出分式方程，（2）正确找出等量关系，列出一元一次方程．
20．探索发现：1；；
根据你发现的规律，回答下列问题：
（1）　　 ，　　 ；
（2）利用你发现的规律计算：
（3）灵活利用规律解方程：．
【考点】解分式方程．
【专题】计算题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）利用分式的运算和题中的运算规律求解；
（2）利用前面的运算规律得到原式＝1，然后合并后通分即可；
（3）利用前面的运算规律方程化为（），然后合并后解分式方程即可．
【解答】解：（1），；
（2）原式＝11；
（3）（），
（）
，
，
解得x＝50，
经检验，x＝50为原方程的根．
故答案为，．
【点评】本题考查了解分式方程：熟练掌握解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．理解分式的计算规律：．

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