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2026年中考数学二轮复习：命题与证明
一．选择题（共10小题）
1．下列命题中是假命题的是（　　）
A．△ABC中，若∠B＝∠C﹣∠A，则△ABC是直角三角形
B．△ABC中，若a2＝（b+c）（b﹣c），则△ABC是直角三角形
C．△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形
D．△ABC中，若a：b：c＝5：4：3，则△ABC是直角三角形
2．下列命题中，是真命题的是（　　）
A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B．过一点有无数条直线与已知直线平行
C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离
3．已知下列命题：
①若1，则a＞b；
②若a+b＝0，则|a|＝|b|；
③等边三角形的三个内角都相等；
④底角相等的两个等腰三角形全等．
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下列命题中，真命题的个数有（　　）
①对角线互相平分的四边形是平行四边形；
②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
5．下列命题是真命题的是（　　）
A．相等的角是对顶角
B．若实数a，b满足a2＝b2，则a＝b
C．若实数a，b满足a＜0，b＜0，则ab＜0
D．角的平分线上的点到角的两边的距离相等
6．在平面直角坐标系中，任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），规定运算：
①A B＝（x1+x2，y1+y2）；②A B＝x1x2+y1y2；③当x1＝x2且y1＝y2时，A＝B，有下列四个命题：
（1）若A（1，2），B（2，﹣1），则A B＝（3，1），A B＝0；
（2）若A B＝B C，则A＝C；
（3）若A B＝B C，则A＝C；
（4）对任意点A、B、C，均有（A B） C＝A （B C）成立，其中正确命题的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”先应假设这个三角形中（　　）
A．有一个内角小于60° B．每个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．每个内角都大于60°
8．下列命题中，是真命题的是（　　）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．相等的角是对顶角
C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行
9．已知反比例函数y的图象分别位于第二、第四象限，A（x1，y1）、B（x2，y2）两点在该图象上，下列命题：①过点A作AC⊥x轴，C为垂足，连接OA．若△ACO的面积为3，则k＝﹣6；②若x1＜0＜x2，则y1＞y2；③若x1+x2＝0，则y1+y2＝0，其中真命题个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．下列命题中，真命题的个数有（　　）
①同一平面内，两条直线一定互相平行；
②有一条公共边的角叫邻补角；
③内错角相等．
④对顶角相等；
⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二．填空题（共5小题）
11．将命题“对顶角相等”改为“如果…那么…”的形式为：　 　 ．
12．把命题“锐角小于90°”改写成“如果…那么…”的形式：　 　 ．
13．把命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式是　 　 ．
14．在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3．若点P在△ABC内部（含边界）且满足PC≤PA≤PB，则所有点P组成的区域的面积为　 　 ．
15．用反证法证明“已知五个正数的和等于1，求证：这五个正数中至少有一个大于或等于”时，首先要假设　 　 ．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列命题中是假命题的是（　　）
A．△ABC中，若∠B＝∠C﹣∠A，则△ABC是直角三角形
B．△ABC中，若a2＝（b+c）（b﹣c），则△ABC是直角三角形
C．△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形
D．△ABC中，若a：b：c＝5：4：3，则△ABC是直角三角形
【考点】命题与定理．
【答案】C
【分析】有一个角是直角的三角形是直角三角形，两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形．
【解答】解：A、∠B+∠A＝∠C，所以∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意．
B、若a2＝（b+c）（b﹣c），所以a2+c2＝b2，所以△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意．
C、若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，最大角为75°，故本选项符合题意．
D、若a：b：c＝5：4：3，则△ABC是直角三角形，故本选不项符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查直角三角形的概念，和勾股定理的应用．
2．下列命题中，是真命题的是（　　）
A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B．过一点有无数条直线与已知直线平行
C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离
【考点】命题与定理；对顶角、邻补角；点到直线的距离；同位角、内错角、同旁内角；平行公理及推论；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质、平行公理的推论、平行线的判定、点到直线的距离的定义判断即可．
【解答】解：A、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项命题是假命题，不符合题意；
B、过一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项命题是假命题，不符合题意；
C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，是真命题，符合题意；
D、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，故本选项命题是假命题，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
3．已知下列命题：
①若1，则a＞b；
②若a+b＝0，则|a|＝|b|；
③等边三角形的三个内角都相等；
④底角相等的两个等腰三角形全等．
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】命题与定理．
【答案】A
【分析】根据不等式的性质、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、相反数逐个判断即可．
【解答】解：∵当b＜0时，如果1，那么a＜b，∴①错误；
∵若a+b＝0，则|a|＝|b|正确，但是若|a|＝|b|，则a+b＝0错误，∴②错误；
∵等边三角形的三个内角都相等，正确，逆命题也正确，∴③正确；
∵底角相等的两个等腰三角形不一定全等，∴④错误；
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是1个．
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的性质、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、相反数、命题与定理等知识点，能熟记知识点的内容是解此题的关键．
4．下列命题中，真命题的个数有（　　）
①对角线互相平分的四边形是平行四边形；
②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【考点】命题与定理；平行四边形的判定．
【答案】B
【分析】分别利用平行四边形的判定方法：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形，进而得出即可．
【解答】解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，符合题意；
②两组对角分别相等的四边形是平行四边形，正确，符合题意；
③一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，说法错误，例如等腰梯形，也符合一组对边平行，另一组对边相等．
故选：B．
【点评】此题主要考查了命题与定理，正确把握相关定理是解题关键．
5．下列命题是真命题的是（　　）
A．相等的角是对顶角
B．若实数a，b满足a2＝b2，则a＝b
C．若实数a，b满足a＜0，b＜0，则ab＜0
D．角的平分线上的点到角的两边的距离相等
【考点】命题与定理．
【答案】D
【分析】根据对顶角的定义，有理数的性质，角平分线的性质对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、相等的角是对顶角，是假命题，例如，角平分线把角分成的两个角相等，但不是对顶角，故本选项错误；
B、若实数a，b满足a2＝b2，则a＝b，是假命题，应为a＝b或a＝﹣b，故本选项错误；
C、若实数a，b满足a＜0，b＜0，则ab＜0，是假命题，应为ab＞0，故本选项错误；
D、角的平分线上的点到角的两边的距离相等是真命题，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6．在平面直角坐标系中，任意两点A（x1，y1），B（x2，y2），规定运算：
①A B＝（x1+x2，y1+y2）；②A B＝x1x2+y1y2；③当x1＝x2且y1＝y2时，A＝B，有下列四个命题：
（1）若A（1，2），B（2，﹣1），则A B＝（3，1），A B＝0；
（2）若A B＝B C，则A＝C；
（3）若A B＝B C，则A＝C；
（4）对任意点A、B、C，均有（A B） C＝A （B C）成立，其中正确命题的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】命题与定理；点的坐标．
【专题】压轴题．
【答案】C
【分析】（1）根据新定义可计算出A B＝（3，1），A B＝0；
（2）设C（x3，y3），根据新定义得A B＝（x1+x2，y1+y2），B C＝（x2+x3，y2+y3），则x1+x2＝x2+x3，y1+y2＝y2+y3，于是得到x1＝x3，y1＝y3，然后根据新定义即可得到A＝C；
（3）由于A B＝x1x2+y1y2，B C＝x2x3+y2y3，则x1x2+y1y2＝x2x3+y2y3，不能得到x1＝x3，y1＝y3，所以A≠C；
（4）根据新定义可得（A B） C＝A （B C）＝（x1+x2+x3，y1+y2+y3）．
【解答】解：（1）A B＝（1+2，2﹣1）＝（3，1），A B＝1×2+2×（﹣1）＝0，所以（1）正确；
（2）设C（x3，y3），A B＝（x1+x2，y1+y2），B C＝（x2+x3，y2+y3），
而A B＝B C，
所以x1+x2＝x2+x3，y1+y2＝y2+y3，则x1＝x3，y1＝y3，
所以A＝C，所以（2）正确；
（3）A B＝x1x2+y1y2，B C＝x2x3+y2y3，
而A B＝B C，则x1x2+y1y2＝x2x3+y2y3，
不能得到x1＝x3，y1＝y3，所以A≠C，所以（3）不正确；
（4）因为（A B） C＝（x1+x2+x3，y1+y2+y3），A （B C）＝（x1+x2+x3，y1+y2+y3），
所以（A B） C＝A （B C），所以（4）正确．
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理，也考查了阅读理解能力．
7．反证法证明“三角形中至少有一个角不小于60°”先应假设这个三角形中（　　）
A．有一个内角小于60° B．每个内角都小于60°
C．有一个内角大于60° D．每个内角都大于60°
【考点】反证法．
【专题】证明题．
【答案】B
【分析】此题要运用反证法，由题意先假设三角形的三个角都小于60°成立．然后推出不成立．得出选项．
【解答】解：设三角形的三个角分别为：a，b，c．
假设，a＜60°，b＜60°，c＜60°，
则a+b+c＜60°+60°+60°，
即，a+b+c＜180°与三角形内角和定理a+b+c＝180°矛盾．
所以假设不成立，即三角形中至少有一个角不小于60°．
故选：B．
【点评】此题考查的知识点是反证法，解答此题的关键是由已知三角形中至少有一个角不小于60°假设都小于60°进行论证．
8．下列命题中，是真命题的是（　　）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．相等的角是对顶角
C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D．在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行
【考点】命题与定理．
【答案】D
【分析】根据过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行对A进行判断；根据对顶角的定义对B进行判断；根据平行线的性质对C进行判断；根据平行线的判定方法对D进行判断．
【解答】解：A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以A选项错误；
B、相等的角不一定为对顶角，所以B选项错误；
C、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，所以C选项错误；
D、在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
9．已知反比例函数y的图象分别位于第二、第四象限，A（x1，y1）、B（x2，y2）两点在该图象上，下列命题：①过点A作AC⊥x轴，C为垂足，连接OA．若△ACO的面积为3，则k＝﹣6；②若x1＜0＜x2，则y1＞y2；③若x1+x2＝0，则y1+y2＝0，其中真命题个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】命题与定理．
【专题】反比例函数及其应用．
【答案】D
【分析】利用反比例函数的比例系数的几何意义、反比例函数的增减性、对称性分别回答即可．
【解答】解：过点A作AC⊥x轴，C为垂足，连接OA．
∵△ACO的面积为3，
∴|k|＝6，
∵反比例函数y的图象分别位于第二、第四象限，
∴k＜0，
∴k＝﹣6，正确，是真命题；
②∵反比例函数y的图象分别位于第二、第四象限，
∴在所在的每一个象限y随着x的增大而增大，
若x1＜0＜x2，则y1＞0＞y2，正确，是真命题；
③当A、B两点关于原点对称时，x1+x2＝0，则y1+y2＝0，正确，是真命题，
真命题有3个，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的性质及命题与定理的知识，解题的关键是了解反比例函数的比例系数的几何意义等知识，难度不大．
10．下列命题中，真命题的个数有（　　）
①同一平面内，两条直线一定互相平行；
②有一条公共边的角叫邻补角；
③内错角相等．
④对顶角相等；
⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【考点】命题与定理；平行线；同位角、内错角、同旁内角；点到直线的距离；对顶角、邻补角．
【专题】应用题．
【答案】B
【分析】根据同一平面内两直线的位置关系、邻补角、平行线的性质、对顶角及点到直线的距离等知识性质逐一进行判断即可．
【解答】解：①同一平面内两直线的位置关系有相交、平行、重合，故错误，不是真命题；
②两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角，所以有一条公共边的角叫邻补角错误，不是真命题；
③只有两条直线平行，内错角相等，所以只说内错角相等错误，不是真命题；
④对顶角相等是真命题；
⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离是假命题；
所以④为真命题；
故选：B．
【点评】本题考查真命题的概念及同一平面内两直线的位置关系、邻补角、平行线的性质、对顶角及点到直线的距离等知识，关键准确掌握．
二．填空题（共5小题）
11．将命题“对顶角相等”改为“如果…那么…”的形式为：　如果两个角是对顶角，那么这两个角相等　 ．
【考点】命题与定理．
【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等
【分析】先找到命题的题设和结论，再写成“如果…，那么…”的形式．
【解答】解：原命题的条件是：“两个角是对顶角”，结论是：“这两个角相等”，
命题“对顶角相等”写成“如果…，那么…”的形式为：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”．
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
【点评】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．
12．把命题“锐角小于90°”改写成“如果…那么…”的形式：　如果一个角是锐角，那么这个角小于90°　 ．
【考点】命题与定理．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】如果一个角是锐角，那么这个角小于90°
【分析】先找到命题的题设和结论，再写成“如果…那么…”的形式．
【解答】解：命题“锐角小于90°”改写成“如果…那么…”的形式为：如果一个角是锐角，那么这个角小于90°；
故答案为：如果一个角是锐角，那么这个角小于90°．
【点评】本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．
13．把命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式是　“在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”　 ．
【考点】命题与定理．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】“在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”
【分析】根据“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论解答．
【解答】解：把命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”改写成“如果…，那么…”的形式，
是“在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”，
故答案为：“在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”．
【点评】本题考查的是命题的概念，命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
14．在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3．若点P在△ABC内部（含边界）且满足PC≤PA≤PB，则所有点P组成的区域的面积为　　 ．
【考点】轨迹；勾股定理的逆定理．
【专题】动点型；等腰三角形与直角三角形．
【答案】
【分析】分别作AB，AC的垂直平分线，交AB于点E，交AC于点F，交AC于点D，利用线段垂直平分线的性质，结合PC≤PA≤PB的条件，判断点P在△DEF内部（含边界），再利直角三角形的性质求解；
【解答】解：分别作AB，AC的垂直平分线，交AB于点E，交AC于点F，交AC于点D，
∵若点P在△ABC内部（含边界）且满足PC≤PA≤PB，
∴点P在△DEF内部（含边界），
∵DE⊥AC，EF⊥AB，
∴△DEF是直角三角形，△AEF是直角三角形，
∵AB＝5，AC＝4，BC＝3，
∴AD＝2，AE＝2.5，DE＝1.5，
∵AE2＝AD AF，
∴AF，
∴DF，
∴△DEF的面积为；
【点评】本题考查动点轨迹，直角三角形性质，线段垂直平分线性质；能够结合条件判断点的运动轨迹是直角三角形是解题的关键．
15．用反证法证明“已知五个正数的和等于1，求证：这五个正数中至少有一个大于或等于”时，首先要假设　这五个数都小于　 ．
【考点】反证法．
【答案】这五个数都小于
【分析】熟记反证法的步骤，直接从结论的反面出发得出即可．
【解答】解：首先要假设这五个数都小于．
故答案为：这五个数都小于．
【点评】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．

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