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2026年中考数学二轮复习：图形的相似
一．选择题（共10小题）
1．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，则DE：EC＝（　　）
A．2：3 B．2：5 C．3：5 D．3：2
2．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB＝6，AD＝5，则AE的长为（　　）
A．2.5 B．2.8 C．3 D．3.2
3．如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE＝3ED，DF＝CF，则的值是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．AC与DF相交于点H，且AH＝2，HB＝1，BC＝5，则的值为（　　）
A． B．2 C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（　　）
A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（4，2）
6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮她算一下，树高是（　　）
A．3.25m B．4.25m C．4.45m D．4.75m
8．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△DAF的面积之比为（　　）
A．9：16 B．3：4 C．9：4 D．3：2
9．如图，矩形ABCD的边长AD＝3，AB＝2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF＝2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：
①BE＝2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2＝PH PC．
其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④
二．填空题（共5小题）
11．如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为 　 　 ．
12．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD＝2，BD＝3，则AC的长　 　 ．
13．已知实数a，b，c满足a+b+c＝10，且，则的值是　 　 ．
14．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，点D、E分别在BC、AC上，CD＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是 　 　 ．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PAPB的最小值为 　 　 ．
三．解答题（共5小题）
16．问题背景 如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；
尝试应用 如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，，求的值；
拓展创新 如图（3），D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝2，直接写出AD的长．
17．如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC＝120°．动点P、Q同时从点A出发，其中P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路线向点C运动；Q以2cm/s的速度，沿A→C的路线向点C运动．当P、Q到达终点C时，整个运动随之结束，设运动时间为t秒．
（1）在点P、Q运动过程中，请判断PQ与对角线AC的位置关系，并说明理由；
（2）若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N．
①当t为何值时，点P、M、N在一直线上？
②当点P、M、N不在一直线上时，是否存在这样的t，使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
18．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设λ（λ＞0）．
（1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长．
（2）连接EG，若EG⊥AF，
①求证：点G为CD边的中点．
②求λ的值．
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，Rt△BAP中，∠BAP＝90°，已知∠CBO＝∠ABP，BP交AC于点O，E为AC上一点，且AE＝OC．
（1）求证：AP＝AO；
（2）求证：PE⊥AO；
（3）当AEAC，AB＝10时，求线段BO的长度．
20．【基础巩固】
（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD AB．
【尝试应用】
（2）如图2，在 ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．
【拓展提高】
（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF＝4：25，则DE：EC＝（　　）
A．2：3 B．2：5 C．3：5 D．3：2
【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的面积；平行四边形的性质．
【专题】探究型．
【答案】A
【分析】先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据S△DEF：S△ABF＝4：10：25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出的值，由AB＝CD即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠EAB＝∠DEF，∠AFB＝∠DFE，
∴△DEF∽△BAF，
∵S△DEF：S△ABF＝4：25，
∴，
∵AB＝CD，
∴DE：EC＝2：3．
故选：A．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
2．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB＝6，AD＝5，则AE的长为（　　）
A．2.5 B．2.8 C．3 D．3.2
【考点】相似三角形的判定与性质；勾股定理；圆周角定理．
【专题】压轴题．
【答案】B
【分析】连接BD、CD，由勾股定理先求出BD的长，再利用△ABD∽△BED，得出，可解得DE的长，由AE＝AD﹣DE求解即可得出答案．
【解答】解：如图1，连接BD、CD，
，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD，
∵弦AD平分∠BAC，
∴CD＝BD，
∴∠CBD＝∠DAB，
在△ABD和△BED中，
∴△ABD∽△BED，
∴，即，
解得DE，
∴AE＝AD﹣DE＝52.8．
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形相似的判定和性质及圆周角定理，解答此题的关键是得出△ABD∽△BED．
3．如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE＝3ED，DF＝CF，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形．
【答案】C
【分析】如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．设DE＝a，则AE＝3a，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可；
【解答】解：如图，作FN∥AD，交AB于N，交BE于M．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∵FN∥AD，
∴四边形ANFD是平行四边形，
∵∠D＝90°，
∴四边形ANFD是矩形，
∵AE＝3DE，设DE＝a，则AE＝3a，AD＝AB＝CD＝FN＝4a，AN＝DF＝2a，
∵AN＝BN，MN∥AE，
∴BM＝ME，
∴MNa，
∴FMa，
∵AE∥FM，
∴，
解法二：延长BE交CD的延长线于点M．
∵AE＝3DE，设DE＝a，则AE＝3a，AD＝AB＝CD＝FN＝4a，DF＝2a，
∵CM∥AB，
∴，
∴DMa，
∴FM＝DF+DMa，
∴．
故选：C．
【点评】本题考查正方形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
4．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．AC与DF相交于点H，且AH＝2，HB＝1，BC＝5，则的值为（　　）
A． B．2 C． D．
【考点】平行线分线段成比例．
【答案】D
【分析】根据AH＝2，HB＝1求出AB的长，根据平行线分线段成比例定理得到，计算得到答案．
【解答】解：∵AH＝2，HB＝1，
∴AB＝3，
∵l1∥l2∥l3，
∴，
故选：D．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容、找准对应关系列出比例式是解题的关键．
5．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为（　　）
A．（3，2） B．（3，1） C．（2，2） D．（4，2）
【考点】位似变换；坐标与图形性质；正方形的性质．
【答案】A
【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出AD的长，进而得出△OAD∽△OBG，进而得出AO的长，即可得出答案．
【解答】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，
∴，
∵BG＝6，
∴AD＝BC＝2，
∵AD∥BG，
∴△OAD∽△OBG，
∴，
∴，
解得：OA＝1，
∴OB＝3，
∴C点坐标为：（3，2），
故选：A．
【点评】此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出AO的长是解题关键．
6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为（　　）
A． B． C． D．
【考点】相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．
【答案】C
【分析】延长FE交AB于点D，作EG⊥BC、作EH⊥AC，由EF∥BC可证四边形BDEG是矩形，由角平分线可得ED＝EH＝EG、∠DAE＝∠HAE，从而知四边形BDEG是正方形，再证△DAE≌△HAE、△CGE≌△CHE得AD＝AH、CG＝CH，设BD＝BG＝x，则AD＝AH＝6﹣x、CG＝CH＝8﹣x，由AC＝10可得x＝2，即BD＝DE＝2、AD＝4，再证△ADF∽△ABC可得DF，据此得出EF＝DF﹣DE．
【解答】解：如图，延长FE交AB于点D，作EG⊥BC于点G，作EH⊥AC于点H，
∵EF∥BC、∠ABC＝90°，
∴FD⊥AB，
∵EG⊥BC，
∴四边形BDEG是矩形，
∵AE平分∠BAC、CE平分∠ACB，
∴ED＝EH＝EG，∠DAE＝∠HAE，
∴四边形BDEG是正方形，
在△DAE和△HAE中，
∵，
∴△DAE≌△HAE（AAS），
∴AD＝AH，
同理△CGE≌△CHE，
∴CG＝CH，
设BD＝BG＝x，则AD＝AH＝6﹣x、CG＝CH＝8﹣x，
∵AC10，
∴6﹣x+8﹣x＝10，
解得：x＝2，
∴BD＝DE＝2，AD＝4，
∵DF∥BC，
∴△ADF∽△ABC，
∴，即，
解得：DF，
则EF＝DF﹣DE2，
故选：C．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及正方形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质和正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键．
7．如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮她算一下，树高是（　　）
A．3.25m B．4.25m C．4.45m D．4.75m
【考点】相似三角形的应用．
【专题】几何直观；推理能力．
【答案】C
【分析】此题首先要知道在同一时刻任何物体的高与其影子的比值是相同的，所以竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同，利用这个结论可以求出树高．
【解答】解：如图，设BD是BC在地面的影子，树高为x，
根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得而CB＝1.2，
∴BD＝0.96，
∴树在地面的实际影子长是0.96+2.6＝3.56，
再竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得，
∴x＝4.45，
∴树高是4.45m．
故选：C．
【点评】解题的关键要知道竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同．
8．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△DAF的面积之比为（　　）
A．9：16 B．3：4 C．9：4 D．3：2
【考点】相似三角形的性质．
【专题】图形的相似；几何直观．
【答案】B
【分析】先根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AB∥CD，则DE：AB＝3：4，再证明△DEF∽△BAF，利用相似比得到，然后根据三角形面积公式求△DEF的面积与△DAF的面积之比．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∵DE：EC＝3：1，
∴DE：AB＝DE：DC＝3：4，
∵DE∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴，
∴△DEF的面积与△DAF的面积之比＝EF：AF＝3：4．
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了平行四边形的性质．
9．如图，矩形ABCD的边长AD＝3，AB＝2，E为AB的中点，F在边BC上，且BF＝2FC，AF分别与DE、DB相交于点M，N，则MN的长为（　　）
A． B． C． D．
【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质．
【答案】B
【分析】过F作FH⊥AD于H，交ED于O，于是得到FH＝AB＝2，根据勾股定理得到AF2，根据平行线分线段成比例定理得到OHAE，由相似三角形的性质得到，求得AMAF，根据相似三角形的性质得到，求得ANAF，即可得到结论．
【解答】解：过F作FH⊥AD于H，交ED于O，则FH＝AB＝2
∵BF＝2FC，BC＝AD＝3，
∴BF＝AH＝2，FC＝HD＝1，
∴AF2，
∵OH∥AE，
∴，
∴OHAE，
∴OF＝FH﹣OH＝2，
∵AE∥FO，
∴△AME∽FMO，
∴，
∴AMAF，
∵AD∥BF，
∴△AND∽△FNB，
∴，
∴ANAF，
∴MN＝AN﹣AM，
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，比例的性质，准确作出辅助线，求出AN与AM的长是解题的关键．
10．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：
①BE＝2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2＝PH PC．
其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．②③ C．①②④ D．①③④
【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质．
【答案】C
【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论．
【解答】解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
在正方形ABCD中，
∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°
∴∠ABE＝∠DCF＝30°，
∴BE＝2AE；故①正确；
∵PC＝CD，∠PCD＝30°，
∴∠PDC＝75°，
∴∠FDP＝15°，
∵∠DBA＝45°，
∴∠PBD＝15°，
∴∠FDP＝∠PBD，
∵∠DFP＝∠BPC＝60°，
∴△DFP∽△BPH；故②正确；
∵∠FDP＝∠PBD＝15°，∠ADB＝45°，
∴∠PDB＝30°，而∠DFP＝60°，
∴∠PFD≠∠PDB，
∴△PFD与△PDB不相似；故③错误；
∵∠PDH＝∠PCD＝30°，∠DPH＝∠DPC，
∴△DPH∽△CPD，
∴，
∴DP2＝PH PC，故④正确；
故选：C．
【点评】本题考查的正方形的性质，等边三角形的性质以及相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握性质和定理．
二．填空题（共5小题）
11．如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，连接PQ，则PQ的最小值为 　　 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；垂线段最短；勾股定理；平行四边形的性质．
【专题】压轴题．
【答案】
【分析】以PA，PC为邻边作平行四边形PAQC，由平行四边形的性质可知O是AC中点，PQ最短也就是PO最短，所以应该过O作BC的垂线P′O，然后根据△P′OC和△ABC相似，利用相似三角形的性质即可求出PQ的最小值．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC5，
∵四边形APCQ是平行四边形，
∴PO＝QO，CO＝AO，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作BC的垂线OP′，
∵∠ACB＝∠P′CO，∠CP′O＝∠CAB＝90°，
∴△CAB∽△CP′O，
∴，
∴，
∴OP′，
∴则PQ的最小值为2OP′，
方法二：不用相似的方法，只利用等面积得，OC AB＝BC OP'，求得OP′，而其他部分的步骤共用．
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是做高线各种相似三角形．
12．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD平分∠ACB．若AD＝2，BD＝3，则AC的长　　 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形．
【答案】
【分析】证出∠ACD＝∠DCB＝∠B，证明△ACD∽△ABC，得出，即可得出结果．
【解答】解：∵BC的垂直平分线MN交AB于点D，
∴CD＝BD＝3，
∴∠B＝∠DCB，AB＝AD+BD＝5，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCB＝∠B，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴，
∴AC2＝AD×AB＝2×5＝10，
∴AC．
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、角平分线的性质等知识；证明三角形相似是解题的关键．
13．已知实数a，b，c满足a+b+c＝10，且，则的值是　　 ．
【考点】比例的性质．
【答案】
【分析】根据已知条件把所求的式子进行整理，即可求出答案；
【解答】解∵a+b+c＝10，
∴a＝10﹣（b+c），b＝10﹣（a+c），c＝10﹣（a+b），
∴
111
3，
∵，
∴原式10﹣33．
故填：．
【点评】本题是基础题，考查了比例的基本性质，比较简单．
14．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，点D、E分别在BC、AC上，CD＝2BD，CE＝2AE，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是 　　 ．
【考点】平行线分线段成比例．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力．
【答案】．
【分析】连接DE．首先证明DE∥AB，推出S△ABE＝S△ABD，推出S△AEF＝S△BDF，可得S△AEFS△ABD，求出△ABD面积的最大值即可解决问题．
【解答】解：连接DE．
∵CD＝2BD，CE＝2AE，
∴2，
∴DE∥AB，
∴△CDE∽△CBA，
∴，
∴，
∵DE∥AB，
∴S△ABE＝S△ABD，
∴S△AEF＝S△BDF，
∴S△AEFS△ABD，
∵BDBC，
∴当AB⊥BD时，△ABD的面积最大，最大值4，
∴△AEF的面积的最大值，
故答案为：
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是证明DE∥AB，推出S△AEFS△ABD，属于中考常考题型．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接PA，PB，则PAPB的最小值为 　　 ．
【考点】相似三角形的性质；勾股定理．
【专题】动点型；图形的相似；解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】
【分析】如图，在CB上取一点F，使得CF，连接PF，AF．利用相似三角形的性质证明PFPB，根据PF+PA≥AF，利用勾股定理求出AF即可解决问题．
【解答】解：如图，在CB上取一点F，使得CF，连接PF，AF．
∵∠DCE＝90°，DE＝4，DP＝PE，
∴PCDE＝2，
∵，，
∴，
∵∠PCF＝∠BCP，
∴△PCF∽△BCP，
∴，
∴PFPB，
∴PAPB＝PA+PF，
∵PA+PF≥AF，AF，
∴PAPB，
∴PAPB的最小值为，
故答案为．
【点评】本题考查阿氏圆问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
三．解答题（共5小题）
16．问题背景 如图（1），已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE；
尝试应用 如图（2），在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，，求的值；
拓展创新 如图（3），D是△ABC内一点，∠BAD＝∠CBD＝30°，∠BDC＝90°，AB＝4，AC＝2，直接写出AD的长．
【考点】相似形综合题．
【专题】几何综合题；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】问题背景
由题意得出，∠BAC＝∠DAE，则∠BAD＝∠CAE，可证得结论；
尝试应用
连接EC，证明△ABC∽△ADE，由（1）知△ABD∽△ACE，由相似三角形的性质得出，∠ACE＝∠ABD＝∠ADE，可证明△ADF∽△ECF，得出3，则可求出答案．
拓展创新
过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，证明△BDC∽△MDA，由相似三角形的性质得出，证明△BDM∽△CDA，得出，求出BM＝6，由勾股定理求出AM，最后由直角三角形的性质可求出AD的长．
【解答】问题背景
证明：∵△ABC∽△ADE，
∴，∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，，
∴△ABD∽△ACE；
尝试应用
解：如图1，连接EC，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝30°，
∴△ABC∽△ADE，
由（1）知△ABD∽△ACE，
∴，∠ACE＝∠ABD＝∠ADE，
在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，
∴，
∴3．
∵∠ADF＝∠ECF，∠AFD＝∠EFC，
∴△ADF∽△ECF，
∴3．
拓展创新
解：如图2，过点A作AB的垂线，过点D作AD的垂线，两垂线交于点M，连接BM，
∵∠BAD＝30°，
∴∠DAM＝60°，
∴∠AMD＝30°，
∴∠AMD＝∠DBC，
又∵∠ADM＝∠BDC＝90°，
∴△BDC∽△MDA，
∴，
又∠BDC＝∠MDA，
∴∠BDC+∠CDM＝∠ADM+∠CDM，
即∠BDM＝∠CDA，
∴△BDM∽△CDA，
∴，
∵AC＝2，
∴BM＝26，
∴在Rt△ABM中，AM2，
∴AD．
【点评】此题是相似形综合题，考查了直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
17．如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC＝120°．动点P、Q同时从点A出发，其中P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路线向点C运动；Q以2cm/s的速度，沿A→C的路线向点C运动．当P、Q到达终点C时，整个运动随之结束，设运动时间为t秒．
（1）在点P、Q运动过程中，请判断PQ与对角线AC的位置关系，并说明理由；
（2）若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N．
①当t为何值时，点P、M、N在一直线上？
②当点P、M、N不在一直线上时，是否存在这样的t，使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的性质．
【专题】几何综合题；压轴题；存在型；分类讨论．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）此问需分两种情况，当0＜t≤5及5＜t＜10两部分分别讨论得PQ⊥AC．
（2）①由于点P、M、N在一直线上，则AQ+QM＝AM，代入求得t的值．
②假设存在这样的t，使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形，但是需分点N在AD上时和点N在CD上时两种情况分别讨论．
【解答】解：（1）若0＜t≤5，则AP＝4tcm，AQ＝2tcm．
则，
又∵AO＝10cm，AB＝20cm，
∴．
∴．
又∵∠CAB＝30°，
∴△APQ∽△ABO．
∴∠AQP＝90°，即PQ⊥AC．
当5＜t＜10时，同理，可由△PCQ∽△BCO得∠PQC＝90°，即PQ⊥AC．
∴在点P、Q运动过程中，始终有PQ⊥AC．
（2）①如图，在Rt△APM中，
∵∠PAM＝30°，AP＝4tcm，
∴AM（cm）．
在△APQ中，∠AQP＝90°，
∴AQ＝AP cos30°＝2t（cm），
∴QM＝AC﹣2AQ＝（204t）cm．
由AQ+QM＝AM得：2t+204t（cm），
解得t．
∴当t时，点P、M、N在一直线上．
②存在这样的t，使△PMN是以PN为一直角边的直角三角形．
设l交AC于H．
如图1，当点N在AD上时，若PN⊥MN，则∠NMH＝30°．
∴MH＝2NH．得204t2，解得t＝2．
如图2，当点N在CD上时，若PM⊥PN，则∠HMP＝30°．
∴MH＝2PH，同理可得t．
故当t＝2或时，存在以PN为一直角边的直角三角形．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，综合性强，较为复杂，难度较大．
18．如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设λ（λ＞0）．
（1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长．
（2）连接EG，若EG⊥AF，
①求证：点G为CD边的中点．
②求λ的值．
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；正方形的性质．
【专题】矩形 菱形 正方形；图形的相似；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据AB＝2，λ＝1，可以得到BE、CE的长，然后根据正方形的性质，可以得到AE的长，再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到EF的长，从而可以得到线段CF的长；
（2）①要证明点G为CD边的中点，只要证明△ADG≌△FGC即可，然后根据题目中的条件，可以得到△ADG≌△FGC的条件，从而可以证明结论成立；
②根据题意和三角形相似，可以得到CE和EB的比值，从而可以得到λ的值．
【解答】解：（1）∵在正方形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAG＝∠F，
又∵AG平分∠DAE，
∴∠DAG＝∠EAG，
∴∠EAG＝∠F，
∴EA＝EF，
∵AB＝2，∠B＝90°，点E为BC的中点，
∴BE＝EC＝1，
∴AE，
∴EF，
∴CF＝EF﹣EC1；
（2）①证明：∵EA＝EF，EG⊥AF，
∴AG＝FG，
在△ADG和△FCG中
，
∴△ADG≌△FCG（AAS），
∴DG＝CG，
即点G为CD的中点；
②设CD＝2a，则CG＝a，
由①知，CF＝DA＝2a，
∵EG⊥AF，∠GCF＝90°，
∴∠EGC+∠CGF＝90°，∠F+∠CGF＝90°，∠ECG＝∠GCF＝90°，
∴∠EGC＝∠F，
∴△EGC∽△GFC，
∴，
∵GC＝a，FC＝2a，
∴，
∴，
∴ECa，BE＝BC﹣EC＝2aaa，
∴λ．
【点评】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
19．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，Rt△BAP中，∠BAP＝90°，已知∠CBO＝∠ABP，BP交AC于点O，E为AC上一点，且AE＝OC．
（1）求证：AP＝AO；
（2）求证：PE⊥AO；
（3）当AEAC，AB＝10时，求线段BO的长度．
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．
【专题】几何综合题；压轴题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可；
（2）过点O作OD⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CO＝DO，利用“SAS”证明△APE和△OAD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AEP＝∠ADO＝90°，从而得证；
（3）设C0＝3k，AC＝8k，表示出AE＝CO＝3k，AO＝AP＝5k，然后利用勾股定理列式求出PE＝4k，BC＝BD＝10﹣4k，再根据相似三角形对应边成比例列式求出k＝1然后在Rt△BDO中，利用勾股定理列式求解即可．
【解答】（1）证明：∵∠C＝90°，∠BAP＝90°
∴∠CBO+∠BOC＝90°，∠ABP+∠APB＝90°，
又∵∠CBO＝∠ABP，
∴∠BOC＝∠APB，
∵∠BOC＝∠AOP，
∴∠AOP＝∠APB，
∴AP＝AO；
（2）证明：如图，过点O作OD⊥AB于D，
∵∠CBO＝∠ABP，
∴CO＝DO，
∵AE＝OC，
∴AE＝OD，
∵∠AOD+∠OAD＝90°，∠PAE+∠OAD＝90°，
∴∠AOD＝∠PAE，
在△AOD和△PAE中，
，
∴△AOD≌△PAE（SAS），
∴∠AEP＝∠ADO＝90°
∴PE⊥AO；
（3）解：设AE＝OC＝3k，
∵AEAC，∴AC＝8k，
∴OE＝AC﹣AE﹣OC＝2k，
∴OA＝OE+AE＝5k．
由（1）可知，AP＝AO＝5k．
如图，过点O作OD⊥AB于点D，
∵∠CBO＝∠ABP，∴OD＝OC＝3k．
在Rt△AOD中，AD4k．
∴BD＝AB﹣AD＝10﹣4k．
∵OD∥AP，
∴，即
解得k＝1，
∵AB＝10，PE＝AD，
∴PE＝AD＝4K，BD＝AB﹣AD＝10﹣4k＝6，OD＝3
在Rt△BDO中，由勾股定理得：
BO3．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，（2）作辅助线构造出过渡线段DO并得到全等三角形是解题的关键，（3）利用相似三角形对应边成比例求出k＝1是解题的关键．
20．【基础巩固】
（1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD AB．
【尝试应用】
（2）如图2，在 ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长．
【拓展提高】
（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长．
【考点】相似形综合题．
【专题】几何综合题；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）证明△ADC∽△ACB，得出，则可得出结论；
（2）证明△BFE∽△BCF，得出比例线段，则BF2＝BE BC，求出BC，则可求出AD．
（3）分别延长EF，DC相交于点G，证得四边形AEGC为平行四边形，得出AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G，证明△EDF∽△EGD，得出比例线段，则DEEF，可求出DG，则答案可求出．
【解答】解：（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADC∽△ACB，
∴，
∴AC2＝AD AB．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠A＝∠C，
又∵∠BFE＝∠A，
∴∠BFE＝∠C，
又∵∠FBE＝∠CBF，
∴△BFE∽△BCF，
∴，
∴BF2＝BE BC，
∴BC，
∴AD．
（3）如图，分别延长EF，DC相交于点G，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥DC，∠BAC∠BAD，
∵AC∥EF，
∴四边形AEGC为平行四边形，
∴AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G，
∵∠EDF∠BAD，
∴∠EDF＝∠BAC，
∴∠EDF＝∠G，
又∵∠DEF＝∠GED，
∴△EDF∽△EGD，
∴，
∴DE2＝EF EG，
又∵EG＝AC＝2EF，
∴DE2＝2EF2，
∴DEEF，
又∵，
∴DG，
∴DC＝DG﹣CG＝52．
【点评】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质等知识，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．

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