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浙教版2025-2026学年八年级数学下学期5月份学科素养达标卷
(考试时间:120分钟 试卷满分:120分)
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，填写在答题卡上对应题目的标号内.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）
1．下列计算正确的是（ ）
A． B．2
C． D．
2．“菲尔兹奖”是数学领域的国际最高奖项之一，被誉为“数学界的诺贝尔奖”，每四年颁发一次．位数学家获奖时的年龄分别为，，，，，，，，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
3．若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
4．已知关于的一元二次方程，则该方程解的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个解
5．我市某校为增强学生的身体素质，特在全校开展足球赛，赛制为单循环形式（各年级自行组队，且每两个队之间赛一场），已知计划安排10场比赛，设应邀参加的足球队有x个，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
6．在对一组样本数据进行分析时，小明列出了方差的计算公式：，由公式提供的信息，判断下列关于样本的说法错误的是（ ）
A．平均数是8 B．众数是6 C．中位数是9 D．方差是3.6
7．如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
8．已知a，b是方程的两根，则的值为（ ）
A．1 B． C．7 D．13
9．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则下列成立的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
二、填空题（每小题3分，满分18分）
11．五个数据，的中位数和众数都是，则______．
12．已知是方程的一个根，则的值为______．
13．已知，则的值为______．
14．已知，那么的值为_____ ．
15．若一组数据的方差为， 则 的方差为___________．
16．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，设此方程的一个实数根为b，令 ，则y的最小值为__________．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）
17．解方程：
(1)；
(2)．
18．计算：
(1)；
(2)．
19．为了弘扬和传承中华优秀传统文化，某校举办了一场名为“经典文化传承大赛”的初赛，比赛设定满分为10分，参赛学生的得分均为整数．以下是甲、乙两组（每组10人）学生在初赛中的成绩记录（单位：分）：
甲组：6，7，9，10，6，5，6，6，9，6．
乙组：10，7，6，9，6，7，7，6，7，5．
根据甲、乙两组学生的成绩，得到以下的统计表：
组别 平均数 中位数 众数 方差
甲组 7 a 6 2.6
乙组 b 7 c
(1)在以上成绩统计表中，_____，_____，_____．
(2)小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属于中游略偏上的水平．”根据上面的统计表，判断小明是哪个组的学生，并解释原因．
(3)从平均数和方差看，若从甲、乙两组学生中选择一个成绩较为稳定的小组参加决赛，应选哪个组？并说明理由．
20．已知关于x的一元二次方程有两个不等实数根，．
(1)求k的取值范围；
(2)若，求k的值．
(3)在（2）的条件下，求的值．
21．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了增加利润，商店决定采取适当的降价措施，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件，设每件童装降价x元时．
(1)每天可销售________件，每件盈利________元；（用x的代数式表示）
(2)每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元．
(3)要想平均每天盈利2000元，可能吗？若可能，请求出x的值；若不可能，请说明理由．
22．已知，．
(1)求的值；
(2)若a，b恰好是图中大长方形纸板的长和宽，在该纸板中裁出一个阴影正方形和一个阴影长方形，若正方形的面积为28，求图中阴影长方形的面积．
23．如图，在中，，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点；以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，连结．
(1)若，，求的长．
(2)设，．
①线段的长是方程的一个根吗？说明理由．
②若，求的值．
24．我们把根均为整数的一元二次方程称为“全整根方程”．对于“全整根方程”，设其两根为、，定义有序数对为该方程的特征数对（其中，）．若两个“全整根方程”的特征数对分别为，，，则称这两个方程互为“关联全整根方程”．
举例说明：方程①：（，），特征数对；
方程②：（，），特征数对；
验证：因为，因此这两个方程是互为“关联全整根方程”．
解答下列问题：
(1)【概念辨析与计算】已知关于x的方程（k为整数）是“全整根方程”．
①则该方程的两根分别为 ， ；
②若其特征数对为，求k的值．
(2)【关联探究与推理】若方程和都是全整根方程，且它们的两根分别为，和，．请用含a，b的代数式表示p，q．
(3)【验证与拓展】某同学利用工具生成了“全整根方程”A：（，）与“全整根方程”B：，且它们互为“关联全整根方程”，求n的最大值．
25．已知关于x的一元二次方程，有两个不相等的实数根分别为，．
(1)求m的取值范围；
(2)若方程的一个根，求m的值及方程的另一个根；
(3)若满足，求m的值．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C B C C D C D A
二、填空题
11．或
12．
13．
14．1
15．12
16．1
三、解答题
17．【详解】（1）解：
或
∴；
（2）解：
∴或
∴．
18．【详解】（1）解：；
（2）解：
．
19．【详解】（1）解：∵甲组数据重新排列为：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10．
∴中间两个数的平均数是，则中位数；
∵乙组数据重新排列为：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10．
，
乙组学生成绩中，数据出现了四次，次数最多，
所以众数．
（2）小明可能是甲组的学生，理由如下：
因为甲组的中位数是6分，而小明得了7分，
所以在小组中属中游略偏上，
（3）选乙组参加决赛．理由如下：
，
甲、乙两组学生平均数相同，而，
乙组的成绩比较稳定，
故选乙组参加决赛．
20．【详解】（1）解：根据题意得，
解得；
（2）解：，
解得或（不符合题意，舍去）
∴；
（3）解： ，
将，代入上式得，
∴（负值已舍）．
21．【详解】（1）解：设每件童装降价x元时，每天可销售件，每件盈利元；
（2）解：根据题意，得：，
解得：，，
答：每件童装降价20元或10元，平均每天盈利1200元；
（3）解：不能，理由如下：
根据题意，得：，
化简得，
方程无解，
故不可能做到平均每天盈利2000元．
22．【详解】（1）解：∵，，
∴，，
，
∴
；
（2）解：由题意可得阴影正方形的边长为，
∴阴影长方形的长为，宽为，
∴阴影长方形的面积为．
23．【详解】（1）解：由作图过程可知，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
答：的长为．
（2）解：线段的长是方程的一个根，
理由：
∵，，，，
∴，
由得，，
∴，
∴线段的长是方程的一个根．
由作图过程可知，，，
∵，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
答：的值为．
24．【详解】（1）解：①，
∴，
解得：或，
因此两根为和；
②∵其特征数对为，
∴ ，，
∵，，
∴，
由第二个方程得，
代入第一个方程验证：时，，符合要求；
时，舍去，因此．
（2）解：∵方程的根为，
由韦达定理得，，
∵方程的根为，
由韦达定理得：，即，
代入得，
整理得．
两根积：，展开得，
代入，得，
因此．
（3）解：，
∴，解得：，
∴方程B的特征数对：，．
对方程A：，
由韦达定理得，，
∴（），，
∵“全整根方程”A：（，）与“全整根方程”B：，且它们互为“关联全整根方程”，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵方程A：是“全整根方程”，
∴是非负完全平方数，
∴时，，符合，此时；
时，，符合，此时；
其余n均不满足为非负完全平方数，因此的最大值为9．
25．【详解】（1）解：由题意知，且，
∴且；
即且，
解得且；
（2）解：方程的一个根为，
则，
解得，
∴原方程为，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵，
∴，
，
∵，，
∴，
解得：或，
∵且，
∴．
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