资源简介

陕西省2025-2026学年八年级下学期期末模拟自测数学试卷
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2024 鼓楼区校级模拟）下列四个图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）（2024 花溪区一模）如图，在△ABC中，BC＝7，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作BC的平行线交AB于点E，交AC于点F，若△AEF的周长为14，则△ABC的周长是（　　）
A．14 B．19 C．21 D．23
3．（3分）（2023春 唐河县月考）在数轴上表示不等式x+2≤0的解集正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2．D为BC上一动点，连接AD，AD的垂直平分线分别交AC，AB于点E，F，则线段BF长的最大值是（　　）
A． B． C． D．4
5．（3分）（2025春 吴忠期末）如图，面积为3的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为1，观察作图痕迹得点B所表示的数为（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）（2024春 庆云县校级月考）在平面直角坐标系中，将点A'（2，﹣1）是由点A向左平移4个单位后得到的，则点A坐标是（　　）
A．（1，4） B．（﹣6，﹣1） C．（6，﹣1） D．（﹣3，8）
7．（3分）（2020秋 福绵区 期末）如图，已知BD⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB＝DC，∠BAC＝40°，∠ADG＝130°，则∠CDG的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
8．（3分）（2023春 蜀山区校级月考）若关于x，y的方程组的解满足x+y＜3，则m的所有非负整数之和为（　　）
A．1 B．3 C．4 D．6
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）（2021春 蒲城县期中）命题“等边三角形的三个内角相等”的逆命题是 　 　 命题．（填“真”或“假”）
10．（3分）（2024春 栾城区期末）如图，将三角形ABC沿BC方向平移到三角形DEF．已知AD＝3，三角形ABC的周长为9，则四边形ABFD的周长为 　 　 ．
11．（3分）（2025秋 甘井子区月考）已知等腰三角形的一个内角等于140°，则它的底角是　 　 °．
12．（3分）（2024春 武侯区校级期中）如图，直线y1＝mx与直线y2＝kx+b交于点P（2，1），则不等式组的解集为 　 　 ．
13．（3分）（2023秋 思明区校级期中）如图，在△ABC中，D为AB上一点，AD＝DC＝BC，且∠A＝30°，AD＝3，则AB＝ 　 　 ．
三．解答题（共13小题，满分81分）
14．（5分）（2024 任城区二模）解不等式：1，并写出非正整数解．
15．（5分）（2024秋 鄂州期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝50°，将Rt△ABC绕点A旋转得到Rt△ADE，点C的对应点E落在AB上，连接BD，CE，延长CE交BD于点F．
（1）求∠BDE的度数；
（2）若BD＝8，求EF的长．
16．（5分）（2025 泰州模拟）解不等式组：．
17．（5分）（2024 兴化市二模）如图1，位于市区昭阳湖公园的“昭阳大将军”雕塑是水乡兴化的标志性文化名片，如图2，线段AD表示大将军雕塑的高度，雕塑下基座BD的高度为8米，点A，D，B在同一条直线上，∠ABC＝90°且∠ACB＝60°，∠BCD＝52°，求大将军雕塑的高度．（计算结果保留整数，参考数据：tan52°≈1.2，tan60°≈1.7）
18．（5分）（2022秋 滨江区校级期中）用直尺和圆规：作出△ABC的角平分线BD和AB边上的中线．
19．（5分）（2024秋 北川县期末）如图，在△ABC中，点D为BC上一点，过点D作DE⊥AB、DF⊥AC，且DE＝DF，BE＝CF，∠BAC＝60°，求证：△ABC是等边三角形．
20．（5分）（2024春 富平县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）若点C1的坐标为（4，0），画出△ABC经过平移后得到的△A1B1C1；（点A、B、C的对应点分别为点A1、B1、C1）
（2）若△ABC绕着坐标原点O按逆时针方向旋转90°得到A2B2C2，画出△A2B2C2，并写出B2的坐标．（点A、B、C的对应点分别为点A2、B2、C2）
21．（6分）某一寄宿学校安排宿舍，如果每间住4人，就有100人没有床位；如果每间安排住6人，那么就会不仅空出5间，而且有一间不空也不满．求：此学校共有几间宿舍和多少位住宿生？
22．（7分）如图，已知△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，连接AD，EC交于点F，且∠BAC＝∠ACE＝∠BCE，若CF＝EF，AE＝2EB．
（1）求证：∠B＝90°；
（2）求的值．
23．（7分）（2025春 太原期中）综合与实践
活动背景：研学是一种体验式学习活动，学生通过亲身参与和在场体验，提升社会参与能力和自主发展能力等核心素养．某学校组织七年级12个班，共x名学生，进行为期一天的研学活动．现有两个方案，如下：
方案策划：
活动方案 方案一 太原古县城：千年晋韵探秘行 方案二 太原植物园：四季植萃探秘行
活动目的 了解当地文化 了解自然知识
活动内容 1．参观古县城及晋阳考古博物馆 2．非遗体验活动3选1 ①壁画修复 ②沥金彩绘 ③制作花馍 3．古县城内简餐 1．参观植物园 2．手工体验活动2选1 ①制作植物香囊 ②制作叶脉书签 3．植物园内简餐
活动费用 门票 免票（提前预约） ①成人票30元/人； ②学生团体票，可在半价基础上再打8折，为12元/人； ③教师凭有效证件免费入园．
讲解 古县城讲解120元/团； 晋阳考古博物馆讲解200元/团； 注：每个班级为一个研学团． 免费
体验活动 非遗体验活动：55元/人 手工体验活动：50元/人
用餐 学生简餐：15元/人 （备注：县城内免费为教师提供工作餐） 学生简餐：18元/人 （备注：园内免费为教师提供工作餐）
方案选择：
结合上表信息分析，该学校选择哪个方案进行研学活动所需费用较少？
24．（8分）（2025秋 长丰县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，DE垂直平分AB，交BC，AB于点D，E，FG垂直平分AC，交BC，AC于点F，G．
（1）求∠DAF的度数．
（2）若BC＝8，求△ADF的周长．
25．（8分）（2024春 龙海区校级月考）（1）求解不等式3x﹣2＜x+2，并将不等式的解集在数轴上表示出来．
（2）求不等式组的解集，并写出该不等式的所有整数解．
26．（10分）（2025春 达州期末）综合与实践，问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知△ABC中AB＝AC，∠B＝30°．将△ABC从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到△ADE（点D，E分别是点B，C的对应点），旋转角为α（0°＜α＜100°，设线段AD与BC相交于点M，线段DE分别交BC，AC于点O，N．
特例分析：（1）如图2，当旋转到AD⊥BC时，求旋转角α的度数为 　 　 ；
探究规律：（2）如图3，在△ABC绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段AM始终等于线段AN，请你证明这一结论．
拓展延伸：（3）①直接写出当△DOM是等腰三角形时旋转角α的度数．
②在图3中，作直线BD，CE交于点P，直接写出当△PDE是直角三角形时旋转角α的度数．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2024 鼓楼区校级模拟）下列四个图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】B
【分析】根据中心对称图形的定义（绕一个点旋转180°能够与自身重合的图形）判断即可．
【解答】解：A、C、D中的图形是中心对称图形，不符合题意；
B中的图形不是中心对称图形，符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形，熟知中心对称图形则是指在平面内把一个图形绕着某个点旋转180°后，能够与原来的图形重合的图形是解题的关键．
2．（3分）（2024 花溪区一模）如图，在△ABC中，BC＝7，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作BC的平行线交AB于点E，交AC于点F，若△AEF的周长为14，则△ABC的周长是（　　）
A．14 B．19 C．21 D．23
【考点】等腰三角形的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】由角平分线的定义得到∠EBD＝∠CBD，由平行线的性质得到∠EDB＝∠DBC，因此∠EDB＝∠EBD，推出ED＝EB，同理：FD＝FC，于是得到BE+CF＝DE+DF＝EF，由△AEF的周长＝AE+AF+FE＝AB+AC＝14，即可求出△ABC的周长＝AC+AB+BC＝14+7＝21．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD＝∠CBD，
∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴ED＝EB，
同理：FD＝FC，
∴BE+CF＝DE+DF＝EF，
∵△AEF的周长＝AE+AF+FE＝AE+AF+BE+CF＝AB+AC＝14，
∴△ABC的周长＝AC+AB+BC＝14+7＝21．
故选：C．
【点评】本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线定义，关键是由平行线的性质，角平分线定义推出FE＝BE+FC．
3．（3分）（2023春 唐河县月考）在数轴上表示不等式x+2≤0的解集正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据解一元一次不等式的步骤，对所给不等式进行求解，并在数轴上表示出解集即可．
【解答】解：x+2≤0，
x≤﹣2，
数轴表示如下：
．
故选：B．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
4．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2．D为BC上一动点，连接AD，AD的垂直平分线分别交AC，AB于点E，F，则线段BF长的最大值是（　　）
A． B． C． D．4
【考点】含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】过点F作FH⊥BC于H，连接DF，设AF＝x，则BF＝4﹣x，结合含30°角的直角三角形的性质可得关于x的不等式，计算可求解AF的最小值，进而可求得BF的最大值．
【解答】解：过点F作FH⊥BC于H，连接DF，
设AF＝x，则BF＝4﹣x，
∵∠B＝30°，∠C＝90°，AC＝2，
∴AB＝4，
∴FHBF＝2x，
∴x≥2x，
解得x，
∴AF最小值为 ，BF的最大值为4．
故选：C．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、30°角所对直角边是斜边的一半以及圆与直线的位置关系，将BF的最大值转化为AF最小是解决本题的关键，属于压轴题．
5．（3分）（2025春 吴忠期末）如图，面积为3的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为1，观察作图痕迹得点B所表示的数为（　　）
A． B． C． D．
【考点】实数与数轴．
【专题】实数；符号意识．
【答案】C
【分析】由题意得：，点A的数是1，设点B表示的数为x，根据两点间的距离公式列出关于x的方程，解方程求出x即可．
【解答】解：由题意得：，点A的数是1，
设点B表示的数为x，
∴，
，
，
∴点B表示的数是，
故选：C．
【点评】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握了两点间的距离公式．
6．（3分）（2024春 庆云县校级月考）在平面直角坐标系中，将点A'（2，﹣1）是由点A向左平移4个单位后得到的，则点A坐标是（　　）
A．（1，4） B．（﹣6，﹣1） C．（6，﹣1） D．（﹣3，8）
【考点】坐标与图形变化﹣平移．
【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】C
【分析】根据向左平移时，点的横坐标减小，纵坐标不变即可解决问题．
【解答】解：因为点A'（2，﹣1）是由点A向左平移4个单位后得到的，
则2+4＝6，
所以点A的坐标为（6，﹣1）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键．
7．（3分）（2020秋 福绵区 期末）如图，已知BD⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB＝DC，∠BAC＝40°，∠ADG＝130°，则∠CDG的度数为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【考点】角平分线的性质；等腰三角形的性质．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】根据角平分线的判定得到AD是∠BAC的平分线，进而求出∠DAC，根据直角三角形的性质求出∠ADC，计算即可．
【解答】解：∵BD⊥AE，DC⊥AF，DB＝DC，∠BAC＝40°，
∴AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAC∠BAC＝20°，
∵DC⊥AF，
∴∠ADC＝90°﹣20°＝70°，
∵∠ADG＝130°，
∴∠CDG＝∠ADG﹣∠ADC＝130°﹣70°＝60°，
故选：D．
【点评】本题考查的是角平分线的判定，熟记到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上是解题的关键．
8．（3分）（2023春 蜀山区校级月考）若关于x，y的方程组的解满足x+y＜3，则m的所有非负整数之和为（　　）
A．1 B．3 C．4 D．6
【考点】解一元一次不等式；二元一次方程组的解．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】方程组两方程相加表示出x+y，代入已知不等式求出m的范围，确定出m的所有非负整数解即可．
【解答】解：，
①+②得：得6x+6y＝6m﹣6，
即x+y＝m﹣1，
∵x+y＜3，
∴m﹣1＜3，
∴m＜4，
则满足条件的m的所有非负整数值为0，1，2，3，
它们的和为：0+1+2+3＝6
故选：D．
【点评】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式，解题的关键是根据题意列出关于m的不等式．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）（2021春 蒲城县期中）命题“等边三角形的三个内角相等”的逆命题是 　真　 命题．（填“真”或“假”）
【考点】命题与定理；等边三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】真．
【分析】首先写出原命题的逆命题，然后判断正误即可．
【解答】解：命题“等边三角形的三个内角相等”的逆命题为“三个角相等的三角形为等边三角形”，正确，为真命题，
故答案为：真．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度较小．
10．（3分）（2024春 栾城区期末）如图，将三角形ABC沿BC方向平移到三角形DEF．已知AD＝3，三角形ABC的周长为9，则四边形ABFD的周长为 　15　 ．
【考点】平移的性质．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】15．
【分析】根据平移的性质得到AD＝BE＝CF＝3，AB＝DE，AC＝DE，再根据三角形ABC的周长为9，即AB+BC+AC＝9得到四边形ABFD的周长为9+3+3即可．
【解答】解：由平移的性质可知，AD＝BE＝CF＝3，AB＝DE，AC＝DE，
∵三角形ABC的周长为9，即AB+BC+AC＝9，
∴四边形ABFD的周长为 AB+BF+DF+AD＝AB+BC+CF+AC+AD＝9+3+3＝15．
故答案为：15．
【点评】本题考查平移的性质，掌握平移的性质是正确解答的关键．
11．（3分）（2025秋 甘井子区月考）已知等腰三角形的一个内角等于140°，则它的底角是　20　 °．
【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】20．
【分析】根据等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和定理即可得出答案．
【解答】解：根据等腰三角形的性质，分类讨论：
∵当140°的角等腰三角形的底角时，三角形的内角和大于180°，
∴140°只能为等腰三角形的顶角，
当140°的角是等腰三角形的顶角时，两底角相等为：，
综上所述：它的底角为20°，
故答案为：20．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是掌握由140°的角是底角时，三角形的内角和大于180°得出140°只能为顶角．
12．（3分）（2024春 武侯区校级期中）如图，直线y1＝mx与直线y2＝kx+b交于点P（2，1），则不等式组的解集为 　﹣1＜x＜2　 ．
【考点】一次函数与一元一次不等式；两条直线相交或平行问题．
【专题】一次函数及其应用；用函数的观点看方程（组）或不等式；几何直观；运算能力．
【答案】﹣1＜x＜2．
【分析】先利用待定系数法求得y1x，进而求得函数值为时的自变量的值，即可根据图象直接求出不等式组mx＜kx+b的解集．
【解答】解：将P（2，1）代入解析式y1＝mx得，1＝2m，
解得m，
∴y1x，
将y代入解析式得，x，
∴x＝﹣1，
∵直线y1＝mx，y2＝kx+b交于点P（2，1），
∴不等式组mx＜kx+b的解集为﹣1＜x＜2．
故答案为：﹣1＜x＜2．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，求出y时，y1的自变量x的值，利用数形结合思想是解题的关键．
13．（3分）（2023秋 思明区校级期中）如图，在△ABC中，D为AB上一点，AD＝DC＝BC，且∠A＝30°，AD＝3，则AB＝ 　6　 ．
【考点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】6．
【分析】根据等腰三角形的性质和等边三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：∵AD＝DC，
∴∠ACD＝∠A＝30°，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD＝60°，
∵CD＝CB，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD＝CD，
∴BD＝AD＝3，
∴AB＝AD+BD＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握这些数学知识是解题的关键．
三．解答题（共13小题，满分81分）
14．（5分）（2024 任城区二模）解不等式：1，并写出非正整数解．
【考点】一元一次不等式的整数解；解一元一次不等式．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】x＞﹣3，这个不等式的非正整数解为﹣2、﹣1、0．
【分析】根据解不等式的一般步骤解答即可，一般步骤为：去分母，去括号，移项及合并同类项，系数化为1，然后写出非正整数即可．
【解答】解：去分母得，3（x﹣5）﹣2（4x﹣3）＜6，
去括号，得3x﹣15﹣8x+6＜6，
移项，得3x﹣8x＜6﹣6+15，
合并同类项得，﹣5x＜15，
系数化为1得，x＞﹣3，
所以，这个不等式的非正整数解为﹣2、﹣1、0．
【点评】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质：
（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；
（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；
（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
15．（5分）（2024秋 鄂州期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝50°，将Rt△ABC绕点A旋转得到Rt△ADE，点C的对应点E落在AB上，连接BD，CE，延长CE交BD于点F．
（1）求∠BDE的度数；
（2）若BD＝8，求EF的长．
【考点】旋转的性质；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据旋转的性质可得AC＝AE，AB＝AD，∠AED＝∠ACB＝90°，∠DAE＝∠BAC＝50°，再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，问题随之得解；
（2）根据等角对等边证明EF＝BF，EF＝DF，即有，问题随之得解．
【解答】解：（1）∵将Rt△ABC 绕点A旋转得到Rt△ADE，
∴AC＝AE，AB＝AD，∠AED＝∠ACB＝90°，∠DAE＝∠BAC＝50°，
∴∠ADE＝90°﹣∠DAE＝40°，，
∴∠BDE＝∠ADB﹣∠ADE＝25°．
（2）∵AC＝AE，∠BAC＝50°，
∴．
∴∠BEF＝∠AEC＝65°．
∵∠ABD＝65°，
∴∠BEF＝∠ABD，
∴EF＝BF．
∵∠DEF＝90°﹣∠BEF＝25°，
∴∠DEF＝∠BDE．
∴EF＝DF．
∴．
∵BD＝8，
∴．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，旋转的性质，三角形内角和定理等知识，掌握等腰三角形的判定与性质，是解答本题的关键．
16．（5分）（2025 泰州模拟）解不等式组：．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】．
【分析】根据解一元一次不等式组的步骤，对所给不等式组进行求解即可．
【解答】解：，
解不等式①得，x，
解不等式②得，x，
所以不等式组的解集为．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
17．（5分）（2024 兴化市二模）如图1，位于市区昭阳湖公园的“昭阳大将军”雕塑是水乡兴化的标志性文化名片，如图2，线段AD表示大将军雕塑的高度，雕塑下基座BD的高度为8米，点A，D，B在同一条直线上，∠ABC＝90°且∠ACB＝60°，∠BCD＝52°，求大将军雕塑的高度．（计算结果保留整数，参考数据：tan52°≈1.2，tan60°≈1.7）
【考点】解直角三角形的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；应用意识．
【答案】将军雕塑的高度为3米．
【分析】在Rt△BCD中，解直角三角形求出BC，在Rt△ABC中，解直角三角形求出AB，根据AD＝AB﹣BD即可得解．
【解答】解：由题意得：在Rt△BCD中，∠B＝90°，∠BCD＝52°，
∴BC6.7（m），
在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝60°，
∴AB＝BC tan60°≈6.7×1.7≈11.4（m），
∴AD＝AB﹣BD≈3（m）．
答：大将军雕塑的高度为3米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，灵活掌握相关性质是解题的关键．
18．（5分）（2022秋 滨江区校级期中）用直尺和圆规：作出△ABC的角平分线BD和AB边上的中线．
【考点】作图—复杂作图；角平分线的性质．
【专题】尺规作图；几何直观．
【答案】见解析．
【分析】先作△ABC的角平分线BD，即以点B为圆心，适当长为半径作弧交BA和BC于两点，再分别以这两点为圆心，大于这两点距离的一半长度为半径再作弧并交于点F，作射线BF，射线BF交AC于点D，BD即为△ABC的角平分线；再作AB边上的中线，即分别以A，B点为圆心，大于线段AB一半长度为半径，作圆弧，分别交于AB两侧的M，N点，连接MN交AB于点E，连接CE，线段CE即为AB边上的中线．
【解答】解：如图所示，BD即为△ABC的角平分线；线段CE即为AB边上的中线．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
19．（5分）（2024秋 北川县期末）如图，在△ABC中，点D为BC上一点，过点D作DE⊥AB、DF⊥AC，且DE＝DF，BE＝CF，∠BAC＝60°，求证：△ABC是等边三角形．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】见解答．
【分析】由“SAS”可证△DBE≌△DCF，可得∠B＝∠C，可得AB＝AC，即可得结论．
【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
在△DBE和△DCF中，
，
∴△DBE≌△DCF（SAS），
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
∵∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
20．（5分）（2024春 富平县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）若点C1的坐标为（4，0），画出△ABC经过平移后得到的△A1B1C1；（点A、B、C的对应点分别为点A1、B1、C1）
（2）若△ABC绕着坐标原点O按逆时针方向旋转90°得到A2B2C2，画出△A2B2C2，并写出B2的坐标．（点A、B、C的对应点分别为点A2、B2、C2）
【考点】作图﹣旋转变换；作图﹣平移变换．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】（1）见解答．
（2）画图见解答；B2（﹣1，﹣2）．
【分析】（1）根据平移的性质作图即可．
（2）根据旋转的性质作图，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
由图可得，B2的坐标为（﹣1，﹣2）．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换变换、作图﹣平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键．
21．（6分）某一寄宿学校安排宿舍，如果每间住4人，就有100人没有床位；如果每间安排住6人，那么就会不仅空出5间，而且有一间不空也不满．求：此学校共有几间宿舍和多少位住宿生？
【考点】一元一次不等式组的应用．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】此学校共有66间宿舍和364位住宿生或67间宿舍和368位住宿生．
【分析】设此学校共有x间宿舍，则共有（4x+100）位住宿生，根据“如果每间安排住6人，那么就会不仅空出5间，而且有一间不空也不满”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，取其中的正整数，可得出宿舍的间数，再将其代入（4x+100）中，即可求出住宿生的人数．
【解答】解：设此学校共有x间宿舍，则共有（4x+100）位住宿生，
根据题意得：，
解得：65＜x＜68，
∵x为正整数，
∴x＝66或67，
当x＝66时，4x+100＝4×66+100＝364；
当x＝67时，4x+100＝4×67+100＝368．
答：此学校共有66间宿舍和364位住宿生或67间宿舍和368位住宿生．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
22．（7分）如图，已知△ABC中，点E在AB上，点D在BC上，连接AD，EC交于点F，且∠BAC＝∠ACE＝∠BCE，若CF＝EF，AE＝2EB．
（1）求证：∠B＝90°；
（2）求的值．
【考点】相似三角形的判定与性质；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；运算能力；推理能力．
【答案】（1）如图1，作BC的垂直平分线交CE于点L，连接BL，
∵∠BAC＝∠ACE＝∠BCE，
∴∠BEC＝∠BAC+∠ACE＝2∠ACE＝2∠BCE，AE＝CE，
∵BL＝CL，
∴∠LBC＝∠BCE，
∴∠BLE＝∠LBC+∠BCE＝2∠BCE，
∴∠BEC＝∠BLE，
∴BL＝EB，
∵AE＝2EB，
∴CE＝2EB＝2BL＝2CL，
∴CL+EL＝2CL，
∴EL＝CL，
∴EL＝BL＝EB，
∴△BEL是等边三角形，
∴∠BLE＝∠EBL＝60°，
∴∠LBC＝∠BCE∠BLE＝30°，
∴∠ABC＝∠EBL+∠LBC＝90°．
（2）的值是．
【分析】（1）作BC的垂直平分线交CE于点L，连接BL，由∠BAC＝∠ACE＝∠BCE，得∠BEC＝2∠ACE＝2∠BCE，AE＝CE，而∠BLE＝2∠BCE，则∠BEC＝∠BLE，所以BL＝EB，因为AE＝2EB，所以CE＝2EB＝2BL＝2CL，可证明EL＝CL，则EL＝BL＝EB，所以∠BLE＝∠EBL＝60°，则∠LBC＝∠BCE∠BLE＝30°，所以∠ABC＝∠EBL+∠LBC＝90°．
（2）作EH∥BC交AD于点H，可证明△DCF≌△HEF，得CD＝EH，由AE＝2EB，得AB＝3EB，再证明△AEH∽△ABD，得，所以CD＝EHDB，则．
【解答】（1）证明：如图1，作BC的垂直平分线交CE于点L，连接BL，
∵∠BAC＝∠ACE＝∠BCE，
∴∠BEC＝∠BAC+∠ACE＝2∠ACE＝2∠BCE，AE＝CE，
∵BL＝CL，
∴∠LBC＝∠BCE，
∴∠BLE＝∠LBC+∠BCE＝2∠BCE，
∴∠BEC＝∠BLE，
∴BL＝EB，
∵AE＝2EB，
∴CE＝2EB＝2BL＝2CL，
∴CL+EL＝2CL，
∴EL＝CL，
∴EL＝BL＝EB，
∴△BEL是等边三角形，
∴∠BLE＝∠EBL＝60°，
∴∠LBC＝∠BCE∠BLE＝30°，
∴∠ABC＝∠EBL+∠LBC＝90°．
（2）解：如图2，作EH∥BC交AD于点H，则∠DCF＝∠HEF，
在△DCF和△HEF中，
，
∴△DCF≌△HEF（ASA），
∴CD＝EH，
∵AE＝2EB，
∴AB＝2EB+EB＝3EB，
∵EH∥BD，
∴△AEH∽△ABD，
∴，
∴CD＝EHDB，
∴，
∴的值是．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
23．（7分）（2025春 太原期中）综合与实践
活动背景：研学是一种体验式学习活动，学生通过亲身参与和在场体验，提升社会参与能力和自主发展能力等核心素养．某学校组织七年级12个班，共x名学生，进行为期一天的研学活动．现有两个方案，如下：
方案策划：
活动方案 方案一 太原古县城：千年晋韵探秘行 方案二 太原植物园：四季植萃探秘行
活动目的 了解当地文化 了解自然知识
活动内容 1．参观古县城及晋阳考古博物馆 2．非遗体验活动3选1 ①壁画修复 ②沥金彩绘 ③制作花馍 3．古县城内简餐 1．参观植物园 2．手工体验活动2选1 ①制作植物香囊 ②制作叶脉书签 3．植物园内简餐
活动费用 门票 免票（提前预约） ①成人票30元/人； ②学生团体票，可在半价基础上再打8折，为12元/人； ③教师凭有效证件免费入园．
讲解 古县城讲解120元/团； 晋阳考古博物馆讲解200元/团； 注：每个班级为一个研学团． 免费
体验活动 非遗体验活动：55元/人 手工体验活动：50元/人
用餐 学生简餐：15元/人 （备注：县城内免费为教师提供工作餐） 学生简餐：18元/人 （备注：园内免费为教师提供工作餐）
方案选择：
结合上表信息分析，该学校选择哪个方案进行研学活动所需费用较少？
【考点】一元一次方程的应用；一元一次不等式的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】当x＜384时，该学校选择方案二进行研学活动所需费用较少；当x＝384时，该学校选择方案一和方案二进行研学活动所需费用相同；当x＞384时，该学校选择方案一进行研学活动所需费用较少．
【分析】利用总价＝单价×数量，可用含x的代数式表示出选项方案一及方案二所需费用，分70x+3840＞80x，70x+3840＝80x及70x+3840＜80x三种情况，可求出x的取值范围或x的值，进而可得出结论．
【解答】解：选择方案一所需费用为120×12+200×12+55x+15x＝（70x+3840）元，选择方案二所需费用为12x+50x+18x＝80x元，
当70x+3840＞80x时，x＜384，
∴当x＜384时，该学校选择方案二进行研学活动所需费用较少；
当70x+3840＝80x时，x＝384，
∴当x＝384时，该学校选择方案一和方案二进行研学活动所需费用相同；
当70x+3840＜80x时，x＞384，
∴当x＞384时，该学校选择方案一进行研学活动所需费用较少．
答：当x＜384时，该学校选择方案二进行研学活动所需费用较少；当x＝384时，该学校选择方案一和方案二进行研学活动所需费用相同；当x＞384时，该学校选择方案一进行研学活动所需费用较少．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式（或一元一次方程）是解题的关键．
24．（8分）（2025秋 长丰县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，DE垂直平分AB，交BC，AB于点D，E，FG垂直平分AC，交BC，AC于点F，G．
（1）求∠DAF的度数．
（2）若BC＝8，求△ADF的周长．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】（1）20°；
（2）8．
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，FA＝FC，根据等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠B，∠FAC＝∠C，计算即可；
（2）根据三角形周长公式计算得到答案．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝100°，
∴∠B+∠C＝180°﹣100°＝80°，
∵DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，
∴DA＝DB，FA＝FC，
∴∠DAB＝∠B，∠FAC＝∠C，
∴∠DAB+∠FAC＝∠B+∠C＝80°，
∴∠DAF＝∠BAC﹣（∠DAB+∠FAC）＝100°﹣80°＝20°；
（2）∵DA＝DB，FA＝FC，BC＝8，
∴△ADF的周长为：DA+FA+DF＝DB+FC+DF＝BC＝8．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
25．（8分）（2024春 龙海区校级月考）（1）求解不等式3x﹣2＜x+2，并将不等式的解集在数轴上表示出来．
（2）求不等式组的解集，并写出该不等式的所有整数解．
【考点】一元一次不等式组的整数解；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式；一元一次不等式的整数解；解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）x＜2，数轴表示见解析；
（2）解集为﹣1≤x＜3，整数解为﹣1，0，1，2．
【分析】（1）移项合并同类项，化系数为1，再用数轴表示即可；
（2）先求出两个不等式的解集，再求其公共解，再写出整数解．
【解答】解：（1）3x﹣2＜x+2，
3x﹣x＜2+2，
2x＜4，
x＜2，
（2）由不等式2x+5≤3（x+2）得：x≥﹣1，
由不等式得：x＜3，
∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜3，
∴所有整数解为：﹣1，0，1，2．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟知以上知识是解题的关键．
26．（10分）（2025春 达州期末）综合与实践，问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知△ABC中AB＝AC，∠B＝30°．将△ABC从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到△ADE（点D，E分别是点B，C的对应点），旋转角为α（0°＜α＜100°，设线段AD与BC相交于点M，线段DE分别交BC，AC于点O，N．
特例分析：（1）如图2，当旋转到AD⊥BC时，求旋转角α的度数为 　60　 ；
探究规律：（2）如图3，在△ABC绕点A逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段AM始终等于线段AN，请你证明这一结论．
拓展延伸：（3）①直接写出当△DOM是等腰三角形时旋转角α的度数．
②在图3中，作直线BD，CE交于点P，直接写出当△PDE是直角三角形时旋转角α的度数．
【考点】等腰三角形的性质；规律型：图形的变化类．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】（1）60°；
（2）见解答；
（3）α＝30°或75°，60°．
【分析】（1）根据等腰三角形“三线合一”可得结果；
（2）可证明△BAM≌△EAN，从而得出结论；
（3）①分成DM＝MO，DM＝OD及OM＝OD，根据∠D＝40°，每种情形可求得另外两个角，进一步求得结果；
②根据旋转的性质进行计算即可．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠C＝∠B＝30°，∠BAD∠BAC，
∴∠BAD60，
∴α＝60°，
故答案为：60°；
（2）证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠MAN＝∠DAE﹣∠MAN，
即：∠BAM＝∠EAN，
在△BAM和△EAN中，
，
∴△BAM≌△EAN（ASA），
∴AM＝AN；
（3）解：①如图1，
当DM＝OM时，∠MOD＝∠D＝30°，
∵∠B＝∠D，∠AMB＝∠DMO，
∴∠BAD＝∠MOD＝30°，
∴α＝30°，
如图2，
当DM＝DO时，∠DMO＝∠DOM75°，
∴α＝∠DOM＝75°，
如图3，
当OM＝OD时，∠OMD＝∠D＝30°，
∴α＝∠DOM＝120°，
此时AD和AC重合，这种情形不存在．
综上所述：α＝30°或75°．
②如图：
当∠EDP＝90°时，
∵∠ABC＝ADE＝30°，
∴∠ADB＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BAD＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∵0°＜α＜100°，
∴旋转角α为60°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是画出图形，正确分类．

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