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陕西省2025-2026学年八年级下学期期末模拟自测数学试卷
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2024 连州市二模）以下是某些地区建筑的外形图，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）（2025春 高碑店市期末）对于题目“如图，BC＝6cm，∠PBC＝∠QCB＝60°，点M在线段CB上以3cm/s的速度由点C向点B运动，同时，点N在射线CQ上以1cm/s的速度运动，它们运动的时间为t（s）（当点M运动结束时，点N运动也随之结束）．在射线BP上取一点A，在点M，N运动到某处时，存在△ABM与△MCN全等，求此时t的值．”甲的结果是0.5，乙的结果是1，丙的结果是1.5，则下列说法正确的是（　　）
A．甲、乙两人的结果合起来才对
B．乙、丙两人的结果合起来才对
C．甲、丙两人的结果合起来才对
D．甲、乙、丙三人的结果合起来才对
3．（3分）（2024春 嘉兴期末）下列由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　　）
A．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9 B．（x+y）2＝x2+2xy+y2
C． D．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2
4．（3分）（2025春 武城县期末）关于x不等式x﹣a＞2有且只有2个负整数解，那么a的取值范围是（　　）
A．﹣5≤a＜﹣4 B．﹣5＜a＜﹣4 C．﹣5≤a≤﹣4 D．﹣5＜a≤﹣4
5．（3分）（2025秋 台州期中）如图，CE平分∠BCD且CE⊥BD于点E，∠DAB＝∠DBA，AC＝22，△BCD的周长为32，则BD的长为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．16
6．（3分）（2025春 白银期末）若9x2+（k﹣2）x+16能用完全平方公式因式分解，则k的值为（　　）
A．±24 B．±26 C．26或﹣22 D．﹣26或22
7．（3分）（2024春 洪山区期末）如图，函数y＝|kx﹣b|（k≠0）的图象与x、y轴分别交于点B和A（0，3）两点，与函数yx交于点C、D，若D点纵坐标为1，则|kx﹣b|x的解集为（　　）
A． B． C． D．
8．（3分）（2023春 郏县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点D是边BC上一点（点D不与点B，点C重合），将AC绕点A顺时针旋转至AC1，AC1交BC于点H，且AD平分∠CAC1，若DC1∥AB，则点B到线段AD的距离为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）（2025秋 南昌期末）多项式3a3b2﹣6a2c的公因式是　 　 ．
10．（3分）（2025春 齐齐哈尔期末）如图AB＝3cm，BC＝5cm，AC＝4cm，将△ABC沿BC方向平移2cm，得到△DEF，连接AD，则阴影部分周长为　 　 cm．
11．（3分）（2025秋 温江区校级期中）如果不等式组的解集是x＞2，则a的取值范围是 　 　 ．
12．（3分）（2023秋 确山县期中）“廊桥凌水，楼阁傲天，状元故里状元桥，绶溪桥上看绶溪”．莆田绶溪公园开放“状元桥”和“状元阁”游览观光，其中“状元阁”的建筑风格堪称“咫尺之内再造乾坤”．如图，“状元阁”的顶端可看作等腰三角形ABC，AB＝AC，D是边BC上的一点．请你添加一个条件说明AD是△ABC的角平分线的是 　 　 ．
13．（3分）（2025 惠州二模）如图，等腰Rt△ABC中∠ACB＝90°，AB＝4，点P为斜边中点，点D在CB上且CD＝1，将CD绕点C在平面内旋转，点D的对应点为点Q，连接PQ．则PQ的最大值为 　 　 ．
三．解答题（共13小题，满分81分）
14．（5分）因式分解：
（1）2ax3+6a2x2；
（2）3x2y+6xy2z﹣3xy；
（3）﹣5abc+10ab+15a；
（4）27a2bc﹣9ab2c+3abc2．
15．（5分）（2024 雁塔区校级模拟）解一元一次不等式：．
16．（5分）（2024秋 东台市期中）如图，已知点D、E在AB上，且AB＝AC，BE＝CD．求证：△ADE是等腰三角形．
17．（5分）（2025秋 长春期中）在函数的学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，经历了结合图象研究函数性质的过程．下面我们参照函数学习的过程与方法，探究分段函数的图象与性质，并解决如下问题．
（1）当x＝﹣3时，y＝　 　 ；当x＝4时，y＝　 　 ；
（2）在平面直角坐标系中画出函数图象；
（3）已知点（a，2）在这个函数图象上，求a的值；
（4）当时，y的取值范围为　 　 ；
（5）点P、Q是该函数图象上不重合的两点，横坐标分别为b、﹣b+1．小明对P、Q之间（含P、Q两点）的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随b的变化而变化时，直接写出b的取值范围．
18．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是斜边AB上的高，BD＝2．求AB的长度．
19．（5分）如图，将三角形ABC先向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到三角形A1B1C1，写出各顶点平移前后的坐标．
20．（5分）（2024秋 原州区校级月考）如图，某地有如图所示的三条公路OA，OB，AB，计划修建一座物资仓库，希望仓库到三条公路的距离相等，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
21．（6分）（2025春 铁西区期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣2，3），C（﹣5，2）．
（1）画出△ABC向右平移6个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的△AB2C2，并写出点C2的坐标．
22．（7分）（2024春 崂山区期末）某校学生会组织七年级和八年级共50名学生参加环保活动，七年级学生平均每人收集16个废弃塑料瓶、八年级学生平均每人收集24个废弃塑料瓶，请你根据以上信息，设计一个可以用一元一次不等式解决的问题，并给出解决方案．
23．（7分）已知：如图，△ABC的边AB的中垂线与边AC的中垂线相交于点O．求证：AO＝BO＝CO．
24．（8分）（2025春 市北区期中）【猜想】
两个相邻整数的“平均数的平方”与这两个整数的“平方的平均数”的差是定值．
【验证】
（1）设两个相邻的整数为﹣2，﹣1，则它们平均数的平方为　 　 ；它们平方的平均数为　 　 ；﹣2，﹣1的“平均数的平方”与它们“平方的平均数”的差为　 　 ．
【说明】
（2）设两个相邻整数分别为a，a+1，用代数式说明猜想成立，并求出这一定值．
25．（8分）（2024秋 黔西南州期末）实践活动：为了让学生走出教室，走进大自然，黔西南州某中学走进某企业，开展了“舌尖上的刺梨，研究中的成长”实践活动．巧遇该企业搞促销活动，请你用所学知识解决下列问题：
每盒刺梨原汁定价120元，每盒刺梨干定价20元，优惠方案有以下两种：
方案一：买一盒刺梨原汁送一盒刺梨干；方案二：刺梨原汁和刺梨干都按定价打八点八折．
现某客户需要购买刺梨原汁30盒，刺梨干x盒．（x＞30）
（1）若该客户按方案一购买，需付款　 　 （用含x的式子表示），若该客户按方案二购买，需付款　 　 元（用含x的式子表示）；
（2）试求当x取何值时，不论采用哪种方案购买，所需费用都是相等的．
26．（10分）（2025 扬州三模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB上的动点（不与点A，B重合）．
（1）操作发现：如图①，当AC＝BC时，把线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE，BE．
①∠CBE的度数为 　 　 ；
②AD和BE有什么数量关系，请写出你的探究过程；
（2）探究证明：如图2，当BC＝2AC时，把线段CD绕点C逆时针旋转90°后并延长为原来的两倍，记为线段CE．
①在点D的运动过程中，请判断AD与BE有什么数量关系？并证明；
②若，在点D的运动过程中，当△CBE的形状为等腰三角形时，直接写出此时△CBE的面积．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2024 连州市二模）以下是某些地区建筑的外形图，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【解答】解：A．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C．原图是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D．原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别．熟练掌握相关定义是解答本题关键．
2．（3分）（2025春 高碑店市期末）对于题目“如图，BC＝6cm，∠PBC＝∠QCB＝60°，点M在线段CB上以3cm/s的速度由点C向点B运动，同时，点N在射线CQ上以1cm/s的速度运动，它们运动的时间为t（s）（当点M运动结束时，点N运动也随之结束）．在射线BP上取一点A，在点M，N运动到某处时，存在△ABM与△MCN全等，求此时t的值．”甲的结果是0.5，乙的结果是1，丙的结果是1.5，则下列说法正确的是（　　）
A．甲、乙两人的结果合起来才对
B．乙、丙两人的结果合起来才对
C．甲、丙两人的结果合起来才对
D．甲、乙、丙三人的结果合起来才对
【考点】全等三角形的判定．
【专题】三角形；图形的全等；几何直观；推理能力．
【答案】B
【分析】依题意得CM＝3tcm，CN＝tcm，BM＝BC﹣CM＝（6﹣3t）cm，再分两种情况讨论：①当AB＝CM，BM＝CN时，则△ABM≌△MCN，由BM＝CN得6﹣3t＝t，由此解得t＝1.5，②当AB＝CN，BM＝CM时，则△ABM≌△NCM，由BM＝CM得6﹣3t＝3t，由此解得t＝1，综上所述即可得出答案．
【解答】解：依题意得：CM＝3tcm，CN＝tcm，
∵BC＝6cm，∠PBC＝∠QCB＝60°，
∴BM＝BC﹣CM＝（6﹣3t）cm，
当在△ABM与△MCN全等时，有以下两种情况：
①当AB＝CM，BM＝CN时，则△ABM≌△MCN（SAS），
由BM＝CN，得：6﹣3t＝t，
解得：t＝1.5，
②当AB＝CN，BM＝CM时，则△ABM≌△NCM（SAS），
由BM＝CM，得：6﹣3t＝3t，
解得：t＝1，
综上所述：乙、丙两人的结果合起来才对．
故选：B．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解决问题的关键．
3．（3分）（2024春 嘉兴期末）下列由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　　）
A．（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9 B．（x+y）2＝x2+2xy+y2
C． D．a2﹣2a+1＝（a﹣1）2
【考点】因式分解的意义．
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据因式分解的定义对选项逐一分析即可．把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做因式分解．
【解答】解：（x+3）（x﹣3）＝x2﹣9，是整式的乘法，不是因式分解，故选项A不符合题意；
（x+y）2＝x2+2xy+y2，等式右边不是整式的乘积形式，不是因式分解，故选项B不符合题意；
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，等式右边不是整式的乘积形式，不是因式分解，故选项C不符合题意；
a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，从左到右是因式分解，故选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查因式分解，解决本题的关键是充分理解并应用因式分解的定义．
4．（3分）（2025春 武城县期末）关于x不等式x﹣a＞2有且只有2个负整数解，那么a的取值范围是（　　）
A．﹣5≤a＜﹣4 B．﹣5＜a＜﹣4 C．﹣5≤a≤﹣4 D．﹣5＜a≤﹣4
【考点】一元一次不等式的整数解．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】由x﹣a＞2得x＞a+2，根据不等式有且只有2个负整数解，知﹣3≤a+2＜﹣2，解之即可得出答案．
【解答】解：由x﹣a＞2得x＞a+2，
∵不等式有且只有2个负整数解，
∴﹣3≤a+2＜﹣2，
解得﹣5≤a＜﹣4，
故选：A．
【点评】本题主要考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤和不等式的基本性质．
5．（3分）（2025秋 台州期中）如图，CE平分∠BCD且CE⊥BD于点E，∠DAB＝∠DBA，AC＝22，△BCD的周长为32，则BD的长为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．16
【考点】等腰三角形的判定与性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】先证明△CED≌△CEB（ASA），得到BC＝DC，再由∠DAB＝∠DBA，得到DA＝DB，故AC＝AD+CD＝BD+CD＝22，再根据△BCD的周长为32，即BC+CD+BD＝32，可求出BC＝10＝CD，从而BD＝32﹣10﹣10＝12．
【解答】解：∵CE平分∠BCD且CE⊥BD于点E，
∵∠DCE＝∠BCE，∠CED＝∠CEB＝90°，
在△CED和△CEB中，
，
∴△CED≌△CEB（ASA），
∴BC＝DC，
∵∠DAB＝∠DBA，
∴DA＝DB，
∴AC＝AD+CD＝BD+CD＝22．
又∵△BCD的周长为32，即BC+CD+BD＝32，
∴BC＝10＝CD，
∴BD＝32﹣10﹣10＝12．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，分析图形并熟练运用这些性质是解题关键．
6．（3分）（2025春 白银期末）若9x2+（k﹣2）x+16能用完全平方公式因式分解，则k的值为（　　）
A．±24 B．±26 C．26或﹣22 D．﹣26或22
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】C
【分析】根据完全平方公式的结构特征解答即可．
【解答】解：若9x2+（k﹣2）x+16能用完全平方公式因式分解，
则k﹣2＝±2×3×4，
解得k＝26或k＝﹣22，
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
7．（3分）（2024春 洪山区期末）如图，函数y＝|kx﹣b|（k≠0）的图象与x、y轴分别交于点B和A（0，3）两点，与函数yx交于点C、D，若D点纵坐标为1，则|kx﹣b|x的解集为（　　）
A． B． C． D．
【考点】一次函数与一元一次不等式；两条直线相交或平行问题；一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；用函数的观点看方程（组）或不等式；几何直观；运算能力．
【答案】C
【分析】由题意可知b＝3，D（2，1），然后求得点C的坐标，根据图象即可求解．
【解答】解：设B（m，0），
则y，
把y＝1代入yx得，1，
解得x＝2，
∴D（2，1），
∵A（0，3），
∴b＝3，
把D的坐标代入y＝kx﹣3中，得2k﹣3＝1，
解得k＝2，
∴y＝|2x﹣3|，
解，得，
∴C（，），
观察图象，|kx﹣b|x的解集为．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，两条直线相交问题，求得C、D的坐标是解题的关键．
8．（3分）（2023春 郏县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点D是边BC上一点（点D不与点B，点C重合），将AC绕点A顺时针旋转至AC1，AC1交BC于点H，且AD平分∠CAC1，若DC1∥AB，则点B到线段AD的距离为（　　）
A． B． C． D．
【考点】旋转的性质；平行线的性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】A
【分析】过点B作BF⊥AD于F，过点A作AE⊥BC于E，由等腰三角形的性质可得CE＝BE＝4，∠C＝∠ABC，由勾股定理可求AE的长，由“SAS”可证△ACD≌△AC1D，可得∠C＝∠C1，可求AB＝DB＝5，由面积法可求解．
【解答】解：如图，过点B作BF⊥AD于F，过点A作AE⊥BC于E，
∵AB＝AC＝5，BC＝8，AE⊥BC，
∴CE＝BE＝4，∠C＝∠ABC，
∴AE3，
∵将AC绕点A顺时针旋转至AC1，
∴AC＝AC1，
∵AD平分∠CAC1，
∴∠CAD＝∠C1AD，
在△ACD和△AC1D中，
，
∴△ACD≌△AC1D（SAS），
∴∠C＝∠C1，
∵DC1∥AB，
∴∠C1＝∠HAB，
∵∠ADB＝∠C+∠CAD，∠DAB＝∠DAC1+∠HAB，
∴∠DAB＝∠ADB，
∴AB＝DB＝5，
∴DE＝BD﹣BE＝1，
∴AD，
∵S△ABDBD AEAD BF，
∴5×3BF，
∴BF，
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，求出AD的长是本题的关键．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）（2025秋 南昌期末）多项式3a3b2﹣6a2c的公因式是　3a2 ．
【考点】公因式．
【专题】因式分解；运算能力．
【答案】3a2．
【分析】系数部分：系数3和6的最大公约数是3；字母部分：a的最小指数为2，故公因式为3a2．
【解答】解：多项式3a3b2﹣6a2c的公因式是3a2．
故答案为：3a2．
【点评】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键．
10．（3分）（2025春 齐齐哈尔期末）如图AB＝3cm，BC＝5cm，AC＝4cm，将△ABC沿BC方向平移2cm，得到△DEF，连接AD，则阴影部分周长为　12　 cm．
【考点】平移的性质．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】12．
【分析】先利用平移的性质得到AD＝BF＝2cm，DF＝AB＝3cm，则CF＝3cm，然后计算阴影部分的周长．
【解答】解：由平移的性质可知，AD＝BF＝2cm，DF＝AB＝3cm，
∵CF＝BC﹣BF＝5﹣2＝3cm，
∴阴影部分的周长为AD+CF+AC+DF＝2+3+4+3＝12（cm）．
故答案为：12．
【点评】本题考查的平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
11．（3分）（2025秋 温江区校级期中）如果不等式组的解集是x＞2，则a的取值范围是 a≤﹣2　 ．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】a≤﹣2．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同小取小，结合不等式组的解集可得答案．
【解答】解：由x+1＞3，得：x＞2，
由4﹣x＜﹣a，得：x＞a+4，
∵不等式组的解集为x＞2，
∴a+4≤2，
解得a≤﹣2．
故答案为：a≤﹣2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
12．（3分）（2023秋 确山县期中）“廊桥凌水，楼阁傲天，状元故里状元桥，绶溪桥上看绶溪”．莆田绶溪公园开放“状元桥”和“状元阁”游览观光，其中“状元阁”的建筑风格堪称“咫尺之内再造乾坤”．如图，“状元阁”的顶端可看作等腰三角形ABC，AB＝AC，D是边BC上的一点．请你添加一个条件说明AD是△ABC的角平分线的是 AD⊥BC（答案不唯一）　 ．
【考点】等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】AD⊥BC（答案不唯一）．
【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质，即可求解．
【解答】解：添加一个条件为AD⊥BC，
∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，且AD⊥BC，
∴AD是△ABC的角平分线（底边上的中线，高线，顶角的平分线是同一条线），
故答案为：AD⊥BC（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．
13．（3分）（2025 惠州二模）如图，等腰Rt△ABC中∠ACB＝90°，AB＝4，点P为斜边中点，点D在CB上且CD＝1，将CD绕点C在平面内旋转，点D的对应点为点Q，连接PQ．则PQ的最大值为 　3　 ．
【考点】旋转的性质；等腰直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】3．
【分析】连接CP，因为点P为Rt△ABC斜边AB的中点，AB＝4，所以CPAB＝2，由旋转得CQ＝CD＝1，由PQ≤CP+CQ，得PQ≤3，则PQ的最大值为3，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接CP，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点P为斜边AB的中点，AB＝4，
∴CPAB＝2，
∵点D在CB上且CD＝1，将CD绕点C在平面内旋转，点D的对应点为点Q，
∴CQ＝CD＝1，
∵PQ≤CP+CQ，且CP+CQ＝3，
∴PQ≤3，
∴PQ的最大值为3，
故答案为：3．
【点评】此题重点考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、旋转的性质、两点之间线段最短等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
三．解答题（共13小题，满分81分）
14．（5分）因式分解：
（1）2ax3+6a2x2；
（2）3x2y+6xy2z﹣3xy；
（3）﹣5abc+10ab+15a；
（4）27a2bc﹣9ab2c+3abc2．
【考点】因式分解﹣提公因式法．
【专题】因式分解；运算能力．
【答案】（1）2ax2（x+3a）；
（2）3xy（x+2yz﹣1）；
（3）﹣5a（bc﹣2b﹣3）；
（4）3abc（9a﹣3b+c）．
【分析】（1）先确定公因式2ax2，再提取即可；
（2）先确定公因式3xy，再提取即可；
（3）先确定公因式﹣5a，再提取即可；
（4）先确定公因式3abc，再提取即可．
【解答】解：（1）2ax3+6a2x2＝2ax2（x+3a）；
（2）3x2y+6xy2z﹣3xy＝3xy（x+2yz﹣1）；
（3）﹣5abc+10ab+15a＝﹣5a（bc﹣2b﹣3）；
（4）27a2bc﹣9ab2c+3abc2＝3abc（9a﹣3b+c）．
【点评】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键．
15．（5分）（2024 雁塔区校级模拟）解一元一次不等式：．
【考点】解一元一次不等式．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】x＜4．
【分析】按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：，
去分母，得2（2x+1）﹣（x+2）＜12，
去括号，得4x+2﹣x﹣2＜12，
移项，得4x﹣x＜12﹣2+2，
合并同类项，得3x＜12，
系数化为1，得x＜4．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
16．（5分）（2024秋 东台市期中）如图，已知点D、E在AB上，且AB＝AC，BE＝CD．求证：△ADE是等腰三角形．
【考点】等腰三角形的判定；全等三角形的判定．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力．
【答案】证明见解答．
【分析】首先由BE＝CD得BD＝CE，再由AB＝AC得∠B＝∠C，由此可依据“SAS”判定△ABD和△ACE全等，从而得AD＝AE，据此即可得出结论．
【解答】证明：∵BE＝CD，
∴BE﹣DE＝CD﹣DE，
即BD＝CE，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE，
∴△CDE是等腰三角形．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解决问题的关键．
17．（5分）（2025秋 长春期中）在函数的学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，经历了结合图象研究函数性质的过程．下面我们参照函数学习的过程与方法，探究分段函数的图象与性质，并解决如下问题．
（1）当x＝﹣3时，y＝　0　 ；当x＝4时，y＝　5　 ；
（2）在平面直角坐标系中画出函数图象；
（3）已知点（a，2）在这个函数图象上，求a的值；
（4）当时，y的取值范围为　2≤y≤4　 ；
（5）点P、Q是该函数图象上不重合的两点，横坐标分别为b、﹣b+1．小明对P、Q之间（含P、Q两点）的图象进行研究，当图象对应函数的最大值与最小值均不随b的变化而变化时，直接写出b的取值范围．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的图象；一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据自变量x的不同取值范围分别代入相应函数解析式中即可求解．
（2）描点，连线画出函数图象即可．
（3）观察图象求解即可；
（4）根据图象即可求解；
（5）可求点P、Q在直线x的两侧，当x＝1，y最小值＝2，当x＝0时，y最大值＝3，当图象对应函数的最大值与最小值均不随m的变化而变化，而当x＝2时，y＝3，x＝﹣1时，y＝2，故当b，由题意得：，则1≤b≤2；当b，由题意得：则﹣1≤b≤0，从而可得答案．
【解答】解：（1）∵x＝﹣3＜0，
∴把x＝﹣3代入y＝x+3中，得y＝0，
∵4＞0，
∴把x＝4代入y＝|x﹣1|+2中，得y＝5，
故答案为：0，5；
（2）如答图所示：
；
（3）点（a，2）在这个函数图象上，观察图象可知a＝﹣1或a＝1．
（4）由图象可知，当时，y的取值范围为2≤y≤4．
故答案为：2≤y≤4．
（5）∵点P、Q是该函数图象上不重合的两点，横坐标分别为b、﹣b+1，
∴点P、Q在直线x的两侧，
当x＝1，y最小值＝2，当x＝0时，y最大值＝3，
∵当图象对应函数的最大值与最小值均不随b的变化而变化，而当 x＝2时，y＝3，x＝﹣1时，y＝2，
∴当b，如图：
由题意得：，
∴1≤b≤2；
当b，如图：
由题意得：，
∴﹣1≤b≤0，
综上：﹣1≤b≤0或1≤b≤2．
【点评】本题是分段函数的函数值求法及其图象画法，一次函数图象上点的坐标特征，正确理解题意，利用数形结合的思想是解决本题的关键．
18．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD是斜边AB上的高，BD＝2．求AB的长度．
【考点】含30度角的直角三角形；直角三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】8．
【分析】先在Rt△ABC中，利用含30度角的直角三角形性质可得AB＝2BC，∠B＝60°，再根据垂直定义可得∠CDB＝90°，从而可得∠BCD＝30°，然后在Rt△BCD中，利用含30度角的直角三角形性质可得BC＝2BD，即可解答．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC，∠B＝90°﹣∠A＝60°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠B＝30°，
∴BC＝2BD，
∵BD＝2，
∴AB＝4BD＝8．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，直角三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
19．（5分）如图，将三角形ABC先向右平移6个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到三角形A1B1C1，写出各顶点平移前后的坐标．
【考点】平移的性质．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】平移前：点A（﹣2，6），点B（﹣4，4），点C（1，1），
平移后：点A1（4，4），点B1（2，2），点C1（7，﹣1）．
【分析】根据所给平面直角坐标系，写出各顶点平移前后的坐标即可．
【解答】解：由所给图形可知，
平移前：点A（﹣2，6），点B（﹣4，4），点C（1，1），
平移后：点A1（4，4），点B1（2，2），点C1（7，﹣1）．
【点评】本题主要考查了平移的性质，能根据所给平面直角坐标系写出各顶点平移前后的坐标是解题的关键．
20．（5分）（2024秋 原州区校级月考）如图，某地有如图所示的三条公路OA，OB，AB，计划修建一座物资仓库，希望仓库到三条公路的距离相等，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
【考点】作图—应用与设计作图；角平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；尺规作图；几何直观；推理能力．
【答案】如图，仓库P应该建在P1，P2，P3，P4的位置．
【分析】分别作△ABO内角的平分线交于点P1，再作△ABO外角的平分线分别交于点P2，P3，P4，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得P1，P2，P3，P4即为所求作的P点位置．
【解答】解：如图，仓库P应该建在P1，P2，P3，P4的位置．
【点评】本题主要考查了作图﹣应用与设计作图，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．
21．（6分）（2025春 铁西区期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣2，3），C（﹣5，2）．
（1）画出△ABC向右平移6个单位长度后得到的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）画出△ABC绕点A逆时针旋转90°后得到的△AB2C2，并写出点C2的坐标．
【考点】作图﹣旋转变换；作图﹣平移变换．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】（1）画图见解答；点C1的坐标为（1，2）．
（2）画图见解答；点C2的坐标为（﹣2，﹣3）．
【分析】（1）根据平移的性质作图，即可得出答案．
（2）根据旋转的性质作图，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
由图可得，点C1的坐标为（1，2）．
（2）如图，△AB2C2即为所求．
由图可得，点C2的坐标为（﹣2，﹣3）．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换、作图﹣平移变换，熟练掌握平移的性质、旋转的性质是解答本题的关键．
22．（7分）（2024春 崂山区期末）某校学生会组织七年级和八年级共50名学生参加环保活动，七年级学生平均每人收集16个废弃塑料瓶、八年级学生平均每人收集24个废弃塑料瓶，请你根据以上信息，设计一个可以用一元一次不等式解决的问题，并给出解决方案．
【考点】一元一次不等式的应用．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】提出问题：为了保证所收集的塑料瓶总数不少于1000个，至少需要多少名八年级学生参加活动？
解决问题：至少需要25名八年级学生参加活动．
【分析】提出问题：为了保证所收集的塑料瓶总数不少于1000个，至少需要多少名八年级学生参加活动？
解决问题：设需要x名八年级学生参加活动，则需要（50﹣x）名七年级学生参加活动，根据所收集的塑料瓶总数不少于1000个，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【解答】提出问题：为了保证所收集的塑料瓶总数不少于1000个，至少需要多少名八年级学生参加活动？
解决问题：解：设需要x名八年级学生参加活动，则需要（50﹣x）名七年级学生参加活动，
根据题意得：16（50﹣x）+24x≥1000，
解得：x≥25，
∴x的最小值为25．
答：至少需要25名八年级学生参加活动．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
23．（7分）已知：如图，△ABC的边AB的中垂线与边AC的中垂线相交于点O．求证：AO＝BO＝CO．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】证明见解析．
【分析】由线段垂直平分线的性质得到OA＝OB，OB＝OC，即可证明问题．
【解答】证明：△ABC的边AB的中垂线与边AC的中垂线相交于点O，
∴OA＝OB，OB＝OC，
∴AO＝BO＝CO．
【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是由线段垂直平分线的性质得到OA＝OB，OB＝OC．
24．（8分）（2025春 市北区期中）【猜想】
两个相邻整数的“平均数的平方”与这两个整数的“平方的平均数”的差是定值．
【验证】
（1）设两个相邻的整数为﹣2，﹣1，则它们平均数的平方为　　 ；它们平方的平均数为　　 ；﹣2，﹣1的“平均数的平方”与它们“平方的平均数”的差为　　 ．
【说明】
（2）设两个相邻整数分别为a，a+1，用代数式说明猜想成立，并求出这一定值．
【考点】因式分解的应用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1），，；（2）．
【分析】（1）﹣2，﹣1平均数的平方为，它们平方的平均数为：；﹣2，﹣1的“平均数的平方”与它们“平方的平均数”的差为．；
（2）设两个相邻整数分别为a，a+1，它们平均数的平方为，它们平方的平均数为，a，a+1的“平均数的平方”与它们“平方的平均数”的差为．．
【解答】解：（1），
；
．
故答案为：；；．
（2），
，
，．
所以答案为定值．
【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是求出两个相邻数的平均数的平方、它们平方的平均数．
25．（8分）（2024秋 黔西南州期末）实践活动：为了让学生走出教室，走进大自然，黔西南州某中学走进某企业，开展了“舌尖上的刺梨，研究中的成长”实践活动．巧遇该企业搞促销活动，请你用所学知识解决下列问题：
每盒刺梨原汁定价120元，每盒刺梨干定价20元，优惠方案有以下两种：
方案一：买一盒刺梨原汁送一盒刺梨干；方案二：刺梨原汁和刺梨干都按定价打八点八折．
现某客户需要购买刺梨原汁30盒，刺梨干x盒．（x＞30）
（1）若该客户按方案一购买，需付款　20x+3000　 （用含x的式子表示），若该客户按方案二购买，需付款　（17.6x+3168）　 元（用含x的式子表示）；
（2）试求当x取何值时，不论采用哪种方案购买，所需费用都是相等的．
【考点】列代数式．
【专题】整式；应用意识．
【答案】（1）20x+3000，（17.6x+3168）；
（2）当x＝70时，不论采用哪种方案购买，所需费用都是相等的．
【分析】（1）根据所给优惠方案，用含x的代数式分别表示出所需费用即可；
（2）根据题意，得出关于x的方程即可解决问题．
【解答】解：（1）由题知，
若该客户按方案一购买，需付款金额为：120×30+20（x﹣30）＝（20x+3000）元；
若该客户按方案一购买，需付款金额为：30×120×0.88+20x×0.88＝（17.6x+3168）元，
故答案为：20x+3000，（17.6x+3168）；
（2）由题知，
20x+3000＝17.6x+3168，
解得x＝70，
所以当x＝70时，不论采用哪种方案购买，所需费用都是相等的．
【点评】本题主要考查了列代数式，能根据所给优惠方案分别表示出所需费用是解题的关键．
26．（10分）（2025 扬州三模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB上的动点（不与点A，B重合）．
（1）操作发现：如图①，当AC＝BC时，把线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE，BE．
①∠CBE的度数为 　45°　 ；
②AD和BE有什么数量关系，请写出你的探究过程；
（2）探究证明：如图2，当BC＝2AC时，把线段CD绕点C逆时针旋转90°后并延长为原来的两倍，记为线段CE．
①在点D的运动过程中，请判断AD与BE有什么数量关系？并证明；
②若，在点D的运动过程中，当△CBE的形状为等腰三角形时，直接写出此时△CBE的面积．
【考点】几何变换综合题．
【专题】几何综合题；运算能力；推理能力．
【答案】（1）①45°；
②AD＝BE，理由见解析；
（2）①ADBE，理由见解析；
②△CBE的面积为或4或．
【分析】（1）①根据旋转的性质得到∠DCE＝90°，DC＝CE，求得∠ACD＝∠BCE，根据全等三角形的性质得到∠CBE＝∠CAD＝45°；
②根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）①由BC＝2AC，CE＝2CD，得到，求得∠ACD＝∠BCE，根据相似三角形的性质即可得到结论；
②过C作CF⊥AB于F，CG⊥BE于G，如图：根据勾股定理得到BC＝2，AB，根据三角函数的定义得到CF，BF，根据矩形的性质即可得到结论；（Ⅰ）当CB＝CE时，如图：得到BE＝2BG，根据三角形的面积公式得到△CBE的面积为；（Ⅱ）当BC＝BE时，得到BE＝BC＝2，根据三角形的面积公式得到△CBE的面积为BE CG2；（Ⅲ）当CE＝BE时，设BE＝CE＝t，则EG，根据勾股定理得到BE，根据三角形的面积公式得到△CBE的面积为CG BE4．
【解答】解：（1）①∵线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，
∴∠DCE＝90°，DC＝CE，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵AC＝BC，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠CBE＝∠CAD＝45°，
故答案为：45°；
②AD＝BE，理由如下：
由①知△ACD≌△BCE，
∴AD＝BE；
（2）①ADBE，理由如下：
∵BC＝2AC，CE＝2CD，
∴，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD∽△BCE，
∴，
∴ADBE；
②过C作CF⊥AB于F，CG⊥BE于G，如图：
∵AC，BC＝2AC，
∴BC＝2，AB，
∴sin∠ABC，cos∠ABC，
∴，，
∴CF，BF，
∵四边形CGBF是矩形，
∴CG＝BF，BG＝CF，
（Ⅰ）当CB＝CE时，如图：
∴BE＝2BG，
∴△CBE的面积为；
（Ⅱ）当BC＝BE时，如图：
此时BE＝BC＝2，
∵CG＝BF，
∴△CBE的面积为BE CG2；
（Ⅲ）当CE＝BE时，如图：
设BE＝CE＝t，则EG，
在Rt△CEG中，
t2＝（）2+（t）2，
解得t，
∴BE，
∴△CBE的面积为CG BE4，
综上所述，△CBE的面积为或4或．
【点评】本题考查几何变换综合应用，涉及等腰直角三角形性质及应用，全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．

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