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陕西省2025-2026学年八年级下学期期末模拟自测数学试卷
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2025秋 武安市期中）下列图形中，可以看作中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）（2023秋 铁岭县月考）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E是AD上一点，图中全等三角形对数有（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（3分）（2021秋 路桥区期末）如图，将△ABC绕着点A逆时针旋转100°得到△AB'C'，若点B的对应点B'恰好落在BC的延长线上，则∠B的度数为…（　　）
A．30° B．35° C．40° D．50°
4．（3分）（2024秋 常宁市期末）如图，2024年9月20日至22日，第三届湖南旅游发展大会在衡阳举办．某社区要在三条公路围成的一块三角形平地ABC上修建一个便民服务站．要使这个便民服务站到三条公路的距离相等，应该修在（　　）
A．△ABC三边中线的交点
B．△ABC三个角的平分线的交点
C．△ABC三边高线的交点
D．△ABC三边垂直平分线的交点
5．（3分）（2024春 高州市月考）满足不等式3（x﹣2）＜12的所有正整数解有几个（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．（3分）（2024春 西城区校级月考）如图，直线AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线交CD于点G，若∠BEF＝118°，则∠EGC的大小是（　　）
A．124° B．118° C．62° D．59°
7．（3分）（2025 海珠区校级二模）如图，直线l1：y1＝x+1与l2：y2＝kx+b相交于点A，则不等式x+1＞kx+b的解集是（　　）
A．x＜3 B．x＜2 C．x＞2 D．x＞3
8．（3分）（2024秋 韩城市期末）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AED，点D正好落在BC边上．若∠C＝80°，则∠EAB的度数为（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）（2023秋 红塔区期末）若点P（1，﹣17）和点Q关于原点对称，则点Q的坐标为 　 　 ．
10．（3分）不等式组的整数解为 　 　 ．
11．（3分）（2024春 朝阳区期末）如图，第一象限内有两个点A（x﹣3，y），B（x，y﹣2），将线段AB平移，使点A，B平移后的对应点分别同时落在两条坐标轴上，则点A平移后的对应点的坐标为 　 　 .（写出一个即可）
12．（3分）（2024秋 樊城区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是高．若AD＝4，则BD＝　 　 ．
13．（3分）（2025春 江宁区月考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点，直角∠MDN绕点D旋转，DM，DN分别与边AB，AC交于E，F两点，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②AE＝CF；③；④BE+CF＝EF，其中正确结论是　 　 （填序号）．
三．解答题（共13小题，满分81分）
14．（5分）（2025 碑林区校级模拟）解不等式组：．
15．（5分）（2022秋 闵行区期末）如图为某公园中心对称的观赏鱼池，阴影部分为观赏喂鱼台，已知OA＝OB＝4米．求阴影部分的面积．
16．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，将△ABC沿射线BC方向平移m个单位得到△DEF，顶点A、B、C分别与D、E、F对应，若以点A、D、E为顶点的三角形是等腰三角形，且AE为腰，试求m的值．
17．（5分）（2025春 新城区期中）如图，一次函数y＝2x+b（b为常数）的图象经过点B（0，﹣2）．结合函数图象，求出关于x的不等式2x+b＜5的解集．
18．（5分）（2024春 永新县月考）如图，∠BAC＝100°，∠B＝40°，∠D＝20°，AB＝3，求CD的长．
19．（5分）（2025秋 西湖区期中）定义一种新运算“a※b”；当a≥b时，a※b＝2a+b；当a＜b时，a※b＝2a﹣b．
例如：3※（﹣4）＝2×3+（﹣4）＝2，（﹣6）※12＝2×（﹣6）﹣12＝﹣24．
（1）计算：（﹣2）※3；
（2）若（3x﹣4）※（2x+3）＝2（3x﹣4）+（2x+3），求x的取值范围．
20．（5分）（2023秋 利津县月考）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的两格中，点A、B、C都是格点．
（1）将△ABC向左平移6个单位长度得到得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点O旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．
21．（6分）（2024 咸阳校级开学）如图，某地有一个五边形花园ABCDE，AD为花园内一条小路，点A、D处分别为便利店和植物科普展览台的位置，现在打算在花园内修建一个休息区P，要求休息区P到便利店的距离和休息区P到植物科普展览台的距离相等，且休息区P到BC的距离与休息区P到CD的距离也相等．请你在图中找出休息区P的位置．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
22．（7分）（2024秋 平城区校级月考）如图是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于地面的垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝3m．小亮在荡秋千的过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC＝2m，点A到地面的距离AE，当他从点A处摆动到点A′处时，A′B⊥AB．求点A′到地面的距离．
23．（7分）（2024春 于洪区期末）为提升学生的身体素质，培养体育运动能力，某中学计划利用每日的“阳光大课间”开展跳绳活动，并准备采购一批跳绳供学生使用．已知A款可计数跳绳每根28元，B款普通跳绳每根15元，学校准备采购这两款跳绳共100根，且购买的总费用不超过2000元，最多可以购买A款可计数跳绳多少根？
24．（8分）（2024秋 温州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在BA，CB的延长线上，且AE＝CD，∠BAE＝∠ACD．求证：△ABC是等边三角形．
25．（8分）（2024秋 肥东县期末）某公司要购买一种笔记本，供员工学习时使用．在甲文具店不管一次购买多少本，每本价格为2元，在乙文具店购买同样的笔记本，一次购买数量不超过20时，每本价格为2.4元；一次购买数量超过20时，超过部分每本价格为1.8元．设在同一家文具店，一次购买这种笔记本的数量为x（x为非负整数）．
（1）设在甲文具店购买这种笔记本的付款金额为y1元，在乙文具店购买这种笔记本的付款金额为y2元，分别写出y1，y2关于x的函数关系式；
（2）当x≥50时，在哪家文具店购买这种笔记本的花费少？请说明理由．
26．（10分）（2024春 六盘水期末）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在边BC上．
（1）如图1，将线段AD绕点A顺时针旋转90°，得到线段AE，连接EB．求证：BE⊥BC；
（2）如图2，在线段BD上取一点F，使得DF＝DC，过点D作DH⊥BC，交AC于点H，连接HF，过点B作BG垂直于HF的延长线于点G，BG＝AH，连接AG，GD．
①求证：△AHD≌△GFD；
②若，求AG的长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2025秋 武安市期中）下列图形中，可以看作中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】B
【分析】根据中心对称图形的定义解答即可．
【解答】解：A、图形不是中心对称图形，不符合题意；
B、图形是中心对称图形，符合题意；
C、图形不是中心对称图形，不符合题意；
D、图形不是中心对称图形，不符合题意，
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形的定义，熟知中心对称图形则是指在平面内把一个图形绕着某个点旋转180°后，能够与原来的图形重合的图形是解题的关键．
2．（3分）（2023秋 铁岭县月考）如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E是AD上一点，图中全等三角形对数有（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】全等三角形的判定．
【专题】三角形；图形的全等；几何直观；推理能力．
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质得AD为线段BC的垂直平分线，则EB＝EC，进而可依据“SSS”判定△ABD和△ACD全等；△ABE和△ACE全等，△EBD和△ECD全等，据此即可得出答案．
【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC，
又∵AD⊥BC于点D，
∴BD＝CD，
∴AD为线段BC的垂直平分线，
∴EB＝EC，
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
在△ABE和△ACE中，
，
∴△ABE≌△ACE（SSS），
在△EBD和△ECD中，
，
∴△EBD≌△ECD（SSS），
综上所述：图中全等三角形有3对，
故选：C．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，理解等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
3．（3分）（2021秋 路桥区期末）如图，将△ABC绕着点A逆时针旋转100°得到△AB'C'，若点B的对应点B'恰好落在BC的延长线上，则∠B的度数为…（　　）
A．30° B．35° C．40° D．50°
【考点】旋转的性质．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】C
【分析】由旋转得，∠BAB'＝100°，AB＝AB'，根据∠B即可得出答案．
【解答】解：由旋转得，∠BAB'＝100°，AB＝AB'，
∴∠B40°．
故选：C．
【点评】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．
4．（3分）（2024秋 常宁市期末）如图，2024年9月20日至22日，第三届湖南旅游发展大会在衡阳举办．某社区要在三条公路围成的一块三角形平地ABC上修建一个便民服务站．要使这个便民服务站到三条公路的距离相等，应该修在（　　）
A．△ABC三边中线的交点
B．△ABC三个角的平分线的交点
C．△ABC三边高线的交点
D．△ABC三边垂直平分线的交点
【考点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】因为到角的两边距离相等的点在角的平分线上，所以便民服务站应该修在△ABC三个角的平分线的交点，于是得到问题的答案．
【解答】解：设便民服务站所在的位置是点P，
∵点P到AB、AC的距离相等，
∴点P在∠BAC的平分线上，
同理，点P也在∠ABC、∠ACB的平分线上，
∴点P是△ABC三个角的平分线的交点，
∴这个便民服务站应该修在△ABC三个角的平分线的交点，
故选：B．
【点评】此题重点考查角平分线的性质，正确理解“到角的两边距离相等的点在角的平分线上”这一性质是解题的关键．
5．（3分）（2024春 高州市月考）满足不等式3（x﹣2）＜12的所有正整数解有几个（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【考点】一元一次不等式的整数解．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】先求得不等式的解集，再求得所有正整数解，进而可求解．
【解答】解：解不等式3（x﹣2）＜12得x﹣2＜4，则x＜6，
∴该不等式的所有正整数解为1，2，3，4，5，共5个，
故选：B．
【点评】本题考查解一元一次不等式，掌握解不等式方法是关键．
6．（3分）（2024春 西城区校级月考）如图，直线AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，∠BEF的平分线交CD于点G，若∠BEF＝118°，则∠EGC的大小是（　　）
A．124° B．118° C．62° D．59°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】D
【分析】由角平分线定义得到∠BEG∠BEF＝59°，由平行线的性质推出∠EGC＝∠BEG＝59°．
【解答】解：∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG∠BEF118°＝59°，
∵AB∥CD，
∴∠EGC＝∠BEG＝59°．
故选：D．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠EGC＝∠BEG．
7．（3分）（2025 海珠区校级二模）如图，直线l1：y1＝x+1与l2：y2＝kx+b相交于点A，则不等式x+1＞kx+b的解集是（　　）
A．x＜3 B．x＜2 C．x＞2 D．x＞3
【考点】一次函数与一元一次不等式；两条直线相交或平行问题．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据y＝x+1确定A点横坐标的值，进而可得A点坐标，根据图象可得不等式x+1＞kx+b的解集．
【解答】解：设A点坐标为（a，3）
∵直线l1：y＝x+1过点A，
∴3＝a+1，
解得：a＝2，
则关于x的不等式x+1＞kx+b的解集为x＜2，
故选：B．
【点评】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与一元一次不等式，数形结合是解题关键．
8．（3分）（2024秋 韩城市期末）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AED，点D正好落在BC边上．若∠C＝80°，则∠EAB的度数为（　　）
A．20° B．30° C．40° D．50°
【考点】旋转的性质．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】A
【分析】根据将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AED，点D正好落在BC边上，可得AD＝AC，∠EAD＝∠BAC，故∠ADC＝∠C＝80°，从而∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝180°﹣80°﹣80°＝20°，由∠EAD＝∠BAC即得∠EAB＝∠DAC＝20°．
【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AED，点D正好落在BC边上，
∴AD＝AC，∠EAD＝∠BAC，
∴∠ADC＝∠C＝80°，
∴∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝180°﹣80°﹣80°＝20°，
∵∠EAD＝∠BAC，
∴∠EAD﹣∠BAD＝∠BAC﹣∠BAD，即∠EAB＝∠DAC，
∴∠EAB＝20°；
故选：A．
【点评】本题考查三角形的旋转问题，涉及等腰三角形的性质及应用，解题的关键是掌握旋转的性质．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）（2023秋 红塔区期末）若点P（1，﹣17）和点Q关于原点对称，则点Q的坐标为 　（﹣1，17）　 ．
【考点】关于原点对称的点的坐标．
【专题】平面直角坐标系；符号意识．
【答案】（﹣1，17）．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出答案．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．
【解答】解：∵点P（1，﹣17）和点Q关于原点对称，
∴点Q的坐标是：（﹣1，17）．
故答案为：（﹣1，17）．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．
10．（3分）不等式组的整数解为 　3、4　 ．
【考点】一元一次不等式组的整数解．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】3、4．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：由5x﹣2＞3（x+1）得：x＞2.5，
由x﹣2≤14﹣3x得：x≤4，
则不等式组的解集为2.5＜x≤4，
所以不等式组的整数解为3和4，
故答案为：3、4．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
11．（3分）（2024春 朝阳区期末）如图，第一象限内有两个点A（x﹣3，y），B（x，y﹣2），将线段AB平移，使点A，B平移后的对应点分别同时落在两条坐标轴上，则点A平移后的对应点的坐标为 　（0，2）或（﹣3，0）　 .（写出一个即可）
【考点】坐标与图形变化﹣平移．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】（0，2）或（﹣3，0）（写出一个即可）．
【分析】设平移后点A、B的对应点分别是A′、B′．分两种情况进行讨论：①A′在y轴上，B′在x轴上；②A′在x轴上，B′在y轴上．
【解答】解：设平移后点A、B的对应点分别是A′、B′．
分两种情况：
①A′在y轴上，B′在x轴上，AB需向左向下平移，
则A′横坐标为0，B′纵坐标为0，
∴根据点B的纵坐标为y﹣2，可知，向下平移了y﹣2个单位，
∴点A平移后的纵坐标为：y﹣（y﹣2）＝2，
∴点A平移后的对应点的坐标为（0，2）；
②A′在x轴上，B′在y轴上时，
则A′纵坐标为0，B′横坐标为0，AB需向左向下平移，
∴根据点B的横坐标x可知，向左平移了x个单位长度，
∴点A平移后的横坐标为：x﹣3﹣x＝﹣3，
∴点A平移后的对应点的坐标为（﹣3，0）；
综上可知，点A平移后的对应点的坐标为（0，2）或（﹣3，0）．
故答案为：（0，2）或（﹣3，0）（写出一个即可）．
【点评】此题主要考查坐标与图形变化﹣平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移规律相同．解题关键是熟练掌握平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
12．（3分）（2024秋 樊城区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是高．若AD＝4，则BD＝　12　 ．
【考点】含30度角的直角三角形．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】12．
【分析】求出∠A，求出∠ACD，根据含30度角的直角三角形性质求出AC＝2AD，AB＝2AC，求出AB即可．
【解答】解：∵CD是高，∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝90°＝∠ACB，
∵∠B＝30°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝60°，
∴∠ACD＝90°﹣∠A＝30°，
∵AD＝4，
∴AC＝2AD＝8，
∴AB＝2AC＝16，
∴BD＝AB﹣AD＝16﹣4＝12，
故答案为：12．
【点评】本题主要考查的是含30度角的直角三角形性质和三角形内角和定理的应用，关键是求出AC＝2AD，AB＝2AC．
13．（3分）（2025春 江宁区月考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点，直角∠MDN绕点D旋转，DM，DN分别与边AB，AC交于E，F两点，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②AE＝CF；③；④BE+CF＝EF，其中正确结论是　①②③　 （填序号）．
【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．
【答案】①②③
【分析】证明△AED≌△CFD（ASA）得出AE＝CF，ED＝FD，故①②正确；根据S△AED＝S△CFD，S△BDE＝S△ADF，得出，即可判断③，由BE+CF＝AB即可判断④．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点，
∴∠C＝∠BAD＝45°，AD＝BD＝CD，
∵直角∠MDN绕点D旋转，DM，DN分别与边AB，AC交于E，F两点，
∴∠ADE+∠ADF＝∠ADF+∠CDF＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△AED与△CFD中，
，
∴△AED≌△CFD（ASA），
∴AE＝CF，ED＝FD，
∴△DEF是等腰直角三角形，
故结论①②正确；
∵AE＝CF，AB＝AC，
∴AB﹣AE＝AC﹣CF，
∴BE＝AF，
在△BDE和△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（SSS），
∵△AED≌△CFD，△BDE≌△ADF，
∴S△AED＝S△CFD，S△BDE＝S△ADF，
∴，
故结论③正确．
∵BE+CF＝BE+AF＝AB，
而EF与AB不一定相等，
故结论④错误；
综上所述，正确的结论是①②③，
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，旋转的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
三．解答题（共13小题，满分81分）
14．（5分）（2025 碑林区校级模拟）解不等式组：．
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】1＜x＜2．
【分析】先解不等式4x﹣3＜5，得x＜2，再解不等式，得x＞1，由此可得原不等式组的解集．
【解答】解：原不等式组为，
解不等式①，得x＜2．
解不等式②，得x＞1．
∴原不等式组的解集为1＜x＜2．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的一般解法是解决问题的关键．
15．（5分）（2022秋 闵行区期末）如图为某公园中心对称的观赏鱼池，阴影部分为观赏喂鱼台，已知OA＝OB＝4米．求阴影部分的面积．
【考点】中心对称．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】32π平方米．
【分析】根据图形可得阴影部分相当于2个以点O为圆心，OA长为半径的圆，利用圆的面积公式求解即可得．
【解答】解：因为观赏鱼池是中心对称，且OA＝OB＝4米，
所以阴影部分相当于2个以点O为圆心，OA长为半径的圆，
所以阴影部分的面积为2×π×42＝32π（平方米），
答：阴影部分的面积为32π平方米．
【点评】本题考查了圆的面积，发现阴影部分相当于2个以点O为圆心，OA长为半径的圆是解题关键．
16．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，将△ABC沿射线BC方向平移m个单位得到△DEF，顶点A、B、C分别与D、E、F对应，若以点A、D、E为顶点的三角形是等腰三角形，且AE为腰，试求m的值．
【考点】等腰三角形的判定；平移的性质；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】6或．
【分析】过点A作AN⊥BC于点N，过点E作EM⊥AD于点M，根据等腰三角形性质得BN＝CNBC＝3，在Rt△ABN中，由勾股定理得AN＝4，由平移性质得AD＝BE＝m，AD∥BE，则四边形AMEN是矩形，进而得AM＝EN，分以下两种情况进行讨论：①当AE＝DE时，则AM＝DMAD，进而得AM＝EN，由BE＝m，BN＝3得EN＝BE﹣BN＝m﹣3，则，由此解得m＝6；②AE＝AD＝m时，则EN＝BE﹣BN＝m﹣3，在Rt△AEN中，由勾股定理得AE2＝AN2+EN2，即m2＝42+（m﹣3）2，由此解得m，综上所述可得出答案．
【解答】解：过点A作AN⊥BC于点N，过点E作EM⊥AD于点M，如图所示：
在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BN＝CNBC＝3，
在Rt△ABN中，由勾股定理得：AN4，
由平移的性质得：AD＝BE＝m，AD∥BE，
∵AN⊥BC，EM⊥AD，
∴AN∥EM，
∴四边形AMEN是矩形，
∴AM＝EN，
当以点A、D、E为顶点的三角形是等腰三角形，且AE为腰时，有以下两种情况：
①当AE＝DE时，则AM＝DMAD，
∴AM＝EN，
又∵BE＝m，BN＝3，
∴EN＝BE﹣BN＝m﹣3，
∴，
解得：m＝6，此时点C与点E重合；
②AE＝AD＝m时，EN＝BE﹣BN＝m﹣3，
在Rt△AEN中，由勾股定理得：AE2＝AN2+EN2，
∴m2＝42+（m﹣3）2，
解得：m．
综上所述：m的值为6或．
【点评】此题主要考查了图形的平移变换及其性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握了图形的平移变换及其性质，等腰三角形的判定和性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点．
17．（5分）（2025春 新城区期中）如图，一次函数y＝2x+b（b为常数）的图象经过点B（0，﹣2）．结合函数图象，求出关于x的不等式2x+b＜5的解集．
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】x＜3.5．
【分析】将点B（0，﹣2）的坐标代入y＝2x+b中，求出解析式，再令y＝5，得2x﹣2＝5，求出一次函数的图象与直线y＝5交于点（3.5，5），观察图象即可求解．
【解答】解：由条件可得：﹣2＝b，
故一次函数的解析式为：y＝2x﹣2，
令y＝5，得2x﹣2＝5，
解得：x＝3.5，
即一次函数的图象与直线y＝5交于点（3.5，5），
观察图象可知：
关于x的不等式2x+b＜5的解集为x＜3.5．
【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式、待定系数法求一次函数的解析式等知识，解题的关键是熟练掌握一次函数与一元一次不等式的关系．
18．（5分）（2024春 永新县月考）如图，∠BAC＝100°，∠B＝40°，∠D＝20°，AB＝3，求CD的长．
【考点】等腰三角形的判定；三角形内角和定理．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】3．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠B＝∠ACB＝40°，得到AC＝AB＝3，再由三角形外角的性质得到∠CAD＝20°＝∠D，则CD＝AC＝3．
【解答】解：∵∠BAC＝100°，∠B＝40°，
∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝40°，
∴∠B＝∠ACB，
∴AC＝AB＝3，
∵∠ACB＝∠D+∠CAD＝40°，∠D＝20°，
∴∠CAD＝20°＝∠D，
∴CD＝AC＝3．
【点评】本题主要考查了等角对等边，三角形内角和定理，三角形外角的性质，解答本题的关键是熟练掌握三角形内角和定理与外角的性质．
19．（5分）（2025秋 西湖区期中）定义一种新运算“a※b”；当a≥b时，a※b＝2a+b；当a＜b时，a※b＝2a﹣b．
例如：3※（﹣4）＝2×3+（﹣4）＝2，（﹣6）※12＝2×（﹣6）﹣12＝﹣24．
（1）计算：（﹣2）※3；
（2）若（3x﹣4）※（2x+3）＝2（3x﹣4）+（2x+3），求x的取值范围．
【考点】解一元一次不等式；有理数的混合运算．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）﹣7；
（2）x≥7或．
【分析】（1）根据公式计算可得；
（2）结合公式对3x﹣4，2x+3的大小关系进行分类讨论求解之可得．
【解答】解：（1）（﹣2）※3＝2×（﹣2）﹣3＝﹣7，
故答案为：﹣7；
（2）当3x﹣4≥2x+3，即x≥7，
根据定义：（3x﹣4）※（2x+3）＝2（3x﹣4）+（2x+3），原等式成立；
当3x﹣4＜2x+3，即x＜7，
根据定义：（3x﹣4）※（2x+3）＝2（3x﹣4）﹣（2x+3）＝2（3x﹣4）+（2x+3），
2x+3＝0，
∴，该解满足x＜7，
故：x≥7或．
【点评】本题考查了定义新运算，有理数的混合运算，解一元一次不等式，严格遵循解不等式的基本步骤和弄清新定义是关键．
20．（5分）（2023秋 利津县月考）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的两格中，点A、B、C都是格点．
（1）将△ABC向左平移6个单位长度得到得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点O旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．
【考点】作图﹣旋转变换；作图﹣平移变换．
【专题】作图题；平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】（1）作图见解析；
（2）作图见解析．
【分析】（1）先确定原位置，再确定平移位置，描点，画图即可．
（2）先确定原位置，再确定关于点O对称的坐标，描点，画图即可．
【解答】解：（1）根据题意，画图如图1：
则△A1B1C1即为所求．
（2）根据题意，画图如图2：
则△A2B2C2即为所求．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，作图﹣平移变换，正确确定图形变换后对应点的位置是解题的关键．
21．（6分）（2024 咸阳校级开学）如图，某地有一个五边形花园ABCDE，AD为花园内一条小路，点A、D处分别为便利店和植物科普展览台的位置，现在打算在花园内修建一个休息区P，要求休息区P到便利店的距离和休息区P到植物科普展览台的距离相等，且休息区P到BC的距离与休息区P到CD的距离也相等．请你在图中找出休息区P的位置．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【考点】作图—应用与设计作图；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；三角形；图形的全等；几何直观；推理能力．
【答案】如图，点P即为所作：
【分析】由题意知，P为∠BCD的角平分线与线段AD垂直平分线的交点，进而作图即可．
【解答】解：由题意知，P为∠BCD的角平分线与线段AD垂直平分线的交点，
∵点P到边BC、CD的距离相等，
∴点P在∠BCD的角平分线上，
∵点P到点A、点D的距离相等，
∴P在线段AD的垂直平分线上，
即P为∠BCD的角平分线与线段AD垂直平分线的交点，
如图，点P即为所作：
【点评】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，作角平分线，作垂线等知识．熟练掌握角平分线的性质，线段垂直平分线的性质以及常见的尺规作图是解题的关键．
22．（7分）（2024秋 平城区校级月考）如图是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于地面的垂线BD上，转轴B到地面的距离BD＝3m．小亮在荡秋千的过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到BD的距离AC＝2m，点A到地面的距离AE，当他从点A处摆动到点A′处时，A′B⊥AB．求点A′到地面的距离．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】点A′到地面的距离为1m．
【分析】作AF⊥BD于点F，由题意得A′B＝AB，A′B⊥AB，AC⊥BD于点C，且AC＝2m，则∠BFA′＝∠ACB＝∠ABA′＝90°，推导出∠A′BF＝∠BAC，可根据“AAS”证明△A′BF≌△BAC，得BF＝AC＝2m，而BD＝3m，则FD＝1m，由A′F∥DE，可知点A′到地面的距离为1m．
【解答】解：作AF⊥BD于点F，
由题意得A′B＝AB，A′B⊥AB，AC⊥BD于点C，且AC＝2m，
∴∠BFA′＝∠ACB＝∠ABA′＝90°，
∴∠A′BF＝∠BAC＝90°﹣∠ABC，
在△A′BF和△BAC中，
，
∴△A′BF≌△BAC（AAS），
∴BF＝AC＝2m，
∵BD＝3m，
∴FD＝BD﹣BF＝3﹣2＝1（m），
∵BD⊥DE，
∴∠A′FD＝∠FDE＝90°，
∴A′F∥DE，
∴点A′与点F到地面的距离相等，
∴点A′到地面的距离为1m．
【点评】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
23．（7分）（2024春 于洪区期末）为提升学生的身体素质，培养体育运动能力，某中学计划利用每日的“阳光大课间”开展跳绳活动，并准备采购一批跳绳供学生使用．已知A款可计数跳绳每根28元，B款普通跳绳每根15元，学校准备采购这两款跳绳共100根，且购买的总费用不超过2000元，最多可以购买A款可计数跳绳多少根？
【考点】一元一次不等式的应用．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】最多可以购买A款可计数跳绳38根．
【分析】设可以购买A款可计数跳绳x根，则可以购买B款普通跳绳（100﹣x）根，根据购买的总费用不超过2000元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解答】解：设可以购买A款可计数跳绳x根，则可以购买B款普通跳绳（100﹣x）根，
由题意得：28x+15（100﹣x）≤2000，
解得：x≤38，
∵x为正整数，
∴x的最大值为38，
答：最多可以购买A款可计数跳绳38根．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，找出数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
24．（8分）（2024秋 温州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在BA，CB的延长线上，且AE＝CD，∠BAE＝∠ACD．求证：△ABC是等边三角形．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】证明见解答．
【分析】由AB＝CA，∠BAE＝∠ACD，AE＝CD，根据“SAS”证明△ABE≌△CAD，得∠ABE＝∠CAD，推导出∠ABC＝∠BAC，则AC＝BC，所以AB＝AC＝BC，则△ABC是等边三角形．
【解答】证明：在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴∠ABE＝∠CAD，
∴180°﹣∠ABE＝180°﹣∠CAD，
∵∠ABC＝180°﹣∠ABE，∠BAC＝180°﹣∠CAD，
∴∠ABC＝∠BAC，
∴AC＝BC，
∴AB＝AC＝BC，
∴△ABC是等边三角形．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定等知识，证明△ABE≌△CAD是解题的关键．
25．（8分）（2024秋 肥东县期末）某公司要购买一种笔记本，供员工学习时使用．在甲文具店不管一次购买多少本，每本价格为2元，在乙文具店购买同样的笔记本，一次购买数量不超过20时，每本价格为2.4元；一次购买数量超过20时，超过部分每本价格为1.8元．设在同一家文具店，一次购买这种笔记本的数量为x（x为非负整数）．
（1）设在甲文具店购买这种笔记本的付款金额为y1元，在乙文具店购买这种笔记本的付款金额为y2元，分别写出y1，y2关于x的函数关系式；
（2）当x≥50时，在哪家文具店购买这种笔记本的花费少？请说明理由．
【考点】一次函数的应用；一元一次不等式的应用．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）y1＝2x，y2；
（2）当50≤x＜60时，在甲文具店购买这种笔记本的花费少；当x＝60时，在两家文具店购买这种笔记本的花费相等；当x＞60时，在乙文具店购买这种笔记本的花费少．理由见解答．
【分析】（1）根据“甲文具店购买这种笔记本的付款金额＝每本价格×购买数量”写出y1关于x的函数关系式；“当0≤x≤20时，在乙文具店购买这种笔记本的付款金额＝20本的金额+超过20本部分的金额”写出y2关于x的函数关系式即可；
（2）在同一平面直角坐标系中分别画出y1，y2关于x的图象，根据图象解答即可．
【解答】解：（1）y1＝2x；
当0≤x≤20时，y2＝2.4x；当x＞20时，y2＝2.4×20+1.8（x﹣20）＝1.8x+12；
∴y1关于x的函数关系式为y1＝2x，y2关于x的函数关系式为y2．
（2）当50≤x＜60时，在甲文具店购买这种笔记本的花费少；当x＝60时，在两家文具店购买这种笔记本的花费相等；当x＞60时，在乙文具店购买这种笔记本的花费少．理由如下：
如图，画出y1，y2关于x的图象：
由图象可知，当50≤x＜60时，y1＜y2；当x＝60时，y1＝y2；当x＞60时，y1＞y2，
∴当50≤x＜60时，在甲文具店购买这种笔记本的花费少；当x＝60时，在两家文具店购买这种笔记本的花费相等；当x＞60时，在乙文具店购买这种笔记本的花费少．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，根据题意写出函数关系式并画出其图象是解题的关键．
26．（10分）（2024春 六盘水期末）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在边BC上．
（1）如图1，将线段AD绕点A顺时针旋转90°，得到线段AE，连接EB．求证：BE⊥BC；
（2）如图2，在线段BD上取一点F，使得DF＝DC，过点D作DH⊥BC，交AC于点H，连接HF，过点B作BG垂直于HF的延长线于点G，BG＝AH，连接AG，GD．
①求证：△AHD≌△GFD；
②若，求AG的长．
【考点】几何变换综合题．
【专题】几何综合题；运算能力；推理能力．
【答案】（1）见解析；
（2）①见解析；
②4．
【分析】（1）先证△EAB≌△DAC（SAS），得出BE＝CD，∠EBA＝∠C＝45°，再求出∠EBC＝90°，根据垂直的定义得到结论；
（2）①先证四边形ABGH是矩形，得出∠AHG＝90°，BG＝AH＝FG，再证△CHF是等腰直角三角形，得出DF＝DH＝DC，∠HDF＝∠HDC＝90°，∠DHC＝∠FHD＝45°，根据全等三角形 的判定定理得到△AHD≌△GFD（SAS）；
②根据全等三角形的性质得到AD＝DG，∠ADH＝∠GDF，最后证△ADG是等腰直角三角形，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠C＝45°，
由旋转的性质得：AE＝AD，∠EAD＝∠BAC＝90°，
∴∠EAD﹣∠BAD＝∠BAC﹣∠BAD，
即∠EAB＝∠DAC，
在△EAB与△DAC中，
，
∴△EAB≌△DAC（SAS），
∴BE＝CD，∠EBA＝∠C＝45°，
∴∠EBC＝∠EBA+∠ABC＝45°+45°＝90°，
∴BE⊥BC；
（2）①证明：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABC＝∠C＝45°，
∵DH⊥CF，DF＝DC，
∴HF＝CH，
∴∠C＝∠CFH＝45°，
∴∠CHF＝90°，
∵BG⊥HG，∠BFG＝∠CFH＝45°，
∴△BGF是等腰直角三角形，
∴BG＝FG，∠BGF＝90°，
∴∠ABG＝∠ABC+∠GBF＝45°+45°＝90°，
∴∠BAH＝∠ABG＝∠BGH＝90°，
∴四边形ABGH是矩形，
∴∠AHG＝90°，BG＝AH＝FG，
∵∠HFC＝∠BFG＝45°，
∴∠HFC＝∠C＝45°，
∴△CHF是等腰直角三角形，
∵DF＝DC，
∴DF＝DH＝DC，∠HDF＝∠HDC＝90°，∠DHC＝∠FHD＝45°，
∴∠AHD＝∠AHG+∠FHD＝90°+45°＝135°，
∵∠GFD＝180°﹣∠BFG＝180°﹣45°＝135°，
∴∠AHD＝∠GFD，
在△AHD和△GFD中，
，
∴△AHD≌△GFD（SAS），
②解：由①知，△AHD≌△GFD，
∴AD＝DG，∠ADH＝∠GDF，
∴∠ADH+∠ADB＝∠GDF+∠ADB，
即∠HDF＝∠ADG＝90°，
∴△ADG是等腰直角三角形，
∴AGAD4．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质以及矩形的判定与性质是解题的关键．

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