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陕西省2025-2026学年七年级下学期期末模拟自测数学试卷
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2023秋 永康市期末）下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．打开电视，正在播放动画片
B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．经过有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯
D．实心铁块放入水中会下沉
2．（3分）（2023春 襄汾县月考）2022年12月，联发科正式发布了天玑8200处理器，天玑8200处理器采用台积电新一代4nm制程工艺，架构为1+3+4设计，性能核心最高主频达3.1GHz．已知1nm＝0.000000001m，则4nm用科学记数法可表示为（　　）m
A．0.4×10﹣8 B．0.4×10﹣9 C．4×10﹣8 D．4×10﹣9
3．（3分）（2025 雷州市三模）如图，直线a∥b，直线AB⊥AC，若∠1＝55°，则∠2＝（　　）
A．35° B．40° C．45° D．50°
4．（3分）（2023春 郏县期中）下列运算正确的是（　　）
A．﹣2x（x+1）＝﹣2x2+2x
B．（﹣2x2）4＝16x8
C．（x+y）2＝x2+y2
D．（﹣x+2y）（﹣x﹣2y）＝﹣x2﹣4y2
5．（3分）（2025秋 青羊区校级月考）一个不透明的盒子里共有40个黄球和红球，它们除颜色外其它完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在25%，那么估计盒子中黄球的个数是（　　）
A．10 B．20 C．30 D．40
6．（3分）（2024春 埇桥区校级期末）已知（x+m）（x+n）＝x2﹣3x﹣4，则m2+n2的值为（　　）
A．17 B．1 C．﹣3 D．15
7．（3分）（2025春 雁塔区校级期中）如图，下列条件能判定AB∥CD的是（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠B＝∠4
C．∠B＝∠5 D．∠3+∠D＝180°
8．（3分）（2025秋 天元区期末）如图，在△ABC中，∠B＝42°，∠A＝78°，点D在边AB上，按照下列步骤作图：①以点C为圆心，小于CD长为半径作弧，分别交BC，DC于点E，F；②以点D为圆心，CF为半径作弧，交DC于点G；③以点G为圆心，EF为半径作弧，与②中所作的弧相交于点H，作射线DH交AC于点I，则∠AID的大小是（　　）
A．50° B．55° C．60° D．65°
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）（2024春 晋中期末）计算：2xy （﹣3x2y3）＝　 　 ．
10．（3分）（2025 内江）在英文单词“banana”中任选一个字母，字母“a”被选中的概率是　 　 ．
11．（3分）（2025春 宝鸡期末）如图，直线AB，CD相交于点E，∠CEF＝90°．若∠AEC＝57°，则∠BEF的度数为　 　 ．
12．（3分）（2022春 德保县期末）化简：（a﹣2）（a+3）＝　 　 ．
13．（3分）（2023春 乾安县期末）如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当∠1＝23°时，∠2的度数为 　 　 ．
三．解答题（共13小题，满分81分）
14．（5分）（2024春 新城区期中）计算：．
15．（5分）（2024春 兴宁市校级月考）计算：（1+2a﹣3b）（1﹣2a﹣3b）．
16．（5分）（2023春 铜川期末）投壶（如图）是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏．如表记录了一组游戏参与者甲的投壶结果：
投壶次数n 50 100 150 200 250 300 400 500
投中次数m 28 46 72 104 125 153 200 250
投中频率 0.56 0.46 0.48 x 0.50 0.51 y 0.50
根据上表中的数据解答下列问题：
（1）计算表中x、y的值；
（2）随着投壶次数越来越大，估计甲投壶一次投中的概率．（结果精确到0.1）
17．（5分）（2025春 徐汇区校级期中）用尺规，利用“内错角相等，两直线平行”作出过直线AB外一点M，平行直线AB的直线l．（不用写作法，但须保留作图痕迹）
18．（5分）（2023秋 奉贤区月考）计算：（16x2y2﹣4x4y3）÷4x2÷（﹣2y2）．
19．（5分）袋子中装有2个红球、3个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的前提下，不放回地从袋子中摸出两个球．
（1）摸出的两个球一共有多少种可能？
（2）比较“摸出两个红球”和“摸出两个白球”的可能性．
20．（5分）（2025春 东西湖区期中）根据下面的推理过程，在括号内写明理由．
如图，点A、B、C在同一条直线上，已知BF平分∠EBC，∠D+∠CBF＝90°，DB⊥BF，求证：AD∥BE．
证明：∵DB⊥BF（已知）．
∴∠DBE+∠EBF＝∠DBF＝90°（ 　 　 ）．
∵BF平分∠EBC（已知）．
∴∠EBF＝∠CBF（ 　 　 ）．
∵∠D+∠CBF＝90°（已知）．
∴∠DBE＝∠D（ 　 　 ）．
∴AD∥BE（ 　 　 ）．
21．（6分）（2022秋 榆树市校级月考）已知（am）n＝a2，（am）2÷an＝a3．
（1）求mn和2m﹣n的值；
（2）已知4m2﹣n2＝15，求m+n的值．
22．（7分）（2024春 荔湾区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，过点O作OE⊥CD，OF⊥AB，若∠AOC＝34°，求∠EOF的度数．
23．（7分）（2025春 南海区校级月考）在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，我们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到如表中的一组统计数据：
摸球的次数n 50 100 300 500 800 1000 2000
摸到红球的次数m 14 33 95 155 241 298 602
摸到红球的频率 0.28 0.33 0.317 0.31 0.301 0.298 0.301
（1）通过以上实验，盒子里红球的数量为 　 　 个．
（2）若先从袋子中取出x（x＞1）个红球，再从袋子中随机摸出1个球，若“摸出黑球”为必然事件，则x＝ 　 　 ．
（3）若先从袋子中取出x个红球，再放入x个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个红球的概率为，求x的值．
24．（8分）（2024春 凉州区校级期末）如图，AB∥CD，AB⊥CB，垂足为B．
（1）判断BC与CD之间的位置关系，并说明理由；
（2）若∠1＝∠2，求证BE∥CF．
25．（8分）（2025春 二七区校级月考）将两个边长分别为a和b的正方形按图①所示方式放置．其未叠合部分（阴影部分）的面积为S1，周长为L1，再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形，如图②，两个小正方形叠合部分（阴影部分）的面积为S2，周长为L2，已知L1﹣L2＝48，ab＝13．
（1）求a与b的差；
（2）求S1与S2的和．
26．（10分）（2024春 子洲县校级期中）如图，已知MN∥PQ，将两块直角三角尺（∠AED＝∠ABC＝90°，∠EAD＝30°，∠BAC＝45°）按如下方式进行摆放，恰好满足∠NAC＝15°．
（1）求∠CBQ的度数．
（2）若∠MAE＝∠EAD，试判断AB与AE的位置关系，并说明理由．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2023秋 永康市期末）下列事件中，属于必然事件的是（　　）
A．打开电视，正在播放动画片
B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．经过有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯
D．实心铁块放入水中会下沉
【考点】随机事件．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】D
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、打开电视，正在播放动画片，是随机事件，故A不符合题意；
B、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故B不符合题意；
C、经过有交通信号灯的路口，恰好遇到红灯，是随机事件，故C不符合题意；
D、实心铁块放入水中会下沉，是必然事件，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
2．（3分）（2023春 襄汾县月考）2022年12月，联发科正式发布了天玑8200处理器，天玑8200处理器采用台积电新一代4nm制程工艺，架构为1+3+4设计，性能核心最高主频达3.1GHz．已知1nm＝0.000000001m，则4nm用科学记数法可表示为（　　）m
A．0.4×10﹣8 B．0.4×10﹣9 C．4×10﹣8 D．4×10﹣9
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【专题】实数；运算能力．
【答案】D
【分析】因为1 nm表示为10﹣9m，则4 nm表示为4×10﹣9m．
【解答】解：∵1nm＝0.000000001m＝10﹣9m，
∴4nm＝4×10﹣9m．
故选：D．
【点评】本题主要考查了科学记数法表示很小的数，掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
3．（3分）（2025 雷州市三模）如图，直线a∥b，直线AB⊥AC，若∠1＝55°，则∠2＝（　　）
A．35° B．40° C．45° D．50°
【考点】平行线的性质；垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】A
【分析】根据平行线的性质及垂直的意义可进行求解．
【解答】解：如图所示，
∵AB⊥AC，
∴∠2+∠3＝90°．
∵直线a∥b，∠1＝55°，
∴∠1＝∠3＝55°，
∴∠2＝90°﹣55°＝35°．
故选：A．
【点评】本题主要考查平行线的性质及垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
4．（3分）（2023春 郏县期中）下列运算正确的是（　　）
A．﹣2x（x+1）＝﹣2x2+2x
B．（﹣2x2）4＝16x8
C．（x+y）2＝x2+y2
D．（﹣x+2y）（﹣x﹣2y）＝﹣x2﹣4y2
【考点】整式的混合运算．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】根据整式相关运算的法则逐项判断即可..
【解答】解：﹣2x（x+1）＝﹣2x2﹣2x，故A错误，不符合题意；
（﹣2x2）4＝16x8，故正确，符合题意；
（x+y）2＝x2+2xy+y2，故C错误，不符合题意；
（﹣x+2y）（﹣x﹣2y）＝x2﹣4y2，故D错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．
5．（3分）（2025秋 青羊区校级月考）一个不透明的盒子里共有40个黄球和红球，它们除颜色外其它完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在25%，那么估计盒子中黄球的个数是（　　）
A．10 B．20 C．30 D．40
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】A
【分析】设盒子中黄球的个数为m个，根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为25%，然后根据概率公式计算m的值．
【解答】解：设盒子中黄球的个数为m个，
根据题意得25%，
解得m＝10，
所以估计盒子中黄球的个数是10个．
故选：A．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．
6．（3分）（2024春 埇桥区校级期末）已知（x+m）（x+n）＝x2﹣3x﹣4，则m2+n2的值为（　　）
A．17 B．1 C．﹣3 D．15
【考点】多项式乘多项式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】先根据多项式乘多项式法则计算已知条件中的等式左边，根据计算结果求出m+n和mn的值，最后利用完全平方公式进行变形计算即可．
【解答】解：∵（x+m）（x+n）＝x2﹣3x﹣4，
∴x2+（m+n）x+mn＝x2﹣3x﹣4，
∴m+n＝﹣3，mn＝﹣4，
∴m2+n2
＝（m+n）2﹣2mn
＝（﹣3）2﹣2×（﹣4）
＝9+8
＝17，
故选：A．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则和灵活运用完全平方公式．
7．（3分）（2025春 雁塔区校级期中）如图，下列条件能判定AB∥CD的是（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠B＝∠4
C．∠B＝∠5 D．∠3+∠D＝180°
【考点】平行线的判定．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】由平行线的判定方法，即可判断．
【解答】解：A、由内错角相等，两直线平行判定AD∥BC，不能判定AB∥CD，故A不符合题意；
B、∠B和∠4不是同位角也不是内错角，∠B＝∠4不能判定AB∥CD，故B不符合题意；
C、由同位角相等，两直线平行判定AB∥CD，故C符合题意；
D、∠3和∠D不是同旁内角，∠3+∠D＝180°不能判定AB∥CD，故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查平行线的判定，关键是掌握平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行．
8．（3分）（2025秋 天元区期末）如图，在△ABC中，∠B＝42°，∠A＝78°，点D在边AB上，按照下列步骤作图：①以点C为圆心，小于CD长为半径作弧，分别交BC，DC于点E，F；②以点D为圆心，CF为半径作弧，交DC于点G；③以点G为圆心，EF为半径作弧，与②中所作的弧相交于点H，作射线DH交AC于点I，则∠AID的大小是（　　）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【考点】三角形内角和定理；平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】由作图可知∠CDH＝∠BCD，所以DI∥BC，得∠AID＝∠ACB，然后通过三角形内角和定理求出∠ACB＝60°即可．
【解答】解：由作图可知，∠CDH＝∠BCD，
∴DI∥BC（内错角相等，两直线平行），
∴∠AID＝∠ACB（两直线平行，同位角相等），
∵∠B＝42°，∠A＝78°，∠A+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝60°，
∴∠AID＝∠ACB＝60°，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，平行线的判定和性质，掌握知识点的应用是解题的关键
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）（2024春 晋中期末）计算：2xy （﹣3x2y3）＝　﹣6x3y4 ．
【考点】单项式乘单项式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】﹣6x3y4．
【分析】根据同底数的幂相乘，底数不变，指数相加即可求得结果，
【解答】解：2xy （﹣3x2y3）
＝﹣6x1+2y1+3
＝﹣6x3y4，
故答案为：﹣6x3y4．
【点评】本题考查了单项式乘单项式，正确计算是解题的关键．
10．（3分）（2025 内江）在英文单词“banana”中任选一个字母，字母“a”被选中的概率是　　 ．
【考点】概率公式．
【专题】概率及其应用；推理能力．
【答案】．
【分析】让“a”的个数除以所有字母的个数即为所求的概率．
【解答】解：在英文单词“banana”中共6个字母，其中字母“a”有3个；
则字母为“a”的概率是：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了概率公式，解题的关键掌握如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）．
11．（3分）（2025春 宝鸡期末）如图，直线AB，CD相交于点E，∠CEF＝90°．若∠AEC＝57°，则∠BEF的度数为　33°　 ．
【考点】对顶角、邻补角；余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】33°．
【分析】根据平角的定义，进行计算即可．
【解答】解：由条件可知∠BEF＝180°﹣∠AEC﹣∠CEF＝33°；
故答案为：33°．
【点评】本题考查几何图形中角度的计算，熟练掌握该知识点是关键．
12．（3分）（2022春 德保县期末）化简：（a﹣2）（a+3）＝a2+a﹣6　 ．
【考点】多项式乘多项式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】a2+a﹣6．
【分析】直接利用多项式乘以多项式的运算法则计算即可．
【解答】解：（a﹣2）（a+3）
＝a2+3a﹣2a﹣6
＝a2+a﹣6，
故答案为：a2+a﹣6．
【点评】本题考查多项式乘多项式，熟记运算法则是解题的关键．
13．（3分）（2023春 乾安县期末）如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当∠1＝23°时，∠2的度数为 　67°　 ．
【考点】平行线的性质；余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】67°．
【分析】先根据直角三角板的性质得出∠ACB＝90°，故可得出∠ACF的度数，再由平行线的性质即可得出结论．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠1＝23°，
∴∠ACF＝90°﹣23°＝67°，
∵DE∥FG，
∴∠2＝∠ACF＝67°．
故答案为：67°．
【点评】本题考查的是平行线的性质和余角的定义，熟知两直线平行，同位角相等是解题的关键．
三．解答题（共13小题，满分81分）
14．（5分）（2024春 新城区期中）计算：．
【考点】负整数指数幂；绝对值；有理数的乘法；零指数幂．
【专题】实数；运算能力．
【答案】2.5．
【分析】先根据负整数指数幂和零指数幂进行计算，再根据有理数的乘法法则进行计算，最后算加法即可．
【解答】解：
＝1.5+1
＝2.5．
【点评】本题考查了负整数指数幂，零指数幂和实数的混合运算等知识点，能正确根据实数的运算法则进行计算是解此题的关键．
15．（5分）（2024春 兴宁市校级月考）计算：（1+2a﹣3b）（1﹣2a﹣3b）．
【考点】平方差公式；完全平方公式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】1﹣6b+9b2﹣4a2．
【分析】先根据平方差公式将原式展开，再利用完全平方公式进行计算，最后进行合并即可．
【解答】解：（1+2a﹣3b）（1﹣2a﹣3b）
＝（1﹣3b+2a）（1﹣3b﹣2a）
＝（1﹣3b）2﹣4a2
＝1﹣6b+9b2﹣4a2．
【点评】本题考查整式的混合运算，掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
16．（5分）（2023春 铜川期末）投壶（如图）是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏．如表记录了一组游戏参与者甲的投壶结果：
投壶次数n 50 100 150 200 250 300 400 500
投中次数m 28 46 72 104 125 153 200 250
投中频率 0.56 0.46 0.48 x 0.50 0.51 y 0.50
根据上表中的数据解答下列问题：
（1）计算表中x、y的值；
（2）随着投壶次数越来越大，估计甲投壶一次投中的概率．（结果精确到0.1）
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；推理能力．
【答案】（1）x＝0.52，y＝0.50；
（2）0.5．
【分析】（1）根据频率公式计算即可．
（2）根据表格数据得出投壶次数越来越大，投中的频率趋近于0.5，即可估计出其概率约为0.5．
【解答】解：（1）由题意可得，
．
（2）由表格中的数据可知，随着投壶次数越来越大，估计甲投壶一次投中的概率为0.5．
【点评】此题考查了利用频率估计概率，熟知大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键．
17．（5分）（2025春 徐汇区校级期中）用尺规，利用“内错角相等，两直线平行”作出过直线AB外一点M，平行直线AB的直线l．（不用写作法，但须保留作图痕迹）
【考点】作图—复杂作图；平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；尺规作图；几何直观．
【答案】见解答．
【分析】结合平行线的判定，在直线AB上任取一点C，连接MC，根据作一个角等于已知角的方法在MC的左侧作∠CMN＝∠BCM，作直线MN，则直线MN即为所求的直线l．
【解答】解：如图，在直线AB上任取一点C，连接MC，在MC的左侧作∠CMN＝∠BCM，作直线MN，
则直线MN即为所求的直线l．
【点评】本题考查作图—复杂作图、平行线的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．（5分）（2023秋 奉贤区月考）计算：（16x2y2﹣4x4y3）÷4x2÷（﹣2y2）．
【考点】整式的除法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】﹣2x2y．
【分析】先计算除法，从左到右依次计算．
【解答】解：．
【点评】本题主要考查整式的除法，解题的关键是掌握整式的除法法则．
19．（5分）袋子中装有2个红球、3个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的前提下，不放回地从袋子中摸出两个球．
（1）摸出的两个球一共有多少种可能？
（2）比较“摸出两个红球”和“摸出两个白球”的可能性．
【考点】概率公式．
【专题】概率及其应用；推理能力．
【答案】（1）有20种．（2）“摸出两个红球”的可能性小于“摸出两个白球”的可能性．
【分析】摸出两个球的总情况数不变，“摸出两个红球”的情况数越多，对应的概率越大．
【解答】解：（1）摸出两球的情况如下表：
一 红1 红2 白1 白2 白3
红1 ﹣ 红1红2 红1白1 红1白2 红1白3
红2 红2红1 ﹣ 红2白1 红2白2 红2白3
白1 白1红1 白1红2 ﹣ 白1白2 白1白3
白2 白2红1 白2红2 白2白1 ﹣ 白2白3
白3 白3红1 白3红2 白3白1 白3白2 ﹣
摸出两个球的情况共有20种．
（2）“摸出两个红球”有2种，“摸出两个白球”有6种，故“摸出两个红球”的可能性小于“摸出两个白球”的可能性．
【点评】本题侧重考查概率，掌握概率的求法是解题的关键．
20．（5分）（2025春 东西湖区期中）根据下面的推理过程，在括号内写明理由．
如图，点A、B、C在同一条直线上，已知BF平分∠EBC，∠D+∠CBF＝90°，DB⊥BF，求证：AD∥BE．
证明：∵DB⊥BF（已知）．
∴∠DBE+∠EBF＝∠DBF＝90°（ 　垂直的定义　 ）．
∵BF平分∠EBC（已知）．
∴∠EBF＝∠CBF（ 　角平分线的定义　 ）．
∵∠D+∠CBF＝90°（已知）．
∴∠DBE＝∠D（ 　等角的余角相等　 ）．
∴AD∥BE（ 　内错角相等，两直线平行　 ）．
【考点】平行线的判定；余角和补角；垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】垂直的定义；角平分线的定义；等角的余角相等；内错角相等，两直线平行．
【分析】由垂直的定义得到∠DBE+∠EBF＝90°，由角平分线定义得到∠EBF＝∠CBF，由余角的性质推出∠DBE＝∠D，判定AD∥BE．
【解答】证明：∵DB⊥BF（已知），
∴∠DBE+∠EBF＝∠DBF＝90°（垂直的 定义），
∵BF平分∠EBC（已知），
∴∠EBF＝∠CBF（角平分线的定义），
∵∠D+∠CBF＝90°（已知），
∴∠DBE＝∠D（等角的余角相等），
∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：垂直的定义；角平分线的定义；等角的余角相等；内错角相等，两直线平行．
【点评】本题考查平行线的判定，垂线，余角和补角，关键是掌握平行线的判定方法：内错角相等，两直线平行．
21．（6分）（2022秋 榆树市校级月考）已知（am）n＝a2，（am）2÷an＝a3．
（1）求mn和2m﹣n的值；
（2）已知4m2﹣n2＝15，求m+n的值．
【考点】同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）mn＝2，2m﹣n＝3，
（2）m+n＝3，
【分析】（1）由条件可得amn＝a2，a2m﹣n＝a3，可得mn＝2，2m﹣n＝3；
（2）把左边分解因式可得（2m+n）（2m﹣n）＝15，再把2m﹣n＝3代入可得2m+n＝5，再建立方程组求解即可．
【解答】（1）解：∵（am）n＝a2，（am）2÷an＝a3，
∴amn＝a2，a2m﹣n＝a3，
∴mn＝2，2m﹣n＝3；
（2）∵4m2﹣n2＝15，
∴（2m+n）（2m﹣n）＝15，
∵2m﹣n＝3，
∴2m+n＝5，
联立得，
解得，
∴m+n＝3．
【点评】本题考查的是幂的乘方运算，同底数幂的除法运算，利用平方差公式分解因式，二元一次方程组的解法，求代数式的值，熟记幂的乘方运算法则与平方差公式是解本题的关键．
22．（7分）（2024春 荔湾区期末）如图，直线AB，CD相交于点O，过点O作OE⊥CD，OF⊥AB，若∠AOC＝34°，求∠EOF的度数．
【考点】垂线；角的计算；对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】146°．
【分析】利用对顶角相等可知∠BOD＝34°，先求出∠EOB度数，利用∠EOF＝∠EOB+∠BOF进行计算即可．
【解答】解：∵OE⊥CD，OF⊥AB，
∴∠EOD＝90°，∠FOB＝90°．
又∵∠BOD＝∠AOC＝34°（对顶角相等），
∴∠BOE＝90°﹣∠BOD＝90°﹣34°＝56°．
∴∠EOF＝∠BOE+∠FOB＝56°+90°＝146°．
【点评】本题主要考查了垂线的定义、对顶角性质，正确找到与问题有关的角的和差是解题的关键．
23．（7分）（2025春 南海区校级月考）在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，我们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到如表中的一组统计数据：
摸球的次数n 50 100 300 500 800 1000 2000
摸到红球的次数m 14 33 95 155 241 298 602
摸到红球的频率 0.28 0.33 0.317 0.31 0.301 0.298 0.301
（1）通过以上实验，盒子里红球的数量为 　6　 个．
（2）若先从袋子中取出x（x＞1）个红球，再从袋子中随机摸出1个球，若“摸出黑球”为必然事件，则x＝ 　6　 ．
（3）若先从袋子中取出x个红球，再放入x个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个红球的概率为，求x的值．
【考点】概率公式；统计表；随机事件．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】（1）6；
（2）6；
（3）1．
【分析】（1）由表中摸球次数逐渐增大后，摸到红球的频率逐渐靠近于0.3，从而得出摸到红球的概率，再用总球的个数乘以红球的概率即可得出盒子里红球的数量；
（2）根据盒子里有6个红球，再根据“摸出黑球”为必然事件，从而得出x＝6；
（3）根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
【解答】解：（1）通过以上实验，摸到红球的概率估计为0.3，
盒子里红球的数量为：20×0.3＝6（个）．
故答案为：6；
（2）∵盒子里有6个红球，“摸出黑球”为必然事件，
∴x＝6．
故答案为：6；
（3）由（1）知红球6个，黑球14个，根据题意得：
，
解得：x＝1，
则x的值为1．
【点评】此题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目＝总体数目×相应频率．
24．（8分）（2024春 凉州区校级期末）如图，AB∥CD，AB⊥CB，垂足为B．
（1）判断BC与CD之间的位置关系，并说明理由；
（2）若∠1＝∠2，求证BE∥CF．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据垂直的定义求出∠ABC＝90°，根据平行线的性质求出∠ABC＝∠BCD＝90°，再根据垂直的定义求解即可；
（2）根据等式的性质求出∠CBE＝∠BCF，再根据“内错角相等，两直线平行”即可得证．
【解答】（1）解：BC⊥CD，理由：
∵AB⊥CB，
∴∠ABC＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴BC⊥CD；
（2）证明：由（1）得∠ABC＝∠BCD，
又∵∠1＝∠2，
∴∠ABC﹣∠1＝∠BCD﹣∠2，
即∠CBE＝∠BCF，
∴BE∥CF．
【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
25．（8分）（2025春 二七区校级月考）将两个边长分别为a和b的正方形按图①所示方式放置．其未叠合部分（阴影部分）的面积为S1，周长为L1，再在图①中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形，如图②，两个小正方形叠合部分（阴影部分）的面积为S2，周长为L2，已知L1﹣L2＝48，ab＝13．
（1）求a与b的差；
（2）求S1与S2的和．
【考点】整式的混合运算．
【专题】整式；几何直观；运算能力．
【答案】（1）8；
（2）77．
【分析】（1）由题意可得L1＝4a，L2＝2（b+b+b﹣a）＝6b﹣2a，再由L1﹣L2＝48即可求得a﹣b的值；
（2）由题意得S1＝a2﹣b2，S2＝b（b+b﹣a）＝2b2﹣ab，则S1+S2＝a2﹣ab+b2，将其变形后代入数值计算即可．
【解答】解：（1）由题意可得L1＝4a，L2＝2（b+b+b﹣a）＝6b﹣2a，
则L1﹣L2＝4a﹣6b+2a＝6a﹣6b，
∵L1﹣L2＝48，
∴6a﹣6b＝48，
∴a﹣b＝8；
（2）由题意得S1＝a2﹣b2，S2＝b（b+b﹣a）＝2b2﹣ab，
则S1+S2＝a2﹣b2+2b2﹣ab＝a2﹣ab+b2＝（a﹣b）2+ab，
∵a﹣b＝8，ab＝13，
∴S1+S2＝82+13＝64+13＝77．
【点评】本题考查整式的混合运算，由题意分别求得L1，L2，S1，S2是解题的关键．
26．（10分）（2024春 子洲县校级期中）如图，已知MN∥PQ，将两块直角三角尺（∠AED＝∠ABC＝90°，∠EAD＝30°，∠BAC＝45°）按如下方式进行摆放，恰好满足∠NAC＝15°．
（1）求∠CBQ的度数．
（2）若∠MAE＝∠EAD，试判断AB与AE的位置关系，并说明理由．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）30°；
（2）AB⊥AE，理由见解析．
【分析】（1）先求得∠NAB＝60°，再根据两直线平行、同旁内角互补求得即可求解；
（2）由（1）知∠NAB＝60°，可得∠EAB＝180°﹣∠MAE﹣∠NAB＝90°，可得到结论．
【解答】解：（1）因为∠NAC＝15°，∠BAC＝45°，
所以∠NAB＝45°+15°＝60°．
因为MN∥PQ，
所以∠ABQ＝180°﹣∠NAB＝180°﹣60°＝120°，
所以∠CBQ＝∠ABQ﹣∠ABC＝120°﹣90°＝30°．
（2）AB⊥AE．
理由：由（1）知∠NAB＝60°，
∵∠MAE＝∠EAD＝30°，
所以∠EAB＝180°﹣∠MAE﹣∠NAB＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
所以AB⊥AE．
【点评】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答的关键．

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