资源简介

陕西省2025-2026学年七年级下学期期末模拟自测数学试卷
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2025 广阳区二模）若2a+2a+2a+2a＝4b×4b×4b×4b，则2a﹣16b+9的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（3分）（2025春 叶县期末）2024年1月7日，中国第三代自主超导量子芯片“悟空芯”正式发布，标志着我国在量子计算领域突破国外技术封锁，掌握尖端核心科技．“悟空芯”实际运行状态下的比特弛豫时间（达长到热动平衡所需时间）T1≥0.0000153秒．其中0.0000153用科学记数法表示为（　　）
A．15.3×10﹣5 B．1.53×10﹣5 C．1.53×10﹣6 D．﹣1.53×106
3．（3分）事件A：今天星期日，明天星期一；事件B：连续掷两次硬币，有一次正面朝上，则（　　）
A．事件A和事件B都是必然事件
B．事件A是随机事件，事件B是不可能事件
C．事件A是必然事件，事件B是随机事件
D．事件A和事件B都是随机事件
4．（3分）（2023秋 沙坪坝区校级月考）计算：2x6÷x3的值是（　　）
A．﹣2x2 B．2x2 C．﹣2x3 D．2x3
5．（3分）（2024春 江西校级月考）如图，AB∥EF，∠C＝90°，若∠α＝30°，∠γ＝40°，则∠β＝（　　）
A．90° B．100° C．110° D．120°
6．（3分）（2024春 馆陶县期中）中国象棋文化历史久远，在如图所示的部分棋盒中，“馬”的位置在“﹣﹣﹣”（图中虚线）的下方，“馬”移动一次能够到达的所有位置已用“●”标记，则“馬”随机移动一次，到达的位置在“﹣﹣﹣”上方的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．（3分）（2024春 温江区校级月考）若x＝2y+2，则x2﹣4xy+4y2的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（3分）如图是某交叉路口的示意图，若∠1+∠2＝180°，∠1+∠3＝180°，则∠2＝∠3，理由是（　　）
A．同角的余角相等 B．同角的补角相等
C．等角的余角相等 D．等角的补角相等
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）（2025秋 天河区校级期中）计算：（﹣ab）4＝　 　 ．
10．（3分）（2025秋 临泉县期末）从单词“mathematics”中随机抽取一个字母，字母“a”出现的概率是 　 　 ．
11．（3分）（2025春 平城区校级月考）如图，从斑马线上的点P处过马路，沿线路PB行走距离最短，科学依据是　 　 ．
12．（3分）（2025秋 宜春校级月考）要使（x2+ax+3）（x﹣2）的结果中不含x2项，则a为　 　 ．
13．（3分）（2023春 未央区期中）下列正确说法中：
①同位角相等；②等角的补角相等；③两直线平行同旁内角相等；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这一点到直线的距离；⑥对顶角的平分线在同一条直线上，其中正确的有 　 　 ．（填序号）
三．解答题（共13小题，满分81分）
14．（5分）（2023秋 娄底期中）计算：．
15．（5分）（2025春 深圳校级期中）某奶茶店举办“盲盒抽奖”活动，在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共40个，这些球除颜色外其余完全相同，每次摸奖，店员将球搅匀后，顾客从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，店员记录了抽奖数据如下：
摸球的次数n 50 100 300 500 800 1000 2000
摸到红球的次数m 14 33 95 155 241 298 602
摸到红球的频率 0.28 0.33 0.317 0.31 0.301 0.298 0.301
（1）通过以上摸奖数据，摸到红球的概率估计为　 　 .（结果精确到0.01）
（2）若先从袋子中取出x（x＞1）个红球，不放回，再从袋子中随机摸出1个球，此时“摸出黑球”为必然事件，则x＝　 　 ．
（3）若先从袋子中取出x个红球，再放入x个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个红球的概率为，求x的值．
16．（5分）（2024春 岳池县校级月考）如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB于点O，∠AOD＝4∠COM，求∠AOC的度数．
17．（5分）（2025春 长安区校级期中）如图，已知三角形ABC，请用尺规作图法过点A作直线MN，使得MN∥BC．（保留作图痕迹，不写作法）
18．（5分）（2025春 萧山区期中）小晓在化简整式（x+2y）2+（2x﹣y）（2x+y）+x（〇x﹣3y）﹣2y2时，得到的结果是x2+y2+xy，则“〇”表示的数为 　 　 ．
【发现】小晓观察计算结果x2+y2+xy，发现这个多项式是两数的平方和加上两数的积，她把具有这种结构特征的多项式称为“对称多项式”，例如：a2+b2+ab，4a2+9b2+6ab，…，请你再写出一个“对称多项式”（用含a，b的代数式表示） 　 　 ；
【探究】规定x※y＝x2+y2+xy，若x和y是两个连续的奇数时，x※y称为这个对称多项式的“对称奇值”，小晓进一步研究，对称奇值减去1，结果都是12的倍数，例如32+52+3×5﹣1＝48，52+72+5×7﹣1＝108，试说明原因．
【应用】已知m﹣n＝2，mn＝3，求（m+1）※（n﹣1）的值．
19．（5分）（2025春 蒙阴县期末）已知，直线AB∥CD，点E为直线AB上一定点，直线EK交CD于点F，FG平分∠DFK，∠AEF＝α．
（1）如图1，当α＝70°时，∠GFK＝　 　 °；
（2）点P为射线FE上一点，点M为直线AB上的一动点，连接PM，过点P作PN⊥PM交直线CD于点N．
①如图2，点P在线段EF上，若点M在点E左侧，求∠BMP与∠PNC的数量关系；
②点P在线段FE的延长线上，当点M在直线AB上运动时，∠MPN的一边恰好与射线FG平行，直接写出此时∠PNF的度数（用含α的式子表示）．
20．（5分）（2024秋 吉林月考）用简便算法计算．
（1）20242﹣2025×2023；
（2）4+4×196+982．
21．（6分）（2024秋 莲湖区校级期中）某商场进行抽奖活动，抽奖箱中只有“中奖”和“谢谢恵顾”两种卡片（两种卡片形状、大小相同，质地均匀），下表是活动进行中的一组统计数据．
抽奖总次数n 100 150 200 800 1000
抽到“中奖”卡片的次数m 33 48 63 b 299
中奖的频率 0.33 a 0.315 0.3 0.299
（1）填空：a＝　 　 ，b＝　 　 ．
（2）根据“频率的稳定性”估计抽奖一次就抽到“中奖”的概率为 　 　 .（精确到0.1）
22．（7分）（2023春 宿城区校级期中）已知am＝3，an＝2．
（1）求：①am+n的值；②a3m﹣2n的值；
（2）已知2×8x×32＝227，求x的值．
23．（7分）（2025春 南海区校级月考）在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，我们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到如表中的一组统计数据：
摸球的次数n 50 100 300 500 800 1000 2000
摸到红球的次数m 14 33 95 155 241 298 602
摸到红球的频率 0.28 0.33 0.317 0.31 0.301 0.298 0.301
（1）通过以上实验，盒子里红球的数量为 　 　 个．
（2）若先从袋子中取出x（x＞1）个红球，再从袋子中随机摸出1个球，若“摸出黑球”为必然事件，则x＝ 　 　 ．
（3）若先从袋子中取出x个红球，再放入x个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个红球的概率为，求x的值．
24．（8分）（2025春 莱西市期中）如图，∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E．
（1）AB与EF的位置关系如何？为什么？
（2）若AF平分∠BAD，试证明：
①∠BAD＝2∠F；
②∠E+∠F＝90°．
25．（8分）计算．
（1）5b2c （3ab﹣2b3）．
（2）．
（3）．
26．（10分）（2025春 昌图县期末）综合与实践：数学社团的同学以“两条平行线（AB、CD）和一块含45°角的直角三角板（∠EFG＝90°）“为主题开展数学活动，已知点E、F不能同时落在直线AB和CD之间．
（1）【探究】如图1，把三角板的45°角的顶点E、G分别放在AB、CD上，若∠BEG＝140°，求∠FGC的度数；
（2）【迁移】如图2，把三角板的锐角顶点G放在CD上，且保持不动，绕点G转动三角板，若点E恰好落在AB和CD之间，且AB与EF所夹锐角为25°，求∠FGC的度数；
（3）【拓展】把三角板的锐角顶点G放在CD上，在绕点G旋转三角板的过程中，若（∠DGE＜45°），请直接写出射线GF与AB相交所夹锐角的度数．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2025 广阳区二模）若2a+2a+2a+2a＝4b×4b×4b×4b，则2a﹣16b+9的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加的知识，先分别对等号左右两边进行化简，然后得到a＝8b﹣2，然后即可求解
【解答】解：由条件可知2a+2a+2a+2a＝4×2a＝22×2a＝22+a，4b×4b×4b×4b＝44b＝（22）4b＝28b，
∴22+a＝28b，
∴2+a＝8b，即a＝8b﹣2；
∴2a﹣16b+9＝2（8b﹣2）﹣16b+9＝16b﹣4﹣16b+9＝5，
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂相乘，底数不变，指数相加的知识，掌握以上知识是解答本题的关键．
2．（3分）（2025春 叶县期末）2024年1月7日，中国第三代自主超导量子芯片“悟空芯”正式发布，标志着我国在量子计算领域突破国外技术封锁，掌握尖端核心科技．“悟空芯”实际运行状态下的比特弛豫时间（达长到热动平衡所需时间）T1≥0.0000153秒．其中0.0000153用科学记数法表示为（　　）
A．15.3×10﹣5 B．1.53×10﹣5 C．1.53×10﹣6 D．﹣1.53×106
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【专题】实数；符号意识．
【答案】B．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：0.0000153＝1.53×10﹣5．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（3分）事件A：今天星期日，明天星期一；事件B：连续掷两次硬币，有一次正面朝上，则（　　）
A．事件A和事件B都是必然事件
B．事件A是随机事件，事件B是不可能事件
C．事件A是必然事件，事件B是随机事件
D．事件A和事件B都是随机事件
【考点】随机事件．
【专题】概率及其应用；数据分析观念．
【答案】C
【分析】根据随机事件的定义进行解答即可．
【解答】解：∵事件A：事件A：今天星期日，明天星期一，是必然事件；
事件B：连续掷两次硬币，有一次正面朝上，是随机事件，
故选：C．
【点评】本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解答此题的关键．
4．（3分）（2023秋 沙坪坝区校级月考）计算：2x6÷x3的值是（　　）
A．﹣2x2 B．2x2 C．﹣2x3 D．2x3
【考点】整式的除法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】利用单项式除以单项式的法则进行计算，即可解答．
【解答】解：2x6÷x3＝2x3，
故选：D．
【点评】本题考查了整式的除法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
5．（3分）（2024春 江西校级月考）如图，AB∥EF，∠C＝90°，若∠α＝30°，∠γ＝40°，则∠β＝（　　）
A．90° B．100° C．110° D．120°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】B
【分析】首先构造辅助线，再利用三角形的外角的性质以及平行线的性质建立角之间的关系即可得解，解题的关键是通过作辅助线，构造了三角形以及由平行线构成的内错角．
【解答】解：如图，延长DC交AB于点G，延长CD交EF于点H，
在Rt△MGC中，∠1＝90°﹣α，
在△NHD中，∠2＝β γ，
∵AB∥EF，
∴∠1＝∠2，
∴90°﹣α＝β﹣γ，
∵∠α＝30°，∠γ＝40°
∴90°﹣30°＝β﹣40°，
∴∠β＝100°．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，关键是平行线性质定理的应用．
6．（3分）（2024春 馆陶县期中）中国象棋文化历史久远，在如图所示的部分棋盒中，“馬”的位置在“﹣﹣﹣”（图中虚线）的下方，“馬”移动一次能够到达的所有位置已用“●”标记，则“馬”随机移动一次，到达的位置在“﹣﹣﹣”上方的概率是（　　）
A． B． C． D．
【考点】概率公式．
【专题】概率及其应用；数据分析观念；应用意识．
【答案】B
【分析】根据概率公式直接计算即可．
【解答】解：∵“馬”移动一次能够到达的所有位置共有8个，位于在“﹣﹣﹣”上方的有2个，
∴“馬”随机移动一次，到达的位置在“﹣﹣﹣”上方的概率是，
故选：B．
【点评】本题考查概率公式，理解题意，掌握概率公式是解题的关键．
7．（3分）（2024春 温江区校级月考）若x＝2y+2，则x2﹣4xy+4y2的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】完全平方公式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】先对条件进行变形，再利用完全平方公式对原式进行因式分解，最后代入即可．
【解答】解：∵x＝2y+2，
∴x﹣2y＝2，
∴原式＝（x﹣2y）2
＝22
＝4．
故选：D．
【点评】本题主要考查完全平方公式，对条件进行变形是解题的关键．
8．（3分）如图是某交叉路口的示意图，若∠1+∠2＝180°，∠1+∠3＝180°，则∠2＝∠3，理由是（　　）
A．同角的余角相等 B．同角的补角相等
C．等角的余角相等 D．等角的补角相等
【考点】余角和补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】B
【分析】根据同角的补角相等，即可解答．
【解答】解：若∠1+∠2＝180°，∠1+∠3＝180°，则∠2＝∠3，理由是同角的补角相等，
故选：B．
【点评】本题考查了余角和补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）（2025秋 天河区校级期中）计算：（﹣ab）4＝a4b4 ．
【考点】幂的乘方与积的乘方．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】a4b4．
【分析】根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可．
【解答】解：原式＝a4b4．
故答案为：a4b4．
【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
10．（3分）（2025秋 临泉县期末）从单词“mathematics”中随机抽取一个字母，字母“a”出现的概率是 　　 ．
【考点】概率公式．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】．
【分析】“mathematics”中共11个字母，字母a有2个，根据概率公式可得答案．
【解答】解：∵单词“mathematics”，共11个字母，字母a有2个，
∴抽中字母a的概率为．
故答案为：．
【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
11．（3分）（2025春 平城区校级月考）如图，从斑马线上的点P处过马路，沿线路PB行走距离最短，科学依据是　垂线段最短　 ．
【考点】垂线段最短．
【专题】线段、角、相交线与平行线；应用意识．
【答案】垂线段最短．
【分析】根据垂线段最短，即可解答．
【解答】解：如图，从斑马线上的点P处过马路，沿线路PB行走距离最短，科学依据是垂线段最短，
故答案为：垂线段最短．
【点评】本题考查了垂线段最短，熟练掌握这些数学知识是解题的关键．
12．（3分）（2025秋 宜春校级月考）要使（x2+ax+3）（x﹣2）的结果中不含x2项，则a为　2　 ．
【考点】多项式乘多项式；合并同类项．
【专题】计算题；方程思想；整式；运算能力．
【答案】2．
【分析】先把多项式合并，然后令x2项系数等于0，再解方程即可．
【解答】解：∵多项式（x2+ax+3）（x﹣2）＝x3+（a﹣2）x2+（3﹣2a）x﹣6不含x2项，
∴a﹣2＝0，
解得a＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了合并同类项法则及对多项式“项”的概念的理解，要知道多项式中的每个单项式叫做多项式的项，题目设计精巧，有利于培养学生灵活运用知识的能力．
13．（3分）（2023春 未央区期中）下列正确说法中：
①同位角相等；②等角的补角相等；③两直线平行同旁内角相等；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这一点到直线的距离；⑥对顶角的平分线在同一条直线上，其中正确的有 　②⑥　 ．（填序号）
【考点】平行线的判定与性质；余角和补角；点到直线的距离；同位角、内错角、同旁内角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；应用意识．
【答案】②⑥．
【分析】根据平行线的性质；补角的性质；垂线的基本事实；点到直线的距离；对顶角的性质，逐项判断即可求解．
【解答】解：①两直线平行，同位角相等，不是所有的同位角都相等，所以本选项错误，不符合题意；
②等角的补角相等，本选项正确，符合题意；
③两直线平行，同旁内角互补，所以本选项错误，不符合题意；
④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以本选项错误，不符合题意；
⑤直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这一点到直线的距离，所以本选项错误，不符合题意；
⑥对顶角的平分线在同一条直线上，本选项正确，符合题意；
综上，正确的是②⑥．
故答案为：②⑥．
【点评】本题主要考查了平行线的性质；补角的性质；垂线的基本事实；点到直线的距离；对顶角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键，是基础题．
三．解答题（共13小题，满分81分）
14．（5分）（2023秋 娄底期中）计算：．
【考点】负整数指数幂；绝对值；有理数的加减混合运算；有理数的除法；有理数的乘方；零指数幂．
【专题】实数；运算能力．
【答案】﹣5．
【分析】先根据乘方、负整数指数幂、绝对值、零指数幂的运算法则计算，再合并即可．
【解答】解：原式＝﹣1﹣2﹣2÷1
＝﹣3﹣2
＝﹣5．
【点评】此题考查的是乘方、负整数指数幂、绝对值、零指数幂的运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．
15．（5分）（2025春 深圳校级期中）某奶茶店举办“盲盒抽奖”活动，在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共40个，这些球除颜色外其余完全相同，每次摸奖，店员将球搅匀后，顾客从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，店员记录了抽奖数据如下：
摸球的次数n 50 100 300 500 800 1000 2000
摸到红球的次数m 14 33 95 155 241 298 602
摸到红球的频率 0.28 0.33 0.317 0.31 0.301 0.298 0.301
（1）通过以上摸奖数据，摸到红球的概率估计为　0.30　 .（结果精确到0.01）
（2）若先从袋子中取出x（x＞1）个红球，不放回，再从袋子中随机摸出1个球，此时“摸出黑球”为必然事件，则x＝　12　 ．
（3）若先从袋子中取出x个红球，再放入x个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个红球的概率为，求x的值．
【考点】利用频率估计概率；随机事件．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】（1）0.30；
（2）12；
（3）2．
【分析】（1）由表中摸球次数逐渐增大后，摸到红球的频率逐渐靠近于0.3，从而得出摸到红球的概率；
（2）根据盒子里有12个红球，再根据“摸出黑球”为必然事件，从而得出x＝12；
（3）根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
【解答】解：（1）通过以上实验，摸到红球的概率估计为0.30，
故答案为：0.30；
（2）∵摸到红球的概率估计为0.3，
∴盒子里红球的数量为40×0.3＝12（个）
∵“摸出黑球”为必然事件，
∴x＝12．
故答案为：12；
（3）由（1）知红球12个，黑球28个，根据题意得：
，
解得：x＝2，
因此，取出2个红球并放入2个黑球后，随机摸出红球的概率为．
【点评】此题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目＝总体数目×相应频率．
16．（5分）（2024春 岳池县校级月考）如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB于点O，∠AOD＝4∠COM，求∠AOC的度数．
【考点】垂线；对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．
【答案】60°．
【分析】由垂直的定义得到∠BOM＝90°，由对顶角的性质得到∠BOC＝∠AOD＝4∠COM，求出∠COM＝30°，得到∠BOC＝120°，由邻补角的性质即可求出∠AOC的度数．
【解答】解：∵OM⊥AB于点O，
∴∠BOM＝90°，
∵∠BOC＝∠AOD＝4∠COM，
∴∠BOM＝3∠COM，
∴∠COM＝30°，
∴∠BOC＝4∠COM＝120°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝60°．
【点评】本题考查垂线，对顶角、邻补角，关键是掌握垂直的定义，邻补角互补．
17．（5分）（2025春 长安区校级期中）如图，已知三角形ABC，请用尺规作图法过点A作直线MN，使得MN∥BC．（保留作图痕迹，不写作法）
【考点】作图—复杂作图；平行线的判定．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】见解析．
【分析】作∠NAC＝∠C，直线MN即为所求．
【解答】解：如图，直线MN即为所求．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行线的判定，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
18．（5分）（2025春 萧山区期中）小晓在化简整式（x+2y）2+（2x﹣y）（2x+y）+x（〇x﹣3y）﹣2y2时，得到的结果是x2+y2+xy，则“〇”表示的数为 　﹣4　 ．
【发现】小晓观察计算结果x2+y2+xy，发现这个多项式是两数的平方和加上两数的积，她把具有这种结构特征的多项式称为“对称多项式”，例如：a2+b2+ab，4a2+9b2+6ab，…，请你再写出一个“对称多项式”（用含a，b的代数式表示） a2+4b2+2ab（答案不唯一）　 ；
【探究】规定x※y＝x2+y2+xy，若x和y是两个连续的奇数时，x※y称为这个对称多项式的“对称奇值”，小晓进一步研究，对称奇值减去1，结果都是12的倍数，例如32+52+3×5﹣1＝48，52+72+5×7﹣1＝108，试说明原因．
【应用】已知m﹣n＝2，mn＝3，求（m+1）※（n﹣1）的值．
【考点】整式的混合运算—化简求值；列代数式；完全平方公式；平方差公式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】﹣4；
【发现】a2+4b2+2ab（答案不唯一）；
【探究】对称奇值减去1，结果都是12的倍数，原因见解析部分；
【应用】16．
【分析】根据整式的运算法则把原式展开后，再合并同类项，与原结果对比，即可得到结果；
【发现】仿照示例，先表示出这两个数（式），再按照示例的形式表示出来即可；
【探究】先表示出对称多项式的“对称奇值”，再减去1，进行化简结果为12n2，从而得到结论；
【应用】对（m+1）※（n﹣1）按示例展开，即可得到结果．
【解答】解：（x+2y）2+（2x﹣y）（2x+y）+x（〇x﹣3y）﹣2y2
＝x2+4xy+4y2+4x2﹣y2+〇x2﹣3xy﹣2y2
＝（5+〇）x2+y2+xy，
∵化简的结果是x2+y2+xy，
∴“〇”表示的数为﹣4，
故答案为：﹣4；
【发现】设这两个数为a，2b，
对称多项式为a2+4b2+2ab，
故答案为：a2+4b2+2ab（答案不唯一）；
【探究】对称奇值减去1，结果都是12的倍数，原因如下：
设这两个连续的奇数为 2n﹣1 和 2n+1（n为整数），
∴（2n﹣1）※（2n+1）﹣1＝（2n﹣1）2+（2n+1）2+（2n﹣1）（2n+1）﹣1＝12n2，
∵n为正整数，
∴12n2为12的倍数，
∴对称奇值减去1，结果都是12的倍数；
【应用】（m+1）※（n﹣1）
＝（m+1）2+（n﹣1）2+（m+1）（n﹣1）
＝m2+2m+1+n2﹣2n+1+mn﹣m+n﹣1
＝m2+n2+mn+m﹣n+1
＝（m﹣n）2+3mn+（m﹣n）+1，
∵m﹣n＝2，mn＝3，
∴原式＝22+3×3+2+1＝16．
【点评】本题考查了整式的混合运算，涉及到完全平方公式的应用，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键．
19．（5分）（2025春 蒙阴县期末）已知，直线AB∥CD，点E为直线AB上一定点，直线EK交CD于点F，FG平分∠DFK，∠AEF＝α．
（1）如图1，当α＝70°时，∠GFK＝　55　 °；
（2）点P为射线FE上一点，点M为直线AB上的一动点，连接PM，过点P作PN⊥PM交直线CD于点N．
①如图2，点P在线段EF上，若点M在点E左侧，求∠BMP与∠PNC的数量关系；
②点P在线段FE的延长线上，当点M在直线AB上运动时，∠MPN的一边恰好与射线FG平行，直接写出此时∠PNF的度数（用含α的式子表示）．
【考点】平行线的性质；垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】（1）55；
（2）①∠PNC ∠BMP＝90°；②∠PNF＝90° 或∠PNF．
【分析】（1）由平行线的性质得∠KFC＝∠FEA＝α，由平角的定义得∠AFK＝110°再由角平分线的定义求解即可；
（2）①过点P作PQ∥AB，则PQ∥AB∥CD，根据平行线的性质和等量代换即可求解；
②分当PN∥FG时和当PM∥FG时两种情况讨论即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠KFC＝∠FEA＝α，
∵α＝70°，
∴∠KFC＝70°，
∴∠DFK＝180° 70°＝110°，
∵FG平分∠DFK，
∴∠GFK∠DFK＝55°，
故答案为：55；
①过点P作PQ∥AB，如图，
则PQ∥AB∥CD，
∴∠AMP+∠MPQ＝180°，∠QPM＝∠BMP，
∵PN⊥PM，
∴∠MPN＝90°，
即∠MPQ+∠QPN＝90°，
∴∠QPN＝90° ∠QPM＝90° ∠BMP，
∵∠PNC+∠NPQ＝180°，
∴∠PNC+（90° ∠BMP）＝180°，
∴∠PNC ∠BMP＝90°，
②当PN∥FG时，如图，
∵AB∥CD，
∴∠CFK＝∠AEF＝α，
∴∠DFK＝180° α，
∵FG平分∠DFK，
∴∠DFG∠DFK＝90° ，
∵PN∥FG，
∴∠PNF＝∠GFD＝90° ，
当PM∥FG时，如图所示，
∵AB∥CD，
∴∠CFK＝∠AEF＝α，
∴∠NFP＝∠DFK＝180° α，
∵FG平分∠DFK，
∴∠KFG∠DFK＝90° ，
∵PM∥FG，
∴∠KPM＝∠KFG＝90° ，
∵PN⊥PM，
∴∠NPF＝90° ∠KPM，
∴∠PNF＝180° ∠NPF﹣∠NFP
＝180° （180° α）
．
故∠PNF的度数为90° 或．
【点评】本题主要考查平行线的性质、角平分线的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
20．（5分）（2024秋 吉林月考）用简便算法计算．
（1）20242﹣2025×2023；
（2）4+4×196+982．
【考点】完全平方公式；平方差公式．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）1；
（2）10392．
【分析】（1）先把原式变形，再根据平方差公式进行计算即可；
（2）先把原式变形，再根据完全平方公式进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝20242﹣（2024+1）×（2024﹣1）
＝20242﹣（20242﹣12）
＝20242﹣20242+1
＝1；
（2）原式＝22+2×2×2×98+982
＝22+2×2×98+982+2×2×98
＝（2+98）2+2×2×98
＝1002+4×（100﹣2）
＝10000+400﹣8
＝10392．
【点评】本题考查了平方差公式，完全平方公式，熟练掌握平方差公式，完全平方公式是解题的关键．
21．（6分）（2024秋 莲湖区校级期中）某商场进行抽奖活动，抽奖箱中只有“中奖”和“谢谢恵顾”两种卡片（两种卡片形状、大小相同，质地均匀），下表是活动进行中的一组统计数据．
抽奖总次数n 100 150 200 800 1000
抽到“中奖”卡片的次数m 33 48 63 b 299
中奖的频率 0.33 a 0.315 0.3 0.299
（1）填空：a＝　0.32　 ，b＝　240　 ．
（2）根据“频率的稳定性”估计抽奖一次就抽到“中奖”的概率为 　0.3　 .（精确到0.1）
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】（1）0.32，240；
（2）估计抽奖一次就抽到“中奖”的概率是0.3．
【分析】（1）根据频率和总数求出a的值即可；根据频数和总数求出频率b即可；
（2）根据频率的稳定性，估计抽奖一次就中奖的概率即可．
【解答】解：（1）a＝48÷150×＝0.32，
b＝800×0.3＝240；
故答案为：0.32，240；
（2）根据“频率的稳定性”估计抽奖一次就抽到“中奖”的概率约是0.3，
故答案为：0.3．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，频率的计算，利用频率估计概率求解即可．
22．（7分）（2023春 宿城区校级期中）已知am＝3，an＝2．
（1）求：①am+n的值；②a3m﹣2n的值；
（2）已知2×8x×32＝227，求x的值．
【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）①6；②；
（2）7．
【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则和除法法则求解即可；
（2）把各个数字化为以2为底数的形式，按照同底数幂的乘法法则，求解即可．
【解答】解：（1）①am+n＝am an
＝2×3
＝6；
②a3m﹣2n＝a3m÷a2n
＝（am）3÷（an）2
＝33÷22
；
（2）∵2×8x×32＝227
∴2×（23）x×25＝227，
∴2×23x×25＝227，
∴1+3x+5＝27，
解得：x＝7．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法和除法、幂的乘方与积的乘方，解答本题的关键是掌握运算法则．
23．（7分）（2025春 南海区校级月考）在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共20个，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，我们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到如表中的一组统计数据：
摸球的次数n 50 100 300 500 800 1000 2000
摸到红球的次数m 14 33 95 155 241 298 602
摸到红球的频率 0.28 0.33 0.317 0.31 0.301 0.298 0.301
（1）通过以上实验，盒子里红球的数量为 　6　 个．
（2）若先从袋子中取出x（x＞1）个红球，再从袋子中随机摸出1个球，若“摸出黑球”为必然事件，则x＝ 　6　 ．
（3）若先从袋子中取出x个红球，再放入x个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个红球的概率为，求x的值．
【考点】概率公式；统计表；随机事件．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】（1）6；
（2）6；
（3）1．
【分析】（1）由表中摸球次数逐渐增大后，摸到红球的频率逐渐靠近于0.3，从而得出摸到红球的概率，再用总球的个数乘以红球的概率即可得出盒子里红球的数量；
（2）根据盒子里有6个红球，再根据“摸出黑球”为必然事件，从而得出x＝6；
（3）根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
【解答】解：（1）通过以上实验，摸到红球的概率估计为0.3，
盒子里红球的数量为：20×0.3＝6（个）．
故答案为：6；
（2）∵盒子里有6个红球，“摸出黑球”为必然事件，
∴x＝6．
故答案为：6；
（3）由（1）知红球6个，黑球14个，根据题意得：
，
解得：x＝1，
则x的值为1．
【点评】此题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目＝总体数目×相应频率．
24．（8分）（2025春 莱西市期中）如图，∠ADE+∠BCF＝180°，BE平分∠ABC，∠ABC＝2∠E．
（1）AB与EF的位置关系如何？为什么？
（2）若AF平分∠BAD，试证明：
①∠BAD＝2∠F；
②∠E+∠F＝90°．
【考点】平行线的判定与性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）结合角平分线定义求出∠E＝∠ABE，根据“内错角相等，两直线平行”即可得解；
（2）①根据平行线的性质及角平分线定义求解即可；
②根据平行线的判定与性质及角平分线定义求解即可．
【解答】解：（1）AB∥EF，理由如下：
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABE，
∵∠ABC＝2∠E，
∴∠E＝∠ABE，
∴AB∥EF；
（2）①∵AB∥EF，
∴∠BAF＝∠F，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAD＝2∠BAF，
∴∠BAD＝2∠F；
②∵∠ADE+∠ADF＝180°，∠ADE+∠BCF＝180°，
∴∠ADF＝∠BCF，
∴AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠ABC＝2∠E，∠BAD＝2∠F，
∴∠E+∠F（∠BAD+∠ABC）＝90°．
【点评】本题考查平行线的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
25．（8分）计算．
（1）5b2c （3ab﹣2b3）．
（2）．
（3）．
【考点】单项式乘多项式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）15ab3c﹣10b5c；
（2）2x3x2+3x；
（3）x2y3+5x2y2xy2．
【分析】（1）利用单项式乘多项式的计算法则解答；
（2）利用单项式乘多项式的计算法则解答；
（3）利用单项式乘多项式的计算法则解答．
【解答】解：（1）原式＝15ab3c﹣10b5c；
（2）原式＝2x3x2+3x；
（3）原式x2y3+5x2y2xy2．
【点评】考查了单项式乘多项式，单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
26．（10分）（2025春 昌图县期末）综合与实践：数学社团的同学以“两条平行线（AB、CD）和一块含45°角的直角三角板（∠EFG＝90°）“为主题开展数学活动，已知点E、F不能同时落在直线AB和CD之间．
（1）【探究】如图1，把三角板的45°角的顶点E、G分别放在AB、CD上，若∠BEG＝140°，求∠FGC的度数；
（2）【迁移】如图2，把三角板的锐角顶点G放在CD上，且保持不动，绕点G转动三角板，若点E恰好落在AB和CD之间，且AB与EF所夹锐角为25°，求∠FGC的度数；
（3）【拓展】把三角板的锐角顶点G放在CD上，在绕点G旋转三角板的过程中，若（∠DGE＜45°），请直接写出射线GF与AB相交所夹锐角的度数．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由AB∥CD，∠BEG＝140°得∠EGD＝40°，再由∠EGF＝45°得∠FGD＝75°，由此根据邻补角的定义可得∠FGC的度数；
（2）过点E作EN∥CD，依题意得∠BME＝25°，∠FEG＝∠FGE＝45°，证AB∥EN∥CD，根据平行线的性质得∠NEM＝∠BME＝25°，∠NEG＝∠FEG﹣∠NEM＝20°，进而得∠DGE＝∠NEG＝20°，由此可求出∠FGD＝∠FGE+∠DGE＝65°，然后根据邻补角的定义可得∠FGC的度数；
（3）分两种情况讨论如下：①当点E在CD上方时，设AB交GF于点H，设∠DGE＝α，则∠FGC＝5α，根据∠DGE+∠FGE+∠FGC＝180°得5α+45°+α＝180°，由此得α＝22.5°，则∠FGC＝112.5°，然后由根据平行线的性质可求出∠AHG的度数；②当点E在CD下方时，延长GF交AB于点H，设∠EGD＝β，则∠FGC＝5β，进而得∠FGD＝45°﹣β，由∠FGC+∠FGD＝180°得5β+45°﹣β＝180°，由此得β＝33.75°，则∠FGC＝168.75°，然后由根据平行线的性质可求出∠AHG的度数，综上所述即可得出射线GF与AB相交所夹锐角的度数．
【解答】解：（1）依题意得：∠FGE＝45°，
∵AB∥CD，
∴∠BEG+∠EGD＝180°，
∠BEG＝140°，
∴∠EGD＝180°﹣140°＝40°，
∵∠EGF＝45°，∠FGC+∠EGF+∠EGD＝180°，
∴∠FGC＝180°﹣45°﹣40°＝95°；
（2）如图2：过点E作EN∥CD，
依题意得：∠BME＝25°，∠FEG＝∠FGE＝45°，
∵AB∥CD，EN∥CD，
∴AB∥EN∥CD，
∴∠NEM＝∠BME＝25°，
∴∠NEG＝∠FEG﹣∠NEM＝45°﹣25°＝20°，
∴∠DGE＝∠NEG＝20°，
∴∠FGD＝∠FGE+∠DGE＝45°+20°＝65°，
∴∠FGC＝180°﹣∠FGD＝180°﹣65°＝115°；
（3）射线GF与AB相交所夹锐角的度数为67.5° 或 11.25°；理由如下：
分两种情况讨论如下：
①当点E在CD上方时，设AB交GF于点H，如图3所示：
依题意得：∠FEG＝∠FGE＝45°，
设∠DGE＝α，则∠FGC＝5∠DGE＝5α，
∵∠DGE+∠FGE+∠FGC＝180°，
∴5α+45°+α＝180°，
解得：α＝22.5°，
∴∠FGC＝5α＝112.5°，
∵AB∥CD，
∴∠AHG＝180°﹣∠FGC＝180°﹣112.5°＝67.5°；
②当点E在CD下方时，延长GF交AB于点H，如图4所示：
依题意得：∠FGE＝45°，
设∠EGD＝β，则∠FGC＝5∠DGE＝5β，
∴∠FGD＝∠FGE﹣∠EGD＝45°﹣β，
∠FGC+∠FGD＝180°，
∴5β+45°﹣β＝180°，
解得：β＝33.75°，
∴∠FGC＝5β＝168.75°，
∵AB∥CD，
∠AHG＝180°﹣∠FGC＝180°﹣168.75°＝11.25°，
综上所述：射线GF与AB相交所夹锐角的度数为67.5°或11.25°．
【点评】此题主要考查了平行线的性质，角的计算，准确识图，熟练掌握平行线的性质，角的计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，漏解是易错点．

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