资源简介

陕西省2025-2026学年七年级下学期期末模拟自测数学试卷
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2025春 龙川县校级月考）计算（aa）3的结果是（　　）
A．a5 B．a6 C．aa+3 D．a3a
2．（3分）（2025春 肥城市期末）下列计算正确的是（　　）
A．a6÷a3＝a2 B．（﹣3x2y3）3＝﹣9x6y9
C．（3a+2b）2＝9a2+4b2 D．（﹣a） （﹣a2）＝a3
3．（3分）（2025秋 衡山县期末）下列多项式乘法运算中，不能用平方差公式计算的是（　　）
A．（﹣x﹣y）（x+y） B．（2x+y）（2x﹣y）
C．（m2﹣mn）（m2+mn） D．（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）
4．（3分）（2024秋 平城区期末）如图是某测绘装置上的一枚指针，原来指向南偏西50°，把这枚指针旋转180°，则此时指向（　　）
A．南偏东50° B．北偏东40° C．南偏东40° D．北偏东50°
5．（3分）（2025秋 邯郸校级期末）下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．任意买一张电影票，座位号是偶数
B．抽查背诵，刚好抽到学号是5的同学
C．对顶角相等
D．打开收音机，正好播放音乐《一路山程》
6．（3分）（2019春 榆次区期末）在综合实践活动中，小明、小亮、小颖、小静四位同学用投掷图钉的方法估计针尖朝上的概率，他们的实验次数分别为20次、50次、150次、200次，其中哪位同学的实验相对科学（　　）
A．小颖 B．小亮 C．小静 D．小明
7．（3分）（2024秋 福清市期末）计算20240﹣2025﹣1的结果正确的是（　　）
A． B．2026 C．﹣2025 D．
8．（3分）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，∠1＝45°，∠2＝120°，则∠3+∠4＝（　　）
A．165° B．155° C．105° D．90°
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）（2024 济南模拟）将数据0.0000302用科学记数法表示为 　 　 ．
10．（3分）（2025春 金水区期末）如图，要把水渠中的水引到C点，在渠岸AB的点D处开沟，能使沟最短，这样做的理由是 　 　 ．
11．（3分）（2024 牡丹区校级一模）四个人做三套试卷，则每套试卷都至少被一人做的概率为 　 　 ．
12．（3分）（2024春 玉溪期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，且∠BOE的度数是∠AOD的2倍，则∠BOC的度数为 　 　 ．
13．（3分）（2025秋 西山区校级期中）已知3a＝2，9b＝6，则35a﹣2b＝　 　 ．
三．解答题（共13小题，满分81分）
14．（5分）计算：（﹣3a2）3﹣4a2 a4+5a5 a．
15．（5分）（2024春 门头沟区校级期中）2x5 （﹣x）3+（﹣2x3）2 4x2．
16．（5分）（2023春 碑林区校级月考）化简：（3a+2）（3a﹣2）﹣a（1﹣a）（3a+2）．
17．（5分）（2025秋 长春月考）计算：a2 a4﹣（a7）2÷a4．
18．（6分）（2025秋 长寿区校级期中）先化简，再求值：（2x2）3﹣x3 x3，其中x＝﹣1．
19．（6分）（2024春 三明期末）先化简，再求值：b（a+2b）+2（a+b）（a﹣b），其中．
20．（6分）（2021春 双流区期末）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的20个小球，其中白球8个，黑球12个．
（1）先从袋子中取出a（a＞1）个白球，再从袋子中随机摸出一个球，将“摸出黑球”记为事件A．请写出当a为何值时，事件A是必然事件？
（2）先从袋子中取出a个白球，再放入a个一样的黑球并摇匀，若随机摸出1个球是白球的概率等于，求a的值．
21．（6分）（2024春 瑞安市校级期中）如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划在正中央修建一座底部为正方形的雕塑，正方形的边长为（a+b）米，左右两边各修一条长为a米，宽为b米的通道，其余部分进行绿化．（a＞0，b＞0）
（1）试用含a，b的代数式表示绿化的面积．
（2）若雕塑面积恰好为绿化面积的2倍，求此时绿化部分与原长方形地块的面积之比．
22．（6分）（2025春 泗县期中）小亮同学想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程，请你帮他把探究过程补充完整．
解：在△ABC边BC上任取一点E，作DE∥AC交AB于点D，
作EF∥AB交AC于点F．
∵DE∥AC，EF∥AB，
∴∠1＝　 　 ，∠3＝∠B，
∠4＝∠A，（　 　 ）
∠4＝∠2；（　 　 ）
∴∠2＝　 　 ．（等量代换）
∵∠1+∠2+∠3＝180°，（平角的定义）
∴∠A+∠B+∠C＝　 　 ．
23．（6分）（2023春 简阳市校级月考）如图所示，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠EOB，OF平分∠AOE，GH⊥CD，垂足为H，GH与FO平行吗？说明理由．
24．（7分）（2025春 通榆县期末）问题情境：
一副三角尺，∠ACB＝∠DFE＝90°，∠CAB＝∠B＝45°，∠D＝30°，∠DEF＝60°．将它们如图1摆放，使点A与点F重合，点E在AC上，AB与DE相交于点G，求∠BGD的度数，聪明小组的解法如下：
解：过点G作GH∥DF，
则∠HGD＝∠D（依据1），
∵∠C+∠DFE＝90°+90°＝180°，
∴BC∥DF（依据2）．
又∵GH∥DF，
∴GH∥BC，
∴∠BGH＝∠B，
∴∠BGD＝∠BGH+∠HGD＝∠B+∠D＝45°+30°＝75°．
（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1：　 　 ；
依据2：　 　 ．
问题迁移：
（2）将两个三角尺如图2摆放，使点C与点F重合，点A在DF上，点E在BC上，AB与DE相交于点G，请你用题目中所给的方法，尝试着过点G作GH∥DF，求∠AGD的度数．
问题深化：
（3）将两个三角尺如图2摆放，两个三角尺的直角顶点F与C重合，若三角尺ABC不动，把三角尺DEF绕点C转动一周，在转动过程中，当AC∥DE时，画出图形并直接写出∠DCB的度数．
25．（8分）（2024秋 海曙区期末）如图，圆形转盘的红色扇形和蓝色扇形的圆心角都是90°，指针绕着圆心自由转动2次．
（1）直接写出第一次转动时指针落在蓝色区域的概率 　 　 ；
（2）求指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域的概率．
26．（10分）（2025 盐山县模拟）如图，⊙O与直线l相切于点D，直径BC的延长线与直线l交于点A．
（1）连接BD，若∠A＝28°，求∠ABD的度数；
（2）尺规作图：过点B作直线l的垂线BE，垂足为点E（保留作图痕迹，不写作图过程）；
（3）求证：BD平分∠ABE；
（4）如果AD＝3，AC＝2，求⊙O的半径．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）（2025春 龙川县校级月考）计算（aa）3的结果是（　　）
A．a5 B．a6 C．aa+3 D．a3a
【考点】幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】先根据乘方的意义把括号内的乘法写成乘方的形式，然后根据幂的乘方法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝（aa）3＝a3a，
故选：D．
【点评】本题主要考查了有理数的乘方，解题关键是熟练掌握乘方的意义和幂的乘方法则．
2．（3分）（2025春 肥城市期末）下列计算正确的是（　　）
A．a6÷a3＝a2 B．（﹣3x2y3）3＝﹣9x6y9
C．（3a+2b）2＝9a2+4b2 D．（﹣a） （﹣a2）＝a3
【考点】完全平方公式；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】D
【分析】A．根据同底数幂相除法则进行计算，然后判断即可；
B．根据积的乘方法则和幂的乘方法则进行计算，然后判断即可；
C．根据完全平方公式进行计算，然后判断即可；
D．根据单项式乘单项式法则和同底数幂的乘法法则进行计算，然后判断即可．
【解答】解：A．∵a6÷a3＝a3，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
B．∵（﹣3x2y3）3＝﹣27x6y9，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
C．∵（3a+2b）2＝9a2+12ab+4b2，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
D．∵（﹣a） （﹣a2）＝a a2＝a3，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂的乘除法则、积的乘方法则、幂的乘方法则和单项式乘单项式法则．
3．（3分）（2025秋 衡山县期末）下列多项式乘法运算中，不能用平方差公式计算的是（　　）
A．（﹣x﹣y）（x+y） B．（2x+y）（2x﹣y）
C．（m2﹣mn）（m2+mn） D．（a﹣b+1）（a﹣b﹣1）
【考点】平方差公式；完全平方公式．
【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】平方差公式适用于形式为（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2的乘法运算，即两个二项式中一项相同，另一项互为相反数．检查各选项是否符合此条件．
【解答】解：A、（﹣x﹣y）（x+y）＝﹣（x+y）（x+y）＝﹣（x+y）2，不符合平方差形式，故A不符合题意；
B、（2x+y）（2x﹣y）＝（2x）2﹣y2，符合平方差公式，故B符合题意；
C、（m2﹣mn）（m2+mn）＝（m2）2﹣（mn）2，符合平方差公式，故C不符合题意；
D、令 c＝a﹣b，则 （a﹣b+1）（a﹣b﹣1）＝（c+1）（c﹣1）＝c2﹣12，符合平方差公式，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了平方差公式，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
4．（3分）（2024秋 平城区期末）如图是某测绘装置上的一枚指针，原来指向南偏西50°，把这枚指针旋转180°，则此时指向（　　）
A．南偏东50° B．北偏东40° C．南偏东40° D．北偏东50°
【考点】方向角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】D
【分析】根据对顶角线段和方向角的定义即可得出答案．
【解答】解：原来指向南偏西50°，把这枚指针旋转180°，则此时指向是北偏东50°方向．
故选：D．
【点评】本题主要考查了方位角的概念，解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，再结合三角形的内角和与外角的关系求解．
5．（3分）（2025秋 邯郸校级期末）下列事件中，是必然事件的是（　　）
A．任意买一张电影票，座位号是偶数
B．抽查背诵，刚好抽到学号是5的同学
C．对顶角相等
D．打开收音机，正好播放音乐《一路山程》
【考点】随机事件；对顶角、邻补角．
【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】C
【分析】必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件；选项A、B、D都是随机事件，可能发生也可能不发生；选项C是几何性质，对顶角一定相等，因此是必然事件，然后问题可求解．
【解答】解：A、座位号可能为奇数或偶数，选项事件不是必然事件，不符合题意；
B、抽查可能抽到其他学号，选项事件不是必然事件，不符合题意；
C、对顶角相等是几何基本定理，选项事件是必然事件，符合题意；
D、收音机播放内容随机，选项事件不是必然事件，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了随机事件，掌握随机事件的定义是关键．
6．（3分）（2019春 榆次区期末）在综合实践活动中，小明、小亮、小颖、小静四位同学用投掷图钉的方法估计针尖朝上的概率，他们的实验次数分别为20次、50次、150次、200次，其中哪位同学的实验相对科学（　　）
A．小颖 B．小亮 C．小静 D．小明
【考点】利用频率估计概率．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】C
【分析】根据实验次数越多频率越接近概率得出结论即可．
【解答】解：由题意知，四个人中小静的实验次数最多，
故选：C．
【点评】本题主要考查利用频率估计概率的知识，熟练掌握利用频率估计概率的方法是解题的关键．
7．（3分）（2024秋 福清市期末）计算20240﹣2025﹣1的结果正确的是（　　）
A． B．2026 C．﹣2025 D．
【考点】负整数指数幂；零指数幂．
【专题】实数；运算能力．
【答案】D
【分析】先根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则计算，再根据有理数的减法法则计算即可．
【解答】解：20240﹣2025﹣1
＝1
，
故选：D．
【点评】本题考查了零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握这两个运算法则是解题的关键．
8．（3分）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，∠1＝45°，∠2＝120°，则∠3+∠4＝（　　）
A．165° B．155° C．105° D．90°
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】根据平行线的性质，两直线平行，同位角相等或同旁内角互补，即可求出答案．
【解答】解：如图所示，AB∥CD，光线在空气中也平行，
∴∠1＝∠3（两直线平行，同位角相等），∠2+∠4＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠1＝45°，∠2＝120°，
∴∠3＝45°，∠4＝180°﹣120°＝60°．
∴∠3+∠4＝45°+60°＝105°．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，解题的关键在于熟练掌握平行线的性质．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．（3分）（2024 济南模拟）将数据0.0000302用科学记数法表示为 　3.02×10﹣5 ．
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【专题】实数；符号意识．
【答案】3.02×10﹣5．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：0.0000302＝3.02×10﹣5．
故答案为：3.02×10﹣5．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10．（3分）（2025春 金水区期末）如图，要把水渠中的水引到C点，在渠岸AB的点D处开沟，能使沟最短，这样做的理由是 　垂线段最短　 ．
【考点】垂线段最短．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】垂线段最短．
【分析】根据垂线段最短求解即可．
【解答】解：由CD⊥AB可知，在渠岸AB的点D处开沟，能使沟最短，这样做的理由是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
【点评】本题考查了垂线段最短，准确理解题意是解题的关键．
11．（3分）（2024 牡丹区校级一模）四个人做三套试卷，则每套试卷都至少被一人做的概率为 　　 ．
【考点】概率公式．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】．
【分析】先求出四个人做三套试卷总共出现的情况种数，再算出每套试卷都至少被一人做的情况数，进而求出概率．
【解答】解：四个人做三套试卷总共34＝81种情况，其中每套试卷都至少被一人做的有36种，
∴每套试卷都至少被一人做的概率为．
故答案为：．
【点评】本题考查的是概率公式，关键是概率公式的熟练应用．
12．（3分）（2024春 玉溪期末）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，且∠BOE的度数是∠AOD的2倍，则∠BOC的度数为 　30°　 ．
【考点】垂线；对顶角、邻补角．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】30°．
【分析】根据垂直定义可得∠EOD＝90°，然后利用平角定义可得∠AOD+∠EOB＝90°，再结合已知进行计算可得∠AOD＝30°，最后利用对顶角相等可得∠AOD＝∠BOC＝30°，即可解答．
【解答】解：∵OE⊥CD，
∴∠EOD＝90°，
∴∠AOD+∠EOB＝180°﹣∠DOE＝90°，
∵∠BOE＝2∠AOD，
∴3∠AOD＝90°，
解得：∠AOD＝30°，
∴∠AOD＝∠BOC＝30°，
故答案为：30°．
【点评】本题考查了垂线，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．
13．（3分）（2025秋 西山区校级期中）已知3a＝2，9b＝6，则35a﹣2b＝　　 ．
【考点】同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】．
【分析】利用同底数幂的除法的法则及幂的乘方的法则进行求解即可．
【解答】解：∵3a＝2，9b＝6，
∴3a＝2，32b＝6，
∴35a﹣2b＝35a÷32b＝（3a）5÷32b，
故答案为：．
【点评】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
三．解答题（共13小题，满分81分）
14．（5分）计算：（﹣3a2）3﹣4a2 a4+5a5 a．
【考点】整式的混合运算；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】﹣26a6．
【分析】先算乘方，再算乘法，后算加减，即可解答．
【解答】解：（﹣3a2）3﹣4a2 a4+5a5 a
＝﹣27a6﹣4a6+5a6
＝﹣26a6．
【点评】本题考查了整式的混合运算，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键．
15．（5分）（2024春 门头沟区校级期中）2x5 （﹣x）3+（﹣2x3）2 4x2．
【考点】单项式乘单项式；幂的乘方与积的乘方．
【专题】整式；运算能力．
【答案】14x8．
【分析】先根据单项式乘单项式法则计算，再合并同类项即可．
【解答】解：2x5 （﹣x）3+（﹣2x3）2 4x2
＝2x5 （﹣x3）+4x6 4x2
＝﹣2x8+16x8
＝14x8．
【点评】本题考查了单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
16．（5分）（2023春 碑林区校级月考）化简：（3a+2）（3a﹣2）﹣a（1﹣a）（3a+2）．
【考点】整式的混合运算．
【专题】整式；运算能力．
【答案】3a3+8a2﹣2a﹣4．
【分析】根据平方差公式、多项式乘以多项式、单项式乘多项式的运算法则进行去括号，再合并同类项即可得到答案．
【解答】解：（3a+2）（3a﹣2）﹣a（1﹣a）（3a+2）
＝9a2﹣4﹣a（3a+2﹣3a2﹣2a）
＝9a2﹣4﹣3a2﹣2a+3a3+2a2
＝3a3+8a2﹣2a﹣4．
【点评】本题考查了运用平方差公式进行计算、多项式乘多项式、单项式乘多项式，熟练掌握平方差公式以及多项式乘多项式、单项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
17．（5分）（2025秋 长春月考）计算：a2 a4﹣（a7）2÷a4．
【考点】整式的混合运算．
【专题】整式；运算能力．
【答案】a6﹣a10．
【分析】先计算同底数幂乘法和幂的乘方，再计算同底数幂除法，即可得解．
【解答】解：原式＝a6﹣a14÷a4
＝a6﹣a10．
【点评】本题考查了幂的运算，掌握相关运算法则是解题关键．
18．（6分）（2025秋 长寿区校级期中）先化简，再求值：（2x2）3﹣x3 x3，其中x＝﹣1．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】整式；运算能力．
【答案】7x6；7．
【分析】先算乘方，再合并同类项，最后将x的值代入计算．
【解答】解：（2x2）3﹣x3 x3
＝8x6﹣x6
＝7x6；
当x＝﹣1时，
原式＝7×（﹣1）6＝7×1＝7．
【点评】本题考查整式化简求值，解题的关键是掌握整式相关的运算法则，把所求式子化简．
19．（6分）（2024春 三明期末）先化简，再求值：b（a+2b）+2（a+b）（a﹣b），其中．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】整式；运算能力．
【答案】ab+2a2，7．
【分析】根据单项式乘多项式的运算法则、平方差公式、合并同类项把原式化简，把a、b的值代入计算得到答案．
【解答】解：原式＝ab+2b2+2（a2﹣b2）
＝ab+2b2+2a2﹣2b2
＝ab+2a2，
当a＝2，b时，原式＝2×（）+2×22＝﹣1+8＝7．
【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
20．（6分）（2021春 双流区期末）在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的20个小球，其中白球8个，黑球12个．
（1）先从袋子中取出a（a＞1）个白球，再从袋子中随机摸出一个球，将“摸出黑球”记为事件A．请写出当a为何值时，事件A是必然事件？
（2）先从袋子中取出a个白球，再放入a个一样的黑球并摇匀，若随机摸出1个球是白球的概率等于，求a的值．
【考点】概率公式；随机事件．
【专题】概率及其应用；运算能力．
【答案】（1）a＝8；
（2）2．
【分析】（1）根据随机事件和必然事件的定义进行求解即可；
（2）根据概率计算公式求解即可．
【解答】解：（1）∵先从袋子中取出a（a＞1）个白球，再从袋子中随机摸出一个球，“摸出黑球”是必然事件，
∴剩下的球中一定都是黑球，
∴a＝8；
（2）由题意得，，
解得a＝2，
经检验a＝2符合题意，
所以a的值为2．
【点评】本题考查了概率公式以及随机事件和必然事件，概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．（6分）（2024春 瑞安市校级期中）如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划在正中央修建一座底部为正方形的雕塑，正方形的边长为（a+b）米，左右两边各修一条长为a米，宽为b米的通道，其余部分进行绿化．（a＞0，b＞0）
（1）试用含a，b的代数式表示绿化的面积．
（2）若雕塑面积恰好为绿化面积的2倍，求此时绿化部分与原长方形地块的面积之比．
【考点】完全平方公式的几何背景；单项式乘多项式；多项式乘多项式．
【专题】整式；应用意识．
【答案】（1）（5a2+ab）平方米；（2）4：15．
【分析】（1）绿化面积＝大长方形的面积﹣雕塑面积﹣通道面积×2，大长方形的面积＝（3a+b）（2a+b），雕塑的面积＝（a+b）2，通道的面积＝ab，代入到关系式中计算即可；
（2）因为雕塑面积恰好为绿化面积的2倍，可得（a+b）2＝2×（5a2+ab），化简可得b2＝9a2，因为a＞0，b＞0，所以b＝3a，绿化部分与原长方形地块的面积之比是（5a2+ab）：[（3a+b）（2a+b）]，化简后得（5a2+ab）：（15a2+5ab），将b＝3a代入（5a2+ab）：（15a2+5ab），求出最简比．
【解答】解：（1）（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2﹣2ab
＝6a2+3ab+2ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2﹣2ab
＝5a2+ab（平方米）；
答：绿化的面积是（5a2+ab）平方米．
（2）（a+b）2＝2×（5a2+ab），
a2+2ab+b2＝10a2+2ab，
即b2＝9a2，
因为a＞0，b＞0，
所以b＝3a，
（5a2+ab）：[（3a+b）（2a+b）]
＝（5a2+ab）：（6a2+5ab+b2）
＝（5a2+ab）：（15a2+5ab）
＝（5a2+a×3a）：（15a2+5a×3a）
＝8a2：30a2
＝4：15；
答：绿化部分与原长方形地块的面积之比是4：15．
【点评】本题考查考查了完全平方公式的几何背景、单项式乘多项式、多项式乘多项式，解决本题的关键是用字母分别表示出各部分图形的面积．
22．（6分）（2025春 泗县期中）小亮同学想探究三角形内角和的度数，下面是他的探究过程，请你帮他把探究过程补充完整．
解：在△ABC边BC上任取一点E，作DE∥AC交AB于点D，
作EF∥AB交AC于点F．
∵DE∥AC，EF∥AB，
∴∠1＝　∠C ，∠3＝∠B，
∠4＝∠A，（　两直线平行，同位角相等　 ）
∠4＝∠2；（　两直线平行，内错角相等　 ）
∴∠2＝　∠A ．（等量代换）
∵∠1+∠2+∠3＝180°，（平角的定义）
∴∠A+∠B+∠C＝　180°　 ．
【考点】平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】∠C；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；∠A；180°．
【分析】利用平行线的性质，平角的定义即可解决问题．
【解答】解：在△ABC边BC上任取一点E，作DE∥AC交AB于点D，作EF∥AB交AC于点F．
∵DE∥AC，AB∥EF，
∴∠1＝∠C，∠3＝∠B，
∠4＝∠A，（两直线平行，同位角相等）
∴∠4＝∠2；（两直线平行，内错角相等　）
∴∠2＝∠A（等量代换）．
∵∠1+∠2+∠3＝180°，（平角的定义）
∴∠A+∠B+∠C＝180°．
故答案为：∠C；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；∠A；180°．
【点评】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想解决问题．
23．（6分）（2023春 简阳市校级月考）如图所示，直线AB，CD相交于点O，OD平分∠EOB，OF平分∠AOE，GH⊥CD，垂足为H，GH与FO平行吗？说明理由．
【考点】平行线的判定；对顶角、邻补角；垂线．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】GH∥FO，理由见解析．
【分析】由OD平分∠EOB，OF平分∠AOE，可得，，由∠AOE+∠EOB＝180°可得∠EOD+∠EOF＝90°，即FO⊥CD，由GH⊥CD可得GH∥FO．
【解答】解：GH∥FO，理由如下：
∵OD平分∠EOB，OF平分∠AOE，
∴，，
∵∠AOE+∠EOB＝180°，
∴∠EOD+∠EOF＝90°，即∠DOF＝90°，
∵GH⊥CD，
∴∠GHD＝90°，
∴∠DOF＝∠GHD，
∴GH∥FO．
【点评】本题考查了角平分线，平行线的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
24．（7分）（2025春 通榆县期末）问题情境：
一副三角尺，∠ACB＝∠DFE＝90°，∠CAB＝∠B＝45°，∠D＝30°，∠DEF＝60°．将它们如图1摆放，使点A与点F重合，点E在AC上，AB与DE相交于点G，求∠BGD的度数，聪明小组的解法如下：
解：过点G作GH∥DF，
则∠HGD＝∠D（依据1），
∵∠C+∠DFE＝90°+90°＝180°，
∴BC∥DF（依据2）．
又∵GH∥DF，
∴GH∥BC，
∴∠BGH＝∠B，
∴∠BGD＝∠BGH+∠HGD＝∠B+∠D＝45°+30°＝75°．
（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：
依据1：　两直线平行，内错角相等　 ；
依据2：　同旁内角互补，两直线平行　 ．
问题迁移：
（2）将两个三角尺如图2摆放，使点C与点F重合，点A在DF上，点E在BC上，AB与DE相交于点G，请你用题目中所给的方法，尝试着过点G作GH∥DF，求∠AGD的度数．
问题深化：
（3）将两个三角尺如图2摆放，两个三角尺的直角顶点F与C重合，若三角尺ABC不动，把三角尺DEF绕点C转动一周，在转动过程中，当AC∥DE时，画出图形并直接写出∠DCB的度数．
【考点】作图—应用与设计作图；平行线的判定与性质．
【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；三角形；几何直观；运算能力．
【答案】（1）两直线平行，内错角相等；同旁内角互补，两直线平行；
（2）15°
（3）∠DCB＝60或120°．
【分析】（1）根据平行线的判定和性质解决问题；
（2）如图2中，过点G作GH∥DF，分别求出∠AGH，∠DGH可得结论；
（3）分两种情形画出图形计算即可．
【解答】解：（1）依据1：两直线平行，内错角相等；依据2：同旁内角互补，两直线平行；
故答案为：两直线平行，内错角相等；同旁内角互补，两直线平行；
（2）如图2中，过点G作GH∥DF，
∴∠HGA＝∠BAC＝45°，∠HGD＝∠D＝30°，、
∵∠AGD＝∠HGA﹣∠HGD，
∴∠AGD＝45°﹣30°＝15°；
（3）如图①所示，当DE在AC上方时，∠DCB＝60°；
如图②所示，当DE在AC下方时，∠DCB＝120°．
综上所述，∠DCB＝60或120°．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，平行线的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25．（8分）（2024秋 海曙区期末）如图，圆形转盘的红色扇形和蓝色扇形的圆心角都是90°，指针绕着圆心自由转动2次．
（1）直接写出第一次转动时指针落在蓝色区域的概率 　　 ；
（2）求指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域的概率．
【考点】几何概率；列表法与树状图法．
【专题】概率及其应用；应用意识．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）用蓝色区域得面积除以圆形转盘得面积即可；
（2）把圆形转盘分成相同的4等份，其中黄色扇形占2份，画树状图展示所有16种等可能的结果，再找出指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】解：（1）第一次转动时指针落在蓝色区域的概率；
故答案为：；
（2）把圆形转盘分成相同的4等份，其中黄色扇形占2份，
画树状图为：
共有16种等可能的结果，其中指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域的结果数为4，
所以指针一次落在红色区域，另一次落在黄色区域的概率．
【点评】本题考查了几何概率：某事件的概率＝这个事件所占有的面积与总面积之比．也考查了列表法与树状图法．
26．（10分）（2025 盐山县模拟）如图，⊙O与直线l相切于点D，直径BC的延长线与直线l交于点A．
（1）连接BD，若∠A＝28°，求∠ABD的度数；
（2）尺规作图：过点B作直线l的垂线BE，垂足为点E（保留作图痕迹，不写作图过程）；
（3）求证：BD平分∠ABE；
（4）如果AD＝3，AC＝2，求⊙O的半径．
【考点】作图—复杂作图；角平分线的定义；平行线的判定与性质；圆周角定理；切线的性质．
【专题】作图题；圆的有关概念及性质；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）31°；
（2）见解析；
（3）见解析；
（4）．
【分析】（1）连接OD，利用等腰三角形的性质求解；
（2）根据要求作出图形；
（3）利用等腰三角形的性质以及平行线的性质证明即可；
（4）设⊙O的半径为r，利用勾股定理构建方程求解．
【解答】（1）解：连接OD，
∵直线l 与⊙O相切于点D，
∴OD⊥AD，
∵∠A＝28°，
∴∠AOD＝90°﹣28°＝62°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠ABD∠AOD＝31°；
（2）解：作图如下：
（3）证明：∵直线l 与⊙O相切于点D，
∴OD⊥AD，
∵BE⊥AD，
∴OD∥BE，∠ODB＝∠DBE，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠OBD＝∠DBE，\
∴BD平分∠ABE；
（4）解：设⊙O的半径为r，则 OC＝OD＝r，
在 Rt△OAD中，OD＝r，AC＝2，AD＝3，0A＝r+2，
∴r2+32＝（r+2）2，解得 r，
即⊙O的半径为．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，切线的性质，角平分线的定义，圆周角定理，平行线的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．

展开更多......

收起↑