资源简介

重庆市2025-2026学年八年级下学期期末模拟自测数学试卷
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）（2025秋 甘肃期中）通过学习多种学科，我们可以接触到不同学科的理论和方法，从而拓宽视野，增强对世界的理解和认识．下面是几个学科的图标，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（4分）（2025秋 扶余市期末）若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠3 B．x≠2 C．x≠0 D．x≠﹣3
3．（4分）（2024春 莱芜区期末）若a＜b，则下列不等式一点成立的是（　　）
A．a﹣4＞b﹣3 B． C．﹣3a＜﹣3b D．3﹣2a＞3﹣2b
4．（4分）（2025秋 温江区校级期中）下列各式从左到右的变化中属于因式分解的是（　　）
A．m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n） B．（m+1）（m﹣1）＝m2﹣1
C．m2﹣3m﹣4＝m（m﹣3）﹣4 D．
5．（4分）（2025春 胶州市校级月考）“x的与5的相反数的和是非负数”用不等式表示为（　　）
A． B． C． D．
6．（4分）（2024春 大渡口区校级期中）下列命题中，是真命题的有（　　）
①全等三角形的对应边相等；
②有两个角为60°的三角形一定是等边三角形；
③三角形中30°角所对的边是斜边的一半；
④等腰三角形的角平分线和中线相互重合．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（4分）（2024 德阳模拟）已知x2﹣x﹣1＝0，计算的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
8．（4分）（2023 大连模拟）在平面直角坐标系中，将点M（﹣4，3）先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后的点的坐标是（　　）
A．（﹣7，3） B．（﹣7，5） C．（﹣1，5） D．（﹣1，1）
9．（4分）若关于x的不等式组只有2个正整数解，关于x的方程的解为整数，则符合条件的所有整数a的和是（　　）
A．10 B．13 C．16 D．19
10．（4分）（2023 花都区一模）如图，在平面直角坐标系中，点A（6，0），B（0，8），点C从O出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线O﹣A﹣B运动了8.5秒，直线上有一动点D，y轴上有一动点E，当OD+DE+EC的和最小时，点E的坐标为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．（4分）（2025秋 大连期末）若分式的值为0，则x的值为　 　 ．
12．（4分）（2024 海珠区一模）因式分解：3ay﹣4a＝　 　 ．
13．（4分）（2024春 左权县期中）如图，将一块含45°角的三角板ABC绕点A按逆时针方向旋转到△AB′C′的位置．若∠CAB′＝15°，则旋转的角度为 　 　 ．
14．（4分）（2023春 城阳区期中）已知在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，那么不等式的解集为 　 　 ．
15．（4分）（2025 竹溪县二模）计算：　 　 ．
16．（4分）如图，△ABC为等边三角形，CD垂直平分AB，BE垂直平分AC，CD与BE交于点O，若BE＝6，则点O到BC的距离为 　 　 ．
17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE是BC的垂直平分线，点E是垂足．已知DC＝5，AD＝3，则图中长为4的线段有 　 　 条．
18．（4分）（1）如果x2+（k﹣1）x+9是一个完全平方式，那么k值是 　 　 ；
（2）已知，则的值是 　 　 ．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．（8分）（2025春 锦江区校级月考）（1）解不等式组：；
（2）分解因式：x2y﹣2xy2+y3．
20．（10分）（2025春 佛山校级期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A（5，2），B（5，5）、C（1，1）均在格点上．
（1）画出△ABC向左平移5个单位后的图形△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1绕C1顺时针旋转90°后的图形△A2B2C1；
（3）在（2）的条件下，求线段B1C1扫过的面积．
21．（10分）（2024春 江阴市期中）（1）计算：；
（2）解方程：1．
22．（10分）（2023春 盐田区期中）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线．
（1）过点D作DE⊥AB，垂足为点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若BD＝4，在（1）的条件下，求AE的长．
23．（10分）（2025 沈河区二模）一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300支以上（不包括300支），可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款．小明来该店购买铅笔，如果给学校八年级学生每人购买1支，那么只能按零售价付款，需用120元；如果多购买60支，那么可以按批发价付款，同样需用120元．设该校八年级的学生总数为x人．
（1）求八年级的学生总数x的取值范围；
（2）如果按批发价购买360支铅笔与按零售价购买300支所付款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？
24．（10分）（2025春 市南区期末）如图，在△ABC中，D为AC边上一点，AD＝BD，AE⊥BD，交BD的延长线于点E，DF⊥BC，垂足为F，且AE＝DF．
（1）求证：CB＝CD；
（2）若点D是AC的中点，求∠C的度数．
25．（10分）（2025 西山区二模）“母亲节”期间，某鲜花店计划购进康乃馨和玫瑰花两种鲜花，其中玫瑰花每束40元，购买康乃馨所需费用y（单位：元）与购买数量x（单位：束）的函数关系图象如图所示．
（1）求y与x的函数解析式；
（2）该鲜花店计划购进康乃馨和玫瑰花共200束，若购买康乃馨的数量不超过150束，且不少于玫瑰花的数量，求购买这两种鲜花的总费用W的最小值．
26．（10分）（2024春 海淀区校级期中）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D为射线BC上一动点（不与点B、C重合），点B关于直线AD的对称点为E，作射线DE，过点C作AB的平行线，与射线DE交于点F．连接AE，AF．
（1）如图1，当点E恰好在线段AC上时，用等式表示DF与BD的数量关系，并证明；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，
①依题意补全图形；
②用等式表示∠ADB和∠AFE的数量关系，并证明．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）（2025秋 甘肃期中）通过学习多种学科，我们可以接触到不同学科的理论和方法，从而拓宽视野，增强对世界的理解和认识．下面是几个学科的图标，其中是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】D
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【解答】解：根据中心对称图形的定义逐项分析判断如下：
A．不是中心对称图形，不符合题意；
B．不是中心对称图形，不符合题意；
C．不是中心对称图形，不符合题意；
D．是中心对称图形，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握该知识点是关键．
2．（4分）（2025秋 扶余市期末）若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠3 B．x≠2 C．x≠0 D．x≠﹣3
【考点】分式有意义的条件．
【专题】分式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据分式有意义的条件求解即可．
【解答】解：由题意得x+3≠0，
解得x≠﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是分母不为0是解题的关键．
3．（4分）（2024春 莱芜区期末）若a＜b，则下列不等式一点成立的是（　　）
A．a﹣4＞b﹣3 B． C．﹣3a＜﹣3b D．3﹣2a＞3﹣2b
【考点】不等式的性质．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；推理能力．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A、∵a＞b，
∴a﹣4＞b﹣3不一定成立，故本选项不合题意；
B、∵a＞b，
∴，故本选项不合题意；
C、∵a＞b，
∴﹣3a＜﹣3b，故本选项不合题意；
D、∵a＞b，
∴﹣2a＜﹣2b，
∴3﹣2a＜3﹣2b，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．
4．（4分）（2025秋 温江区校级期中）下列各式从左到右的变化中属于因式分解的是（　　）
A．m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n） B．（m+1）（m﹣1）＝m2﹣1
C．m2﹣3m﹣4＝m（m﹣3）﹣4 D．
【考点】因式分解的意义．
【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，据此逐项判断即可．
【解答】解：m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）符合因式分解的定义，则A符合题意，
（m+1）（m﹣1）＝m2﹣1是乘法运算，则B不符合题意，
m2﹣3m﹣4＝m（m﹣3）﹣4中等号右边不是积的形式，则C不符合题意，
m﹣1＝m（1）中不是整式，则D不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键．
5．（4分）（2025春 胶州市校级月考）“x的与5的相反数的和是非负数”用不等式表示为（　　）
A． B． C． D．
【考点】由实际问题抽象出一元一次不等式．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】首先表示x的．为，再表示与5的相反数的和为，最后表示是非负数可得答案．
【解答】解：，
故选：A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．
6．（4分）（2024春 大渡口区校级期中）下列命题中，是真命题的有（　　）
①全等三角形的对应边相等；
②有两个角为60°的三角形一定是等边三角形；
③三角形中30°角所对的边是斜边的一半；
④等腰三角形的角平分线和中线相互重合．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】命题与定理；全等三角形的性质；等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质．
【专题】三角形；应用意识．
【答案】B
【分析】依次判断各个命题的真假，即可得出结论．
【解答】解：①全等三角形的对应边相等；故①为真命题，符合题意；
②有两个角为60°的三角形一定是等边三角形；故②为真命题，符合题意；
③在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半；故③为假命题，不符合题意；
④等腰三角形的顶角的角平分线和底边上的中线相互重合；故④为假命题，不符合题意；
综上：是真命题的有①②，共两个．
故选：B．
【点评】本题主要考查了判断命题的真假，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质，等边三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质，以及等腰三角形的性质．
7．（4分）（2024 德阳模拟）已知x2﹣x﹣1＝0，计算的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
【考点】分式的化简求值．
【专题】分式；运算能力．
【答案】B
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由x2﹣x﹣1＝0，得﹣x﹣1＝x2，代入计算即可．
【解答】解：原式＝[]

，
∵x2﹣x﹣1＝0，
∴x+1＝x2，
则原式2，
故选：B．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
8．（4分）（2023 大连模拟）在平面直角坐标系中，将点M（﹣4，3）先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后的点的坐标是（　　）
A．（﹣7，3） B．（﹣7，5） C．（﹣1，5） D．（﹣1，1）
【考点】坐标与图形变化﹣平移．
【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】B
【分析】根据点的平移规律：左减右加，上加下减解答即可．
【解答】解：∵将点M（﹣4，3）向左平移3个单位长度的坐标是（﹣4﹣3，3），再向上平移2个单位长度得到点A'的坐标为（﹣7，5），故B正确．
故选：B．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，熟记点的平移的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．
9．（4分）若关于x的不等式组只有2个正整数解，关于x的方程的解为整数，则符合条件的所有整数a的和是（　　）
A．10 B．13 C．16 D．19
【考点】一元一次不等式组的整数解；分式方程的解；解一元一次不等式组．
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】先解不等式组，再根据不等式组有且只有2个正整数解确定a的范围，然后解分式方程，再根据分式方程的解为整数，确定a的值，进行计算即可解答．
【解答】解：，
解不等式①得：x＞﹣2，
解不等式②得：x，
∵不等式组只有2个正整数解，
∴23，
解得：6≤a＜11，
∵a为整数，
∴a＝6，7，8，9，10，
，
ax﹣1﹣23＝﹣5（4﹣x），
解得：x，
∵分式方程的解为整数，
∴a﹣5＝±1，±4，±2且4，
∴a＝6，4，9，1，7，3且a≠6，
∴符合条件的所有整数a的值为：7，9
∴符合条件的所有整数a的和为16，
故选：C．
【点评】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式组，解分式方程是解题的关键．
10．（4分）（2023 花都区一模）如图，在平面直角坐标系中，点A（6，0），B（0，8），点C从O出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线O﹣A﹣B运动了8.5秒，直线上有一动点D，y轴上有一动点E，当OD+DE+EC的和最小时，点E的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【考点】轴对称﹣最短路线问题；坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系；平移、旋转与对称；几何直观；应用意识．
【答案】B
【分析】在x轴的负半轴上取一点H，使得OH＝OA＝6，连接BH，作点O关于直线x的对称点F，作点C关于y轴的对称点J，连接EJ，DF，FJ，FL交y轴于点E′，过点J作JL⊥OH于点L．由OD＝DF，EC＝EJ，推出OD+DE+EC＝FD+DE+EJ≥FL，当F，D，E，J共线时，OD+DE+EC的值最小．
【解答】解：在x轴的负半轴上取一点H，使得OH＝OA＝6，连接BH，作点O关于直线x的对称点F，作点C关于y轴的对称点J，连接EJ，DF，FJ，FL交y轴于点E′，过点J作JL⊥OH于点L．
′
∵OD＝DF，EC＝EJ，
∴OD+DE+EC＝FD+DE+EJ≥FL，
∴当F，D，E，J共线时，OD+DE+EC的值最小，
∵∠BOH＝90°，OH＝6，OB＝8，
∴BH10，
∵OF，
∴F（，0），
∵点C从O出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线O﹣A﹣B运动了8.5秒，
∴OA+AC＝8.5，
∵OA＝6，
∴AC＝HJ＝2.5，
∴JL＝JH sin∠BHO2，HL＝JH cos∠OHB，
∴OL＝6，
∴J（，2），
设直线FJ的解析式为y＝kx+b，则，
解得，
∴E′（0，）．
故选：B．
【点评】本题考查轴对称最短问题，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．（4分）（2025秋 大连期末）若分式的值为0，则x的值为　1　 ．
【考点】分式的值为零的条件．
【专题】分式；运算能力．
【答案】1．
【分析】利用分式值为零则有，然后求解即可．
【解答】解：由条件可知，
解得x＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查分式值为零的条件，熟知分式值为0时要满足的条件是解题的关键．
12．（4分）（2024 海珠区一模）因式分解：3ay﹣4a＝a（3y﹣4）　 ．
【考点】因式分解﹣提公因式法．
【专题】整式；运算能力．
【答案】a（3y﹣4）．
【分析】利用提公因式法分解．
【解答】解：3ay﹣4a
＝a（3y﹣4）．
故答案为：a（3y﹣4）．
【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法是解决本题的关键．
13．（4分）（2024春 左权县期中）如图，将一块含45°角的三角板ABC绕点A按逆时针方向旋转到△AB′C′的位置．若∠CAB′＝15°，则旋转的角度为 　30°　 ．
【考点】旋转的性质；角的计算．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】30°．
【分析】根据题意算出∠BAB′＝∠CAB﹣∠CAB′，即可解题．
【解答】解：由题知，∠CAB＝45°，∠CAB′＝15°，
∴∠BAB′＝∠CAB﹣∠CAB′＝30°，
∴旋转的角度为30°，
故答案为：30°．
【点评】本题考查了旋转的性质，以及三角板中的角度计算，正确确定旋转角是解题的关键．
14．（4分）（2023春 城阳区期中）已知在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，那么不等式的解集为 x＞1　 ．
【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数的图象．
【专题】常规题型；一次函数及其应用；应用意识．
【答案】x＞1．
【分析】根据两函数的交点坐标得出不等式的解集即可．
【解答】解：∵从图象可知：两一次函数yx与yx+2的图象的交点坐标是（1，），
∴不等式xx+2的解集为x＞1，
故答案为：x＞1．
【点评】本题考查了一次函数的图象、一次函数与一元一次不等式，能了解两一次函数的交点坐标与一元一次不等式的解集的关系是解此题的关键．
15．（4分）（2025 竹溪县二模）计算：　1　 ．
【考点】分式的乘除法．
【专题】分式；运算能力．
【答案】1．
【分析】根据分式的除法法则计算即可求解．
【解答】解：原式1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了分式的乘除法，掌握分式的乘除法运算法则是关键．
16．（4分）如图，△ABC为等边三角形，CD垂直平分AB，BE垂直平分AC，CD与BE交于点O，若BE＝6，则点O到BC的距离为 　2　 ．
【考点】等边三角形的性质；含30度角的直角三角形；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】2．
【分析】过点O作OF⊥BC，垂足为F，先利用等边三角形的性质可得∠ABC＝60°，AB＝BC＝AC，从而利用等腰三角形的三线合一性质可得BE平分∠ABC，CO平分∠ACB，然后利用角平分线的定义可得∠OBF＝30°，从而可得OB＝2OF，再利用角平分线的性质可得OE＝OF，从而可得OB＝2OE，最后进行计算即可解答．
【解答】解：过点O作OF⊥BC，垂足为F，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，AB＝BC＝AC，
∵BE垂直平分AC，CD垂直平分AB，
∴BE平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠OBF∠ABC＝30°，
∴OB＝2OF，
∵OE⊥AC，OF⊥BC，
∴OE＝OF，
∴OB＝2OE，
∵BE＝6，
∴OEBE＝2，
∴OF＝OE＝2，
∴点O到BC的距离为2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE是BC的垂直平分线，点E是垂足．已知DC＝5，AD＝3，则图中长为4的线段有 　3　 条．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】3．
【分析】利用AAS证明△ABD≌△EBD，得AB＝BE，再由线段垂直平分线的性质可得BE＝CE，从而解决问题．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE垂直平分BC，
∴AD＝DE＝3，BE＝EC，
∵DC＝5，ED＝3，
∴BE＝EC＝4，
在△ABD与△EBD中，
，
∴△ABD≌△EBD（AAS），
∴AB＝BE＝4，
∴图中长为4的线段有3条，
故答案为：3．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理等知识，属于基础题．
18．（4分）（1）如果x2+（k﹣1）x+9是一个完全平方式，那么k值是 　7或﹣5　 ；
（2）已知，则的值是 　7　 ．
【考点】分式的化简求值；完全平方式．
【专题】分式；运算能力．
【答案】（1）7或﹣5；
（2）7．
【分析】（1）利用完全平方公式得到x2+（k﹣1）x+9＝（x±3）2，则k﹣1＝±6，然后解两个一次方程得到k的值；
（2）把已知等式两边平方，然后利用完全平方公式展开，从而得到的值．
【解答】解：（1）根据题意得x2+（k﹣1）x+9＝（x±3）2，
∴k﹣1＝±6，
解得k＝7或﹣5．
故答案为：7或﹣5．
（2）∵，
∴（a）2＝9，
∴2＝9，
∴7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了分式的化简求值：在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．也考查了完全平方公式．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．（8分）（2025春 锦江区校级月考）（1）解不等式组：；
（2）分解因式：x2y﹣2xy2+y3．
【考点】解一元一次不等式组；提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）x≤﹣1；
（2）y（x﹣y）2．
【分析】（1）解各不等式求得对应的解集后再求得它们的公共部分即可；
（2）提公因式后利用完全平方公式因式分解即可．
【解答】解：（1）解第一个不等式得：x＜1，
解第二个不等式得：x≤﹣1，
故原不等式组的解集为x≤﹣1；
（2）原式＝y（x2﹣2xy+y2）
＝y（x﹣y）2．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，因式分解，熟练掌握解不等式组及因式分解的方法是解题的关键．
20．（10分）（2025春 佛山校级期中）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A（5，2），B（5，5）、C（1，1）均在格点上．
（1）画出△ABC向左平移5个单位后的图形△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1绕C1顺时针旋转90°后的图形△A2B2C1；
（3）在（2）的条件下，求线段B1C1扫过的面积．
【考点】作图﹣旋转变换；勾股定理；扇形面积的计算；作图﹣平移变换．
【专题】作图题；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；几何直观；推理能力．
【答案】（1）△ABC向左平移5个单位后的图形△A1B1C1，如图1即为所求；
（2）△A1B1C1绕C1顺时针旋转90°后的图形△A2B2C1，如图2即为所求；
（3）8π．
【分析】（1）分别确定△ABC的三个顶点A（5，2）、B（5，5）、C（1，1）向左平移5个单位后的对应点A1，B1，C1，再顺次连接A1，B1，C1即可得解；
（2）分别确定A1，B1，C1绕C1顺时针旋转90°后的对应点A2，B2，C1，再顺次连接A2，B2，C1，即可得解；
（3）线段B1C1扫过的面积是以C1为圆心，B1C1为半径的圆的面积的，计算可得答案．
【解答】解：（1）△ABC向左平移5个单位后的图形△A1B1C1，如图1即为所求；
（2）△A1B1C1绕C1顺时针旋转90°后的图形△A2B2C1，如图2即为所求；
（3）∵，
∴线段B1C1扫过的面积为：．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换，勾股定理，扇形面积的计算，作图﹣平移变换，熟练掌握旋转与平移的性质是解题的关键．
21．（10分）（2024春 江阴市期中）（1）计算：；
（2）解方程：1．
【考点】解分式方程；分式的加减法．
【专题】分式；分式方程及应用；运算能力．
【答案】（1）a﹣1；
（2）分式方程无解．
【分析】（1）根据分式的加法法则进行计算即可；
（2）方程两边都乘（x+2）（x﹣2）得出（x﹣2）2﹣16＝（x+2）（x﹣2），求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：（1）
＝a﹣1；
（2）1，
1，
方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得（x﹣2）2﹣16＝（x+2）（x﹣2），
x2﹣4x+4﹣16＝x2﹣4，
x2﹣4x﹣x2＝﹣4﹣4+16，
﹣4x＝8，
x＝﹣2，
检验：当x＝﹣2时，（x+2）（x﹣2）＝0，
所以x＝﹣2是增根，
即分式方程无解．
【点评】本题考查了分式的加法和解分式方程，能正确根据分式的加法法则进行计算是解（1）的关键，能把分式方程转化成整式方程是解（2）的关键．
22．（10分）（2023春 盐田区期中）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线．
（1）过点D作DE⊥AB，垂足为点E（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若BD＝4，在（1）的条件下，求AE的长．
【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；勾股定理；等腰直角三角形．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】（1）见解答；
（2）4+2．
【分析】（1）利用过直线外一点作直线垂线的做法作图即可；
（2）利用勾股定理得：BDDE＝4，得出DE＝2，继而得出AC＝BC＝4+2，再证Rt△ACD和Rt△AED全等，得出AE＝AC即可得答案．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）∵∠C＝90°，AC＝BC
∴∠B＝∠CAB＝45°，AC⊥BC，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
∴CD＝DE，∠AED＝90°，
∴∠DEB＝90°，∠EDB＝45°＝∠B，
∴DE＝BE，
在△DEB中，由勾股定理得：BDDE＝4，
∴DE＝2，
∴CD＝DE＝2，
∵AC＝BC＝4+2，
在Rt△ACD和Rt△AED中
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE＝AC＝4+2；
答：AE的长是4+2．
【点评】本题考查过直线外一点作直线垂线，角平分线性质，勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题关键．
23．（10分）（2025 沈河区二模）一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300支以上（不包括300支），可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款．小明来该店购买铅笔，如果给学校八年级学生每人购买1支，那么只能按零售价付款，需用120元；如果多购买60支，那么可以按批发价付款，同样需用120元．设该校八年级的学生总数为x人．
（1）求八年级的学生总数x的取值范围；
（2）如果按批发价购买360支铅笔与按零售价购买300支所付款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？
【考点】一元一次不等式组的应用；分式方程的应用．
【专题】分式方程及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）240＜x≤300；
（2）这个学校八年级学生有300人．
【分析】（1）根据“凡一次购买铅笔300支以上（不包括300支），可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出结论；
（2）根据按批发价购买360支铅笔与按零售价购买300支所付款相同，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：（1）依题意得：，
解得：240＜x≤300，
答：八年级的学生总数x的取值范围为240＜x≤300；
（2）依题意得：300360，
解得：x＝300，
经检验，x＝300是原方程的解，且符合题意，
答：这个学校八年级学生有300人．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程．
24．（10分）（2025春 市南区期末）如图，在△ABC中，D为AC边上一点，AD＝BD，AE⊥BD，交BD的延长线于点E，DF⊥BC，垂足为F，且AE＝DF．
（1）求证：CB＝CD；
（2）若点D是AC的中点，求∠C的度数．
【考点】全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答；
（2）∠C的度数是60°．
【分析】（1）由AE⊥BD，DF⊥BC，得∠E＝∠DFB＝90°，由AD＝DB，AE＝DF，根据直角三角形全等的判定定理“HL”证明Rt△ADE≌Rt△DBF，得∠ADE＝∠DBF，而∠ADE＝∠CDB，即可证明∠CDB＝∠CBD，则CB＝CD；
（2）由点D是AC的中点，得AD＝CD，而AD＝BD，所以CD＝BD，因为CD＝CB，所以△BCD是等边三角形，则∠C＝60°．
【解答】（1）证明：∵AE⊥BD，交BD的延长线于点E，DF⊥BC，垂足为F，
∴∠E＝∠DFB＝90°，
在Rt△ADE和Rt△DBF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△DBF（HL），
∴∠ADE＝∠DBF，
∵∠ADE＝∠CDB，
∴∠CDB＝∠DBF，即∠CDB＝∠CBD，
∴CB＝CD．
（2）解：∵点D是AC的中点，
∴AD＝CD，
∵AD＝BD，
∴CD＝BD，
由（1）得CD＝CB，
∴CD＝BD＝CB，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠C＝60°，
∴∠C的度数是60°．
【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、等边三角形的判定与性质等知识，证明Rt△ADE≌Rt△DBF是解题的关键．
25．（10分）（2025 西山区二模）“母亲节”期间，某鲜花店计划购进康乃馨和玫瑰花两种鲜花，其中玫瑰花每束40元，购买康乃馨所需费用y（单位：元）与购买数量x（单位：束）的函数关系图象如图所示．
（1）求y与x的函数解析式；
（2）该鲜花店计划购进康乃馨和玫瑰花共200束，若购买康乃馨的数量不超过150束，且不少于玫瑰花的数量，求购买这两种鲜花的总费用W的最小值．
【考点】一次函数的应用；一元一次不等式组的应用．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）y；
（2）8600．
【分析】（1）按照x的取值范围，分别求出每束康乃馨的价格，从而写出对应y与x之间的函数关系式，最后写成分段函数的形式即可；
（2）根据题意列关于x的一元一次不等式组并求其解集，写出W关于x的函数关系式，根据一次函数的增减性和x的取值范围，确定当x取何值时W值最小，求出其最小值即可．
【解答】解：（1）当0≤x≤20时，每束康乃馨的价格为1000÷20＝50（元），则y＝50x，
当x＞20时，每束康乃馨的价格为（1900﹣1000）÷（40﹣20）＝45（元），则y＝1000+45（x﹣20）＝45x+100，
∴y与x的函数解析式为y．
（2）根据题意，得，
解得100≤x≤150，
W＝45x+100+40（200﹣x）＝5x+8100，
∵5＞0，
∴W随x的减小而减小，
∵100≤x≤150，
∴当x＝100时W值最小，W最小＝5×100+8100＝8600．
答：购买这两种鲜花的总费用W的最小值为8600．
【点评】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，掌握一元一次不等式组的解法及一次函数的增减性是解题的关键．
26．（10分）（2024春 海淀区校级期中）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D为射线BC上一动点（不与点B、C重合），点B关于直线AD的对称点为E，作射线DE，过点C作AB的平行线，与射线DE交于点F．连接AE，AF．
（1）如图1，当点E恰好在线段AC上时，用等式表示DF与BD的数量关系，并证明；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，
①依题意补全图形；
②用等式表示∠ADB和∠AFE的数量关系，并证明．
【考点】几何变换综合题．
【专题】代数几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）DF＝2BD，理由见解答过程；
（2）①补全图形见解答过程；
②∠ADB+45°＝∠AFE，理由见解答过程．
【分析】（1）先由轴对称性质，得出AB＝AE，BD＝ED，再证明△ADE≌△ADB（SSS），因为CF∥AB，得出∠ECD＝∠ECF＝45°，得证△CED≌△CEF（ASA），即可作答；
（2）①根据题意的描述作图即可；
②首先证得△ADE≌△ADB，过点A作AG⊥CF于点G，四边形ABCG是正方形，证明Rt△AFG≌Rt△AFE（HL），则∠FAG＝FAE＝∠EAG，再通过角的运算，即可作答．
【解答】解：（1）DF＝2BD，理由如下：
如图1：当点E恰好在线段AC上时，
在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∵点B关于直线AD的对称点为E，
∴AB＝AE，BD＝ED，
在△ADE和△ADB中，
，
∴△ADE≌△ADB（SSS），
∴∠AED＝∠ABD＝90°，
∴AC⊥DF，∠CED＝∠CEF＝90°，
∵CF∥AB，
∴∠ECF＝∠BAC＝45°，
∴∠ECD＝∠ECF＝45°，
在△CED和△CEF中，
，
∴△CED≌△CEF（ASA），
∴DE＝EFDF，
∴BD＝DEDF，即有DF＝2BD；
（2）当点D在线段BC的延长线上时：
①依题意补全图形如图2，
②用等式表示∠ADB 和∠AFE的数量关系是∠ADB+45°＝∠AFE，理由如下：
点B关于直线AD的对称点为E，
∴△ADE≌△ADB，
∴AE＝AB，∠AEF＝∠ABC＝90°，∠EAD＝∠BAD∠BAE，
过点A作AG⊥CF于点G，如图，
则∠AGF＝∠AGC＝90°，
∵CF∥AB，
∴∠BAG＝∠AGF＝90°＝∠ABC＝∠AGC，
∴四边形ABCG是矩形，
∵AB＝BC，
∴四边形ABCG是正方形，
∴AG＝AB＝AE，
在Rt△AFG和Rt△AFE中，
，
∴Rt△AFG≌Rt△AFE（HL），
∴∠FAG＝FAE＝∠EAG，即有∠EAG＝2∠FAE，
∵∠AFE+∠FAE＝90°，
∴∠FAE＝90°﹣∠AFE，
∴∠EAG＝2∠FAE＝180°﹣2∠AFE，
∴∠BAE＝∠BAG+∠EAG＝270°﹣2∠AFE，
∴∠BAD＝∠BAE＝135°﹣∠AFE，
在Rt△ABD中，∠ADB+∠BAD＝90°，
∴∠ADB+135°﹣∠AFE＝90°；
∴∠ADB+45°＝∠AFE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质与判定，矩形的性质，轴对称性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．

展开更多......

收起↑