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重庆市2025-2026学年七年级下学期期末模拟自测数学试卷
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）（2023秋 玉州区校级月考）下列各方程为一元一次方程的是（　　）
A．x（x+1）＝2 B．x+5＝3y﹣1 C．x+2＝0 D．
2．（4分）（2025春 德惠市期末）如图所示，为估计池塘岸边A、B的距离，在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝12米，OB＝9米，设AB＝a米，则a的取值范围是（　　）
A．9＜a＜12 B．9＜a＜21 C．3＜a＜12 D．3＜a＜21
3．（4分）（2025春 招远市期中）若是方程组的解，则3a﹣5b的值为（　　）
A．﹣1 B．3 C．7 D．10
4．（4分）（2024春 桥西区期末）八（2）班四位同学画出如下线段BD，其中能表示△ABC的高的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（4分）（2025秋 温江区校级期中）已知a＞b，则下列不等式一定成立是（　　）
A．2﹣a＞2﹣b B．﹣2a＞﹣2b C．2a﹣1＞2b﹣1 D．
6．（4分）（2024秋 庐阳区校级月考）如图，△ABG和△AEC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，若∠a＝82°，则∠1的度数是（　　）
A．132° B．149° C．129° D．139°
7．（4分）（2025春 梅里斯区期末）若关于x，y的方程组的解满足x+y＝2025，则k的值为（　　）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
8．（4分）（2025秋 建邺区期末）古书上有这样一个问题：“今有人买鸡，人出六，盈五；人出五，不足二．问人数、物价各几何．”意思是有若干人一起买鸡，如果每人出6文钱，就多出5文钱；如果每人出5文钱，就差2文钱．买鸡的人数、买鸡的费用分别是多少？若设买鸡的人数是x人，根据题意列一元一次方程正确的是（　　）
A．6x﹣5＝5x+2 B．6x+5＝5x﹣2 C． D．
9．（4分）（2024春 鄞州区校级期末）将6块形状、大小完全相同的小长方形，放入长为m，宽为n的长方形中，当两块阴影部分A，B的面积相等时，小长方形其较短一边长的值为（　　）
A． B． C． D．
10．（4分）（2022秋 金凤区校级期末）如果|x﹣4|+（y+3）2＝0，则2x﹣（﹣2y+x）的值是（　　）
A．﹣2 B．10 C．7 D．6
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．（4分）（2025春 吴兴区校级期中）已知2x+y＝1，用含x的代数式表示y，y＝　 　 ．
12．（4分）（2023春 万州区校级期中）已知（a﹣1）x|a|+m＞0是关于x的一元一次不等式，则a的值为 　 　 ．
13．（4分）（2025秋 盐都区期中）已知三角形的两边长分别是3和6，则第三边长c的取值范围是　 　 ．
14．（4分）（2025秋 雁塔区校级期末）古希腊时期，正九边形被认为是完美和神圣的象征，代表着和谐与平衡．第四套人民币中1角硬币采用了圆内接正九边形的独特设计，这个正九边形的中心角为　 　 ．
15．（4分）（2024秋 凉州区校级期末）如图所示，AD是△ABC的中线，AB＝8，AC＝6，△ACD的周长为24，则△ABD的周长为 　 　 ．
16．（4分）一个长方形的周长为10cm，长比宽长3cm，设这个长方形的长为x（cm），宽为y（cm），则根据题意可列出关于x，y的二元一次方程组是 　 　 ．
17．（4分）（2024春 合川区期末）已知关于x的方程3x+2m＝10的解为负数，且关于y的不等式组有解且至多有三个整数解，则满足条件的所有整数m的值之和为 　 　 ．
18．（4分）（2025春 万州区期末）一个三位数m，百位数字比十位数字大1，个位数字比十位数字的三倍少5，则称这个数为“大1少5数”，如：321，3﹣2＝1，2×3﹣5＝1，所以321是“大1少5数”．若将一个“大1少5数”m的百位数字作为个位，个位数字作为百位，十位数字不变得到一个新三位数记为m′，当m+m′＝868时，则这个三位数m为　 　 .记，当F（m）被7除余1时，则这个三位数m为　 　 ．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．（8分）（2023 九台区校级开学）解下列方程、不等式．
（1）；
（2）4x+5≥x﹣4．
20．（10分）（2025秋 云阳县期中）（1）解方程组；
（2）解不等式组．
21．（10分）（2025春 吐鲁番市校级期末）解不等式组，并将解集用数轴表示出来．
22．（10分）（2025春 招远市期中）我们规定：关于x，y的二元一次方程ax+by＝c，若满足a+b＝c，则称这个方程为“幸福”方程，例如：方程2x+3y＝5，其中a＝2，b＝3，c＝5，满足a+b＝c，则方程2x+3y＝5是“幸福”方程，把两个“幸福”方程合在一起叫“幸福”方程组，根据上述规定，回答下列问题：
（1）判断方程5x+6y＝12　 　 “幸福”方程（填“是”或“不是”）；
（2）若关于x，y的二元一次方程2kx+（k﹣3）y＝9是“幸福”方程，求k的值．
23．（10分）（2025春 宜宾期末）每年的4月23日为“世界读书日”．为了让学生学会读书，爱上读书，营造浓厚读书氛围，某校计划购买心理学和科技类两种书籍供学生阅读，已知购买1本心理学书籍和3本科技类书籍共需155元，购买3本心理学书籍和2本科技类书籍共需185元．
（1）求心理学书籍和科技类书籍的购买单价分别为多少元？
（2）根据需求量，该校决定购入心理学书籍和科技类书籍共90本，其中心理学书籍的购入数量低于科技类书籍的数量，恰逢书店做“读书节”优惠促销活动：心理学书籍每本打8折，科技类书籍每本优惠2元．如果此次买书的总费用不超过2995元，那么有哪几种购买方案？
24．（10分）（2024秋 临高县期末）如图，在△ABC中，AD，AF分别是△ABC的中线和高，BE是△ABD的角平分线．
（1）若∠BED＝60°，∠BAD＝40°，求∠BAF的度数．
（2）在（1）的条件下，若△ABC的面积为40，BD＝5，求AF的长．
25．（10分）（2022秋 忻府区校级月考）为了鼓励居民节约用电，有关部门对用电收费标准作如下规定：如果每月每户用电不超过150度，那么每度电收费0.5元；如果该月用电超过150度，那么超过部分每度电收费0.8元．
（1）如果小李家一个月用电138度，那么小张家这个月应缴纳电费多少元？
（2）如果小张家一个月用电x度，那么这个月应缴纳电费多少元？（用含x的代数式表示）
（3）如果小张家上个月缴纳电费147.8元，那么小张家上个月用电多少度？
26．（10分）（2024春 巴彦县期末）如图，在数轴上原点O表示数0，A点表示的数是a，B点表示的数是b，且（a﹣4）2+|b+8|＝0．
（1）已知点C是线段AB的中点，求线段CO的长；
（2）在（1）的条件下，若动点P从点B出发，以每秒4个单位长度沿数轴向右运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，设它们的运动时间为t．若线段PC的中点为D，求当t为何值时，线段DQ的长为1个单位长度？
（3）在（2）的条件下，当DQ＝1（P在Q的右侧）时，P立即掉头以每秒2个单位的速度沿数轴向左运动，点Q继续按原速度原方向运动，当AP＝2BQ时，求点P表示的数．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）（2023秋 玉州区校级月考）下列各方程为一元一次方程的是（　　）
A．x（x+1）＝2 B．x+5＝3y﹣1 C．x+2＝0 D．
【考点】一元一次方程的定义．
【专题】一次方程（组）及应用；符号意识．
【答案】C
【分析】根据“只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程”，逐一分析各选项中的方程，即可得出结论．
【解答】解：A．x（x+1）＝2未知数x的最高次数是2，不是一元一次方程，故此选项不符合题意；
B．x+5＝3y﹣1含有两个未知数，不是一元一次方程，故此选项不符合题意；
C．x+2＝0是一元一次方程，故此选项符合题意；
D．，不是整式方程，所以不是一元一次方程，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的定义，牢记“只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程”是解题的关键．
2．（4分）（2025春 德惠市期末）如图所示，为估计池塘岸边A、B的距离，在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝12米，OB＝9米，设AB＝a米，则a的取值范围是（　　）
A．9＜a＜12 B．9＜a＜21 C．3＜a＜12 D．3＜a＜21
【考点】三角形三边关系．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】D
【分析】利用三角形的三边关系进即可得到答案．
【解答】解：∵OA＝12米，OB＝9米，设AB＝a米，
∴12﹣9＜a＜12+9，
即：3＜a＜21，
故选：D．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．
3．（4分）（2025春 招远市期中）若是方程组的解，则3a﹣5b的值为（　　）
A．﹣1 B．3 C．7 D．10
【考点】二元一次方程组的解；代数式求值．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】根据方程组的解的概念得出，解之求出a、b的值，代入计算即可．
【解答】解：将代入得：，
解得a＝4，b＝1，
则3a﹣5b＝3×4﹣5×1
＝12﹣5
＝7，
故选：C．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的解和代数式求值，解题的关键是掌握方程组的解的概念．
4．（4分）（2024春 桥西区期末）八（2）班四位同学画出如下线段BD，其中能表示△ABC的高的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【专题】三角形；几何直观．
【答案】D
【分析】根据三角形的高的概念判断即可．
【解答】解：所给图形中，线段BD能表示△ABC的高的是D选项，
故选：D．
【点评】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，掌握三角形高的概念是解题的关键．
5．（4分）（2025秋 温江区校级期中）已知a＞b，则下列不等式一定成立是（　　）
A．2﹣a＞2﹣b B．﹣2a＞﹣2b C．2a﹣1＞2b﹣1 D．
【考点】不等式的性质．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】利用不等式的性质逐项判断即可．
【解答】解：已知a＞b，
两边同时乘以﹣1再同时加上2得2﹣a＜2﹣b，则A不符合题意，
两边同时乘以﹣2得﹣2a＜﹣2b，则B不符合题意，
两边同时乘以2再同时减去1得2a﹣1＞2b﹣1，则C符合题意，
两边同时除以2得，则D不符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
6．（4分）（2024秋 庐阳区校级月考）如图，△ABG和△AEC是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，若∠a＝82°，则∠1的度数是（　　）
A．132° B．149° C．129° D．139°
【考点】三角形内角和定理．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】D
【分析】由翻折得∠GBA＝∠2，∠ECA＝∠3，由∠GBC+∠ECB＝∠α，得到，再根据三角形内角和定理求出∠1的度数．
【解答】解：由翻折得∠GBA＝∠2，∠ECA＝∠3，
∴∠GBC＝2∠2，∠ECB＝2∠3，
∵∠GBC+∠ECB＝∠α，
∴2∠2+2∠3＝∠α，
∴，
∴，
故选：D．
【点评】此题考查了三角形内角和定理，解题的关键是记住三角形的内角和为180°．
7．（4分）（2025春 梅里斯区期末）若关于x，y的方程组的解满足x+y＝2025，则k的值为（　　）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【考点】二元一次方程组的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】方程组两方程左右两边相加表示出x+y，代入x+y＝2025计算即可求出k的值．
【解答】解：两方程相加得6x+6y＝6k+6，
∴x+y＝k+1，
∵x+y＝2025，
∴k+1＝2025，
∴k＝2024．
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程的解、二元一次方程组的解，掌握用加减消元法解二元一次方程组是解题关键．
8．（4分）（2025秋 建邺区期末）古书上有这样一个问题：“今有人买鸡，人出六，盈五；人出五，不足二．问人数、物价各几何．”意思是有若干人一起买鸡，如果每人出6文钱，就多出5文钱；如果每人出5文钱，就差2文钱．买鸡的人数、买鸡的费用分别是多少？若设买鸡的人数是x人，根据题意列一元一次方程正确的是（　　）
A．6x﹣5＝5x+2 B．6x+5＝5x﹣2 C． D．
【考点】由实际问题抽象出一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】根据“如果每人出6文钱，就多出5文钱；如果每人出5文钱，就差2文钱”，结合买鸡的费用不变，即可列出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：∵如果每人出6文钱，就多出5文钱，
∴买鸡的费用是（6x﹣5）文钱；
∵如果每人出5文钱，就差2文钱，
∴买鸡的费用是（5x+2）文钱．
∴根据题意可列出一元一次方程6x﹣5＝5x+2．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
9．（4分）（2024春 鄞州区校级期末）将6块形状、大小完全相同的小长方形，放入长为m，宽为n的长方形中，当两块阴影部分A，B的面积相等时，小长方形其较短一边长的值为（　　）
A． B． C． D．
【考点】一元一次方程的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】设小长方形较短的一边长为a，则较长的一边长为m﹣3a，分别表示出两块阴影部分A，B的面积，列出方程求解即可．
【解答】解：设小长方形较短的一边长为a，则较长的一边长为m﹣3a，
∴SA＝（m﹣3a）（n﹣3a），SB＝3a（n﹣m+3a），
根据题意得，（m﹣3a）（n﹣3a）＝3a（n﹣m+3a），
∴mn﹣3am﹣3an+9a2＝3an﹣3am+9a2，
∴mn＝6an，
∴a，
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，根据题目中的条件找出等量关系，列出方程．
10．（4分）（2022秋 金凤区校级期末）如果|x﹣4|+（y+3）2＝0，则2x﹣（﹣2y+x）的值是（　　）
A．﹣2 B．10 C．7 D．6
【考点】整式的加减—化简求值；绝对值．
【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】由非负数的性质可得x﹣4＝0，y+3＝0，即可求出x，y的值，将所求代数式去括号、合并同类项，再将x，y的值代入计算即可．
【解答】解：∵|x﹣4|+（y+3）2＝0，
∴x﹣4＝0，y+3＝0，
解得x＝4，y＝﹣3．
∴2x﹣（﹣2y+x）＝2x+2y﹣x＝x+2y＝4+（﹣6）＝﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查整式的加减﹣化简求值、非负数的性质：绝对值、偶次方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
二．填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）
11．（4分）（2025春 吴兴区校级期中）已知2x+y＝1，用含x的代数式表示y，y＝　1﹣2x．　 ．
【考点】等式的性质；解二元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】1﹣2x．
【分析】根据等式的性质，将方程的两边都减2x即可．
【解答】解：2x+y＝1，
将方程的两边都减2x，得y＝1﹣2x．
故答案为：1﹣2x．
【点评】此题考查了加二元一次方程与等式的性质，解题的关键是熟练掌握等式的性质．
12．（4分）（2023春 万州区校级期中）已知（a﹣1）x|a|+m＞0是关于x的一元一次不等式，则a的值为 　﹣1　 ．
【考点】一元一次不等式的定义；绝对值．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；模型思想．
【答案】﹣1．
【分析】根据一元一次不等式的定义进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
|a|＝1且a﹣1≠0，
∴a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题的关键．
13．（4分）（2025秋 盐都区期中）已知三角形的两边长分别是3和6，则第三边长c的取值范围是　3＜c＜9　 ．
【考点】三角形三边关系．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】3＜c＜9．
【分析】直接根据三角形的三边关系解答即可．
【解答】解：∵三角形的两边长分别是3和6，第三边的长为c，
∴6﹣3＜c＜6+3，即3＜c＜9．
故答案为：3＜c＜9．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
14．（4分）（2025秋 雁塔区校级期末）古希腊时期，正九边形被认为是完美和神圣的象征，代表着和谐与平衡．第四套人民币中1角硬币采用了圆内接正九边形的独特设计，这个正九边形的中心角为　40°　 ．
【考点】正多边形和圆．
【专题】多边形与平行四边形；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．
【答案】40°
【分析】根据正多边形和圆的关系可得：正九边形的中心角为从而求解．
【解答】解：正九边形的中心角为，
故答案为：40°．
【点评】本题考查了正多边形和圆的关系，掌握知识点的应用是解题的关键．
15．（4分）（2024秋 凉州区校级期末）如图所示，AD是△ABC的中线，AB＝8，AC＝6，△ACD的周长为24，则△ABD的周长为 　26　 ．
【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】26．
【分析】根据三角形的中线的概念得到BD＝DC，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝DC，
∵△ACD的周长为24，
∴AC+AD+CD＝24，
∵AC＝6，
∴AD+CD＝24﹣AD﹣CD＝24﹣6＝18，
∴AD+BD＝18，
又∵AB＝8，
∴AB+AD+BD＝8+18＝26，
所以△ABD周长为26，
故答案为：26．
【点评】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，关键是相关知识的熟练掌握．
16．（4分）一个长方形的周长为10cm，长比宽长3cm，设这个长方形的长为x（cm），宽为y（cm），则根据题意可列出关于x，y的二元一次方程组是 　　 ．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】．
【分析】根据“长方形的周长为10cm，长比宽长3cm”，即可列出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：∵长方形的周长为10cm，
∴2（x+y）＝10；
∵长比宽长3cm，
∴x﹣y＝3．
∴根据题意可列方程组．
故答案为：．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
17．（4分）（2024春 合川区期末）已知关于x的方程3x+2m＝10的解为负数，且关于y的不等式组有解且至多有三个整数解，则满足条件的所有整数m的值之和为 　13　 ．
【考点】一元一次不等式组的整数解；一元一次方程的解；解一元一次不等式；解一元一次不等式组．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】13．
【分析】求出方程的解，根据题意确定m的范围；解不等式组，根据题意确定m的范围，根据题意计算即可．
【解答】解：解关于x的方程3x+2m＝10得x，
由题意得0，
解得m＞5，
解不等式组得y≤m﹣2，
∵不等式组有解且至多有三个整数解，
∴m﹣2＜6，
解得m＜8，
则5＜m＜8，
∴所有满足条件的整数m的和是：6+7＝13．
故答案为：13．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，一元一次方程的解，解一元一次不等式组，掌握解一元一次方程、一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．
18．（4分）（2025春 万州区期末）一个三位数m，百位数字比十位数字大1，个位数字比十位数字的三倍少5，则称这个数为“大1少5数”，如：321，3﹣2＝1，2×3﹣5＝1，所以321是“大1少5数”．若将一个“大1少5数”m的百位数字作为个位，个位数字作为百位，十位数字不变得到一个新三位数记为m′，当m+m′＝868时，则这个三位数m为　434　 .记，当F（m）被7除余1时，则这个三位数m为　547　 ．
【考点】整式的加减．
【专题】整式；运算能力；推理能力．
【答案】434，547．
【分析】先设十位的数字为x，则百位上的数字为x+1，个位上的数字为3x﹣5，根据实际意义得x＝2，3，4，再表示出 m＝113x+95，m′＝311x﹣499，结合F（m），代入数值化简得424x﹣404＝868，解得x＝3，得出m＝434，结合x＝2，3，4进行分类讨论，则分别算出F（m），根据F（m）被7除余1进行判断，即可作答．
【解答】解：设十位的数字为x，则百位上的数字为x+1，个位上的数字为3x﹣5，依题意，1≤x≤9，0≤3x﹣5≤9，0≤x+1≤9，
故2≤x≤4，
∵x为正整数，
∴x＝2，3，4依题意，m＝100（x+1）+10x+3x﹣5＝113x+95，
∵将一个“大1少5数”m的百位数字作为个位，个位数字作为百位，十位数字不变得到一个新三位数记为m′，
∴m′＝100（3x﹣5）+10x+x+1＝311x﹣499，
∵m+m′＝868，
∴113x+95+311x﹣499＝868．
∴424x﹣404＝868，解得x＝3，
∴m＝113×3+95＝434，
当x＝2时，则m＝113×2+95＝321，m′＝311×2﹣499＝123，
，
则111÷7＝15余6，不符合题意，故舍去；
当x＝3时，则m＝113×3+95＝434，m′＝311×3﹣499＝434，
，则217÷7＝31余0，不符合题意，故舍去；
当x＝4时，则m＝113×4+95＝547，m′＝311×4﹣499＝745，
∴，则323÷7＝46余1，符合题意，
∴这个三位数m为547，
故答案为：434，547．
【点评】本题考查了数字规律，整式的运算，解不等式组，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分78分）
19．（8分）（2023 九台区校级开学）解下列方程、不等式．
（1）；
（2）4x+5≥x﹣4．
【考点】解一元一次不等式；解一元一次方程．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）x＝﹣15；
（2）x≥﹣3．
【分析】（1）利用解一元一次方程的方法进行求解即可；
（2）利用解一元一次不等式的方法进行求解即可．
【解答】解：（1），
3（x﹣1）﹣2（2x+3）＝6，
3x﹣3﹣4x﹣6＝6，
3x﹣4x＝6+6+3，
﹣x＝15，
x＝﹣15；
（2）4x+5≥x﹣4，
4x﹣x≥﹣4﹣5，
3x≥﹣9，
x≥﹣3．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式，解一元一次方程，解答的关键是对相应的知识的掌握．
20．（10分）（2025秋 云阳县期中）（1）解方程组；
（2）解不等式组．
【考点】解一元一次不等式组；解二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）；
（2）无解．
【分析】（1）根据解二元一次方程组的步骤进行求解即可；
（2）根据解一元一次不等式组的步骤进行求解即可．
【解答】解：（1），
由①得，5x+y＝36③，
由②得，x﹣9y＝﹣2④，
③×9+④得，
46x＝322，
x＝7，
将x＝7代入③得，
35+y＝36，
y＝1，
所以方程组的解为；
（2），
解不等式①得，x≥7，
解不等式②得，x＜2，
所以不等式组无解．
【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组及解二元一次方程组，熟知解一元一次不等式组及解二元一次方程组的步骤是解题的关键．
21．（10分）（2025春 吐鲁番市校级期末）解不等式组，并将解集用数轴表示出来．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】﹣2＜x≤3，．
【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，再取其解集的公共部分即得不等式组的解集，然后在数轴上表示其解集即可．
【解答】解：解不等式2x+1＞﹣3，得x＞﹣2，
解不等式8﹣2x≥x﹣1，得x≤3，
所以不等式组的解集是﹣2＜x≤3；
不等式组的解集在数轴上表示为：
．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键．
22．（10分）（2025春 招远市期中）我们规定：关于x，y的二元一次方程ax+by＝c，若满足a+b＝c，则称这个方程为“幸福”方程，例如：方程2x+3y＝5，其中a＝2，b＝3，c＝5，满足a+b＝c，则方程2x+3y＝5是“幸福”方程，把两个“幸福”方程合在一起叫“幸福”方程组，根据上述规定，回答下列问题：
（1）判断方程5x+6y＝12　不是　 “幸福”方程（填“是”或“不是”）；
（2）若关于x，y的二元一次方程2kx+（k﹣3）y＝9是“幸福”方程，求k的值．
【考点】二元一次方程组的解；二元一次方程的解．
【专题】一次方程（组）及应用；运算能力．
【答案】（1）不是；
（2）4．
【分析】（1）根据新定义进行判断即可；
（2）根据新定义，得到关于k的一元一次方程，进行求解即可．
【解答】解：（1）∵5+6＝11≠12，
∴方程5x+6y＝12不是“幸福”方程；
故答案为：不是；
（2）2k+k﹣3＝9，
∴k＝4；
故答案为：4．
【点评】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握新定义是解题的关键．
23．（10分）（2025春 宜宾期末）每年的4月23日为“世界读书日”．为了让学生学会读书，爱上读书，营造浓厚读书氛围，某校计划购买心理学和科技类两种书籍供学生阅读，已知购买1本心理学书籍和3本科技类书籍共需155元，购买3本心理学书籍和2本科技类书籍共需185元．
（1）求心理学书籍和科技类书籍的购买单价分别为多少元？
（2）根据需求量，该校决定购入心理学书籍和科技类书籍共90本，其中心理学书籍的购入数量低于科技类书籍的数量，恰逢书店做“读书节”优惠促销活动：心理学书籍每本打8折，科技类书籍每本优惠2元．如果此次买书的总费用不超过2995元，那么有哪几种购买方案？
【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．
【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）心理学书籍购买单价为35元，科技类书籍的购买单价为40元；
（2）共有2种购买方案，
方案1：购买43本心理学书籍，47本科技类书籍；
方案2：购买44本心理学书籍，46本科技类书籍．
【分析】（1）设心理学书籍购买单价为x元，科技类书籍的购买单价为y元，根据“购买1本心理学书籍和3本科技类书籍共需155元，购买3本心理学书籍和2本科技类书籍共需185元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m本心理学书籍，则购买（90﹣m）本科技类书籍，根据“心理学书籍的购入数量低于科技类书籍的数量，且此次买书的总费用不超过2995元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案．
【解答】解：（1）设心理学书籍购买单价为x元，科技类书籍的购买单价为y元，
根据题意得：，
解得：．
答：心理学书籍购买单价为35元，科技类书籍的购买单价为40元；
（2）设购买m本心理学书籍，则购买（90﹣m）本科技类书籍，
根据题意得：，
解得：42.5≤m＜45，
又∵m为正整数，
∴m可以为43，44，
∴共有2种购买方案，
方案1：购买43本心理学书籍，47本科技类书籍；
方案2：购买44本心理学书籍，46本科技类书籍．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
24．（10分）（2024秋 临高县期末）如图，在△ABC中，AD，AF分别是△ABC的中线和高，BE是△ABD的角平分线．
（1）若∠BED＝60°，∠BAD＝40°，求∠BAF的度数．
（2）在（1）的条件下，若△ABC的面积为40，BD＝5，求AF的长．
【考点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；三角形内角和定理；等腰三角形的判定；角平分线的定义．
【专题】线段、角、相交线与平行线；三角形；等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）50°；
（2）AF＝8．
【分析】（1）先利用三角形的外角性质计算出∠ABE＝20°，再利用角平分线定义得到∠ABC＝2∠ABE＝40°，然后根据高的定义和互余两角的性质求出∠BAF的度数；
（2）先根据题意得到BD＝DC＝AD＝5，然后利用三角形面积公式求AF的长．
【解答】解：（1）∵∠BED＝∠ABE+∠BAE，
∴∠ABE＝60°﹣40°＝20°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABE＝2×20°＝40°，
∵AF为高，
∴∠AFB＝90°，
∴∠BAF＝90°﹣∠ABF＝90°﹣40°＝50°，
所以∠BAF的度数为50°；
（2）由（1）得∠BAD＝∠ABD＝40°，
∴BD＝DC＝AD＝5，
∴BC＝5+5＝10，
∵，
∴AF＝8，
所以AF的长为8．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，三角形的角平分线、中线和高和三角形的面积，三角形的内角和定理，关键是充分应用三角形的角平分线，高和中线的定义．
25．（10分）（2022秋 忻府区校级月考）为了鼓励居民节约用电，有关部门对用电收费标准作如下规定：如果每月每户用电不超过150度，那么每度电收费0.5元；如果该月用电超过150度，那么超过部分每度电收费0.8元．
（1）如果小李家一个月用电138度，那么小张家这个月应缴纳电费多少元？
（2）如果小张家一个月用电x度，那么这个月应缴纳电费多少元？（用含x的代数式表示）
（3）如果小张家上个月缴纳电费147.8元，那么小张家上个月用电多少度？
【考点】一元一次方程的应用；有理数的混合运算；列代数式．
【专题】实数；整式；一次方程（组）及应用；应用意识．
【答案】（1）91.5；
（2）若x≤150，这个月应缴纳电费为：0.5x，若x＞150，这个月应缴纳电费为：0.8x﹣45；
（3）小张家这个月用电241度．
【分析】（1）根据138＜150，结合电费＝单价×度数，列式求值即可，
（2）根据“如果每月每户用电不超过150度，那么每度电0.5元；如果该月用电超过150度，那么超过部分每度电0.8元”分别讨论x≤150和x＞150时，这个月应缴纳的电费，列出关于x的整式，
（3）根据0.5×150＝75＜139.8，设小张这个月用电x度，结合（2）的结果，列出关于x的一元一次方程，解之即可．
【解答】解：（1）根据题意得：
0.5×138＝91.5（元），
答：这个月应缴纳电费91.5元，
故答案为：91.5；
（2）若x≤150，这个月应缴纳电费为：0.5x，
若x＞150，这个月应缴纳电费为：0.5×150+0.8（x﹣150）＝0.8x﹣45，
答：若x≤150，这个月应缴纳电费为：0.5x，若x＞150，这个月应缴纳电费为：0.8x﹣45；
（3）∵0.5×150＝75＜147.8，
∴小张家这个月用电超过150度，
设小张这个月用电x度，
根据题意得：0.8x﹣45＝147.8，
解得：x＝241，
答：小张家这个月用电241度．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的混合运算，列代数式，解题的关键：（1）正确掌握有理数的混合运算，（2）正确掌握列代数式的方法，（3）正确找出等量关系，列出一元一次方程．
26．（10分）（2024春 巴彦县期末）如图，在数轴上原点O表示数0，A点表示的数是a，B点表示的数是b，且（a﹣4）2+|b+8|＝0．
（1）已知点C是线段AB的中点，求线段CO的长；
（2）在（1）的条件下，若动点P从点B出发，以每秒4个单位长度沿数轴向右运动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，设它们的运动时间为t．若线段PC的中点为D，求当t为何值时，线段DQ的长为1个单位长度？
（3）在（2）的条件下，当DQ＝1（P在Q的右侧）时，P立即掉头以每秒2个单位的速度沿数轴向左运动，点Q继续按原速度原方向运动，当AP＝2BQ时，求点P表示的数．
【考点】一元一次方程的应用；数轴；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
【专题】实数；一次方程（组）及应用；运算能力；推理能力．
【答案】（1）CO＝2；
（2）t或t＝2；
（3）点P表示的数为﹣2或﹣14．
【分析】（1）利用偶次方和绝对值的非负性求出a，b，由图可得AB，OA，即可求出CO；
（2）先用t将点P，点Q表示出来，再表示出点D，然后求出线段DQ的长度，即可求解；
（3）先将DQ＝1（P在Q右侧）时的t算出来，再求出此时点P，点Q表示的数，然后表示出后续运动过程中AP，AQ的长度，从而得到线段BQ的长，再利用AP＝2BQ即可求解．
【解答】解：（1）∵（a﹣4）2+|b+8|＝0，
∴a﹣4＝0，b+8＝0，
∴a＝4，b＝﹣8，
∴OB＝8，OA＝4，AB＝12，
∵点C是线段AB的中点，
∴AC＝BC＝6，
∴CO＝OB﹣BC＝2；
（2）∵动点P从点B以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，动点Q从点A以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，运动时间为t，
∴点P运动路程为4t，点Q运动路程为2t，
∴点P表示的数为﹣8+4t，点Q表示的数为4﹣2t，
∵点D为线段PC的中点，
∴点D表示的数为2t﹣5，
∴DQ＝|2t﹣5﹣（4﹣2t）|＝1，
∴4t﹣9＝1或4t﹣9＝﹣1，
解得：t或t＝2，
∴当t为或2时，线段DQ的长为1个单位长度；
（3）当DQ＝1（P在Q右侧）时，
t，
此时，点P表示的数为﹣8+4t＝2，点Q表示的数为4﹣2t＝﹣1，
∴AP＝2，AQ＝5，
∵P掉头后的速度为每秒2个单位，点Q继续按原速每秒2个单位按原方向运动，
设此时之后，点P运动路程为x，
∴点Q运动路程为x，
∴AP＝x+2，AQ＝x+5，
∴BQ＝|12﹣（x+5）|，
∵AP＝2BQ，
∴x+2＝2|12﹣（x+5）|，
∴x+2＝2[12﹣（x+5）]或x+2＝2[﹣12+（x+5）]，
解得：x＝4或x＝16，
∵点P表示的数为2﹣x，
又∵2﹣4＝﹣2，2﹣16＝﹣14，
∴点P表示的数为﹣2或﹣14．
【点评】本题考查非负实数的应用，数轴上点的运用，解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握偶次方和绝对值的性质，能正确运用代数式将点的坐标和两点距离表示出来．

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