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第9讲　曲线运动　运动的合成与分解
1.★（2026·广东广州期末）利用风洞实验室可以模拟运动员比赛时所受风阻情况，帮助运动员提高成绩。为了更加直观地研究风洞里的流场环境，可以借助烟尘辅助观察，如图甲所示，在某次实验中获得烟尘颗粒做曲线运动的轨迹，如图乙所示，则由该轨迹可推断出（　　）
A.烟尘颗粒的速度可能不变 B.烟尘颗粒所受合力与速度方向相同
C.烟尘颗粒不可能做匀变速曲线运动 D.P、Q两点处的速度方向可能垂直
2.（2026·云南红河州联考）如图所示，某同学在研究运动的合成时做了下述活动：用左手沿黑板推动直尺竖直向上做匀速直线运动，同时，右手沿直尺向右移动笔尖做初速度为零的匀加速运动，下列符合笔尖实际运动轨迹的是（　　）
3.（2026·安徽合肥月考）一小船从同一地点三次渡河，河中水流速度各处相同，改变小船在静水中的速度分别为v1、v2、v3，方向如图所示，三次渡河过程中船头均指向上游，运动轨迹垂直于河岸，下列说法正确的是（　　）
A.小船三次渡河中v1＜v2＜v3
B.三次渡河中小船的合速度相同
C.小船在静水中的速度为v1时渡河所用的时间最短
D.若水流速度大于船在静水中的速度，小船仍能达到正对岸
4.（2026·重庆永州期末）如图所示，有两条位于同一竖直平面内的光滑水平轨道，轨道上有两个物体A和B，它们通过一根绕过光滑定滑轮O的不可伸长的轻绳连接。初始时，OA绳与OB绳刚好伸直且夹角为90°，现在对物体A施加一个水平外力F，使它以速度v向右匀速运动，下列说法正确的是（　　）
A.物体B做匀速直线运动 B.物体B做匀加速直线运动
C.当OA绳与水平轨道夹角为45°时，B的速度为 D.当OA绳与水平轨道夹角为45°时，B的速度为v
5.（2026·浙江台金期中）如图所示，风洞中没风时，将一个小球以初速度v0竖直向上抛出，小球能上升的最大高度为h，加了水平风力后，将小球仍以初速度v0竖直向上抛出，小球落到与抛出点等高的位置时，该位置与抛出点间的水平距离为3h，风对小球的作用力大小恒定，不计阻力，则风力与小球重力之比为（　　）
A.3∶4 B.4∶3
C.3∶1 D.1∶3
6.〔多选〕（2026·安徽黄山期末）武汉渡江节是为了纪念毛主席畅游长江而举办的全民节日。在渡江节中，某位游泳爱好者始终保持头朝向对岸，从起点A沿直线到达终点B用时30 min。已知该段长江宽1 000 m，AB连线距离为3 000 m。下列说法正确的是（　　）
A.当天水流速度约为1.6 m/s
B.该游泳者在静水中的速度约为0.6 m/s
C.由于风力影响导致水速增大，为了保证轨迹仍为直线AB，需要增大游泳者速度
D.其他条件不变的情况下，由于风力影响导致水速增大，游泳者仍能到达B点
7.（2026·山东济南期末）如图所示，一根长为L的轻杆OA，O端用铰链固定，另一端固定着一个小球A，轻杆靠在一个质量为M、高为h的物块上。若物块与地面摩擦不计，则当物块以速度v向右运动至杆与水平方向夹角为θ时，小球A的线速度大小为（　　 ）
A. B.
C. D.
8.（2026·福建福州期中）小船甲、乙分别从河岸的A、B两点同时与河岸成60°角沿如图所示方向渡河，小船甲、乙刚好在B点正对岸的C点相遇，小船甲、乙在静水中速度与水流速度大小恒定，乙船在静水中速度v乙＝4 m/s，下列说法正确的是（　　）
A.小船甲、乙相对河岸做曲线运动
B.水流的速度是2 m/s
C.小船甲在静水中的速度是4 m/s
D.若水流速度加倍，小船到达对岸时间减半
9.★（2026·宁夏银川期中）图甲为一款发动机的机械传动装置的示意图，可简化为图乙，曲轴OA绕固定的O点自由转动，通过连杆AB使活塞左右滑动。已知曲轴OA长为0.2 m，连杆AB长为0.6 m，绕O点沿顺时针方向匀速转动的角速度为60π rad/s，下列说法正确的是（　　）
A.当OA杆与AB垂直时，活塞的速度小于12π m/s
B.当OA杆与AB垂直时，活塞的速度大于12π m/s
C.当OA与AB共线时，活塞的速度大于12π m/s
D.当OA与AB共线时，活塞的速度等于12π m/s
10.（2026·安徽宿州期中）两端封闭的玻璃管中注满清水，将管转至如图甲所示的竖直位置，质量为0.2 kg的物块在x方向的速度—时间图像和y方向的位移—时间图像分别如图乙、丙所示。求：
（1）t＝0时，物块的初速度大小；
（2）物块所受的合外力大小；
（3）0～2 s内物块的位移大小。
11.（2026·四川眉山期末）图a为记载于《天工开物》的风扇车，它是用来去除水稻等农作物籽实中杂质的木制传统农具。风扇车的工作原理可简化为图b所示的模型：质量为m1的杂质与质量为m2的籽实仅在水平恒定风力和重力的作用下，从同一位置P静止释放，若m1小于m2，杂质与籽实受到的风力大小相等。下列说法正确的是（　　）
A.杂质与籽实在空中做曲线运动
B.杂质与籽实在空中运动的时间相等
C.杂质与籽实落地时速度相同
D.杂质落地点与P点的水平距离小于籽实落地点与P点的水平距离
第9讲　曲线运动　运动的合成与分解
1.C　由题图可知烟尘颗粒的速度方向时刻发生变化，速度一定发生变化，故A错误；烟尘颗粒做曲线运动，所受合力与速度方向一定不在同一直线上，故B错误；做曲线运动的物体，所受合力总是指向轨迹的凹侧，则烟尘颗粒在P、Q两点处的合力方向一定不同，烟尘颗粒不可能做匀变速曲线运动，故C正确；曲线运动在某点的速度方向是沿轨迹在该点的切线方向，由题图可知，P、Q两点处的速度方向不可能垂直，故D错误。
2.D　笔尖初速度竖直向上，加速度水平向右，初速度与加速度不在一条直线上，笔尖的运动为曲线运动，加速度向右，根据曲线运动的特点，可知轨迹向右弯曲，故D正确。
3.C　设船头指向与水平河岸之间夹角为θ，由于运动轨迹垂直于河岸，有v船cos θ＝v水，再结合题图有v1＞v2＞v3，故A错误；三次渡河中，小船的合速度均垂直于河岸方向，大小为v合＝v船sin θ，故有v1合＞v2合＞v3合，故B错误；渡河时间t＝，结合上面分析，可知小船在静水中的速度为v1时渡河所用的时间最短，故C正确；若水流速度大于船在静水中的速度，小船不能到达正对岸，故D错误。
4.C　设OA与水平方向的夹角为θ，将A的速度分解为沿绳子方向的分速度v1和垂直于绳子的分速度v2，则有vB＝v1＝vcos θ，由于θ从90°逐渐减小，所以vB逐渐增大，物体B做加速运动，但cos θ不是均匀增大，所以物体B不是做匀加速直线运动，故A、B错误；当OA绳与水平轨道夹角为45°时，B的速度为vB＝vcos 45°＝，故C正确，D错误。
5.A　小球上升和下降的时间均为t＝，且h＝，水平方向小球做匀加速直线运动，则3h＝a（2t）2，a＝，联立解得＝，故A正确。
6.ABC　垂直于河岸方向有d＝v静水　　t，可得该游泳者在静水中的速度约为v静水＝＝ m/s＝ m/s≈0.6 m/s，由几何关系可知＝＝＝，可得当天水流速度约为v水＝2× m/s≈1.6 m/s，故A、B正确；根据几何关系有＝，由于风力影响导致水速增大，为了保证轨迹仍为直线AB，需要增大游泳者速度，故C正确；根据选项C可知，其他条件不变的情况下，由于风力影响导致水速增大，游泳者将到达B点下游，故D错误。
7.A　当物块以速度v向右运动至杆与水平方向夹角为θ时，B点的线速度等于物块的速度在垂直于杆方向上的分速度vB＝vsin θ，则杆的角速度ω＝＝＝，小球A的线速度大小vA＝Lω＝，故选A。
8.C　小船甲、乙在静水中速度和水流速度恒定，小船相对河岸的合速度恒定，小船甲、乙相对河岸做匀速直线运动，故A错误；小船乙刚好到达B点的正对岸的C点，则小船乙的合速度垂直河岸，由几何关系v水＝v乙cos 60°＝2 m/s，故B错误；小船甲、乙刚好在B点的正对岸的C点相遇，则v甲sin 60°＝v乙sin 60°，故v甲＝v乙＝4 m/s，小船甲在静水的速度是4 m/s，故C正确；水流速度加倍，使小船随水漂流的距离加倍，但小船到达对岸的时间不变，故D错误。
9.B　当OA杆与连杆AB夹角为α，连杆AB与水平方向夹角为β时，速度分解如图所示：
根据运动的合成与分解，沿杆方向的分速度，vA1＝vAcos（α－90°），vB1＝vBcos β，vA＝ωlOA，二者沿杆方向的分速度相等，即vA1＝vB1，联立解得vB＝，当α＝90°时，连杆AB与圆相切，其中cos β＝，代入数据联立解得vB＝4π m/s＞12π m/s，即活塞的速度大于12π m/s，故A错误，B正确；当OA与AB共线时，A点沿AB的瞬时速度为零，B的瞬时速度为零，即活塞的速度等于零，故C、D错误。
10.（1） m/s　（2）0.01 N　（3） m
解析：（1）t＝0时，根据图乙、丙可知vx0＝0.1 m/s，
vy＝ m/s＝0.1 m/s
则初速度大小为v1＝＝ m/s。
（2）根据图乙、丙可知ax＝＝0.05 m/s2，ay＝0
根据牛顿第二定律有F＝ma＝max＝0.01 N。
（3）在0～2 s内，根据图乙、丙可知x＝ m＝0.3 m，y＝0.2 m（y方向位移大小）
故位移大小为s＝＝ m。
11.B　杂质与籽实受竖直向下的重力和水平向左的恒定的风力作用，则合力也为恒力，方向斜向左下方，因为均从静止开始运动，可知杂质和籽实在空中均做直线运动，故A错误；因竖直方向加速度都相同，竖直高度相同，可知落到地面的时间相同，即杂质与籽实在空中运动的时间相等，故B正确；杂质质量较小，根据ax＝可知，杂质水平加速度较大，则根据vx＝axt，可知，杂质落地时水平速度较大，因落地时竖直速度相等，可知杂质落地时速度较大，故C错误；杂质水平加速度较大，根据x＝axt2可知，杂质落地点与P点的水平距离大于籽实落地点与P点的水平距离，故D错误。
1 / 1第9讲　曲线运动　运动的合成与分解
1.理解物体做曲线运动的条件及运动性质。 2.理解合运动与分运动的概念，会用运动的合成与分解处理小船渡河、关联速度等问题。
考点一　曲线运动
知识速记
1.速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的　　　　。
2.曲线运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是　　　　运动。
加速度a恒定：　　　　　　运动；
加速度a变化：非匀变速曲线运动。
3.做曲线运动的条件
（1）运动学角度：物体的　　　　方向跟速度方向不在同一条直线上。
（2）动力学角度：物体所受的　　　　方向跟速度方向不在同一条直线上。
　〔人教版必修第二册P2“演示”情境〕如图所示，在水平桌面上放一张白纸，白纸上摆一条由几段稍短的弧形轨道组合而成的弯道。使表面沾有红色印泥的钢球以一定的初速度从弯道的C端滚入，钢球从出口A端离开后会在白纸上留下一条运动的痕迹。若拆去一段轨道，出口改在B点。判断下列说法的正误。
（1）钢球从B点离开出口后的轨迹为①。（　　）
（2）钢球从B点离开出口后的轨迹为②。（　　）
（3）钢球到B点时的合力方向可能为③。（　　）
（4）钢球到B点时的合力方向可能为④。（　　）
训练落实
1.〔人教版必修第二册P4“演示”改编〕如图所示，光滑水平桌面上一小铁球沿直线运动。若在铁球运动的正前方A处或旁边B处固定一磁体，下列关于小铁球运动的说法正确的是（　　）
A.磁体固定在A处时，小铁球做直线运动，加速度不变
B.磁体固定在A处时，小铁球做曲线运动
C.磁体固定在B处时，小铁球做曲线运动，加速度大小不变
D.磁体固定在B处时，小铁球做曲线运动，加速度大小和方向都改变
2.（2026·山东青岛期中）如图所示是拖拉机拉着人群在水平冰面上的游戏画面。若人群在经过圆弧弯道MN的过程中，速度逐渐增大。则此过程中，人群受到的水平作用力符合实际的是（　　）
3.如图所示，水平面上的一个物体在两个相互垂直的恒力F1和F2作用下由静止开始运动，经过一段时间后，突然撤去F2，则物体以后（　　）
A.沿F1的方向做匀加速直线运动
B.做非匀变速曲线运动，轨迹是个圆
C.做匀变速曲线运动，轨迹切线方向与F1的夹角逐渐变小
D.做匀变速曲线运动，轨迹切线方向与F1的夹角逐渐变大
1.曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系 （1）速度方向与运动轨迹相切； （2）合力方向指向曲线轨迹的凹侧； （3）运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间。 2.速率变化的判断
考点二　运动的合成与分解
知识速记
1.基本概念
（1）运动的合成：已知　　　　求合运动。
（2）运动的分解：已知　　　　求分运动。
2.遵循的法则
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循　　　　　　　　。
3.运动分解的方法
根据运动的　　　　分解，也可采用正交分解法。
4.合运动与分运动的关系
等时性 合运动和分运动经历的　　　　相等，即同时开始、同时进行、同时停止
独立性 一个物体同时参与几个分运动，各分运动　　　　，彼此互不影响
等效性 各分运动的共同作用效果与合运动有完全相同的　　　
　〔人教版必修第二册P6“演示”情境〕将放有蜡块的玻璃管倒置，向右匀速运动，回答下列问题：
（1）蜡块实际的运动与水平和竖直的分运动是什么关系？
（2）蜡块A由底部运动至顶端的时间，与蜡块在竖直方向由底部运动到顶端的时间是什么关系？
（3）如果将试管以更大的速度向右运动，蜡块在竖直方向的运动情况变不变？
要点深化
判断两个直线运动的合运动性质的方法
1.分别把两个直线运动的初速度和加速度合成，然后根据合加速度特点以及合加速度与合初速度的方向关系判断合运动的运动性质。
2.常见的情况
两个互成角度的分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动
两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合与a合共线，则为匀变速直线运动
如果v合与a合不共线，则为匀变速曲线运动
★（2026·广东佛山期末）如图为3D打印机，空间坐标系O-xyz如图所示。打印机喷头可沿y轴左右移动，还可沿z轴上下移动，托板可沿x轴前后移动。若某次打印，喷头靠近托板沿y轴正方向匀加速运动（z轴方向无运动），托板沿x轴正方向匀速运动，则在托板打印出的图样有可能是以下哪个（　　）
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（2026·陕西榆林期中）各种大型的货运站中少不了悬臂式起重机。如图甲所示，某起重机的悬臂保持不动，可沿悬臂行走的天车有两个功能，一是吊着货物沿竖直方向运动，二是吊着货物沿悬臂水平方向运动。现天车吊着质量为100 kg的货物在x方向（水平方向）的位移—时间图像和y方向（竖直方向）的速度—时间关系图像分别如图乙、丙所示，下列说法正确的是（　　）
A.t＝2 s时货物的速度大小为3 m/s
B.货物的运动轨迹是一条直线
C.货物所受的合力大小为150 N
D.0～2 s这段时间内，货物的合位移大小为11 m
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考点三　小船渡河模型
要点深化
1.船的实际运动：随水漂流的运动和船相对静水的运动的合运动。
2.三种速度：船在静水中的速度v船、水流的速度v水、船的实际速度v。
3.两类问题、三种情境
渡河 时间 最短 当船头方向垂直于河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝
渡河 位移 最短 如果v船＞v水，当船头方向与上游河岸夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速度垂直于河岸，渡河位移最短，等于河宽d
如果v船＜v水，当船头方向（即v船方向）与合速度方向垂直时，渡河位移最短，等于
〔多选〕（2026·贵州毕节期末）如图所示，小船从河岸边O点出发渡河。若河宽d＝100 m，河水流速v1＝3 m/s，方向平行于河岸指向河的下游，船在静水中速度v2＝4 m/s，渡河时船头方向始终与河岸垂直，船视为质点。下列说法正确的是（　　）
A.小船渡河所用时间为25 s
B.小船渡河过程中，实际速度大小为7 m/s
C.若河水流速变慢，小船渡河时间变长
D.若河水流速变慢，小船渡河位移减少
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
拓展1：改变船头的方向，当船头与河岸夹角的余弦值是多少时，渡河位移最短，并求此时的渡河时间。
拓展2：若河水流速v1＝4 m/s，船在静水中速度v2＝3 m/s，当船头与河岸夹角的余弦值是多少时，渡河位移最短。
　“三模型、两方案、两确定”解决小船渡河问题
　（2026·新疆维伊犁哈萨克自治州期中）伊犁河水流湍急，偶有漩涡，漩涡边沿水的流速相对中心处的流速较慢，压强较大，从而形成压力差，导致周边物体易被“吸入”漩涡，如图甲所示。某段河道水流速度大小恒为v1＝2 m/s，如图乙所示，M处的下游O处有一个半径为r的漩涡危险圆形区域，其与河岸相切于N点，M、N两点距离为r。若一小船（可视为质点）从河岸的M处沿直线到对岸，为了能避开危险区，小船相对静水的最小速度v2为（　　）
A.1.5 m/s B.3.0 m/s
C.4.0 m/s D.4.5 m/s
考点四　关联速度问题
要点深化
1.两物体通过不可伸长的轻绳（杆）相连，当两物体都发生运动时，两物体的速度是关联的。
2.处理关联速度问题的方法：认清哪个是合速度、哪个是分速度。物体的实际速度一定是合速度，两个分速度方向分别沿绳（杆）方向和垂直绳（杆）方向。
3.常见的速度分解模型
情境图示 定量结论
v＝v∥＝v物cos θ
vB＝v∥＝vAcos θ
v∥＝v∥' 即v物 cos θ＝ v物'cos α
v∥＝v∥' 即vBcos α＝ vAcos β
（2025·黑吉辽蒙高考6题）如图，趣味运动会的“聚力建高塔”活动中，两长度相等的细绳一端系在同一塔块上，两名同学分别握住绳的另一端，保持手在同一水平面以相同速率v相向运动。为使塔块沿竖直方向匀速下落，则v（　　）
A.一直减小 B.一直增大
C.先减小后增大 D.先增大后减小
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
〔多选〕（2026·湖南邵阳期中）甲、乙两光滑小球（均可视为质点）用铰链与轻直杆连接，乙球处于光滑水平地面上，甲球套在光滑的竖直杆上，初始时轻杆竖直，杆长为4 m。无初速度释放，使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3 m时，下列说法正确的是（　　）
A.甲、乙两球的速度大小之比为∶3
B.甲、乙两球的速度大小之比为3∶7
C.甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等
D.甲球即将落地时，乙球的速度为0
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　（2026·四川眉山期末）如图所示，长为L的直棒一端可绕固定轴O转动，另一端搁在升降平台上，平台以速度v匀速上升，当棒与竖直方向的夹角为α时，棒的角速度为（　　）
A. B.
C. D.
第9讲　曲线运动　运动的合成与分解
考点一
知识速记
1.切线方向　2.变速　匀变速曲线　3.（1）加速度　（2）合力
教材情境辨析
　（1）√　（2）×　（3）×　（4）×
训练落实
1.D　磁体固定在A处时，小铁球受磁体的引力方向与速度方向共线，且引力逐渐变大，可知小铁球做加速度增大的变加速直线运动，故A、B错误；磁体固定在B处时，小铁球受磁体的引力方向与速度方向不共线，小铁球做曲线运动，随引力的变化，加速度大小和方向都改变，故C错误，D正确。
2.D　人群受到的摩擦阻力f与运动方向（切线方向）相反，人群做曲线运动，合力（图中f与F的合力）方向指向轨迹的凹侧，由于速度逐渐增大，所以合力的方向与速度方向的夹角应小于90°，故D正确。
3.C　如图所示，开始时，物体在相互垂直的恒力F1、F2作用下，合力恒定不变，且物体由静止开始运动，故物体做初速度为零、加速度为a1的匀加速直线运动，速度方向与合力方向相同。突然撤去F2时，剩下的恒力F1与速度v0方向成一锐角，物体做初速度为v0的匀变速曲线运动，且轨迹切线方向与F1的夹角逐渐变小，故C正确。
考点二
知识速记
1.（1）分运动　（2）合运动　2.平行四边形定则　3.实际效果
4.时间　独立进行　效果
思考与讨论
　提示：（1）蜡块实际的运动是水平和竖直两个分运动的合成。（2）时间相等。（3）不变。
要点深化
【例1】　C　轨迹一定向加速度方向弯曲。喷头靠近托板沿y轴正方向匀加速运动（z轴方向无运动），喷头加速度沿着y轴正方向，喷头的轨迹一定向y轴正方向弯曲，A、B、D错误；托板沿x轴正方向匀速运动，以托板为参考系，喷头沿x轴负方向做匀速运动，沿向y轴正方向做匀加速直线运动，C正确。
【例2】　C　由图乙可知货物在水平方向做匀速直线运动，速度大小为vx＝ m/s＝4 m/s，由图丙可知货物在竖直方向做初速度为0的匀加速直线运动，2 s末货物的竖直分速度为3 m/s，因此t＝2 s时货物的速度大小为v＝＝ m/s＝5 m/s，货物的合运动为匀变速曲线运动，运动轨迹是一条抛物线，故A、B错误；根据图丙可知，货物的加速度大小为a＝＝ m/s2＝1.5 m/s2，根据牛顿第二定律可得合力大小为F＝ma＝100×1.5 N＝150 N，故C正确；由图乙可知0～2 s这段时间内，货物的水平位移大小为x＝8 m，货物的竖直位移大小为y＝ m＝3 m，则合位移大小为s＝＝ m＝ m，故D错误。
考点三
要点深化
【例3】　AD　小船渡河所用时间t＝＝25 s，故A正确；小船渡河过程中，实际速度为船的两个分速度的矢量和，大小为＝5 m/s，故B错误；河水流速变慢，不影响渡河时间，故C错误；河水流速变慢，因渡河时间不变，则小船沿河水流动方向的分位移减小，进而可得渡河位移变小，选项D正确。
拓展1　提示：
由于v2＞v1，故当合速度方向垂直于河岸时，渡河位移最短，如图所示，则v2cos α＝v1，解得cos α＝，即船头与河岸上游夹角的余弦值为时，渡河位移最短，渡河时间为t＝＝＝ s。
拓展2　提示：
当v2⊥v合时，渡河位移最短，如图所示，则船头与河岸上游夹角的余弦值cos α＝。
强化训练
　B　小船速度最小且避开危险圆区沿直线运动到对岸时，合速度方向恰好与危险圆形区域相切，如图所示。可知当小船相对静水的速度v2与合速度垂直时，v2最小，所以有tan ＝＝，得θ＝60°，又sin θ＝，解得v2＝v1＝3 m/s，故B正确。
考点四
要点深化
【例4】　B　设塔块匀速下落的速度为v0，细绳与水平方向的夹角为α，将塔块的速度沿细绳、垂直于细绳的方向分解，则沿细绳方向的速度为v1＝v0sin α，将手的速度沿细绳、垂直于细绳的方向分解，则沿细绳方向的速度为v2＝vcos α，又v1＝v2，整理得v＝v0tan α，由于两人相向运动的过程中，细绳与水平方向的夹角α逐渐增大，v0保持不变，所以v一直增大，B正确，A、C、D错误。
【例5】　BD　设轻杆与竖直方向的夹角为θ，则有sin θ＝，cos θ＝＝，将v1、v2分别沿杆和垂直于杆的方向进行分解，则有v1cos θ＝v2sin θ，解得v1∶v2＝sin θ∶cos θ＝3∶7，故A错误，B正确；当甲球即将落地时，即θ＝90°，此时甲球的速度竖直向下，杆水平，则乙球的速度为零，故C错误，D正确。
强化训练
　B　棒与平台接触点的实际运动即合运动，其方向垂直于棒指向左上，如图所示，合速度v实＝ωL，沿竖直方向上的速度分量等于v，即v＝ωLsin α，所以ω＝，故B正确。
1 / 1(共70张PPT)
第9讲　曲线运动　运动的合成与分解
目标要求
1. 理解物体做曲线运动的条件及运动性质。
2. 理解合运动与分运动的概念，会用运动的合成与分解处理小船渡河、关联速度等问题。
目 录
CONTENTS
考点一　曲线运动
考点二　运动的合成与分解
考点三　小船渡河模型
考点四　关联速度问题
课时跟踪检测
考点一　曲线运动
知识速记
1. 速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的
。
2. 曲线运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲
线运动一定是 运动。
加速度a恒定： 运动；
加速度a变化：非匀变速曲线运动。
切线方
向　
变速　
匀变速曲线　
3. 做曲线运动的条件
（1）运动学角度：物体的 方向跟速度方向不在同一条直线
上。
（2）动力学角度：物体所受的 方向跟速度方向不在同一条直
线上。
加速度　
合力　
　〔人教版必修第二册P2“演示”情境〕如图所示，在水平桌面上放一张
白纸，白纸上摆一条由几段稍短的弧形轨道组合而成的弯道。使表面沾有
红色印泥的钢球以一定的初速度从弯道的C端滚入，钢球从出口A端离开后
会在白纸上留下一条运动的痕迹。若拆去一段轨道，出口改在B点。判断
下列说法的正误。
（1）钢球从B点离开出口后的轨迹为①。 （　√　）
（2）钢球从B点离开出口后的轨迹为②。 （　×　）
（3）钢球到B点时的合力方向可能为③。 （　×　）
（4）钢球到B点时的合力方向可能为④。 （　×　）
√
×
×
×
训练落实
1. 〔人教版必修第二册P4“演示”改编〕如图所示，光滑水平桌面上一小
铁球沿直线运动。若在铁球运动的正前方A处或旁边B处固定一磁体，下列
关于小铁球运动的说法正确的是（　　）
A. 磁体固定在A处时，小铁球做直线运动，加速度不变
B. 磁体固定在A处时，小铁球做曲线运动
C. 磁体固定在B处时，小铁球做曲线运动，加速度大小不变
D. 磁体固定在B处时，小铁球做曲线运动，加速度大小和方向都改变
√
解析： 　磁体固定在A处时，小铁球受磁体的引力方向与速度方向共线，
且引力逐渐变大，可知小铁球做加速度增大的变加速直线运动，故A、B错
误；磁体固定在B处时，小铁球受磁体的引力方向与速度方向不共线，小
铁球做曲线运动，随引力的变化，加速度大小和方向都改变，故C错误，D
正确。
2. （2026·山东青岛期中）如图所示是拖拉机拉着人群在水平冰面上的游
戏画面。若人群在经过圆弧弯道MN的过程中，速度逐渐增大。则此过程
中，人群受到的水平作用力符合实际的是（　　）
√
解析： 　人群受到的摩擦阻力f与运动方向（切线方向）相反，人群做曲
线运动，合力（图中f与F的合力）方向指向轨迹的凹侧，由于速度逐渐增
大，所以合力的方向与速度方向的夹角应小于90°，故D正确。
3. 如图所示，水平面上的一个物体在两个相互垂直的恒力F1和F2作用下由
静止开始运动，经过一段时间后，突然撤去F2，则物体以后（　　）
A. 沿F1的方向做匀加速直线运动
B. 做非匀变速曲线运动，轨迹是个圆
C. 做匀变速曲线运动，轨迹切线方向与F1的夹角逐渐变小
D. 做匀变速曲线运动，轨迹切线方向与F1的夹角逐渐变大
√
解析： 　如图所示，开始时，物体在相互垂直的恒力
F1、F2作用下，合力恒定不变，且物体由静止开始运
动，故物体做初速度为零、加速度为a1的匀加速直线运
动，速度方向与合力方向相同。突然撤去F2时，剩下的
恒力F1与速度v0方向成一锐角，物体做初速度为v0的匀变
速曲线运动，且轨迹切线方向与F1的夹角逐渐变小，故C正确。
1. 曲线运动中速度方向、合力方向与运动轨迹之间的关系
（1）速度方向与运动轨迹相切；
（2）合力方向指向曲线轨迹的凹侧；
（3）运动轨迹一定夹在速度方向和合力方向之间。
2. 速率变化的判断
考点二　运动的合成与分解
知识速记
1. 基本概念
（1）运动的合成：已知 求合运动。
（2）运动的分解：已知 求分运动。
2. 遵循的法则
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循
。
3. 运动分解的方法
根据运动的 分解，也可采用正交分解法。
分运动　
合运动　
平行四边形
定则　
实际效果　
4. 合运动与分运动的关系
等时性 合运动和分运动经历的 相等，即同时开始、同
时进行、同时停止
独立性 一个物体同时参与几个分运动，各分运动
，彼此互不影响
等效性 各分运动的共同作用效果与合运动有完全相同的

时间　
独立进
行　
效
果　
　〔人教版必修第二册P6“演示”情境〕将放有蜡块的玻璃管倒置，向右
匀速运动，回答下列问题：
（1）蜡块实际的运动与水平和竖直的分运动是什么关系？
提示： 蜡块实际的运动是水平和竖直两个分运动的合成。
（2）蜡块A由底部运动至顶端的时间，与蜡块在竖直方向由底部运动到顶
端的时间是什么关系？
提示： 时间相等。
（3）如果将试管以更大的速度向右运动，蜡块在竖直方向的运动情况变
不变？
提示： 不变。
要点深化
判断两个直线运动的合运动性质的方法
1. 分别把两个直线运动的初速度和加速度合成，然后根据合加速度特点以
及合加速度与合初速度的方向关系判断合运动的运动性质。
2. 常见的情况
两个互成角度的分运动 合运动的性质
两个匀速直线运动 匀速直线运动
一个匀速直线运动、一个匀变
速直线运动 匀变速曲线运动
两个互成角度的分运动 合运动的性质
两个初速度为零的匀加速直线
运动 匀加速直线运动
两个初速度不为零的匀变速直
线运动 如果v合与a合共线，则为匀变速直线运动
如果v合与a合不共线，则为匀变速曲线运
动
★（2026·广东佛山期末）如图为3D打印机，空间坐标系O-xyz如图所
示。打印机喷头可沿y轴左右移动，还可沿z轴上下移动，托板可沿x轴前后
移动。若某次打印，喷头靠近托板沿y轴正方向匀加速运动（z轴方向无运
动），托板沿x轴正方向匀速运动，则在托板打印出的图样有可能是以下哪
个（　C　）
C
解析：轨迹一定向加速度方向弯曲。喷头靠近托板沿y轴正方向匀加速运动
（z轴方向无运动），喷头加速度沿着y轴正方向，喷头的轨迹一定向y轴正
方向弯曲，A、B、D错误；托板沿x轴正方向匀速运动，以托板为参考
系，喷头沿x轴负方向做匀速运动，沿向y轴正方向做匀加速直线运动，C
正确。
（2026·陕西榆林期中）各种大型的货运站中少不了悬臂式起重机。如
图甲所示，某起重机的悬臂保持不动，可沿悬臂行走的天车有两个功能，
一是吊着货物沿竖直方向运动，二是吊着货物沿悬臂水平方向运动。现天
车吊着质量为100 kg的货物在x方向（水平方向）的位移—时间图像和y方
向（竖直方向）的速度—时间关系图像分别如图乙、丙所示，下列说法正
确的是（　C　）
C
A. t＝2 s时货物的速度大小为3 m/s
B. 货物的运动轨迹是一条直线
C. 货物所受的合力大小为150 N
D. 0～2 s这段时间内，货物的合位移大小为11 m
解析：由图乙可知货物在水平方向做匀速直线运动，速度大小为vx＝ m/s
＝4 m/s，由图丙可知货物在竖直方向做初速度为0的匀加速直线运动，2 s
末货物的竖直分速度为3 m/s，因此t＝2 s时货物的速度大小为v＝
＝ m/s＝5 m/s，货物的合运动为匀变速曲线运动，运动
轨迹是一条抛物线，故A、B错误；根据图丙可知，货物的加速度大小为a
＝＝ m/s2＝1.5 m/s2，根据牛顿第二定律可得合力大小为F＝ma＝
100×1.5 N＝150 N，故C正确；由图乙可知0～2 s这段时间内，货物的水平位移大小为x＝8 m，货物的竖直位移大小为y＝ m＝3 m，则合位移大小为s＝＝ m＝ m，故D错误。
考点三　小船渡河模型
要点深化
1. 船的实际运动：随水漂流的运动和船相对静水的运动的合运动。
2. 三种速度：船在静水中的速度v船、水流的速度v水、船的实际速度v。
3. 两类问题、三种情境
渡河时间 最短 当船头方向垂直于河岸时，渡河时
间最短，最短时间tmin＝
渡河位移最短 如果v船＞v水，当船头方向与上游河
岸夹角θ满足v船cos θ＝v水时，合速
度垂直于河岸，渡河位移最短，等
于河宽d
如果v船＜v水，当船头方向（即v船
方向）与合速度方向垂直时，渡河
位移最短，等于
〔多选〕（2026·贵州毕节期末）如图所示，小船从河岸边O点出发渡
河。若河宽d＝100 m，河水流速v1＝3 m/s，方向平行于河岸指向河的下
游，船在静水中速度v2＝4 m/s，渡河时船头方向始终与河岸垂直，船视为
质点。下列说法正确的是（　AD　）
AD
A. 小船渡河所用时间为25 s
B. 小船渡河过程中，实际速度大小为7 m/s
C. 若河水流速变慢，小船渡河时间变长
D. 若河水流速变慢，小船渡河位移减少
解析：小船渡河所用时间t＝＝25 s，故A正确；小船渡河过程中，实际速
度为船的两个分速度的矢量和，大小为＝5 m/s，故B错误；河
水流速变慢，不影响渡河时间，故C错误；河水流速变慢，因渡河时间不
变，则小船沿河水流动方向的分位移减小，进而可得渡河位移变小，选项
D正确。
拓展1：改变船头的方向，当船头与河岸夹角的余弦值是多少时，渡河位
移最短，并求此时的渡河时间。
提示：由于v2＞v1，故当合速度垂直于对岸时，渡河位移最
短，如图所示，则v2cos α＝v1，解得cos α＝，即船头与河岸
上游夹角的余弦值为时，渡河位移最短，渡河时间为t＝
＝＝ s。
拓展2：若河水流速v1＝4 m/s，船在静水中速度v2＝3 m/s，当船头与河岸夹
角的余弦值是多少时，渡河位移最短。
提示：当v2⊥v合时，渡河位移最短，如图所示，则船头与河岸
上游夹角的余弦值cos α＝。
“三模型、两方案、两确定”解决小船渡河问题
　（2026·新疆维伊犁哈萨克自治州期中）伊犁河水流湍急，偶有漩涡，漩
涡边沿水的流速相对中心处的流速较慢，压强较大，从而形成压力差，导
致周边物体易被“吸入”漩涡，如图甲所示。某段河道水流速度大小恒为
v1＝2 m/s，如图乙所示，M处的下游O处有一个半径为r的漩涡危险圆形
区域，其与河岸相切于N点，M、N两点距离为r。若一小船（可视为质
点）从河岸的M处沿直线到对岸，为了能避开危险区，小船相对静水的最
小速度v2为（　　）
A. 1.5 m/s B. 3.0 m/s
C. 4.0 m/s D. 4.5 m/s
√
解析： 小船速度最小且避开危险圆区沿直线运动到
对岸时，合速度方向恰好与危险圆形区域相切，如图所
示。可知当小船相对静水的速度v2与合速度垂直时，v2
最小，所以有tan ＝＝，得θ＝60°，又sin θ＝，
解得v2＝v1＝3 m/s，故B正确。
考点四　关联速度问题
要点深化
1. 两物体通过不可伸长的轻绳（杆）相连，当两物体都发生运动时，两物
体的速度是关联的。
2. 处理关联速度问题的方法：认清哪个是合速度、哪个是分速度。物体的
实际速度一定是合速度，两个分速度方向分别沿绳（杆）方向和垂直绳
（杆）方向。
情境图示 定量结论
v＝v∥＝v物cos θ
vB＝v∥＝vAcos θ
3. 常见的速度分解模型
情境图示 定量结论
v∥＝v∥'
即v物 cos θ＝
v物'cos α
v∥＝v∥'
即vBcos α＝
vAcos β
（2025·黑吉辽蒙高考6题）如图，趣味运动会的“聚力建高塔”活动
中，两长度相等的细绳一端系在同一塔块上，两名同学分别握住绳的另一
端，保持手在同一水平面以相同速率v相向运动。为使塔块沿竖直方向匀速
下落，则v（　B　）
A. 一直减小 B. 一直增大
C. 先减小后增大 D. 先增大后减小
B
解析：设塔块匀速下落的速度为v0，细绳与水平方向的夹角为α，将塔块的
速度沿细绳、垂直于细绳的方向分解，则沿细绳方向的速度为v1＝v0sin
α，将手的速度沿细绳、垂直于细绳的方向分解，则沿细绳方向的速度为v2
＝vcos α，又v1＝v2，整理得v＝v0tan α，由于两人相向运动的过程中，细绳
与水平方向的夹角α逐渐增大，v0保持不变，所以v一直增大，B正确，A、
C、D错误。
〔多选〕（2026·湖南邵阳期中）甲、乙两光滑小球（均可视为质点）
用铰链与轻直杆连接，乙球处于光滑水平地面上，甲球套在光滑的竖直杆
上，初始时轻杆竖直，杆长为4 m。无初速度释放，使得乙球沿水平地面
向右滑动，当乙球距离起点3 m时，下列说法正确的是（　BD　）
BD
A. 甲、乙两球的速度大小之比为∶3
B. 甲、乙两球的速度大小之比为3∶7
C. 甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等
D. 甲球即将落地时，乙球的速度为0
解析：设轻杆与竖直方向的夹角为θ，则有sin θ＝，cos θ＝＝，将
v1、v2分别沿杆和垂直于杆的方向进行分解，则有v1cos θ＝v2sin θ，解得
v1∶v2＝sin θ∶cos θ＝3∶7，故A错误，B正确；当甲球即将落地时，即
θ＝90°，此时甲球的速度竖直向下，杆水平，则乙球的速度为零，故C错
误，D正确。
　（2026·四川眉山期末）如图所示，长为L的直棒一端可绕固定轴O转
动，另一端搁在升降平台上，平台以速度v匀速上升，当棒与竖直方向的夹
角为α时，棒的角速度为（　　）
A. B.
C. D.
√
解析： 　棒与平台接触点的实际运动即合运动，其方
向垂直于棒指向左上，如图所示，合速度v实＝ωL，沿竖
直方向上的速度分量等于v，即v＝ωLsin α，所以ω＝
，故B正确。
课时跟踪检测
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1. ★（2026·广东广州期末）利用风洞实验室可以模拟运动员比赛时所受风
阻情况，帮助运动员提高成绩。为了更加直观地研究风洞里的流场环境，
可以借助烟尘辅助观察，如图甲所示，在某次实验中获得烟尘颗粒做曲线
运动的轨迹，如图乙所示，则由该轨迹可推断出（　　）
A. 烟尘颗粒的速度可能不变
B. 烟尘颗粒所受合力与速度方向相同
C. 烟尘颗粒不可能做匀变速曲线运动
D. P、Q两点处的速度方向可能垂直
√
解析： 　由题图可知烟尘颗粒的速度方向时刻发生变化，速度一定发生
变化，故A错误；烟尘颗粒做曲线运动，所受合力与速度方向一定不在同
一直线上，故B错误；做曲线运动的物体，所受合力总是指向轨迹的凹
侧，则烟尘颗粒在P、Q两点处的合力方向一定不同，烟尘颗粒不可能做匀
变速曲线运动，故C正确；曲线运动在某点的速度方向是沿轨迹在该点的
切线方向，由题图可知，P、Q两点处的速度方向不可能垂直，故D错误。
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2. （2026·云南红河州联考）如图所示，某同学在研究运动的合成时做了
下述活动：用左手沿黑板推动直尺竖直向上做匀速直线运动，同时，右手
沿直尺向右移动笔尖做初速度为零的匀加速运动，下列符合笔尖实际运动
轨迹的是（　　）
√
解析： 笔尖初速度竖直向上，加速度水平向右，初速度与加速度不在
一条直线上，笔尖的运动为曲线运动，加速度向右，根据曲线运动的特
点，可知轨迹向右弯曲，故D正确。
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3. （2026·安徽合肥月考）一小船从同一地点三次渡河，河中水流速度各
处相同，改变小船在静水中的速度分别为v1、v2、v3，方向如图所示，三次
渡河过程中船头均指向上游，运动轨迹垂直于河岸，下列说法正确的是
（　　）
A. 小船三次渡河中v1＜v2＜v3
B. 三次渡河中小船的合速度相同
C. 小船在静水中的速度为v1时渡河所用的时间最短
D. 若水流速度大于船在静水中的速度，小船仍能达到正对岸
√
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解析： 　设船头指向与水平河岸之间夹角为θ，由于运动轨迹垂直于河
岸，有v船cos θ＝v水，再结合题图有v1＞v2＞v3，故A错误；三次渡河中，小
船的合速度均垂直于河岸方向，大小为v合＝v船sin θ，故有v1合＞v2合＞v3合，
故B错误；渡河时间t＝，结合上面分析，可知小船在静水中的速度为v1
时渡河所用的时间最短，故C正确；若水流速度大于船在静水中的速度，
小船不能到达正对岸，故D错误。
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4. （2026·重庆永州期末）如图所示，有两条位于同一竖直平面内的光滑
水平轨道，轨道上有两个物体A和B，它们通过一根绕过光滑定滑轮O的不
可伸长的轻绳连接。初始时，OA绳与OB绳刚好伸直且夹角为90°，现在
对物体A施加一个水平外力F，使它以速度v向右匀速运动，下列说法正确
的是（　　）
A. 物体B做匀速直线运动
B. 物体B做匀加速直线运动
C. 当OA绳与水平轨道夹角为45°时，B的速度为
D. 当OA绳与水平轨道夹角为45°时，B的速度为v
√
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解析： 　设OA与水平方向的夹角为θ，将A的速度分解为沿绳子方向的分
速度v1和垂直于绳子的分速度v2，则有vB＝v1＝vcos θ，由于θ从90°逐渐减
小，所以vB逐渐增大，物体B做加速运动，但cos θ不是均匀增大，所以物
体B不是做匀加速直线运动，故A、B错误；当OA绳与水平轨道夹角为45°
时，B的速度为vB＝vcos 45°＝，故C正确，D错误。
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5. （2026·浙江台金期中）如图所示，风洞中没风时，将一个小球以初速
度v0竖直向上抛出，小球能上升的最大高度为h，加了水平风力后，将小球
仍以初速度v0竖直向上抛出，小球落到与抛出点等高的位置时，该位置与
抛出点间的水平距离为3h，风对小球的作用力大小恒定，不计阻力，则风
力与小球重力之比为（　　）
A. 3∶4 B. 4∶3
C. 3∶1 D. 1∶3
√
解析： 　小球上升和下降的时间均为t＝，且h＝，水平方向小球做匀
加速直线运动，则3h＝a（2t）2，a＝，联立解得＝，故A正确。
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6. 〔多选〕（2026·安徽黄山期末）武汉渡江节是为了纪念毛主席畅游长
江而举办的全民节日。在渡江节中，某位游泳爱好者始终保持头朝向对
岸，从起点A沿直线到达终点B用时30 min。已知该段长江宽1 000 m，AB
连线距离为3 000 m。下列说法正确的是（　　）
A. 当天水流速度约为1.6 m/s
B. 该游泳者在静水中的速度约为0.6 m/s
C. 由于风力影响导致水速增大，为了保证轨迹仍为直线AB，需要增大游泳者速度
D. 其他条件不变的情况下，由于风力影响导致水速增大，游泳者仍能到达B点
√
√
√
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解析： 　垂直于河岸方向有d＝v静水t，可得该游泳者在静水中的速度
约为v静水＝＝ m/s＝ m/s≈0.6 m/s，由几何关系可知＝
＝＝，可得当天水流速度约为v水＝2× m/s≈1.6 m/s，故A、
B正确；根据几何关系有＝，由于风力影响导致水速增大，为
了保证轨迹仍为直线AB，需要增大游泳者速度，故C正确；根据选项C可
知，其他条件不变的情况下，由于风力影响导致水速增大，游泳者将到达
B点下游，故D错误。
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7. （2026·山东济南期末）如图所示，一根长为L的轻杆OA，O端用铰链固
定，另一端固定着一个小球A，轻杆靠在一个质量为M、高为h的物块上。
若物块与地面摩擦不计，则当物块以速度v向右运动至杆与水平方向夹角为
θ时，小球A的线速度大小为（　　 ）
A. B.
C. D.
√
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解析： 当物块以速度v向右运动至杆与水平方向夹角为θ时，B点的线速
度等于物块的速度在垂直于杆方向上的分速度vB＝vsin θ，则杆的角速度ω
＝＝＝，小球A的线速度大小vA＝Lω＝，故选A。
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8. （2026·福建福州期中）小船甲、乙分别从河岸的A、B两点同时与河岸
成60°角沿如图所示方向渡河，小船甲、乙刚好在B点正对岸的C点相遇，
小船甲、乙在静水中速度与水流速度大小恒定，乙船在静水中速度v乙＝4
m/s，下列说法正确的是（　　）
A. 小船甲、乙相对河岸做曲线运动
B. 水流的速度是2 m/s
C. 小船甲在静水中的速度是4 m/s
D. 若水流速度加倍，小船到达对岸时间减半
√
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解析： 　小船甲、乙在静水中速度和水流速度恒定，小船相对河岸的合
速度恒定，小船甲、乙相对河岸做匀速直线运动，故A错误；小船乙刚好
到达B点的正对岸的C点，则小船乙的合速度垂直河岸，由几何关系v水＝v
乙cos 60°＝2 m/s，故B错误；小船甲、乙刚好在B点的正对岸的C点相遇，
则v甲sin 60°＝v乙sin 60°，故v甲＝v乙＝4 m/s，小船甲在静水的速度是4
m/s，故C正确；水流速度加倍，使小船随水漂流的距离加倍，但小船到达
对岸的时间不变，故D错误。
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9. ★（2026·宁夏银川期中）图甲为一款发动机的机械传动装置的示意图，
可简化为图乙，曲轴OA绕固定的O点自由转动，通过连杆AB使活塞左右滑
动。已知曲轴OA长为0.2 m，连杆AB长为0.6 m，绕O点沿顺时针方向匀速
转动的角速度为60π rad/s，下列说法正确的是（　　）
A. 当OA杆与AB垂直时，活塞的速度小于12π m/s
B. 当OA杆与AB垂直时，活塞的速度大于12π m/s
C. 当OA与AB共线时，活塞的速度大于12π m/s
D. 当OA与AB共线时，活塞的速度等于12π m/s
√
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解析： 　当OA杆与连杆AB夹角为α，连杆AB与水
平方向夹角为β时，速度分解如图所示：
根据运动的合成与分解，沿杆方向的分速度，vA1＝
vAcos（α－90°），vB1＝vBcos β，vA＝ωlOA，二者沿杆方向的分速度相等，即vA1＝vB1，联立解得vB＝，当α＝90°时，连杆AB与圆相切，其中
cos β＝，代入数据联立解得vB＝4π m/s＞12π m/s，即活塞的速度大于12π m/s，故A错误，B正确；当OA与AB共线时，A点沿AB的瞬时速
度为零，B的瞬时速度为零，即活塞的速度等于零，故C、D错误。
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10. （2026·安徽宿州期中）两端
封闭的玻璃管中注满清水，将管
转至如图甲所示的竖直位置，质
量为0.2 kg的物块在x方向的速度
—时间图像和y方向的位移—时间图像分别如图乙、丙所示。求：
（1）t＝0时，物块的初速度大小；
答案： m/s　
解析：t＝0时，根据图乙、丙可知vx0＝0.1 m/s，vy＝ m/s＝0.1 m/s
则初速度大小为v1＝＝ m/s。
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（2）物块所受的合外力大小；
答案： 0.01 N　
解析：根据图乙、丙可知ax＝＝0.05 m/s2，ay＝0
根据牛顿第二定律有F＝ma＝max＝0.01 N。
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（3）0～2 s内物块的位移大小。
答案： m
解析：在0～2 s内，根据图乙、丙可知x＝ m＝0.3 m，y＝0.2
m（y方向位移大小）
故位移大小为s＝＝ m。
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11. （2026·四川眉山期末）图a为记载于《天工开物》的风扇车，它是用
来去除水稻等农作物籽实中杂质的木制传统农具。风扇车的工作原理可简
化为图b所示的模型：质量为m1的杂质与质量为m2的籽实仅在水平恒定风
力和重力的作用下，从同一位置P静止释放，若m1小于m2，杂质与籽实受
到的风力大小相等。下列说法正确的是（　　）
A. 杂质与籽实在空中做曲线运动
B. 杂质与籽实在空中运动的时间相等
C. 杂质与籽实落地时速度相同
D. 杂质落地点与P点的水平距离小于籽实落地点与P点的水平距离
√
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解析： 　杂质与籽实受竖直向下的重力和水平向左的恒定的风力作用，
则合力也为恒力，方向斜向左下方，因为均从静止开始运动，可知杂质和
籽实在空中均做直线运动，故A错误；因竖直方向加速度都相同，竖直高
度相同，可知落到地面的时间相同，即杂质与籽实在空中运动的时间相
等，故B正确；杂质质量较小，根据ax＝可知，杂质水平加速度较大，则
根据vx＝axt，可知，杂质落地时水平速度较大，因落地时竖直速度相等，
可知杂质落地时速度较大，故C错误；杂质水平加速度较大，根据x＝axt2
可知，杂质落地点与P点的水平距离大于籽实落地点与P点的水平距离，故
D错误。
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