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素养提升6　圆周运动的临界、极值问题
1.（2026·新疆巴音郭楞期末）
如图所示，一个质量为m的物体放在水平圆盘边缘随着水平圆盘一起转动，物体与圆盘之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，不计空气阻力，现将圆盘转速缓慢增大，则（　　）
A.物体与水平圆盘之间的摩擦力大小一定为μmg
B.物体受到水平圆盘的摩擦力方向沿着切线
C.当转速太大时，物体将会沿切线飞出做平抛运动
D.当转速太大时，物体将会沿切线飞出做匀速直线运动
2.〔多选〕（2026·安徽六安期末）
如图所示，光滑半圆形球面体固定在水平面上，顶部有一小物块，现给小物块一个水平初速度v0，不计空气阻力，下列关于小物块可能的运动说法正确的是（　　）
A.一直沿球面下滑至底端
B.立即离开球面做平抛运动
C.沿球面下滑一段弧长后离开球面
D.一直做匀变速曲线运动
3.★〔多选〕（2026·江苏省泰州月考）图甲为某滚筒式洗衣机，其滚筒截面可视为半径为R的圆，O为圆心。洗衣机脱水时，一衣物（可视为质点）紧贴筒壁随滚筒在竖直平面内做匀速圆周运动，A、B、C为衣物运动轨迹上的三点，如图乙。则衣物（　　）
A.运动过程处于平衡状态
B.从C转至B过程处于超重状态
C.在C处水更容易甩出
D.在A、B、C三处对筒壁的压力大小相等
4.（2026·江苏连云港模拟）
如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动。已知座舱的质量为m，运动半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，则座舱（　　）
A.运动的周期为
B.线速度大小为ω2R
C.运动至圆心等高处时，所受摩天轮的作用力大于mg
D.运动至最低点时，所受摩天轮的作用力大小与最高点的相等
5.（2026·广西壮族自治区期末）
如图，一物块（看作质点）放置在水平圆盘上，与圆盘间的动摩擦因数为0.3，细线两端分别系在物块、圆盘的中心竖直转轴上，细线伸直且无拉力，与转轴的夹角为37°。物块随圆盘一起绕转轴匀速转动，当角速度为ω1时，细线开始出现拉力；当角速度为ω2时，物块对圆盘的压力恰好为0。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin 37°＝0.6，则等于（　　）
A.2.5　　　B.3 C.3.5　　　D.4
6.
如图所示，一水平圆盘绕竖直中心轴以角速度ω做匀速圆周运动，紧贴在一起的M、N两物体（可视为质点）随圆盘做匀速圆周运动，N恰好不下滑，M恰好不滑动，两物体与转轴的距离为r，已知M与N间的动摩擦因数为μ1，M与圆盘面间的动摩擦因数为μ2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则μ1与μ2应满足的关系式为（　　）
A.μ1＋μ2＝1 B.＝1
C.μ1μ2＝1 D.＝1
7.（2026·陕西宝鸡模拟）
如图所示，质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质竖直细杆的A点和B点，绳a与竖直杆AB成θ角，绳b处于水平方向且长为L。当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（　　）
A.a绳的弹力有可能为0
B.b绳的弹力不可能为0
C.当角速度ω＞时，b绳一定有弹力
D.当角速度ω＞时，b绳一定有弹力
8.
如图所示，有一质量为m的小球在竖直固定的光滑圆形管道内运动，管径略大于小球的直径，小球的直径远小于内侧管壁半径R。A、C为管道的最高点和最低点，B为管道上与圆心等高的点，D为管道上的一点，且D与圆心连线和水平方向夹角为45°，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）
A.若小球在A点的速度大小为，则外侧管壁对小球有作用力
B.若小球在B点的速度大小为，则内侧管壁对小球有作用力
C.若小球在C点的速度大小为，则小球对管道的内、外壁均无作用力
D.若小球在D点的速度大小为，则外侧管壁对小球有作用力
9.（2026·陕西安康期末）
水平转盘上有质量分别为m、2m、4m的三个物块甲、乙、丙，物块甲、乙、丙与转盘中心轴分别相距r、r、2r，物块与转盘间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。当转盘的角速度为时，关于物块受到的摩擦力，下列说法正确的是（　　）
A.f甲＝f乙 B.f乙＝f丙
C.f甲＝f丙 D.f甲＝f乙
10.（2026·山东临沂模拟）
游乐场里有一个半径为5 m的倾斜匀质圆盘，盘面与水平面的夹角为30°，圆盘可绕过圆盘圆心O且垂直于盘面的固定对称轴以1 rad/s的角速度匀速转动，如图所示。一个小孩（可视为质点）坐在盘面上距O点r处，小孩与盘面间的动摩擦因数为，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2。要保证小孩与圆盘始终保持相对静止，则r的取值范围为（　　）
A.0＜r≤2.5 m B.1 m≤r≤3.5 m
C.2.5 m≤r≤4 m D.2.5 m≤r≤5 m
11.〔人教版必修第二册P41·T7改编〕如图所示，半径为R＝0.5 m的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO'重合。转台静止不转动时，将一质量为m＝2 kg、可视为质点的小物块放入陶罐内，小物块恰能静止于陶罐内壁的A点，且A点与陶罐球心O的连线与对称轴OO'成θ＝37°角。重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则：
（1）物块与陶罐内壁之间的动摩擦因数为多少？
（2）当转台绕转轴匀速转动时，若物块在陶罐中的A点与陶罐一起转动且所受的摩擦力恰好为0，则转台转动的角速度为多少？
（3）若已知物块与陶罐间的动摩擦因数μ＝0.5，物块仍在陶罐中的A点随陶罐一起匀速转动，求转台转动的角速度范围。（结果可带根号）
素养提升6　圆周运动的临界、极值问题
1.C　将圆盘转速缓慢增大，当物体与圆盘保持相对静止时，物体受到静摩擦力作用，大小不等于滑动摩擦力大小μmg，故A错误；物体受到的水平圆盘的摩擦力需要提供向心力，故摩擦力方向不沿着切线方向，故B错误；当转速太大时，物体所受摩擦力不足以提供所需向心力，物体将会沿切线飞出，在空中只受重力作用，所以物体将做平抛运动，故C正确，D错误。
2.BCD　小物块在最高点，由牛顿第二定律得mg－N＝m，当N＝0时，解得v0＝，当v0≥时，小物块会立即离开球面做平抛运动，平抛运动是匀变速曲线运动，B、D正确；当v0＜时，小物块沿球面下滑一段弧长至某点，便离开球面做斜下抛运动，C正确，A错误。
3.BC　衣物在竖直平面内做匀速圆周运动，所受合力提供向心力，不是处于平衡状态，故A错误；从C转至B过程，加速度的竖直分量向上，则衣物处于超重状态，故B正确；在A、B、C三处分别根据牛顿第二定律可得NA＋mg＝m，NB＝m，NC－mg＝m，可得NC＞NB＞NA，根据牛顿第三定律可知衣物在C处对筒壁的压力最大，同理可知在C处水与衣服间所需附着力最大，则在C处水更容易甩出，故C正确，D错误。
4.C　座舱运动的周期为T＝，故A错误；线速度大小为v＝ωR，故B错误；运动至圆心等高处时，由平行四边形定则得座舱所受摩天轮的作用力F＝＝，大于mg，故C正确；在最低点有N－mg＝mω2R，在最高点有mg－N'＝mω2R，显然N≠N'，即运动至最低点时，所受摩天轮的作用力大小与最高点的不相等，故D错误。
5.A　设细线长为L，当最大静摩擦力不能满足所需要向心力时，细线上开始有拉力，则μmg＝mLsin θ，当物块对圆盘的压力为0时，重力和细线拉力的合力提供向心力，有mgtan θ＝mLsin θ，联立解得＝2.5，故A正确。
6.C　以M、N整体为研究对象，由静摩擦力提供向心力，有μ2（mM＋mN）g＝（mM＋mN）ω2r，以N为研究对象，由M对N的弹力提供向心力，有FN＝mNω2r，由平衡条件有μ1FN＝mNg，联立解得μ1μ2＝1，故选C。
7.D　由于小球受到竖直向下的重力，要使小球能够在水平面内做匀速圆周运动，必须有其他外力平衡小球的重力，故a绳的弹力不可能为零；b绳在水平面内，a绳的弹力和小球重力的合力可以为小球在水平面内做匀速圆周运动提供向心力，故b绳的弹力可能为零，A、B错误；当b绳恰好水平拉直而没发生形变时，b绳的弹力为零，对小球受力分析可知mgtan θ＝mω2L，解得ω＝，当ω＞时，b绳一定有弹力，C错误，D正确。
8.D　若小球在A点的速度大小为，则小球在A点只受重力，管壁对小球无作用力，故A错误；在B点，外侧管壁对小球的作用力提供小球做圆周运动所需的向心力，且有FN＝m＝mg，故B错误；在C点，小球受向下的重力和竖直向上的弹力，该弹力为外侧壁对小球的作用力，且有FN－mg＝m，解得FN＝2mg，故C错误；在D点时，若只受重力，则mgsin 45°＝m，解得v＝，由于＜，故外侧管壁对小球有指向圆心的作用力，故D正确。
9.A　当丙恰好不滑动时，满足μ×4mg＝4m·2r，解得ω1＝，当甲、乙恰好不滑动时，则满足μmg＝mr，解得ω2＝，则当转盘的角速度为时，甲、乙两物块相对转盘均静止，则f甲＝mω2r＝μmg，f乙＝2mω2r＝μmg，丙在转盘上已经滑动，则f丙＝4μmg，则f甲＝f乙，f乙＝f丙，f甲＝f丙，故选A。
10.A　当小孩转到圆盘的最低点刚要滑动时，其所受的静摩擦力沿斜面向上达到最大静摩擦力，设半径为r1，根据牛顿第二定律有μmgcos 30°－mgsin 30°＝mω2r1，解得r1＝2.5 m，当小孩转到圆盘的最高点刚要滑动时，其所受的静摩擦力沿斜面向下达到最大静摩擦力，设半径为r2，根据牛顿第二定律有μmgcos 30°＋mgsin 30°＝mω2r2，解得r2＝12.5 m，可知r2＝12.5 m＞5 m，故r2不符合要求。故r的取值范围为0＜r≤2.5 m，故A正确。
11.（1）0.75　（2）5 rad/s　（3） rad/s≤ω≤ rad/s
解析：（1）由题意知转台静止不转动时，小物块与陶罐内壁间的摩擦力恰好达到最大静摩擦力，对小物块，由平衡条件得mgsin θ＝μ0mgcos θ
代入题中数据，解得μ0＝tan θ＝0.75。
（2）若物块在陶罐中的A点与陶罐一起转动且所受的摩擦力恰好为0，则物块受到的重力与陶罐内壁给的支持力的合力提供向心力，对物块，由牛顿第二定律有
mgtan θ＝mω2Rsin θ
代入题中数据，解得ω＝5 rad/s。
（3）角速度较小时，物块有下滑趋势，摩擦力沿罐壁向上，对物块，竖直方向上有FN1cos θ＋f1sin θ＝mg
水平方向上有FN1sin θ－f1cos θ＝mRsin θ
且f1＝μFN1
联立解得ω1＝ rad/s
角速度较大时，物块有上滑趋势，摩擦力沿罐壁向下。对物块，竖直方向上有FN2cos θ＝mg＋f2sin θ
水平方向上有FN2sin θ＋f2cos θ＝mRsin θ
且f2＝μFN2
联立解得ω2＝ rad/s
故转台转动的角速度范围
rad/s≤ω≤ rad/s。
1 / 1素养提升6　圆周运动的临界、极值问题
1.会分析水平面内、竖直面内及倾斜面内物体做圆周运动的向心力来源及动力学问题。 2.掌握分析判断临界问题的方法。
提升点一　水平面内圆周运动的临界问题
　〔教科版必修第二册P56·T6改编〕如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，放一质量为m的滑块，滑块离转轴的距离为R，滑块随着转盘一起做匀速圆周运动，转盘和滑块的动摩擦因数为μ。
（1）滑块随转盘一起做匀速圆周的向心力由谁来提供？
（2）若转盘的角速度ω从零开始增大，计算滑块将要与转台发生相对滑动时转台的角速度ωmax。
1.临界状态 物体做圆周运动时，若物体的速度、角速度发生变化，会引起某些力（如拉力、支持力、摩擦力）发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态。 2.常见的临界情况 （1）水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是物体与盘间的静摩擦力恰好达到最大静摩擦力。 （2）物体间恰好分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零。 （3）绳的拉力出现临界条件的情形有：绳恰好拉直（意味着绳上无弹力）；绳上拉力恰好为最大承受力等。
〔多选〕如图所示，两个质量均为m的小木块a和b（可视为质点）放在水平圆盘上，a与转轴OO'的距离为l，b与转轴的距离为2l。木块与圆盘间的最大静摩擦力均为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（　　）
A.b一定比a先开始滑动
B.a、b所受的摩擦力始终相等
C.ω＝是b开始滑动的临界角速度
D.当ω＝时，a所受摩擦力的大小为kmg
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
拓展：如图所示，在例1的条件下，若在a、b之间拴一根轻绳，当轻绳恰好出现弹力时，角速度多大？当a、b开始滑动时，角速度多大？此时剪断轻绳，分析a、b各做什么运动？
分析圆周运动临界问题的方法 1.让角速度或线速度从小逐渐增大，分析各量的变化，找出临界状态。 2.确定了物体运动的临界状态和临界条件后，选择研究对象进行受力分析，利用牛顿第二定律列方程求解。
（2026·山东烟台期末）如图甲所示，一根细线一端系一小球（可视为质点），另一端固定在一光滑圆锥顶端，当小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线拉力大小为T，T与ω2的变化关系图像如图乙所示。已知圆锥面母线与竖直方向夹角为θ，重力加速度为g，则当ω＝ω2时，细线拉力的大小为（　　）
A. B.
C. D.
审题指导
（1）图像的“拐点”是解决问题的关键。
（2）当角速度等于ω1时，小球处于与斜面分离的临界状态。
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　（2026·四川内江模拟）如图，在粗糙的水平圆盘上，甲、乙两个小物体（可视为质点）叠放在一起随圆盘一起做角速度为ω的匀速圆周运动，两小物体所在位置到转轴距离为r，乙的质量是甲的质量的2倍，甲、乙两物体间的动摩擦因数为μ1，盘与乙物体间的动摩擦因数为μ2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，μ1＞μ2，重力加速度为g。则下列说法正确的是（　　）
A.乙所需要的向心力是甲所需要的向心力的3倍
B.盘对乙的摩擦力是甲对乙的摩擦力的2倍
C.为了保证甲、乙均不发生滑动，角速度ω的最大值为
D.为了保证甲、乙均不发生滑动，角速度ω的最大值为
提升点二　竖直面内圆周运动的临界问题
　竖直面内圆周运动的两类模型
轻绳模型 轻杆模型
常见 类型
最高点 受力特征 除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零 除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上
最高点受 力示意图
动力 学方程 mg＋F弹＝m mg±F弹＝m
临界特征 F弹＝0 mg＝m 即vmin＝ ①恰好过最高点，v＝0，F弹＝mg ②恰好无弹力，F弹＝0，v＝
过最高点 的条件 在最高点的速度 v≥ v≥0
〔多选〕如图所示，一质量为m＝0.5 kg的小球，用长为0.4 m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动，取重力加速度g＝10 m/s2，下列说法正确的是（　　）
A.小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为2 m/s
B.当小球在最高点的速度为4 m/s，轻绳拉力为15 N
C.若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的最大速度不能超过4 m/s
D.若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的最大速度不能超过4 m/s
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
〔多选〕（2026·福建厦门模拟）如图甲所示，轻杆的一端固定一小球（可视为质点），另一端套在光滑的水平轴O上，水平轴的正上方有一速度传感器（图中未画出），可以测量小球通过最高点时的速度大小v，水平轴O处有一力传感器（图中未画出），可以测量小球通过最高点时水平轴受到的杆的作用力F，若取竖直向下为F的正方向，在最低点时给小球不同的初速度，得到的F-v2（v为小球在最高点时的速度）图像如图乙所示，取重力加速度大小g＝10 m/s2。下列说法正确的是（　　）
A.小球的质量为10 kg
B.轻杆的长度为1.8 m
C.若小球通过最高点时的速度大小为3.6 m/s，则轻杆对小球的作用力大小为6.4 N
D.若小球通过最高点时的速度大小为6 m/s，则小球受到的合力为10 N
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
分析竖直平面内圆周运动临界问题的思路
　（2026·江西赣州模拟）如图所示，当汽车行驶在这些路面上，在其他条件相同的情况下，则（　　）
A.在图乙所示的路面最高点，汽车对路面的压力大于汽车的重力
B.在图丙所示的路面最低点，汽车对路面的压力小于汽车的重力
C.关于路面对汽车轮胎的磨损，图丙路面最大，图乙路面最小
D.关于路面对汽车轮胎的磨损，三种路面一样大
提升点三　倾斜面内圆周运动的临界问题
　　物体在倾斜面上做匀速圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直于斜面的分力与物体受到的支持力大小相等，平行于斜面的分力与静摩擦力的合力提供向心力（如图所示）。
〔多选〕（2026·山东青岛期末）如图所示，倾斜圆盘绕过圆心O且与盘面垂直的转轴以角速度ω匀速转动，盘面有一可视为质点的物块随圆盘一起做匀速圆周运动。已知物块的质量为0.1 kg，物块到转轴的距离为0.5 m，物块与盘面的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，盘面与水平面夹角θ＝30°，重力加速度g＝10 m/s2。下列说法正确的是（　　）
A.角速度ω的最大值为 rad/s
B.运动过程中摩擦力方向始终通过圆盘中心
C.ω越大物块在最高点受到的摩擦力一定越大
D.物块在最高点受到的摩擦力最小值为0.25 N
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　（2026·山东昌乐期中）如图为斜式滚筒洗衣机的滚筒简化图，在脱水过程中滚筒绕固定轴OO'以恒定的角速度转动，滚筒的半径为r，筒壁内有一可视为质点的衣物，衣物与滚筒间的动摩擦因数为μ（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），转动轴与水平面间的夹角为θ，重力加速度为g。在脱水过程中，要保持衣物始终与圆筒相对静止，滚筒转动角速度的最小值为（　　）
A.
B.
C.
D.
素养提升6　圆周运动的临界、极值问题
提升点一
寻规探律
　提示：（1）滑块与转台间的静摩擦力提供滑块随圆盘做匀速圆周运动的向心力。
（2）对滑块：F静＝mω2R，ω增大，则静摩擦力增大，当静摩擦力达到最大静摩擦时，滑块与转台将发生相对滑动，即μmg＝mR，解得ωmax＝。
【例1】　AC　小木块a、b做圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即f＝mω2r，当角速度增大时，静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑动，设木块a的临界角速度为ωa，则有fm＝kmg＝ml，解得ωa＝，同理可求出木块b的临界角速度为ωb＝，因为ωb＜ωa，所以b一定比a先开始滑动，故A、C正确；两木块滑动前转动的角速度相同，由静摩擦力提供向心力可知，小木块a受到的摩擦力为fa＝mω2l，小木块b受到的摩擦力为fb＝mω2·2l＝2mω2l，综上可得fa＜fb，故B错误；当角速度ω＝时，小木块a的角速度小于临界角速度，所以a没有滑动，则a所受摩擦力的大小为f＝mω2l＝kmg，故D错误。
拓展　提示：若没有轻绳时，b先滑动，b开始滑动时，a、b距离增大，此时若有轻绳，绳发生形变，开始有弹力，即ω＝时，轻绳开始有弹力；当a、b 恰好开始滑动时，对b有kmg＋FT＝mω2·2l，对a有kmg－FT＝mω2·l，联立解得ω＝，此时剪断轻绳，b做离心运动，a仍和圆盘保持相对静止而做圆周运动。
【例2】　B　根据题意，当角速度为0时，小球受重力、支持力和绳的拉力，且有T0＝mgcos θ，当角速度等于ω1时，小球恰好只受重力和绳的拉力，则mgtan θ＝mlsin θ，当角速度等于ω2时，小球只受重力和绳的拉力，且绳与竖直方向的夹角变大，则Tsin α＝mlsin α，联立可得T＝，故B正确。
强化训练
　D　两物体随圆盘转动，角速度相同为ω，运动半径为r，则两物体转动所需的向心力为F1＝mrω2，F2＝2mrω2，即乙所需要的向心力是甲所需要的向心力的2倍，故A错误；设乙对甲的摩擦力为f1，盘对乙的摩擦力为f2，根据牛顿第二定律有f1＝F1，f2－f1＝F2，解得＝3，故B错误；当甲、乙整体刚好和转盘发生相对滑动时，有μ2×3mg＝3mrω2，解得ω＝，此时甲所受摩擦力为f＝mrω2＝μ2mg＜μ1mg，所以为了保证甲、乙均不发生滑动，角速度ω的最大值为ω＝，故C错误，D正确。
提升点二
【例3】　ABC　设小球通过最高点时的最小速度为v0，则根据牛顿第二定律有mg＝m，解得v0＝2 m/s，故A正确；当小球在最高点的速度为v1＝4 m/s时，设轻绳拉力大小为T，根据牛顿第二定律有T＋mg＝m，解得T＝15 N，故B正确；小球在轨迹最低点处速度最大，此时轻绳的拉力最大，根据牛顿第二定律有Tmax－mg＝m，解得vmax＝4 m/s，故C正确，D错误。
【例4】　CD　设杆的长度为L，水平轴受到的杆的作用力F与杆对小球的作用力大小相等、方向相反，因此对小球受力分析，则有－F＋mg＝，整理可得F＝－＋mg，对比题图乙可知m＝1 kg，L＝3.6 m，A、B错误；当v＝3.6 m/s时，代入上式得F＝6.4 N，即杆对小球的作用力大小为6.4 N，若小球通过最高点时的速度大小为6 m/s，则小球受到的合力F合＝＝ N＝10 N，C、D正确。
强化训练
　C　在图乙所示的路面最高点，汽车做圆周运动，合力提供向心力，向心力方向竖直向下，则地面的支持力小于重力，根据牛顿第三定律可知，汽车对路面的压力F乙压小于汽车的重力，故A错误；在图丙所示的路面最低点，汽车做圆周运动，地面给的支持力和重力的合力提供向心力，向心力方向竖直向上，则支持力大于重力，根据牛顿第三定律可知，汽车对路面的压力F丙压大于汽车的重力，故B错误；图甲所示的汽车做匀速直线运动，由平衡条件结合牛顿第三定律可知汽车对路面的压力F甲压等于汽车的重力，综合以上分析可知F丙压＞F甲压＞F乙压，可知图丙所示的汽车对路面压力最大，轮胎磨损最大，图乙所示的汽车路面压力最小，轮胎磨损最小，故C正确，D错误。
提升点三
【例5】　AD　小物块在最低点即将滑动时，由牛顿第二定律有μmgcos 30°－mgsin 30°＝mr，代入数据解得角速度的最大值ωmax＝ rad/s，选项A正确；由于物块做匀速圆周运动，合力方向指向圆盘中心，所以，除掉最高点和最低点外其他位置摩擦力方向均不通过圆盘中心，故B错误；若小物块在最高点不受摩擦力，根据牛顿第二定律有mgsin 30°＝mr，解得小物块在最高点不受摩擦力时的角速度ω0＝ rad/s，则在最高点当ω＜ω0时，ω越大物块在最高点受到的摩擦力一定越小；当ω＞ω0时，ω越大物块在最高点受到的摩擦力一定越大，选项C错误；由于物体与圆盘相对静止，角速度最大值 rad/s＜ rad/s，则在最高点时摩擦力最小值满足mgsin 30°－fmin＝ml，联立解得fmin＝0.25 N，故D正确。
强化训练
　B　重力沿垂直筒壁的分力和筒壁对衣物的支持力的合力充当向心力，在最低点有FN－mgcos θ＝mω2r，在最高点有FN'＋mgcos θ＝mω2r，可知衣物在最高点与圆筒间的弹力小于衣物在最低点与圆筒间的弹力，则衣物在最高点最容易发生相对滑动，在最高点有FN'＋mgcos θ＝mω2r，mgsin θ≤μFN'，联立解得ω≥，在脱水过程中，要保持衣物始终与圆筒相对静止，滚筒转动角速度的最小值为，故B正确。
1 / 1(共61张PPT)
素养提升6　圆周运动的临界、极值问题
目标要求
1. 会分析水平面内、竖直面内及倾斜面内物体做圆周运动的向心力来源及动力学问题。
2. 掌握分析判断临界问题的方法。
目 录
CONTENTS
提升点一　水平面内圆周运动的临界问题
提升点二　竖直面内圆周运动的临界问题
提升点三　倾斜面内圆周运动的临界问题
课时跟踪检测
提升点一　水平面内圆周运动的临
界问题
　〔教科版必修第二册P56·T6改编〕如图所示，在匀速转动的水平圆盘
上，放一质量为m的滑块，滑块离转轴的距离为R，滑块随着转盘一起做匀
速圆周运动，转盘和滑块的动摩擦因数为μ。
（1）滑块随转盘一起做匀速圆周的向心力由谁来提供？
提示： 滑块与转台间的静摩擦力提供滑块随圆盘做匀
速圆周运动的向心力。
（2）若转盘的角速度ω从零开始增大，计算滑块将要与转台发生相对滑动
时转台的角速度ωmax。
提示： 对滑块：F静＝mω2R，ω增大，则静摩擦力增
大，当静摩擦力达到最大静摩擦时，滑块与转台将发生相
对滑动，即μmg＝mR，解得ωmax＝。
1. 临界状态
物体做圆周运动变化，会引起某些力（如
拉力、支持力、摩擦力）发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突
变，即出现临界状态。
2. 常见的临界情况
（1）水平转盘上的物体恰好不发生相对滑动的临界条件是物体与盘间的
静摩擦力恰好达到最大静摩擦力。
（2）物体间恰好分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零。
（3）绳的拉力出现临界条件的情形有：绳恰好拉直（意味着绳上无弹
力）；绳上拉力恰好为最大承受力等。
〔多选〕如图所示，两个质量均为m的小木块a和b（可视为质点）放
在水平圆盘上，a与转轴OO'的距离为l，b与转轴的距离为2l。木块与圆盘
间的最大静摩擦力均为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g。若圆盘
从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，且最大
静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（　AC　）
AC
A. b一定比a先开始滑动0
B. a、b所受的摩擦力始终相等
C. ω＝是b开始滑动的临界角速度
D. 当ω＝时，a所受摩擦力的大小为kmg
解析：小木块a、b做圆周运动时，由静摩擦力提供向心力，即f＝mω2r，当
角速度增大时，静摩擦力增大，当增大到最大静摩擦力时，发生相对滑
动，设木块a的临界角速度为ωa，则有fm＝kmg＝ml，解得ωa＝，同
理可求出木块b的临界角速度为ωb＝，因为ωb＜ωa，所以b一定比a先开
始滑动，故A、C正确；两木块滑动前转动的角速度相同，由静摩擦力提供
向心力可知，小木块a受到的摩擦力为fa＝mω2l，小木块b受到的摩擦力为fb
＝mω2·2l＝2mω2l，综上可得fa＜fb，故B错误；当角速度ω＝时，小木块a的角速度小于临界角速度，所以a没有滑动，
则a所受摩擦力的大小为f＝mω2l＝kmg，故D错误。
拓展：如图所示，在例1的条件下，若在a、b之间拴一根轻绳，当轻绳恰
好出现弹力时，角速度多大？当a、b开始滑动时，角速度多大？此时剪断
轻绳，分析a、b各做什么运动？
提示：若没有轻绳时，b先滑动，b开始滑动时，a、b距离增大，此时若有
轻绳，绳发生形变，开始有弹力，即ω＝时，轻绳开始有弹力；当a、b
恰好开始滑动时，对b有kmg＋FT＝mω2·2l，对a有kmg－FT＝mω2·l，联立
解得ω＝，此时剪断轻绳，b做离心运动，a仍和圆盘保持相对静止而
做圆周运动。
分析圆周运动临界问题的方法
1. 让角速度或线速度从小逐渐增大，分析各量的变化，找出临界状态。
2. 确定了物体运动的临界状态和临界条件后，选择研究对象进行受力分
析，利用牛顿第二定律列方程求解。
（2026·山东烟台期末）如图甲所示，一根细线一端系一小球（可视为
质点），另一端固定在一光滑圆锥顶端，当小球在水平面内做匀速圆周运
动的角速度为ω时，细线拉力大小为T，T与ω2的变化关系图像如图乙所
示。已知圆锥面母线与竖直方向夹角为θ，重力加速度为g，则当ω＝ω2
时，细线拉力的大小为（　　）
A. B.
C. D.
审题指导
（1）图像的“拐点”是解决问题的关键。
（2）当角速度等于ω1时，小球处于与斜面分离的临界状态。
答案：B
解析：根据题意，当角速度为0时，小球受重力、支持力和绳的拉力，且
有T0＝mgcos θ，当角速度等于ω1时，小球恰好只受重力和绳的拉力，则
mgtan θ＝mlsin θ，当角速度等于ω2时，小球只受重力和绳的拉力，且
绳与竖直方向的夹角变大，则Tsin α＝mlsin α，联立可得T＝，
故B正确。
　（2026·四川内江模拟）如图，在粗糙的水平圆盘上，甲、乙两个小物体
（可视为质点）叠放在一起随圆盘一起做角速度为ω的匀速圆周运动，两
小物体所在位置到转轴距离为r，乙的质量是甲的质量的2倍，甲、乙两物
体间的动摩擦因数为μ1，盘与乙物体间的动摩擦因数为μ2，设最大静摩擦
力等于滑动摩擦力，μ1＞μ2，重力加速度为g。则下列说法正确的是（　　）
A. 乙所需要的向心力是甲所需要的向心力的3倍
B. 盘对乙的摩擦力是甲对乙的摩擦力的2倍
C. 为了保证甲、乙均不发生滑动，角速度ω的最大值为
D. 为了保证甲、乙均不发生滑动，角速度ω的最大值为
√
解析： 　两物体随圆盘转动，角速度相同为ω，运动半径为r，则两物体
转动所需的向心力为F1＝mrω2，F2＝2mrω2，即乙所需要的向心力是甲所
需要的向心力的2倍，故A错误；设乙对甲的摩擦力为f1，盘对乙的摩擦力
为f2，根据牛顿第二定律有f1＝F1，f2－f1＝F2，解得＝3，故B错误；当
甲、乙整体刚好和转盘发生相对滑动时，有μ2×3mg＝3mrω2，解得ω＝
，此时甲所受摩擦力为f＝mrω2＝μ2mg＜μ1mg，所以为了保证甲、乙
均不发生滑动，角速度ω的最大值为ω＝，故C错误，D正确。
提升点二　竖直面内圆周运动的临界问题
　竖直面内圆周运动的两类模型
轻绳模型 轻杆模型
常见 类型
最高点 受力特征 除重力外，物体受到的
弹力方向：向下或等于
零 除重力外，物体受到的弹力方
向：向下、等于零或向上
轻绳模型 轻杆模型
最高点受 力示意图
轻绳模型 轻杆模型
动力学方程 mg＋F弹＝m mg±F弹＝m
临界特征 F弹＝0 mg＝m 即vmin＝ ①恰好过最高点，v＝0，F弹＝
mg
②恰好无弹力，F弹＝0，v＝
过最高点 的条件 在最高点的速度v≥ v≥0
〔多选〕如图所示，一质量为m＝0.5 kg的小球，用长为0.4 m的轻绳
拴着在竖直平面内做圆周运动，取重力加速度g＝10 m/s2，下列说法正确
的是（　ABC　）
ABC
A. 小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少
为2 m/s
B. 当小球在最高点的速度为4 m/s，轻绳拉力为15 N
C. 若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的最大速度不能超过4 m/s
D. 若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的最大速度不能超过4 m/s
解析：设小球通过最高点时的最小速度为v0，则根据牛顿第二定律有mg＝
m，解得v0＝2 m/s，故A正确；当小球在最高点的速度为v1＝4 m/s时，
设轻绳拉力大小为T，根据牛顿第二定律有T＋mg＝m，解得T＝15 N，
故B正确；小球在轨迹最低点处速度最大，此时轻绳的拉力最大，根据牛
顿第二定律有Tmax－mg＝m，解得vmax＝4 m/s，故C正确，D错误。
〔多选〕（2026·福建厦门模拟）如图甲所示，轻杆的一端固定一小球
（可视为质点），另一端套在光滑的水平轴O上，水平轴的正上方有一速
度传感器（图中未画出），可以测量小球通过最高点时的速度大小v，水平
轴O处有一力传感器（图中未画出），可以测量小球通过最高点时水平轴
受到的杆的作用力F，若取竖直向下为F的正方向，在最低点时给小球不同
的初速度，得到的F-v2（v为小球在最高点时的速度）图像如图乙所示，取
重力加速度大小g＝10 m/s2。下列说法正确的是（　CD　）
CD
A. 小球的质量为10 kg
B. 轻杆的长度为1.8 m
C. 若小球通过最高点时的速度大小为3.6 m/s，则轻杆对小球的作用力大
小为6.4 N
D. 若小球通过最高点时的速度大小为6 m/s，则小球受到的合力为10 N
解析：设杆的长度为L，水平轴受到的杆的作用力F与杆对小球的作用力大
小相等、方向相反，因此对小球受力分析，则有－F＋mg＝，整理可得
F＝－＋mg，对比题图乙可知m＝1 kg，L＝3.6 m，A、B错误；当v＝
3.6 m/s时，代入上式得F＝6.4 N，即杆对小球的作用力大小为6.4 N，若
小球通过最高点时的速度大小为6 m/s，则小球受到的合力F合＝＝
N＝10 N，C、D正确。
分析竖直平面内圆周运动临界问题的思路
　（2026·江西赣州模拟）如图所示，当汽车行驶在这些路面上，在其他条
件相同的情况下，则（　　）
A. 在图乙所示的路面最高点，汽车
对路面的压力大于汽车的重力
B. 在图丙所示的路面最低点，汽车对
路面的压力小于汽车的重力
C. 关于路面对汽车轮胎的磨损，图丙路面最大，图乙路面最小
D. 关于路面对汽车轮胎的磨损，三种路面一样大
√
解析： 　在图乙所示的路面最高点，汽车做圆周运动，合力提供向心
力，向心力方向竖直向下，则地面的支持力小于重力，根据牛顿第三定律
可知，汽车对路面的压力F乙压小于汽车的重力，故A错误；在图丙所示的
路面最低点，汽车做圆周运动，地面给的支持力和重力的合力提供向心
力，向心力方向竖直向上，则支持力大于重力，根据牛顿第三定律可知，
汽车对路面的压力F丙压大于汽车的重力，故B错误；图甲所示的汽车做匀
速直线运动，由平衡条件结合牛顿第三定律可知汽车对路面的压力F甲压等
于汽车的重力，综合以上分析可知F丙压＞F甲压＞F乙压，可知图丙所示的汽
车对路面压力最大，轮胎磨损最大，图乙所示的汽车路面压力最小，轮胎
磨损最小，故C正确，D错误。
提升点三　倾斜面内圆周运动的临界问题
　　物体在倾斜面上做匀速圆周运动时，设斜面的倾角为θ，重力垂直于
斜面的分力与物体受到的支持力大小相等，平行于斜面的分力与静摩擦力
的合力提供向心力（如图所示）。
〔多选〕（2026·山东青岛期末）如图所示，倾斜圆盘绕过圆心O且与
盘面垂直的转轴以角速度ω匀速转动，盘面有一可视为质点的物块随圆盘
一起做匀速圆周运动。已知物块的质量为0.1 kg，物块到转轴的距离为0.5
m，物块与盘面的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，盘面
与水平面夹角θ＝30°，重力加速度g＝10 m/s2。下列说法正确的是
（　AD　）
AD
A. 角速度ω的最大值为 rad/s
B. 运动过程中摩擦力方向始终通过圆盘中心
C. ω越大物块在最高点受到的摩擦力一定越大
D. 物块在最高点受到的摩擦力最小值为0.25 N
解析：小物块在最低点即将滑动时，由牛顿第二定律有μmgcos 30°－
mgsin 30°＝mr，代入数据解得角速度的最大值ωmax＝ rad/s，选
项A正确；由于物块做匀速圆周运动，合力方向指向圆盘中心，所以，除
掉最高点和最低点外其他位置摩擦力方向均不通过圆盘中心，故B错误；
若小物块在最高点不受摩擦力，根据牛顿第二定律有mgsin 30°＝mr，
解得小物块在最高点不受摩擦力时的角速度ω0＝ rad/s，则在最高点当
ω＜ω0时，ω越大物块在最高点受到的摩擦力一定越小；当ω＞ω0时，ω越
大物块在最高点受到的摩擦力一定越大，选项C错误；由于物体与圆盘相
对静止，角速度最大值 rad/s＜ rad/s，则在最高点时摩擦力最小值满
足mgsin 30°－fmin＝ml，联立解得fmin＝0.25 N，故D正确。
　（2026·山东昌乐期中）如图为斜式滚筒洗衣机的滚筒简化图，在脱水过
程中滚筒绕固定轴OO'以恒定的角速度转动，滚筒的半径为r，筒壁内有一
可视为质点的衣物，衣物与滚筒间的动摩擦因数为μ（设最大静摩擦力等
于滑动摩擦力），转动轴与水平面间的夹角为θ，重力加速度为g。在脱水
过程中，要保持衣物始终与圆筒相对静止，滚筒转动角速度的最小值为
（　　）
A. B.
C. D.
√
解析： 　重力沿垂直筒壁的分力和筒壁对衣物的支持力的合力充当向
心力，在最低点有FN－mgcos θ＝mω2r，在最高点有FN'＋mgcos θ＝
mω2r，可知衣物在最高点与圆筒间的弹力小于衣物在最低点与圆筒间
的弹力，则衣物在最高点最容易发生相对滑动，在最高点有FN'＋
mgcos θ＝mω2r，mgsin θ≤μFN'，联立解得ω≥，在脱
水过程中，要保持衣物始终与圆筒相对静止，滚筒转动角速度的最小
值为，故B正确。
课时跟踪检测
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1. （2026·新疆巴音郭楞期末）如图所示，一个质量为m的物体放在水平圆
盘边缘随着水平圆盘一起转动，物体与圆盘之间的动摩擦因数为μ，重力
加速度为g，不计空气阻力，现将圆盘转速缓慢增大，则（　　）
A. 物体与水平圆盘之间的摩擦力大小一定为μmg
B. 物体受到水平圆盘的摩擦力方向沿着切线
C. 当转速太大时，物体将会沿切线飞出做平抛运动
D. 当转速太大时，物体将会沿切线飞出做匀速直线运动
√
解析： 　将圆盘转速缓慢增大，当物体与圆盘保持相对静止时，物体受
到静摩擦力作用，大小不等于滑动摩擦力大小μmg，故A错误；物体受到
的水平圆盘的摩擦力需要提供向心力，故摩擦力方向不沿着切线方向，故
B错误；当转速太大时，物体所受摩擦力不足以提供所需向心力，物体将
会沿切线飞出，在空中只受重力作用，所以物体将做平抛运动，故C正
确，D错误。
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2. 〔多选〕（2026·安徽六安期末）如图所示，光滑半圆形球面体固定在
水平面上，顶部有一小物块，现给小物块一个水平初速度v0，不计空气阻
力，下列关于小物块可能的运动说法正确的是（　　）
A. 一直沿球面下滑至底端
B. 立即离开球面做平抛运动
C. 沿球面下滑一段弧长后离开球面
D. 一直做匀变速曲线运动
√
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解析： 　小物块在最高点，由牛顿第二定律得mg－N＝m，当N＝0
时，解得v0＝，当v0≥时，小物块会立即离开球面做平抛运动，
平抛运动是匀变速曲线运动，B、D正确；当v0＜时，小物块沿球面下
滑一段弧长至某点，便离开球面做斜下抛运动，C正确，A错误。
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3. ★〔多选〕（2026·江苏省泰州月考）图甲为某滚筒式洗衣机，其滚筒截
面可视为半径为R的圆，O为圆心。洗衣机脱水时，一衣物（可视为质点）
紧贴筒壁随滚筒在竖直平面内做匀速圆周运动，A、B、C为衣物运动轨迹
上的三点，如图乙。则衣物（　　）
A. 运动过程处于平衡状态
B. 从C转至B过程处于超重状态
C. 在C处水更容易甩出
D. 在A、B、C三处对筒壁的压力大小相等
√
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解析： 　衣物在竖直平面内做匀速圆周运动，所受合力提供向心力，不
是处于平衡状态，故A错误；从C转至B过程，加速度的竖直分量向上，则
衣物处于超重状态，故B正确；在A、B、C三处分别根据牛顿第二定律可
得NA＋mg＝m，NB＝m，NC－mg＝m，可得NC＞NB＞NA，根据牛顿
第三定律可知衣物在C处对筒壁的压力最大，同理可知在C处水与衣服间所
需附着力最大，则在C处水更容易甩出，故C正确，D错误。
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4. （2026·江苏连云港模拟）如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内
做匀速圆周运动。已知座舱的质量为m，运动半径为R，角速度大小为ω，
重力加速度为g，则座舱（　　）
A. 运动的周期为
B. 线速度大小为ω2R
C. 运动至圆心等高处时，所受摩天轮的作用力大于mg
D. 运动至最低点时，所受摩天轮的作用力大小与最高点的
相等
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解析： 　座舱运动的周期为T＝，故A错误；线速度大小为v＝ωR，
故B错误；运动至圆心等高处时，由平行四边形定则得座舱所受摩天轮
的作用力F＝＝，大于
mg，故C正确；在最低点有N－mg＝mω2R，在最高点有mg－N'＝
mω2R，显然N≠N'，即运动至最低点时，所受摩天轮的作用力大小与
最高点的不相等，故D错误。
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5. （2026·广西壮族自治区期末）如图，一物块（看作质点）放置在水平
圆盘上，与圆盘间的动摩擦因数为0.3，细线两端分别系在物块、圆盘的
中心竖直转轴上，细线伸直且无拉力，与转轴的夹角为37°。物块随圆盘
一起绕转轴匀速转动，当角速度为ω1时，细线开始出现拉力；当角速度为
ω2时，物块对圆盘的压力恰好为0。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin
37°＝0.6，则等于（　　）
A. 2.5 B. 3
C. 3.5 D. 4
√
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解析： 　设细线长为L，当最大静摩擦力不能满足所需要向心力时，细线
上开始有拉力，则μmg＝mLsin θ，当物块对圆盘的压力为0时，重力和
细线拉力的合力提供向心力，有mgtan θ＝mLsin θ，联立解得＝
2.5，故A正确。
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6. 如图所示，一水平圆盘绕竖直中心轴以角速度ω做匀速圆周运动，紧贴
在一起的M、N两物体（可视为质点）随圆盘做匀速圆周运动，N恰好不下
滑，M恰好不滑动，两物体与转轴的距离为r，已知M与N间的动摩擦因数
为μ1，M与圆盘面间的动摩擦因数为μ2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
则μ1与μ2应满足的关系式为（　　）
A. μ1＋μ2＝1 B. ＝1
C. μ1μ2＝1 D. ＝1
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解析： 　以M、N整体为研究对象，由静摩擦力提供向心力，有μ2（mM＋
mN）g＝（mM＋mN）ω2r，以N为研究对象，由M对N的弹力提供向心力，
有FN＝mNω2r，由平衡条件有μ1FN＝mNg，联立解得μ1μ2＝1，故选C。
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7. （2026·陕西宝鸡模拟）如图所示，质量为m的小球由轻绳a和b分别系于
一轻质竖直细杆的A点和B点，绳a与竖直杆AB成θ角，绳b处于水平方向且
长为L。当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周
运动，则下列说法正确的是（　　）
A. a绳的弹力有可能为0
B. b绳的弹力不可能为0
C. 当角速度ω＞时，b绳一定有弹力
D. 当角速度ω＞时，b绳一定有弹力
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解析： 　由于小球受到竖直向下的重力，要使小球能够在水平面内做匀
速圆周运动，必须有其他外力平衡小球的重力，故a绳的弹力不可能为
零；b绳在水平面内，a绳的弹力和小球重力的合力可以为小球在水平面内
做匀速圆周运动提供向心力，故b绳的弹力可能为零，A、B错误；当b绳恰
好水平拉直而没发生形变时，b绳的弹力为零，对小球受力分析可知mgtan
θ＝mω2L，解得ω＝，当ω＞时，b绳一定有弹力，C错误，D
正确。
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8. 如图所示，有一质量为m的小球在竖直固定的光滑圆形管道内运动，管
径略大于小球的直径，小球的直径远小于内侧管壁半径R。A、C为管道的
最高点和最低点，B为管道上与圆心等高的点，D为管道上的一点，且D与
圆心连线和水平方向夹角为45°，重力加速度为g，下列说法正确的是
（　　）
A. 若小球在A点的速度大小为，则外侧管壁对小球有作
用力
B. 若小球在B点的速度大小为，则内侧管壁对小球有作
用力
C. 若小球在C点的速度大小为，则小球对管道的内、外壁均无作用力
D. 若小球在D点的速度大小为，则外侧管壁对小球有作用力
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解析： 　若小球在A点的速度大小为，则小球在A点只受重力，管壁
对小球无作用力，故A错误；在B点，外侧管壁对小球的作用力提供小球做
圆周运动所需的向心力，且有FN＝m＝mg，故B错误；在C点，小球受
向下的重力和竖直向上的弹力，该弹力为外侧壁对小球的作用力，且有FN
－mg＝m，解得FN＝2mg，故C错误；在D点时，若只受重力，则mgsin
45°＝m，解得v＝，由于＜，故外侧管壁
对小球有指向圆心的作用力，故D正确。
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9. （2026·陕西安康期末）水平转盘上有质量分别为m、2m、4m的三个物
块甲、乙、丙，物块甲、乙、丙与转盘中心轴分别相距r、r、2r，物块与
转盘间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度
为g。当转盘的角速度为时，关于物块受到的摩擦力，下列说法正确
的是（　　）
A. f甲＝f乙 B. f乙＝f丙
C. f甲＝f丙 D. f甲＝f乙
√
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解析： 　当丙恰好不滑动时，满足μ×4mg＝4m·2r，解得ω1＝，
当甲、乙恰好不滑动时，则满足μmg＝mr，解得ω2＝，则当转盘的
角速度为时，甲、乙两物块相对转盘均静止，则f甲＝mω2r＝μmg，f乙
＝2mω2r＝μmg，丙在转盘上已经滑动，则f丙＝4μmg，则f甲＝f乙，f乙＝f
丙，f甲＝f丙，故选A。
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10. （2026·山东临沂模拟）游乐场里有一个半径为5 m的倾斜匀质圆盘，
盘面与水平面的夹角为30°，圆盘可绕过圆盘圆心O且垂直于盘面的固定
对称轴以1 rad/s的角速度匀速转动，如图所示。一个小孩（可视为质点）
坐在盘面上距O点r处，小孩与盘面间的动摩擦因数为，已知最大静摩擦
力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2。要保证小孩与圆盘始终保持相对静止，
则r的取值范围为（　　）
A. 0＜r≤2.5 m B. 1 m≤r≤3.5 m
C. 2.5 m≤r≤4 m D. 2.5 m≤r≤5 m
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解析： 当小孩转到圆盘的最低点刚要滑动时，其所受的静摩擦力沿斜
面向上达到最大静摩擦力，设半径为r1，根据牛顿第二定律有μmgcos 30°
－mgsin 30°＝mω2r1，解得r1＝2.5 m，当小孩转到圆盘的最高点刚要滑动
时，其所受的静摩擦力沿斜面向下达到最大静摩擦力，设半径为r2，根据
牛顿第二定律有μmgcos 30°＋mgsin 30°＝mω2r2，解得r2＝12.5 m，可知
r2＝12.5 m＞5 m，故r2不符合要求。故r的取值范围为0＜r≤2.5 m，故A
正确。
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11. 〔人教版必修第二册P41·T7改编〕如图所示，半径为R＝0.5 m的半球
形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心
O的对称轴OO'重合。转台静止不转动时，将一质量为m＝2 kg、可视为质
点的小物块放入陶罐内，小物块恰能静止于陶罐内壁的A点，且A点与陶罐
球心O的连线与对称轴OO'成θ＝37°角。重力加速度g＝10 m/s2，sin 37°
＝0.6，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则：
（1）物块与陶罐内壁之间的动摩擦因数为多少？
答案： 0.75　
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解析： 由题意知转台静止不转动时，小物块与陶罐内壁间的摩擦力
恰好达到最大静摩擦力，对小物块，由平衡条件得mgsin θ＝μ0mgcos θ
代入题中数据，解得μ0＝tan θ＝0.75。
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（2）当转台绕转轴匀速转动时，若物块在陶罐中的A点与陶罐一起转动且
所受的摩擦力恰好为0，则转台转动的角速度为多少？
答案： 5 rad/s　
解析：若物块在陶罐中的A点与陶罐一起转动且所受的摩擦力恰好为0，则
物块受到的重力与陶罐内壁给的支持力的合力提供向心力，对物块，由牛
顿第二定律有mgtan θ＝mω2Rsin θ
代入题中数据，解得ω＝5 rad/s。
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（3）若已知物块与陶罐间的动摩擦因数μ＝0.5，物块仍在陶罐中的A点随
陶罐一起匀速转动，求转台转动的角速度范围。（结果可带根号）
答案： rad/s≤ω≤ rad/s
解析：角速度较小时，物块有下滑趋势，摩擦力沿罐
壁向上，对物块，竖直方向上有FN1cos θ＋f1sin θ＝mg
水平方向上有FN1sin θ－f1cos θ＝mRsin θ
且f1＝μFN1
联立解得ω1＝ rad/s
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角速度较大时，物块有上滑趋势，摩擦力沿罐壁向下。对物块，竖直方向
上有FN2cos θ＝mg＋f2sin θ
水平方向上有FN2sin θ＋f2cos θ＝mRsin θ
且f2＝μFN2
联立解得ω2＝ rad/s
故转台转动的角速度范围
rad/s≤ω≤ rad/s。
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