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第12讲　开普勒定律　万有引力定律
1.（2026·江苏徐州期末）如图所示，椭圆PMQN为天王星绕太阳的运动轨道，运行周期为T，O点为轨道中心，PO＝a。则天王星（　　）
A.从P到M和从M到Q的运动时间相等
B.运动到P点和Q点时的速度相等
C.和太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等
D.的值跟太阳的质量无关
2.（2026·海南海口期末）如图所示，科学家发现了两颗绕红矮星运行的类地行星b和c，其轨道均近似为圆。若行星b的周期为10天，行星c的轨道半径约为行星b轨道半径的倍，取＝1.29，则行星c的周期约为（　　）
A.12天 B.15天
C.18天 D.21天
3.（2026·广东深圳期末）2025年5月17日我国发射了“北邮二号”卫星，用于推动6G空天信息网络建设。已知北邮二号卫星绕地球做匀速圆周运动，周期为T，离地面高度为h，质量为m。地球质量为M，地球半径为R，引力常量为G。则北邮二号卫星受到地球的万有引力大小为（　　）
A.G B.G
C.M（R＋h） D.Mh
4.★（2026·广东江门月考）《流浪地球2》影片中，太空电梯高耸入云，在地表与太空间高速穿梭。太空电梯上升到某高度时的重力加速度为g，g为地球表面重力加速度。已知地球半径为R，不考虑地球自转，则此时电梯距离地面的高度为（　　）
A.2R B.R
C.R D.（－1）R
5.（2025·陕晋青宁高考2题）我国计划于2028年前后发射“天问三号”火星探测系统，实现火星取样返回。其轨道器将环绕火星做匀速圆周运动，轨道半径约3 750 km，轨道周期约2 h，引力常量G取6.67×10－11 N·m2/kg2。根据以上数据可推算出火星的（　　）
A.质量 B.体积 C.逃逸速度 D.自转周期
6.（2026·江西重点中学盟校联考）太阳系外有一颗行星，它的体积是地球的5倍，质量是地球的18倍。已知近地卫星的周期是84分钟，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由此可估算该行星的平均密度为（　　）
A.2.0×104 kg/m3 B.1.0×104 kg/m3
C.6.0×103 kg/m3 D.3.0×103 kg/m3
7.〔多选〕（2026·辽宁沈阳模拟）将一质量为m的物体放在月球“赤道上”，受到的“重力”为mg0；而将该物体放在月球的“北极点”，物体受到的“重力”为mg。月球可视为质量分布均匀的球体，其半径为R，引力常量为G。则月球的（　　）
A.质量为 B.质量为
C.自转周期为2π D.自转周期为2π
8.（2026·山东淄博模拟）2025年4月24日，神舟二十号飞船发射成功。从地面发射后，经转移椭圆轨道1再进入天宫空间站圆轨道2。飞船在椭圆轨道的近地点A和远地点B的速度大小分别为v1、v2，天宫空间站运行周期为T。仅考虑地球对飞船的引力，则飞船从A运动到B的时间为（　　）
A. B.
C. D.
9.〔多选〕（2026·浙江温州联考）我国天问三号任务计划在2028年前后实施两次发射任务，实现火星样品返回地球。如图所示，若质量为m的探测器绕火星做匀速圆周运动，距离火星表面的高度为H，此探测器对火星的张角为60°，已知探测器在轨道上所受的引力大小为F0，引力常量为G，忽略火星的自转，下列说法正确的是（　　）
A.火星的质量为 B.探测器的向心加速度等于
C.探测器的轨道半径为H D.火星表面的重力加速度为
10.〔多选〕（2025·安徽高考9题）2025年4月，我国已成功构建国际首个基于DRO（远距离逆行轨道）的地月空间三星星座，DRO具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道，该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b，卫星的运行周期为T；卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道，周期也为T。月球的质量为M，半径为R，引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引力，则（　　）
A.r＝ B.r＝＋R
C.M＝ D.M＝
11.（2025·浙江1月选考6题）地球和哈雷彗星绕太阳运行的轨迹如图所示，彗星从a运行到b、从c运行到d的过程，与太阳连线扫过的面积分别为S1和S2，且S1＞S2。彗星在近日点与太阳中心的距离约为地球公转轨道半径的0.6倍，则彗星（　　）
A.在近日点的速度小于地球的速度
B.从b运行到c的过程中动能先增大后减小
C.从a运行到b的时间大于从c运行到d的时间
D.在近日点加速度约为地球的加速度的0.36倍
12.〔多选〕（2026·江西南昌模拟）我国首个火星探测器“天问一号”在海南文昌航天发射场由“长征5号”运载火箭发射升空，开启了我国首次火星探测之旅。“天问一号”离开地球时，所受地球的万有引力F1与其距离地表高度h1的关系图像如图甲所示，“天问一号”抵达火星附近时，所受火星的万有引力F2与其距离火星表面的高度h2的关系图像如图乙所示，已知地球质量约为火星质量的9倍，则下列说法正确的是（　　）
A.物体在地球表面做自由落体运动时下落更快
B.物体在火星表面做自由落体运动时下落更快
C.地球与火星的半径之比约为2∶1
D.地球与火星的半径之比约为3∶2
第12讲　开普勒定律　万有引力定律
1.C　在天王星绕太阳运动的椭圆轨道上，近日点速度大，远日点速度小，则＞，从P到M和从M到Q的路程相同，所以时间tPM＜tMQ，A、B错误；根据开普勒第二定律可知，天王星与太阳的连线在相同的时间内扫过的面积相同，C正确；根据开普勒第三定律可知，绕同一个中心天体转动的行星的轨道半长轴的三次方与周期平方之比为定值，即＝k，k为常数，其与中心天体的质量有关，D错误。
2.D　根据开普勒第三定律，有＝，所以＝，求得Tc＝Tb×（1.29）3≈21天，故选D。
3.B　根据万有引力定律以及地球对卫星的万有引力充当卫星的向心力可知，卫星所受地球的万有引力大小为F＝G＝mr，其中r为卫星到地心的距离，即r＝R＋h，代入得F＝G＝m·（R＋h），故选B。
4.B　在地面时G＝mg，在某高度时G＝m·g，联立解得h＝R，故选B。
5.A　轨道器环绕火星做匀速圆周运动时，由万有引力提供向心力有＝mr，解得M＝，由题中条件可知火星的质量M可推算出，A正确；火星的半径未知，由球的体积公式V＝πR3可知火星的体积无法推算出，B错误；对于在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的行星，由万有引力提供向心力有＝m'，解得火星的第一宇宙速度为v＝，则火星的逃逸速度（第二宇宙速度）v逃＝v＝，由于火星的半径未知，所以火星的逃逸速度无法推算出，C错误；自转周期与已知量无关，所以无法推算出自转周期，D错误。
6.A　根据近地卫星绕地球运动的向心力由万有引力提供，可得G＝mR，可得地球的质量为M＝，地球体积为V＝πR3，联立可得＝，则该行星的平均密度约为ρ＝＝×＝kg/m3≈2.0×104 kg/m3，故选A。
7.AD　在月球“北极点”时，物体受到的“重力”与万有引力大小相等，即G＝mg，解得M＝，故A正确，B错误；由于在月球“赤道上”该物体的“重力”为mg0，则有mg－mg0＝mR，解得月球自转的周期T＝2π，故C错误，D正确。
8.A　根据开普勒第二定律可知r1v1Δt＝r2v2Δt，根据开普勒第三定律有＝，飞船从A运动到B的时间为t＝T'，联立解得t＝，故A正确。
9.AB　探测器做匀速圆周运动，向心加速度由其所受引力产生，大小为g1＝，故B正确；设火星的半径为R，探测器的轨道半径r＝R＋H，由几何关系可得rsin 30°＝R，联立解得R＝H，r＝2H，故C错误；设火星的质量为M，表面的重力加速度为g2，由万有引力提供向心力可得＝mg1，＝mg2，联立解得M＝、g2＝，故A正确，D错误。
10.BC　根据开普勒第三定律可知，卫星甲在环月椭圆轨道上运行的半长轴等于卫星乙在环月圆轨道上运行的半径，则有2r＝a＋b＋2R，解得r＝，A错误，B正确；对卫星乙，根据万有引力提供向心力有G＝mr，解得M＝，C正确，D错误。
11.C　由万有引力提供向心力有G＝m，得v＝，由题意知，哈雷彗星在近日点距太阳中心的距离小于地球绕太阳的公转半径，若哈雷彗星在近日点做匀速圆周运动，则哈雷彗星在近日点做匀速圆周运动的速度大于地球的公转速度，又哈雷彗星在近日点做离心运动，因此哈雷彗星在近日点的速度大于地球绕太阳的公转速度，A错误；哈雷彗星从b运行到c的过程中万有引力与速度方向的夹角一直为钝角，万有引力做负功，哈雷彗星的速度一直减小，因此动能一直减小，B错误；根据开普勒第二定律可知，哈雷彗星与太阳的连线在任意相同的时间内扫过的面积相同，由题意S1＞S2可知，哈雷彗星从a运行到b的时间大于从c运行到d的时间，C正确；由牛顿第二定律得G＝ma，得a＝G，由哈雷彗星在近日点与太阳中心的距离和地球的公转轨道半径关系知，哈雷彗星的加速度a1与地球的加速度a2比值为＝，代入数据解得＝＝，D错误。
12.AC　物体在地球表面时有G＝mg地＝9F0，在火星表面时有G＝mg火＝4F0，所以＝，故物体在地球表面做自由落体运动时下落更快，故A正确，B错误；又由地球质量约为火星质量的9倍，由G＝mg地，G＝mg火，联立解得R地∶R火＝2∶1，故C正确，D错误。
1 / 1第12讲　开普勒定律　万有引力定律
1.了解开普勒行星三定律，会用开普勒第三定律进行相关计算。 2.理解万有引力定律，知道其内容、公式及公式的适用范围。 3.掌握计算天体质量和密度的方法。
考点一　开普勒行星运动定律
知识速记
定律 内容 图示或公式
开普勒第一定律（轨道定律） 所有行星绕太阳运动的轨道都是　　　　，太阳处在　　　　的一个焦点上
开普勒第二定律（面积定律） 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的　　　　相等
开普勒第三定律（周期定律） 所有行星轨道的半长轴的　　　　跟它的公转周期的　　　的比都相等 ＝k，k是一个与行星无关的常量
　〔人教版必修第二册P44“问题”情境〕不同行星都在各自的轨道上绕太阳运行，如图所示，判断下列说法的正误。
（1）八大行星的公转轨道都是圆，太阳位于圆的中心。（　　）
（2）行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越近，运行速率越大。（　　）
（3）对于地球绕太阳的公转和月球绕地球的公转，它们的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比是相等的。（　　）
训练落实
1.（2026·湖南张家界联考）欧洲航天局在2025年2月4日宣布，欧洲航天局利用空间探测器探测到一颗巨大的系外行星盖亚-4b，环绕着一恒星公转，其椭圆轨道如图所示，环绕周期大约570天。连线ac为长轴、连线bd为短轴，其环绕方向为顺时针。下列说法正确的是（　　）
A.恒星不一定处在椭圆的焦点上
B.盖亚-4b在b、d两点的加速度相同
C.盖亚-4b在a点的速度大于在c点的速度
D.盖亚-4b从b经c到d的时间约为285天
2.（2025·云南高考5题）国际编号为192391的小行星绕太阳公转的周期约为5.8年，该小行星与太阳系内八大行星几乎在同一平面内做圆周运动。规定地球绕太阳公转的轨道半径为1 AU，八大行星绕太阳的公转轨道半径如表所示。忽略其他行星对该小行星的引力作用，则该小行星的公转轨道应介于（　　）
行星 轨道半径R/AU
水星 0.39
金星 0.72
地球 1.0
火星 1.5
木星 5.2
土星 9.5
天王星 19
海王星 30
A.金星与地球的公转轨道之间
B.地球与火星的公转轨道之间
C.火星与木星的公转轨道之间
D.天王星与海王星的公转轨道之间
开普勒定律的适用范围 1.开普勒第二定律及其引出的推论，不仅适用于绕太阳运转的所有行星，也适用于以行星为中心的卫星。但需要注意的是，不同行星的运行不能套用开普勒第二定律。 2.开普勒第三定律不仅适用于太阳系，它对具有中心天体的引力系统（如行星—卫星系统）也成立。
考点二　万有引力定律
知识速记
1.内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的　　　　成反比。
2.表达式
F＝　　　　，G为引力常量，通常取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由英国物理学家　　　　测定。
3.适用条件
（1）公式适用于　　　　间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
（2）质量分布均匀的球体可视为质点，r是　　　　间的距离。
　如图所示，图甲为两个靠近的人，图乙为行星围着太阳运行，请思考。
（1）为什么通常两个人之间感受不到引力？而太阳对行星（或地球对月球、人造卫星）的引力可以使行星（或月球、人造卫星）围绕太阳（地球）运转？
（2）当两个人之间的距离很近即r→0时，由公式F＝G可知两个人之间的万有引力变得无穷大，对吗？
要点深化
　万有引力与重力的关系
（1）忽略地球自转时
设地球表面附近的重力加速度为g，由G＝mg得g＝
设距离地球中心r＝R＋h处的重力加速度为g'，由＝mg'，得g'＝，
所以＝。
（2）考虑地球自转时
在赤道上：G＝mg1＋mω2R。
在两极上：G＝mg0。
（2026·陕西渭南模拟）海边会发生潮汐现象，潮来时，水面升高；潮退时，水面降低。太阳、月球对某一区域海水引力的周期性变化，就引起了潮汐现象。已知太阳质量约为月球质量的3×107倍，太阳到地球与地球到月球距离的比值约为400。对同一片海水来说，太阳对海水的引力与月球对海水的引力的比大约为（　　）
A.1∶180 B.180∶1
C.75 000∶1 D.1∶75 000
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（2026·江苏扬州期中）如图所示，某星球可以视为均匀圆球，绕AB轴自转，O点为其球心，半径OE与赤道平面的夹角为θ。已知该星球的半径为R，赤道上D处的重力加速度大小为g，北极点A处的重力加速度大小为2g，则E处的自转线速度大小为（　　）
A.v＝sin θ B.v＝cos θ C.v＝sin θ D.v＝cos θ
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　（2026·青海西宁月考）如图所示，地球从外到内分为地壳、地幔、地核三部分，其中地核质量约为地球总质量的0.32倍，半径约为地球半径的0.55倍。地壳、地幔、地核视其质量均匀分布，已知质量均匀分布的球壳对壳内物体的万有引力为零，则地幔和地核交界处的重力加速度大小与地球表面的重力加速度大小的比值约为（　　）
A.1.06 B.0.95
C.0.58 D.0.55
“填补法”计算万有引力
　对于质量分布均匀的不完整的球形物体间的万有引力，无法直接应用万有引力公式求得，解决该类问题常用“填补法”，即对本来是非对称的物体，通过“填补”后构成对称物体，然后再利用对称物体所满足的物理规律进行求解的方法。
（2026·重庆开州模拟）如图所示，在一半径为R、质量分布均匀的大球内部挖去一半径为的小球，两球相切于P点，O1、O2分别是大球和小球的球心。已知质量分布均匀的球壳对球壳内部物体的万有引力为零，大球密度为ρ，引力常量为G。现将一质量为m的物体N（可视为质点）置于O1处，则大球剩余部分对N的万有引力大小为（　　）
A.πρGmR B.πρGmR C.πρGmR D.πρGmR
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考点三　天体质量和密度的计算
要点深化
天体质量和密度的计算
“黄金代换”法 （黄金代换公式 GM＝gR2） 利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。 （1）由G＝mg，得天体质量M＝。 （2）天体密度ρ＝＝＝
“环绕”法 测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r。 （1）由G＝mr，得天体的质量M＝。 （2）若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝
注意：若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。
（2026·河北省保定模拟）某星球的半径约为地球半径的10倍，同一物体在该星球表面的重力约为在地球表面重力的3倍，不考虑自转的影响，则该星球质量约为地球质量的（　　）
A.10倍 B.30倍
C.100倍 D.300倍
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（2026·山东济宁模拟）在地球上，可通过天文观测估算太阳的密度。如图，地球上观测太阳的视角θ极小，与观测者眼睛相距为D、视角为θ的物体宽度为d。已知地球公转周期为T，万有引力常量为G，θ极小时sin θ≈tan θ。求太阳密度ρ。（用G、T、D、d表示）
尝试解答
　〔多选〕（2026·云南楚雄期末）人类发射的火星探测器进入火星的引力范围后，绕火星做匀速圆周运动。已知引力常量为G，火星的半径为R，探测器运行轨道在其表面上空高h处，运行周期为T，则下列关于火星的质量和平均密度的表达式正确的是（　　）
A.M＝ B.ρ＝
C.ρ＝ D.M＝
第12讲　开普勒定律　万有引力定律
考点一
知识速记
椭圆　椭圆　面积　三次方　二次方
教材情境辨析
　（1）×　（2）√　（3）×
训练落实
1.C　根据开普勒第一定律可知恒星一定处在椭圆的一个焦点上，故A错误；盖亚-4b在b、d两点时与恒星的距离相等，故受到的万有引力大小相等，但是方向不同，故加速度不同，故B错误；a点离恒星近，根据开普勒第二定律可知盖亚-4b在a点的速度大于它在c点的速度，故C正确；根据开普勒第二定律可知d→a→b的平均速度大于从b经c到d的平均速度，故从b经c到d的时间比周期的一半285天大，故D错误。
2.C　由开普勒第三定律＝得R行＝R地，代入数据解得R行≈3.2 AU，结合图表可知该小行星的公转轨道应介于火星与木星的公转轨道之间，C正确。
考点二
知识速记
1.二次方　2.G　卡文迪什　3.（1）质点　（2）两球心
思考与讨论
　提示：（1）由于引力常量G的数值很小，人的质量很小，故两个人之间的引力很小，一般感受不到；但天体质量很大，天体间的引力很大，该引力对天体的运动起决定作用。
（2）不对，r→0时，公式F＝G不再适用了。
要点深化
【例1】　B　设月球质量为M，地球到月球的距离为r，则太阳质量为3×107M，太阳到地球的距离为400r，设海水的质量为m，则月球对海水的引力F1＝G，太阳对海水的引力F2＝G，则≈187.5，故B正确。
【例2】　B　由题意可知，在北极点A处有＝2mg，在赤道上D处有＝mg＋mω2R，联立解得该星球自转的角速度ω＝，因此E处的自转线速度大小v＝ωRcos θ＝cos θ，A、C、D错误，B正确。
强化训练
　A　设地球质量为M，半径为R，则在地球表面有G＝mg1，可得地球表面的重力加速度大小g1＝，同理，地幔和地核交界处的重力加速度大小g2＝，则有≈1.06，故A正确。
拓展空间
【典例】　B　物体N受到的大球剩余部分的引力为大球对物体N的引力减去小球对物体N的引力，未挖去前，大球对物体N引力为零，所以大球剩余部分对N的引力大小等于小球对物体N的引力大小，根据万有引力定律可得F＝G，m'＝ρ·π，联立可得F＝πρGmR，故B正确。
考点三
要点深化
【例3】　D　设中心天体质量M，不考虑自转影响，则在其表面，万有引力等于重力，则有G＝mg，解得M＝，又由于题干中星球表面重力加速度是地球表面重力加速度的3倍，星球的半径约为地球半径的10倍，则有＝＝300，即该星球质量约为地球质量的300倍，故D正确。
【例4】　
解析：设太阳质量为M，地球质量为m，地球绕太阳公转
有＝mr
θ极小时sin θ≈tan θ
由几何关系得＝
又因为太阳密度ρ＝
联立可得ρ＝。
强化训练
　AB　探测器绕火星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力得＝m·（R＋h），解得火星的质量为M＝，又M＝ρ·πR3，解得火星的平均密度为ρ＝，故选A、B。
1 / 1(共62张PPT)
第12讲　开普勒定律　万有引力定律
目标要求
1. 了解开普勒行星三定律，会用开普勒第三定律进行相关计算。
2. 理解万有引力定律，知道其内容、公式及公式的适用范围。
3. 掌握计算天体质量和密度的方法。
目 录
CONTENTS
考点一　开普勒行星运动定律
考点二　万有引力定律
考点三　天体质量和密度的计算
课时跟踪检测
考点一　开普勒行星运动定律
知识速记
定律 内容 图示或公式
开普勒第一定
律（轨道定律） 所有行星绕太阳运动的轨道
都是 ，太阳处
在 的一个焦点上
开普勒第二定
律（面积定律） 对任意一个行星来说，它与
太阳的连线在相等的时间内
扫过的 相等
椭圆
椭圆
面积
定律 内容 图示或公式
开普勒第三定
律（周期定
律） 所有行星轨道的半长轴
的 跟它的公转周
期的 的比都相等 ＝k，k是一个与行星无关
的常量
三次方　
二次方　
　〔人教版必修第二册P44“问题”情境〕不同行星都在各自的轨道上绕太阳运行，如图所示，判断下列说法的正误。
（1）八大行星的公转轨道都是圆，太阳位于圆的中心。 （　×　）
×
（2）行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越近，运行速率越
大。 （　√　）
（3）对于地球绕太阳的公转和月球绕地球的公转，它们的轨道的半长轴
的三次方跟公转周期的二次方的比是相等的。 （　×　）
√
×
训练落实
1. （2026·湖南张家界联考）欧洲航天局在2025年2月4日宣布，欧洲航天
局利用空间探测器探测到一颗巨大的系外行星盖亚-4b，环绕着一恒星公
转，其椭圆轨道如图所示，环绕周期大约570天。连线ac为长轴、连线bd为
短轴，其环绕方向为顺时针。下列说法正确的是（　　）
A. 恒星不一定处在椭圆的焦点上
B. 盖亚-4b在b、d两点的加速度相同
C. 盖亚-4b在a点的速度大于在c点的速度
D. 盖亚-4b从b经c到d的时间约为285天
√
解析： 　根据开普勒第一定律可知恒星一定处在椭圆的一个焦点上，故A
错误；盖亚-4b在b、d两点时与恒星的距离相等，故受到的万有引力大小相
等，但是方向不同，故加速度不同，故B错误；a点离恒星近，根据开普勒
第二定律可知盖亚-4b在a点的速度大于它在c点的速度，故C正确；根据开
普勒第二定律可知d→a→b的平均速度大于从b经c到d的平均速度，故从b经
c到d的时间比周期的一半285天大，故D错误。
2. （2025·云南高考5题）国际编号为192391的小行星绕太阳公转的周期约
为5.8年，该小行星与太阳系内八大行星几乎在同一平面内做圆周运动。
规定地球绕太阳公转的轨道半径为1 AU，八大行星绕太阳的公转轨道半径
如表所示。忽略其他行星对该小行星的引力作用，则该小行星的公转轨道
应介于（　　）
行星 轨道半径R/AU
水星 0.39
金星 0.72
地球 1.0
火星 1.5
行星 轨道半径R/AU
木星 5.2
土星 9.5
天王星 19
海王星 30
A. 金星与地球的公转轨道之间 B. 地球与火星的公转轨道之间
C. 火星与木星的公转轨道之间 D. 天王星与海王星的公转轨道之间
√
解析： 　由开普勒第三定律＝得R行＝R地，代入数据解得R行
≈3.2 AU，结合图表可知该小行星的公转轨道应介于火星与木星的公转轨
道之间，C正确。
开普勒定律的适用范围
1. 开普勒第二定律及其引出的推论，不仅适用于绕太阳运转的所有行星，
也适用于以行星为中心的卫星。但需要注意的是，不同行星的运行不能套
用开普勒第二定律。
2. 开普勒第三定律不仅适用于太阳系，它对具有中心天体的引力系统（如
行星—卫星系统）也成立。
考点二　万有引力定律
知识速记
1. 内容
自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的
大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的
成反比。
2. 表达式
F＝ ，G为引力常量，通常取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由英国
物理学家 测定。
二次方　
G　
卡文迪什　
3. 适用条件
（1）公式适用于 间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物
体本身的大小时，物体可视为质点。
（2）质量分布均匀的球体可视为质点，r是 间的距离。
质点　
两球心　
　如图所示，图甲为两个靠近的人，图乙为行星围着太阳运行，请思考。
（1）为什么通常两个人之间感受不到引力？而太阳对行星（或地球对月
球、人造卫星）的引力可以使行星（或月球、人造卫星）围绕太阳（地
球）运转？
提示： 由于引力常量G的数值很
小，人的质量很小，故两个人之间的引
力很小，一般感受不到；但天体质量很
大，天体间的引力很大，该引力对天体
的运动起决定作用。
（2）当两个人之间的距离很近即r→0时，由公式F＝G可知两个人之间
的万有引力变得无穷大，对吗？
提示： 不对，r→0时，公式F＝G不再适用了。
要点深化
万有引力与重力的关系
（1）忽略地球自转时
设地球表面附近的重力加速度为g，由G＝mg得g＝
设距离地球中心r＝R＋h处的重力加速度为g'，由＝mg'，得g'＝
，
所以＝。
（2）考虑地球自转时
在赤道上：G＝mg1＋mω2R。
在两极上：G＝mg0。
（2026·陕西渭南模拟）海边会发生潮汐现象，潮来时，水面升高；潮
退时，水面降低。太阳、月球对某一区域海水引力的周期性变化，就引起
了潮汐现象。已知太阳质量约为月球质量的3×107倍，太阳到地球与地球
到月球距离的比值约为400。对同一片海水来说，太阳对海水的引力与月
球对海水的引力的比大约为（　B　）
A. 1∶180 B. 180∶1
C. 75 000∶1 D. 1∶75 000
B
解析：设月球质量为M，地球到月球的距离为r，则太阳质量为3×107M，
太阳到地球的距离为400r，设海水的质量为m，则月球对海水的引力F1＝
G，太阳对海水的引力F2＝G，则≈187.5，故B正确。
（2026·江苏扬州期中）如图所示，某星球可以视为均匀圆球，绕AB
轴自转，O点为其球心，半径OE与赤道平面的夹角为θ。已知该星球的半
径为R，赤道上D处的重力加速度大小为g，北极点A处的重力加速度大小为
2g，则E处的自转线速度大小为（　B　）
B
A. v＝sin θ B. v＝cos θ
C. v＝sin θ D. v＝cos θ
解析：由题意可知，在北极点A处有＝2mg，在赤道上D处有＝mg
＋mω2R，联立解得该星球自转的角速度ω＝，因此E处的自转线速度大
小v＝ωRcos θ＝cos θ，A、C、D错误，B正确。
　（2026·青海西宁月考）如图所示，地球从外到内分为地壳、地幔、地核
三部分，其中地核质量约为地球总质量的0.32倍，半径约为地球半径的
0.55倍。地壳、地幔、地核视其质量均匀分布，已知质量均匀分布的球壳
对壳内物体的万有引力为零，则地幔和地核交界处的重力加速度大小与地
球表面的重力加速度大小的比值约为（　　）
A. 1.06 B. 0.95
C. 0.58 D. 0.55
√
解析： 　设地球质量为M，半径为R，则在地球表面有G＝mg1，可得
地球表面的重力加速度大小g1＝，同理，地幔和地核交界处的重力加速
度大小g2＝，则有≈1.06，故A正确。
“填补法”计算万有引力
　对于质量分布均匀的不完整的球形物体间的万有引力，无法直接应用万
有引力公式求得，解决该类问题常用“填补法”，即对本来是非对称的物
体，通过“填补”后构成对称物体，然后再利用对称物体所满足的物理规
律进行求解的方法。
（2026·重庆开州模拟）如图所示，在一半径为R、质量分布均匀的大
球内部挖去一半径为的小球，两球相切于P点，O1、O2分别是大球和小球
的球心。已知质量分布均匀的球壳对球壳内部物体的万有引力为零，大球
密度为ρ，引力常量为G。现将一质量为m的物体N（可视为质点）置于O1
处，则大球剩余部分对N的万有引力大小为（　B　）
B
A. πρGmR B. πρGmR
C. πρGmR D. πρGmR
解析：物体N受到的大球剩余部分的引力为大球对物体N的引力减去小球对
物体N的引力，未挖去前，大球对物体N引力为零，所以大球剩余部分对N
的引力大小等于小球对物体N的引力大小，根据万有引力定律可得F＝
G，m'＝ρ·π，联立可得F＝πρGmR，故B正确。
考点三　天体质量和密度的计算
要点深化
天体质量和密度的计算
“黄金代换”法
（黄金代换公式GM
＝gR2） 利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。
（1）由G＝mg，得天体质量M＝。
（2）天体密度ρ＝＝＝
“环绕”法 测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r。
（1）由G＝mr，得天体的质量M＝。
（2）若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝
＝
注意：若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体
密度ρ＝，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出
中心天体的密度。
（2026·河北省保定模拟）某星球的半径约为地球半径的10倍，同一物
体在该星球表面的重力约为在地球表面重力的3倍，不考虑自转的影响，
则该星球质量约为地球质量的（　D　）
A. 10倍 B. 30倍 C. 100倍 D. 300倍
解析：设中心天体质量M，不考虑自转影响，则在其表面，万有引力等于
重力，则有G＝mg，解得M＝，又由于题干中星球表面重力加速度是
地球表面重力加速度的3倍，星球的半径约为地球半径的10倍，则有＝
＝300，即该星球质量约为地球质量的300倍，故D正确。
D
（2026·山东济宁模拟）在地球上，可通过天文观测估算太阳的密度。
如图，地球上观测太阳的视角θ极小，与观测者眼睛相距为D、视角为θ的
物体宽度为d。已知地球公转周期为T，万有引力常量为G，θ极小时sin
θ≈tan θ。求太阳密度ρ。（用G、T、D、d表示）
答案：
解析：设太阳质量为M，地球质量为m，地球绕太阳公转，有＝
mr，θ极小时sin θ≈tan θ
由几何关系得＝
又因为太阳密度ρ＝
联立可得ρ＝。
　〔多选〕（2026·云南楚雄期末）人类发射的火星探测器进入火星的引力
范围后，绕火星做匀速圆周运动。已知引力常量为G，火星的半径为R，探
测器运行轨道在其表面上空高h处，运行周期为T，则下列关于火星的质量
和平均密度的表达式正确的是（　　）
A. M＝ B. ρ＝
C. ρ＝ D. M＝
√
√
解析： 　探测器绕火星做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力得
＝m·（R＋h），解得火星的质量为M＝，又M＝
ρ·πR3，解得火星的平均密度为ρ＝，故选A、B。
课时跟踪检测
1. （2026·江苏徐州期末）如图所示，椭圆PMQN为天王星绕太阳的运动轨
道，运行周期为T，O点为轨道中心，PO＝a。则天王星（　　）
A. 从P到M和从M到Q的运动时间相等
B. 运动到P点和Q点时的速度相等
C. 和太阳的连线在相同时间内扫过的面积相等
D. 的值跟太阳的质量无关
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√
解析： 　在天王星绕太阳运动的椭圆轨道上，近日点速度大，远日点速
度小，则＞，从P到M和从M到Q的路程相同，所以时间tPM＜tMQ，
A、B错误；根据开普勒第二定律可知，天王星与太阳的连线在相同的时间
内扫过的面积相同，C正确；根据开普勒第三定律可知，绕同一个中心天
体转动的行星的轨道半长轴的三次方与周期平方之比为定值，即＝k，k
为常数，其与中心天体的质量有关，D错误。
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2. （2026·海南海口期末）如图所示，科学家发现了两颗绕红矮星运行的
类地行星b和c，其轨道均近似为圆。若行星b的周期为10天，行星c的轨道
半径约为行星b轨道半径的倍，取＝1.29，则行星c的周期约为（　　）
A. 12天 B. 15天
C. 18天 D. 21天
√
解析： 　根据开普勒第三定律，有＝，所以＝，求得Tc＝
Tb×（1.29）3≈21天，故选D。
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3. （2026·广东深圳期末）2025年5月17日我国发射了“北邮二号”卫星，
用于推动6G空天信息网络建设。已知北邮二号卫星绕地球做匀速圆周运
动，周期为T，离地面高度为h，质量为m。地球质量为M，地球半径为R，
引力常量为G。则北邮二号卫星受到地球的万有引力大小为（　　）
A. G B. G
C. M（R＋h） D. Mh
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解析： 　根据万有引力定律以及地球对卫星的万有引力充当卫星的向心
力可知，卫星所受地球的万有引力大小为F＝G＝mr，其中r为卫
星到地心的距离，即r＝R＋h，代入得F＝G＝m·（R＋
h），故选B。
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4. ★（2026·广东江门月考）《流浪地球2》影片中，太空电梯高耸入云，
在地表与太空间高速穿梭。太空电梯上升到某高度时的重力加速度为g，g
为地球表面重力加速度。已知地球半径为R，不考虑地球自转，则此时电
梯距离地面的高度为（　　）
A. 2R B. R
C. R D. （－1）R
√
解析： 在地面时G＝mg，在某高度时G＝m·g，联立解得
h＝R，故选B。
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5. （2025·陕晋青宁高考2题）我国计划于2028年前后发射“天问三号”火
星探测系统，实现火星取样返回。其轨道器将环绕火星做匀速圆周运动，
轨道半径约3 750 km，轨道周期约2 h，引力常量G取6.67×10－11
N·m2/kg2。根据以上数据可推算出火星的（　　）
A. 质量 B. 体积
C. 逃逸速度 D. 自转周期
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解析： 　轨道器环绕火星做匀速圆周运动时，由万有引力提供向心力有
＝mr，解得M＝，由题中条件可知火星的质量M可推算出，A
正确；火星的半径未知，由球的体积公式V＝πR3可知火星的体积无法推
算出，B错误；对于在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的行星，由万
有引力提供向心力有＝m'，解得火星的第一宇宙速度为v＝，则
火星的逃逸速度（第二宇宙速度）v逃＝v＝，由于火星的半径未
知，所以火星的逃逸速度无法推算出，C错误；自转周期与已知量无关，
所以无法推算出自转周期，D错误。
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6. （2026·江西重点中学盟校联考）太阳系外有一颗行星，它的体积是地
球的5倍，质量是地球的18倍。已知近地卫星的周期是84分钟，引力常量G
＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由此可估算该行星的平均密度为（　　）
A. 2.0×104 kg/m3 B. 1.0×104 kg/m3
C. 6.0×103 kg/m3 D. 3.0×103 kg/m3
√
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解析： 　根据近地卫星绕地球运动的向心力由万有引力提供，可得G
＝mR，可得地球的质量为M＝，地球体积为V＝πR3，联立可得
＝，则该行星的平均密度约为ρ＝＝×＝
kg/m3≈2.0×104 kg/m3，故选A。
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7. 〔多选〕（2026·辽宁沈阳模拟）将一质量为m的物体放在月球“赤道
上”，受到的“重力”为mg0；而将该物体放在月球的“北极点”，物体
受到的“重力”为mg。月球可视为质量分布均匀的球体，其半径为R，引
力常量为G。则月球的（　　）
A. 质量为 B. 质量为
C. 自转周期为2π D. 自转周期为2π
√
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解析： 　在月球“北极点”时，物体受到的“重力”与万有引力大小相
等，即G＝mg，解得M＝，故A正确，B错误；由于在月球“赤道
上”该物体的“重力”为mg0，则有mg－mg0＝mR，解得月球自转的
周期T＝2π，故C错误，D正确。
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8. （2026·山东淄博模拟）2025年4月24日，神舟二十号飞船发射成功。从
地面发射后，经转移椭圆轨道1再进入天宫空间站圆轨道2。飞船在椭圆轨
道的近地点A和远地点B的速度大小分别为v1、v2，天宫空间站运行周期为
T。仅考虑地球对飞船的引力，则飞船从A运动到B的时间为（　　）
A. B.
C. D.
√
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解析： 　根据开普勒第二定律可知r1v1Δt＝r2v2Δt，根据开普勒第三定律
有＝，飞船从A运动到B的时间为t＝T'，联立解得t＝
，故A正确。
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9. 〔多选〕（2026·浙江温州联考）我国天问三号任务计划在2028年前后
实施两次发射任务，实现火星样品返回地球。如图所示，若质量为m的探
测器绕火星做匀速圆周运动，距离火星表面的高度为H，此探测器对火星
的张角为60°，已知探测器在轨道上所受的引力大小为F0，引力常量为
G，忽略火星的自转，下列说法正确的是（　　）
A. 火星的质量为
B. 探测器的向心加速度等于
C. 探测器的轨道半径为H
D. 火星表面的重力加速度为
√
√
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解析： 　探测器做匀速圆周运动，向心加速度由其所受引力产生，大小
为g1＝，故B正确；设火星的半径为R，探测器的轨道半径r＝R＋H，由
几何关系可得rsin 30°＝R，联立解得R＝H，r＝2H，故C错误；设火星的
质量为M，表面的重力加速度为g2，由万有引力提供向心力可得＝
mg1，＝mg2，联立解得M＝、g2＝，故A正确，D错误。
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10. 〔多选〕（2025·安徽高考9题）2025年4月，我国已成功构建国际首个
基于DRO（远距离逆行轨道）的地月空间三星星座，DRO具有“低能进
入、稳定停泊、机动转移”的特点。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨
道，该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b，卫星的运行
周期为T；卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道，周期也为T。
月球的质量为M，半径为R，引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引
力，则（　　）
A. r＝ B. r＝＋R
C. M＝ D. M＝
√
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解析： 　根据开普勒第三定律可知，卫星甲在环月椭圆轨道上运行的半
长轴等于卫星乙在环月圆轨道上运行的半径，则有2r＝a＋b＋2R，解得r＝
，A错误，B正确；对卫星乙，根据万有引力提供向心力有G＝
mr，解得M＝，C正确，D错误。
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11. （2025·浙江1月选考6题）地球和哈雷彗星绕太阳运行的轨迹如图所
示，彗星从a运行到b、从c运行到d的过程，与太阳连线扫过的面积分别为
S1和S2，且S1＞S2。彗星在近日点与太阳中心的距离约为地球公转轨道半径
的0.6倍，则彗星（　　）
A. 在近日点的速度小于地球的速度
B. 从b运行到c的过程中动能先增大后减小
C. 从a运行到b的时间大于从c运行到d的时间
D. 在近日点加速度约为地球的加速度的0.36倍
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解析： 　由万有引力提供向心力有G＝m，得v＝，由题意知，
哈雷彗星在近日点距太阳中心的距离小于地球绕太阳的公转半径，若哈雷
彗星在近日点做匀速圆周运动，则哈雷彗星在近日点做匀速圆周运动的速
度大于地球的公转速度，又哈雷彗星在近日点做离心运动，因此哈雷彗星
在近日点的速度大于地球绕太阳的公转速度，A错误；哈雷彗星从b运行到
c的过程中万有引力与速度方向的夹角一直为钝角，万有引力做负功，哈雷
彗星的速度一直减小，因此动能一直减小，B错误；根据开普勒第二定律可知，哈雷彗星与太阳的连线在任意相同的时间内扫过的面积相同，由题意S1＞S2可知，哈雷彗星从a运行到b的时间大于从c运行到d的时间，
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C正确；由牛顿第二定律得G＝ma，得a＝G，由哈雷彗星在近日点与太阳中心的距离和地球的公转轨道半径关系知，哈雷彗星的加速度a1与地球的加速度a2比值为＝，代入数据解得＝＝，D错误。
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12. 〔多选〕（2026·江西南昌模拟）我国首个火星探测器“天问一号”在
海南文昌航天发射场由“长征5号”运载火箭发射升空，开启了我国首次
火星探测之旅。“天问一号”离开地球时，所受地球的万有引力F1与其距
离地表高度h1的关系图像如图甲所示，“天问一号”抵达火星附近时，所
受火星的万有引力F2与其距离火星表面的高度h2的关系图像如图乙所示，
已知地球质量约为火星质量的9倍，则下列说法正确的是（　　）
A. 物体在地球表面做自由落体运动时下落更快
B. 物体在火星表面做自由落体运动时下落更快
C. 地球与火星的半径之比约为2∶1
D. 地球与火星的半径之比约为3∶2
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解析： 　物体在地球表面时有G＝mg地＝9F0，在火星表面时有
G＝mg火＝4F0，所以＝，故物体在地球表面做自由落体运动时下
落更快，故A正确，B错误；又由地球质量约为火星质量的9倍，由G
＝mg地，G＝mg火，联立解得R地∶R火＝2∶1，故C正确，D错误。
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