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素养提升7　天体运动中的三类问题
1.（2026·青海海东模拟）地球静止同步卫星发射轨道示意图如图所示，关于地球静止同步卫星，下列说法正确的是（　　）
A.地球静止同步卫星能通过西藏日喀则市正上空
B.地球静止同步卫星在变轨点1加速，可以直接变轨到同步轨道运行
C.地球静止同步卫星在变轨点2减速，可以直接变轨到同步轨道运行
D.地球静止同步卫星的转动方向与地球的自转方向相同
2.（2026·江西南昌联考）如图所示，地球静止同步轨道上的卫星A与较低轨道上的卫星B都在赤道所在平面内绕地球做匀速圆周运动，且运行方向与地球自转方向相同。已知地球自转的周期为T，某时刻两卫星距离最近，再经过时间t，两卫星再次相距最近，则卫星B的周期为（　　）
A. B. C. D.
3.〔多选〕（2026·贵州黔南模拟）假设宇宙中有一双星系统由A、B两颗星体组成。如图所示，这两颗星体绕它们连线上的某一点在二者万有引力作用下做匀速圆周运动，轨道半径之比为rA∶rB＝4∶1。则下列说法正确的是（　　）
A.两星体质量之比mA∶mB＝1∶4 B.两星体周期之比TA∶TB＝8∶1
C.两星体动量大小之比pA∶pB＝1∶1 D.两星体向心加速度大小之比aA∶aB＝1∶16
4.（2026·安徽黄山期末）宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。如图所示，三颗星始终位于同一直线上，两颗环绕星（质量相等）围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行，中央星的质量是每颗环绕星质量的2倍。引力常量为G，环绕星绕中央星做匀速圆周运动的周期为T，则每颗环绕星的质量为（　　）
A. B. C. D.
5.★〔多选〕（2026·山西卓越联盟联考）2025年4月1日，我国成功将卫星互联网技术试验卫星发射升空，该卫星主要用于开展手机宽带直连卫星、天地网络融合等技术试验验证。如图所示，假设该卫星先在环地圆轨道①运行，从近地点P变轨进入环地椭圆轨道②运行，最后从远地点Q变轨进入环地圆轨道③运行，则下列说法正确的是（　　）
A.卫星在轨道①上的速率不可能超过第一宇宙速度
B.从轨道①P点要加速方能进入轨道②
C.卫星在轨道②上运行的周期一定小于在轨道①上运行的周期
D.卫星在轨道③上运行的速度一定小于在轨道①运行的速度
6.（2026·江苏镇江期末）我国用长征五号遥四运载火箭将天问一号探测器发射升空，探测器在星箭分离后，进入地火转移轨道，如图所示，探测器在火星乌托邦平原着陆。则关于探测器下列说法不正确的是（　　）
A.与火箭分离时的速度大于第一宇宙速度
B.每次经过P点的速度不相等
C.绕火星运行时在捕获轨道上的周期最大
D.绕火星运行时在不同轨道上与火星的连线每秒扫过的面积相等
7.★（2026·重庆大足期中）2025年1月16日凌晨，“火星冲日”天象上演。当火星、地球、太阳三者依次排成一条直线时，称为火星冲日，如图所示。地球、火星绕太阳的运动均可看成匀速圆周运动且公转方向相同，已知地球公转半径为r1＝1.5×1011 m，火星的公转半径为r2＝2.3×1011 m，＝1.24，下列说法正确的是（　　）
A.火星的公转周期约为1.5年
B.火星冲日后，火星相对于地球将往前运动
C.火星冲日后，再经半年的时间，火星与地球相距最远
D.下一次火星冲日将发生于2027年
8.（2025·西藏日喀则二模）2025年5月29日，中国航天成功发射火星探测器天问二号。“天问二号”发射后沿霍曼转移轨道运动，可认为地球和火星在同一平面沿同一方向绕太阳做匀速圆周运动。已知火星公转半径是地球公转半径的1.5倍，则下列说法正确的是（　　）
A.地球绕太阳公转速度小于火星绕太阳公转速度
B.“天问二号”沿霍曼转移轨道飞往火星轨道过程中做加速运动
C.“天问二号”的发射速度v应满足v≥16.7 km/s
D.“天问二号”从A点运动到C点的时间为个月
9.（2026·河北衡水期末）中国载人登月初步方案已公布，计划 2030年前实现载人登月科学探索。假如在登月之前需要先发射两颗探月卫星进行科学探测，a、b两卫星在同一平面内绕月球的运动可视为匀速圆周运动，且绕行方向相反，如图所示，测得两卫星之间的距离Δr最小为3r、最大为5r，Δr的变化周期为T，不考虑两卫星之间的作用力。下列说法正确的是（　　）
A.a、b两卫星的线速度大小之比va∶vb＝∶
B.a、b两卫星的加速度大小之比aa∶ab＝4∶1
C.a卫星的运行周期为T
D.b卫星的运行周期为7T
10.（2026·内蒙古包头模拟）在恒星形成后的演化过程中，一颗恒星可能在运动中接近并捕获另外两颗恒星，逐渐形成稳定的三星系统。如图所示是由三颗星体构成的系统，星体B、C的质量均为m，星体A的质量是星体B的4倍，忽略其他星体对它们的作用，三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心在三角形所在的平面内做圆周运动。星体A、B、C的向心加速度大小之比为（　　）
A.∶7∶7 B.4∶7∶7 C.1∶4∶4 D.1∶7∶7
素养提升7　天体运动中的三类问题
1.D　地球静止同步卫星应在赤道上空，转动方向与地球的自转方向相同，故A错误，D正确；由图可知，地球静止同步卫星在变轨点2加速，才能变轨到同步轨道运行，故B、C错误。
2.B　经分析可知－＝2π，解得TB＝，故B正确。
3.AC　双星系统的周期和角速度均相同，故B错误；根据a＝ω2r可知aA∶aB＝4∶1，故D错误；根据万有引力提供向心力有＝mAω2rA，＝mBω2rB，又rA∶rB＝4∶1，联立可得mA∶mB＝1∶4，故A正确；根据p＝mv及v＝ωr，可得pA∶pB＝1∶1，故C正确。
4.D　设每颗环绕星的质量为m，则中央星的质量为2m，对任一环绕星，有G＋G＝mR，解得每颗环绕星的质量m＝，故选D。
5.ABD　卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力得＝m，可得v＝，地球第一宇宙速度等于近地卫星的运行速度，所以卫星在轨道①上的速率不可能超过第一宇宙速度；卫星在轨道③上运行的速度一定小于在轨道①运行的速度，故A、D正确；卫星从低轨道变轨到高轨道需要在变轨处点火加速，所以卫星从轨道①P点要加速方能进入轨道②，故B正确；根据开普勒第三定律＝k，由于轨道②的半长轴大于轨道①的半径，所以卫星在轨道②上运行的周期一定大于在轨道①上运行的周期，故C错误。
6.D　第一宇宙速度是卫星不落回地面的最小发射速度，与火箭分离时探测器不会落回地面，所以与火箭分离时的速度大于第一宇宙速度，A正确；在P点减速才能进入较低的轨道。所以每次经过P点的速度不相等，越来越小，B正确；根据开普勒第三定律，轨道的半长轴越大，周期越大。绕火星运行时在捕获轨道上的半长轴最大，则周期最大，C正确；根据开普勒第二定律，绕火星运行时在同一轨道上与火星的连线每秒扫过的面积相等，在不同轨道上与火星的连线每秒扫过的面积不一定相等，D错误。
7.D　地球的公转周期T1＝1年，由开普勒第三定律＝，得火星的公转周期为T2＝1.9年，故A错误；由于地球公转的轨道半径比火星的小，根据开普勒第三定律可知，地球公转的周期比火星的小，则地球公转的角速度比火星的大，则火星冲日后，以地球为参考系，火星相对于地球往后运动，二者之间的距离越来越大，当ω1t－ω2t＝π时，火星和地球之间的距离最远，解得t＝≈1.06年，故B、C错误；当ω1t'－ω2t'＝2π时，解得t'≈2.11年，由于2025年1月16日发生了火星冲日，则在2027年一定会再次出现火星冲日现象，故D正确。
8.D　根据牛顿第二定律G＝m，解得v＝，因为地球绕太阳的公转半径小于火星绕太阳的公转半径，故地球绕太阳运动的公转速度大于火星绕太阳运动的公转速度，A错误；“天问二号”沿霍曼转移轨道飞往火星过程中，引力与速度方向的夹角为钝角，所以速度减小，做减速运动，B错误；火星探测器“天问二号”的发射因为要脱离地球的束缚，所以发射速度v应满足11.2 km/s≤v≤16.7 km/s，C错误；火星绕太阳公转的半径为1.5R，地球公转半径为R，则霍曼转移轨道的半长轴为1.25R，根据开普勒第三定律得＝，其中T'＝12个月，解得探测器沿霍曼转移轨道运动的周期T＝个月，故“天问二号”从A点运动到C点的时间为＝个月，D正确。
9.C　设a、b两卫星的轨道半径分别为ra、rb，根据题意及题图可知ra＋rb＝5r，rb－ra＝3r，联立解得ra＝r，rb＝4r，根据G＝m，可得v＝，所以＝＝，A错误；根据G＝ma，可得a＝，所以＝＝，B错误；根据a、b两卫星两次相距最近的时间为T，可知＋＝1，因＝＝，联立解得Ta＝T，Tb＝9T，C正确，D错误。
10.A　由几何关系知FBA＝FCA，设B、A间的距离为d，则FBA＝G，A所受的合力FA＝2FBAcos 30°，联立可得FA＝，由几何对称性可知星体B、C受力大小相等，根据牛顿第三定律FAB＝FBA＝G，又FCB＝G，设星体B所受的合力为FB，正交分解FAB，有FBx＝FABcos 60°＋FCB＝，FBy＝FABsin 60°＝，则FB＝＝，则anA∶anB∶anC＝∶∶＝∶7∶7，故A正确。
1 / 1素养提升7　天体运动中的三类问题
1.会分析卫星的变轨过程及各物理量的变化。 2.掌握双星或多星模型的特点。 3.会分析天体运动中的“追及”问题。
提升点一　卫星的变轨和对接问题
如图所示，发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经变轨，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次变轨，将卫星送入同步圆轨道3。轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点。
（1）比较卫星在轨道2上经过Q点的速度v2Q和在轨道1上经过Q点的速度v1Q的大小。
（2）比较卫星在轨道2上运行时，经过P点速度vP和Q点的速度vQ的大小。
（3）比较卫星在轨道2上经过P点的加速度aP和Q点的加速度aQ的大小。
1.变轨原理 （1）为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，有G＝m，如图所示。 （2）在A点（近地点）点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，G＜m，即万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动所需要的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。 （3）在B点（远地点）再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。
2.变轨过程各物理量比较
速度大小关系 在A点加速：＞vⅠ，在B点加速：vⅢ＞，即＞vⅠ＞vⅢ＞
（向心）加速度大小关系 aⅢ＝ ＝aⅠ
周期关系 TⅠ＜TⅡ＜TⅢ
机械能 EⅠ＜EⅡ＜EⅢ
3.对接
航天飞船与宇宙空间站的“对接”实际上就是两个做匀速圆周运动的物体的追及问题，本质仍然是卫星的变轨运行问题。
（2025·北京高考7题）2024年6月，嫦娥六号探测器首次实现月球背面采样返回。如图所示，探测器在圆形轨道1上绕月球飞行，在A点变轨后进入椭圆轨道2、B为远月点。关于嫦娥六号探测器，下列说法正确的是（　　）
A.在轨道2上从A向B运动过程中动能逐渐减小
B.在轨道2上从A向B运动过程中加速度逐渐变大
C.在轨道2上机械能与在轨道1上相等
D.利用引力常量和轨道1的周期，可求出月球的质量
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
★〔多选〕（2026·甘肃白银期末）2025年4月24日，三名航天员从神舟二十号载人飞船进入空间站（距地面的高度为h）。神舟二十号的质量为m，航天员的总质量为Δm，地球半径为R，地球表面的重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　）
A.神舟二十号与空间站对接后，神舟二十号（含航天员）受到地球的万有引力大小为
B.对接前，神舟二十号与空间站在同一轨道绕地球运动，稳定后神舟二十号加速追上去就可完成对接
C.空间站环绕地球运行的速度为
D.空间站环绕地球运行的周期为2π
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　★（2026·重庆渝中模拟）如图所示，载人飞船先后在环绕地球的圆形轨道Ⅰ、椭圆轨道Ⅱ和圆形轨道Ⅲ上运行并最终与“天和”核心舱成功对接。已知轨道Ⅰ、Ⅲ的半径分别为r1、r2，轨道Ⅰ和Ⅱ、Ⅱ和Ⅲ分别相切于A、B两点，则飞船（　　）
A.在轨道Ⅲ上的线速度大于第一宇宙速度
B.在轨道Ⅰ上A点应减速才能进入轨道Ⅱ
C.在轨道Ⅲ和轨道Ⅰ上的线速度大小之比为∶
D.在轨道Ⅱ和轨道Ⅰ上运行的周期之比为
提升点二　天体的“追及相遇”问题
（2025·四川高考6题）某人造地球卫星运行轨道与赤道共面，绕行方向与地球自转方向相同。该卫星持续发射信号，位于赤道的某观测站接收到的信号强度随时间变化的规律如图所示，T为地球自转周期。已知该卫星的运动可视为匀速圆周运动，地球质量为M，万有引力常量为G。则该卫星轨道半径为（　　）
A. B. C. D.
审题指导
（1）根据卫星追及的规律，写出表达式，求出卫星转动的周期。
（2）根据万有引力提供向心力计算该卫星轨道半径。
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（2026·山东日照模拟）如图所示，卫星A、B均绕地心在同一平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，某时刻卫星B与地心连线和卫星A与地心连线的夹角为60°。已知卫星A为地球静止轨道卫星，卫星B的周期约为2 h。则从该时刻至两卫星第一次相距最远所需的时间约为（　　）
A. h B. h C. h D. h
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　天体运动的追及问题
情境 分析
两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动，a卫星的角速度为ωa，b卫星的角速度为ωb，若某时刻两卫星正好在同一直线上 当它们转过的角度之差ωaΔt－ωbΔt＝（2n＋1）π（n＝0，1，2，3，…）时，两卫星相距最远（两卫星异侧）
当它们转过的角度之差ωaΔt－ωbΔt＝2nπ（n＝1，2，3，…）时，两卫星相距最近（两卫星同侧）
提醒：（1）当两颗卫星之间的距离最近和最远时，它们都处在同一条直线上。
（2）若两颗卫星的初始位置与中心天体在同一直线上，内轨卫星所转过的圆心角与外轨卫星所转过的圆心角之差为π的整数倍时就是出现最近或最远的时刻。
　假设三颗卫星a、b、c均在赤道平面上绕地球做匀速圆周运动，其中a、b转动方向与地球自转方向相同，c转动方向与地球自转方向相反，a、b、c三颗星的周期分别为Ta ＝6 h、Tb ＝24 h、Tc＝12 h，下列说法正确的是（　　）
A.a、b每经过6 h相遇一次
B.a、b每经过8 h相遇一次
C.b、c每经过10 h相遇一次
D.b、c每经过6 h相遇一次
提升点三　双星或多星模型
如图所示，绕公共圆心做匀速圆周运动的两个星体组成的系统称为双星系统。
（1）两星做匀速圆周运动的向心力、周期、角速度具有什么特点？
（2）请推导出两星质量比、周期和两星质量之和的表达式。
1.双星系统的特点 （1）各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝m1r1，＝m2r2。 （2）两星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。 （3）两星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L。 （4）两星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝。 （5）双星的运动周期T＝2π。 （6）双星的总质量m1＋m2＝。
2.多星模型
所研究星体所受万有引力的合力提供其做匀速圆周运动所需的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。常见的多星及规律如下：
三星 模型 ①＋＝ma向
②×cos 30°×2＝ma向
四星 模型 ①×cos 45°×2＋＝ma向
②×cos 30°×2＋＝ma向
〔多选〕（2026·江西上饶期末）北冕座T双星系统是由一颗白矮星和一颗红巨星组成的，两星绕同一圆心做匀速圆周运动，角速度相同，如图所示。其中，白矮星的质量约为太阳的1.4倍，红巨星的质量约为太阳的1.1倍。下列说法正确的是（　　）
A.白矮星与红巨星的轨道半径之比约为11∶14
B.白矮星与红巨星的轨道半径之比约为14∶11
C.白矮星与红巨星的向心加速度大小之比约为11∶14
D.白矮星与红巨星的向心加速度大小之比约为14∶11
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（2026·辽宁朝阳月考）三颗质量均为M的恒星组成等边三角形，边长为L，绕共同中心做圆周运动。引力常量为G，则每颗恒星的角速度是多少？
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
素养提升7　天体运动中的三类问题
提升点一
寻规探律
　提示：（1）轨道2相对于轨道1是高轨道，由低轨道变轨到高轨道需要在切点位置加速，故v2Q＞v1Q。
（2）卫星在轨道2上由P到Q过程，万有引力方向与速度方向夹角为锐角，万有引力起到加速效果，故vP＜vQ。
（3）根据牛顿第二定律有G＝ma，解得a＝可知，aP＜aQ。
【例1】　A　在轨道2上从A向B运动过程中，探测器远离月球，月球对探测器的引力做负功，根据动能定理，动能逐渐减小，A正确；探测器仅受到万有引力作用，由G＝ma，解得a＝G，在轨道2上从A向B运动过程中，r增大，加速度逐渐变小，B错误；探测器在A点从轨道1变轨到轨道2，需要加速，机械能增加，所以探测器在轨道2上的机械能大于在轨道1上的机械能，C错误；探测器在轨道1上做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，得G＝mr，解得M＝，利用引力常量G和轨道1的周期T，还需要知道轨道1的半径r，才能求出月球的质量，D错误。
【例2】　AD　在地球表面有＝m'g，可得GM＝gR2，则神舟二十号（含航天员）受到地球的万有引力大小为F＝＝，故A正确；对接前，若神舟二十号与空间站在同一轨道绕地球运动，稳定后神舟二十号加速追上去，神舟二十号将做离心运动，不能完成对接，故B错误；空间站环绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力可得＝M'＝M'（R＋h），联立解得v＝，T＝2π，故C错误，D正确。
强化训练
　D　根据万有引力提供向心力，有G＝m，解得第一宇宙速度为v＝，因为轨道Ⅲ的半径大于地球半径，所以在轨道Ⅲ上的线速度小于第一宇宙速度，故A错误；载人飞船在轨道Ⅰ上A点应加速做离心运动才能进入轨道Ⅱ，故B错误；由万有引力提供向心力得G＝m，解得v＝，可知在轨道Ⅲ和轨道Ⅰ上的线速度大小之比为∶，故C错误；轨道Ⅱ的半长轴为，根据开普勒第三定律＝，可知在轨道Ⅱ和轨道Ⅰ上运行的周期之比TⅡ∶TⅠ＝，故D正确。
提升点二
【例3】　A　设卫星转动的周期为T'，根据题意可得·－·＝2π，可得T'＝，根据万有引力提供向心力，有G＝mr，可得r＝，代入T'＝，可得r＝，故选A。
【例4】　A　因A的周期为TA＝24 h，B的周期为TB＝2 h，从该时刻至两卫星第一次相距最远时有t－t＝，解得t＝ h，故A正确。
强化训练
　B　根据题意得ωat－ωbt＝2π，ωa＝，ωb＝，解得t＝8 h，A错误，B正确；根据题意得ωct2＋ωbt2＝2π，ωc＝，ωb＝，解得t2＝8 h，C、D错误。
提升点三
寻规探律
　提示：（1）所需的向心力由彼此间的万有引力提供，大小相等；两星同轴转动，周期和角速度相等。
（2）由万有引力提供向心力有G＝m1r1＝m2r2，又r1＋r2＝L，解得＝，T＝2π，m1＋m2＝。
【例5】　AC　设白矮星与红巨星的质量分别为m1、m2，则结合题意可知＝，白矮星与红巨星的轨道半径分别为r1、r2，有G＝m1ω2r1，G＝m2ω2r2，其中L＝r1＋r2，联立解得＝，故A正确，B错误；设白矮星与红巨星的向心加速度大小分别为a1、a2，由a＝ω2r，可得＝＝，故C正确，D错误。
【例6】　
解析：以其中一颗恒星为研究对象
根据牛顿第二定律可得2Gcos 30°＝Mω2R
其中每颗恒星运动的轨道半径为R＝＝L
解得每颗恒星的角速度为ω＝。
1 / 1(共56张PPT)
素养提升7　天体运动中的三类问题
目标要求
1. 会分析卫星的变轨过程及各物理量的变化。
2. 掌握双星或多星模型的特点。
3. 会分析天体运动中的“追及”问题。
目 录
CONTENTS
提升点一　卫星的变轨和对接问题
提升点二　天体的“追及相遇”问题
提升点三　双星或多星模型
课时跟踪检测
提升点一　卫星的变轨和对接问题
如图所示，发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经
变轨，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次变轨，将卫星送入同步圆轨道3。
轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点。
（1）比较卫星在轨道2上经过Q点的速度v2Q和在轨道1上经过Q点的速度
v1Q的大小。
提示： 轨道2相对于轨道1是高轨道，由低轨道变轨
到高轨道需要在切点位置加速，故v2Q＞v1Q。
（2）比较卫星在轨道2上运行时，经过P点速度vP和Q点的速度vQ的大小。
提示： 卫星在轨道2上由P到Q过程，万有引力方向
与速度方向夹角为锐角，万有引力起到加速效果，故
vP＜vQ。
（3）比较卫星在轨道2上经过P点的加速度aP和Q点的加速度aQ的大小。
提示： 根据牛顿第二定律有G＝ma，解得a＝可知，aP＜aQ。
1. 变轨原理
（1）为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，
卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，有G＝m，如图所示。
（2）在A点（近地点）点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，
G＜m，即万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做
圆周运动所需要的向心力，卫星做离心运动进入椭圆
轨道Ⅱ。
（3）在B点（远地点）再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。
2. 变轨过程各物理量比较
速度大小关系 在A点加速：＞vⅠ，在B点加
速：vⅢ＞，即＞vⅠ＞vⅢ＞
（向心）加速度大小
关系 aⅢ＝ ＝aⅠ
周期关系 TⅠ＜TⅡ＜TⅢ
机械能 EⅠ＜EⅡ＜EⅢ
3. 对接
航天飞船与宇宙空间站的“对接”实际上就是两个做匀速圆周运动的物体
的追及问题，本质仍然是卫星的变轨运行问题。
（2025·北京高考7题）2024年6月，嫦娥六号探测器首次实现月球背面
采样返回。如图所示，探测器在圆形轨道1上绕月球飞行，在A点变轨后进
入椭圆轨道2、B为远月点。关于嫦娥六号探测器，下列说法正确的是
（　A　）
A
A. 在轨道2上从A向B运动过程中动能逐渐减小
B. 在轨道2上从A向B运动过程中加速度逐渐变大
C. 在轨道2上机械能与在轨道1上相等
D. 利用引力常量和轨道1的周期，可求出月球的质量
解析：在轨道2上从A向B运动过程中，探测器远离月球，月球对探测器的
引力做负功，根据动能定理，动能逐渐减小，A正确；探测器仅受到万有
引力作用，由G＝ma，解得a＝G，在轨道2上从A向B运动过程中，r增
大，加速度逐渐变小，B错误；探测器在A点从轨道1变轨到轨道2，需要加
速，机械能增加，所以探测器在轨道2上的机械能大于在轨道1上的机械
能，C错误；探测器在轨道1上做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心
力，得G＝mr，解得M＝，利用引力常量G和轨道1的周期T，还
需要知道轨道1的半径r，才能求出月球的质量，D错误。
★〔多选〕（2026·甘肃白银期末）2025年4月24日，三名航天员从神
舟二十号载人飞船进入空间站（距地面的高度为h）。神舟二十号的质量
为m，航天员的总质量为Δm，地球半径为R，地球表面的重力加速度大小
为g。下列说法正确的是（　AD　）
AD
A. 神舟二十号与空间站对接后，神舟二十号（含航天员）受到地球的万
有引力大小为
B. 对接前，神舟二十号与空间站在同一轨道绕地球运动，稳定后神舟二十
号加速追上去就可完成对接
C. 空间站环绕地球运行的速度为
D. 空间站环绕地球运行的周期为2π
解析：在地球表面有＝m'g，可得GM＝gR2，则神舟二十号（含航天
员）受到地球的万有引力大小为F＝＝，故A
正确；对接前，若神舟二十号与空间站在同一轨道绕地球运动，稳定后神
舟二十号加速追上去，神舟二十号将做离心运动，不能完成对接，故B错
误；空间站环绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力可得
＝M'＝M'（R＋h），联立解得v＝，T＝
2π，故C错误，D正确。
　★（2026·重庆渝中模拟）如图所示，载人飞船先后在环绕地球的圆形轨
道Ⅰ、椭圆轨道Ⅱ和圆形轨道Ⅲ上运行并最终与“天和”核心舱成功对接。
已知轨道Ⅰ、Ⅲ的半径分别为r1、r2，轨道Ⅰ和Ⅱ、Ⅱ和Ⅲ分别相切于A、B两
点，则飞船（　　）
A. 在轨道Ⅲ上的线速度大于第一宇宙速度
B. 在轨道Ⅰ上A点应减速才能进入轨道Ⅱ
C. 在轨道Ⅲ和轨道Ⅰ上的线速度大小之比为∶
D. 在轨道Ⅱ和轨道Ⅰ上运行的周期之比为
√
解析： 　根据万有引力提供向心力，有G＝m，解得第一宇宙速度为
v＝，因为轨道Ⅲ的半径大于地球半径，所以在轨道Ⅲ上的线速度小于
第一宇宙速度，故A错误；载人飞船在轨道Ⅰ上A点应加速做离心运动才能
进入轨道Ⅱ，故B错误；由万有引力提供向心力得G＝m，解得
v＝，可知在轨道Ⅲ和轨道Ⅰ上的线速度大小之比为∶，故C错误；
轨道Ⅱ的半长轴为，根据开普勒第三定律＝，可知在轨
道Ⅱ和轨道Ⅰ上运行的周期之比TⅡ∶TⅠ＝，故D正确。
提升点二　天体的“追及相遇”问题
（2025·四川高考6题）某人造地球卫星运行轨道与赤道共面，绕行方
向与地球自转方向相同。该卫星持续发射信号，位于赤道的某观测站接收
到的信号强度随时间变化的规律如图所示，T为地球自转周期。已知该卫
星的运动可视为匀速圆周运动，地球质量为M，万有引力常量为G。则该
卫星轨道半径为（　　）
A. B.
C. D.
审题指导
（1）根据卫星追及的规律，写出表达式，求出卫星转动的周期。
（2）根据万有引力提供向心力计算该卫星轨道半径。
答案：A
解析：设卫星转动的周期为T'，根据题意可得·－·＝2π，可得T'＝
，根据万有引力提供向心力，有G＝mr，可得r＝，代入T'＝
，可得r＝，故选A。
（2026·山东日照模拟）如图所示，卫星A、B均绕地心在同一平面内
沿逆时针方向做匀速圆周运动，某时刻卫星B与地心连线和卫星A与地心连
线的夹角为60°。已知卫星A为地球静止轨道卫星，卫星B的周期约为2
h。则从该时刻至两卫星第一次相距最远所需的时间约为（　A　）
A
A. h B. h
C. h D. h
解析：因A的周期为TA＝24 h，B的周期为TB＝2 h，从该时刻至两卫星第一
次相距最远时有t－t＝，解得t＝ h，故A正确。
　天体运动的追及问题
情境 分析
两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地
球做匀速圆周运动，a卫星的角速度
为ωa，b卫星的角速度为ωb，若某时
刻两卫星正好在同一直线上 当它们转过的角度之差ωaΔt－ωbΔt
＝（2n＋1）π（n＝0，1，2，
3，…）时，两卫星相距最远（两
卫星异侧）
当它们转过的角度之差ωaΔt－ωbΔt
＝2nπ（n＝1，2，3，…）时，两
卫星相距最近（两卫星同侧）
提醒：（1）当两颗卫星之间的距离最近和最远时，它们都处在同一条直
线上。
（2）若两颗卫星的初始位置与中心天体在同一直线上，内轨卫星所转过
的圆心角与外轨卫星所转过的圆心角之差为π的整数倍时就是出现最近或
最远的时刻。
　假设三颗卫星a、b、c均在赤道平面上绕地球做匀速圆周运动，其中a、b
转动方向与地球自转方向相同，c转动方向与地球自转方向相反，a、b、c
三颗星的周期分别为Ta ＝6 h、Tb ＝24 h、Tc＝12 h，下列说法正确的是
（　　）
A. a、b每经过6 h相遇一次
B. a、b每经过8 h相遇一次
C. b、c每经过10 h相遇一次
D. b、c每经过6 h相遇一次
√
解析： 　根据题意得ωat－ωbt＝2π，ωa＝，ωb＝，解得t＝8 h，A错
误，B正确；根据题意得ωct2＋ωbt2＝2π，ωc＝，ωb＝，解得t2＝8 h，
C、D错误。
提升点三　双星或多星模型
如图所示，绕公共圆心做匀速圆周运动的两个星体组成的系统称为双
星系统。
（1）两星做匀速圆周运动的向心力、周期、角速度
具有什么特点？
提示： 所需的向心力由彼此间的万有引力提供，大小
相等；两星同轴转动，周期和角速度相等。
（2）请推导出两星质量比、周期和两星质量之和的表达式。
提示： 由万有引力提供向心力有G＝m1r1＝
m2r2，又r1＋r2＝L，解得＝，T＝
2π，m1＋m2＝。
1. 双星系统的特点
（1）各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即＝m1r1，
＝m2r2。
（2）两星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。
（3）两星的轨道半径与它们之间的距离关系为r1＋r2＝L。
（4）两星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝。
（5）双星的运动周期T＝2π。
（6）双星的总质量m1＋m2＝。
2. 多星模型
所研究星体所受万有引力的合力提供其做匀速圆周运动所需的向心力，除
中央星体外，各星体的角速度或周期相同。常见的多星及规律如下：
三星 模型 ①＋＝ma向
②×cos 30°×2＝ma向
四星 模型 ①×cos 45°×2＋＝
ma向
②×cos 30°×2＋＝ma向
〔多选〕（2026·江西上饶期末）北冕座T双星系统是由一颗白矮星和
一颗红巨星组成的，两星绕同一圆心做匀速圆周运动，角速度相同，如图
所示。其中，白矮星的质量约为太阳的1.4倍，红巨星的质量约为太阳的
1.1倍。下列说法正确的是（　AC　）
AC
A. 白矮星与红巨星的轨道半径之比约为11∶14
B. 白矮星与红巨星的轨道半径之比约为14∶11
C. 白矮星与红巨星的向心加速度大小之比约为11∶14
D. 白矮星与红巨星的向心加速度大小之比约为14∶11
解析：设白矮星与红巨星的质量分别为m1、m2，则结合题意可知＝，
白矮星与红巨星的轨道半径分别为r1、r2，有G＝m1ω2r1，G＝
m2ω2r2，其中L＝r1＋r2，联立解得＝，故A正确，B错误；设白矮星与
红巨星的向心加速度大小分别为a1、a2，由a＝ω2r，可得＝＝，故C
正确，D错误。
（2026·辽宁朝阳月考）三颗质量均为M的恒星组成等边三角形，边长
为L，绕共同中心做圆周运动。引力常量为G，则每颗恒星的角速度是多
少？
答案：
解析：以其中一颗恒星为研究对象
根据牛顿第二定律可得2Gcos 30°＝Mω2R
其中每颗恒星运动的轨道半径为R＝＝L
解得每颗恒星的角速度为ω＝。
课时跟踪检测
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1. （2026·青海海东模拟）地球静止同步卫星发射轨道示意图如图所示，
关于地球静止同步卫星，下列说法正确的是（　　）
A. 地球静止同步卫星能通过西藏日喀则市正上空
B. 地球静止同步卫星在变轨点1加速，可以直接变轨
到同步轨道运行
C. 地球静止同步卫星在变轨点2减速，可以直接变轨
到同步轨道运行
D. 地球静止同步卫星的转动方向与地球的自转方向相同
√
解析： 　地球静止同步卫星应在赤道上空，转动方向与地球的自转方向
相同，故A错误，D正确；由图可知，地球静止同步卫星在变轨点2加速，
才能变轨到同步轨道运行，故B、C错误。
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2. （2026·江西南昌联考）如图所示，地球静止同步轨道上的卫星A与较低
轨道上的卫星B都在赤道所在平面内绕地球做匀速圆周运动，且运行方向
与地球自转方向相同。已知地球自转的周期为T，某时刻两卫星距离最
近，再经过时间t，两卫星再次相距最近，则卫星B的周期为（　　）
A. B.
C. D.
√
解析： 经分析可知－＝2π，解得TB＝，故B正确。
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3. 〔多选〕（2026·贵州黔南模拟）假设宇宙中有一双星系统由A、B两颗
星体组成。如图所示，这两颗星体绕它们连线上的某一点在二者万有引力
作用下做匀速圆周运动，轨道半径之比为rA∶rB＝4∶1。则下列说法正确
的是（　　）
A. 两星体质量之比mA∶mB＝1∶4
B. 两星体周期之比TA∶TB＝8∶1
C. 两星体动量大小之比pA∶pB＝1∶1
D. 两星体向心加速度大小之比aA∶aB＝1∶16
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解析： 　双星系统的周期和角速度均相同，故B错误；根据a＝ω2r可知
aA∶aB＝4∶1，故D错误；根据万有引力提供向心力有＝mAω2rA，
＝mBω2rB，又rA∶rB＝4∶1，联立可得mA∶mB＝1∶4，故A正确；根
据p＝mv及v＝ωr，可得pA∶pB＝1∶1，故C正确。
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4. （2026·安徽黄山期末）宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由三颗星
组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。如图所示，三
颗星始终位于同一直线上，两颗环绕星（质量相等）围绕中央星在同一半
径为R的圆形轨道上运行，中央星的质量是每颗环绕星质量的2倍。引力常
量为G，环绕星绕中央星做匀速圆周运动的周期为T，则每颗环绕星的质量
为（　　）
A. B.
C. D.
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解析： 　设每颗环绕星的质量为m，则中央星的质量为2m，对任一环绕
星，有G＋G＝mR，解得每颗环绕星的质量m＝，故
选D。
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5. ★〔多选〕（2026·山西卓越联盟联考）2025年4月1日，我国成功将卫星
互联网技术试验卫星发射升空，该卫星主要用于开展手机宽带直连卫星、
天地网络融合等技术试验验证。如图所示，假设该卫星先在环地圆轨道①
运行，从近地点P变轨进入环地椭圆轨道②运行，最后从远地点Q变轨进入
环地圆轨道③运行，则下列说法正确的是（　　）
A. 卫星在轨道①上的速率不可能超过第一宇宙速度
B. 从轨道①P点要加速方能进入轨道②
C. 卫星在轨道②上运行的周期一定小于在轨道①上运行的
周期
D. 卫星在轨道③上运行的速度一定小于在轨道①运行的速度
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解析： 　卫星绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力得
＝m，可得v＝，地球第一宇宙速度等于近地卫星的运行速度，所以
卫星在轨道①上的速率不可能超过第一宇宙速度；卫星在轨道③上运行的
速度一定小于在轨道①运行的速度，故A、D正确；卫星从低轨道变轨到高
轨道需要在变轨处点火加速，所以卫星从轨道①P点要加速方能进入轨道
②，故B正确；根据开普勒第三定律＝k，由于轨道②的半长轴大于轨道
①的半径，所以卫星在轨道②上运行的周期一定大于在轨道①上运行的周
期，故C错误。
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6. （2026·江苏镇江期末）我国用长征五号遥四运载火箭将天问一号探测
器发射升空，探测器在星箭分离后，进入地火转移轨道，如图所示，探测
器在火星乌托邦平原着陆。则关于探测器下列说法不正确的是（　　）
A. 与火箭分离时的速度大于第一宇宙速度
B. 每次经过P点的速度不相等
C. 绕火星运行时在捕获轨道上的周期最大
D. 绕火星运行时在不同轨道上与火星的连线每秒扫过的面积相等
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解析： 　第一宇宙速度是卫星不落回地面的最小发射速度，与火箭分
离时探测器不会落回地面，所以与火箭分离时的速度大于第一宇宙速
度，A正确；在P点减速才能进入较低的轨道。所以每次经过P点的速
度不相等，越来越小，B正确；根据开普勒第三定律，轨道的半长轴越
大，周期越大。绕火星运行时在捕获轨道上的半长轴最大，则周期最
大，C正确；根据开普勒第二定律，绕火星运行时在同一轨道上与火星
的连线每秒扫过的面积相等，在不同轨道上与火星的连线每秒扫过的
面积不一定相等，D错误。
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7. ★（2026·重庆大足期中）2025年1月16日凌晨，“火星冲日”天象上
演。当火星、地球、太阳三者依次排成一条直线时，称为火星冲日，如图
所示。地球、火星绕太阳的运动均可看成匀速圆周运动且公转方向相同，
已知地球公转半径为r1＝1.5×1011 m，火星的公转半径为r2＝2.3×1011
m，＝1.24，下列说法正确的是（　　）
A. 火星的公转周期约为1.5年
B. 火星冲日后，火星相对于地球将往前运动
C. 火星冲日后，再经半年的时间，火星与地球相距最远
D. 下一次火星冲日将发生于2027年
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解析： 　地球的公转周期T1＝1年，由开普勒第三定律＝，得火星的
公转周期为T2＝1.9年，故A错误；由于地球公转的轨道半径比火星的小，
根据开普勒第三定律可知，地球公转的周期比火星的小，则地球公转的角
速度比火星的大，则火星冲日后，以地球为参考系，火星相对于地球往后
运动，二者之间的距离越来越大，当ω1t－ω2t＝π时，火星和地球之间的距
离最远，解得t＝≈1.06年，故B、C错误；当ω1t'－ω2t'＝2π时，
解得t'≈2.11年，由于2025年1月16日发生了火星冲日，则在2027年一定会
再次出现火星冲日现象，故D正确。
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8. （2025·西藏日喀则二模）2025年5月29日，中国航天成功发射火星探测
器天问二号。“天问二号”发射后沿霍曼转移轨道运动，可认为地球和火
星在同一平面沿同一方向绕太阳做匀速圆周运动。已知火星公转半径是地
球公转半径的1.5倍，则下列说法正确的是（　　）
A. 地球绕太阳公转速度小于火星绕太阳公转速度
B. “天问二号”沿霍曼转移轨道飞往火星轨道过程
中做加速运动
C. “天问二号”的发射速度v应满足v≥16.7 km/s
D. “天问二号”从A点运动到C点的时间为个月
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解析： 　根据牛顿第二定律G＝m，解得v＝，因为地球绕太阳
的公转半径小于火星绕太阳的公转半径，故地球绕太阳运动的公转速度大
于火星绕太阳运动的公转速度，A错误；“天问二号”沿霍曼转移轨道飞
往火星过程中，引力与速度方向的夹角为钝角，所以速度减小，做减速运
动，B错误；火星探测器“天问二号”的发射因为要脱离地球的束缚，所
以发射速度v应满足11.2 km/s≤v≤16.7 km/s，C错误；火星绕太阳公转的半径为1.5R，地球公转半径为R，则霍曼转移轨道的半长轴为1.25R，根据开普勒第三定律得＝，其中T'＝12个月，解得探测器沿霍曼转移轨道运动的周期T＝个月，故“天问二号”从A点运动到C点的时间为＝个月，D正确。
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9. （2026·河北衡水期末）中国载人登月初步方案已公布，计划 2030年前
实现载人登月科学探索。假如在登月之前需要先发射两颗探月卫星进行科
学探测，a、b两卫星在同一平面内绕月球的运动可视为匀速圆周运动，且
绕行方向相反，如图所示，测得两卫星之间的距离Δr最小为3r、最大为
5r，Δr的变化周期为T，不考虑两卫星之间的作用力。下列说法正确的是
（　　）
A. a、b两卫星的线速度大小之比va∶vb＝∶
B. a、b两卫星的加速度大小之比aa∶ab＝4∶1
C. a卫星的运行周期为T
D. b卫星的运行周期为7T
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解析： 　设a、b两卫星的轨道半径分别为ra、rb，根据题意及题图可知ra
＋rb＝5r，rb－ra＝3r，联立解得ra＝r，rb＝4r，根据G＝m，可得v＝
，所以＝＝，A错误；根据G＝ma，可得a＝，所以＝
＝，B错误；根据a、b两卫星两次相距最近的时间为T，可知＋
＝1，因＝＝，联立解得Ta＝T，Tb＝9T，C正确，D错误。
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10. （2026·内蒙古包头模拟）在恒星形成后的演化过程中，一颗恒星可能
在运动中接近并捕获另外两颗恒星，逐渐形成稳定的三星系统。如图所示
是由三颗星体构成的系统，星体B、C的质量均为m，星体A的质量是星体B
的4倍，忽略其他星体对它们的作用，三颗星体在相互之间的万有引力作
用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心在三角形所
在的平面内做圆周运动。星体A、B、C的向心
加速度大小之比为（　　）
A. ∶7∶7 B. 4∶7∶7
C. 1∶4∶4 D. 1∶7∶7
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解析： 　由几何关系知FBA＝FCA，设B、A间的距离为d，则FBA＝G，
A所受的合力FA＝2FBAcos 30°，联立可得FA＝，由几何对称性可知
星体B、C受力大小相等，根据牛顿第三定律FAB＝FBA＝G，又FCB＝
G，设星体B所受的合力为FB，正交分解FAB，有FBx＝FABcos 60°＋FCB＝
，FBy＝FABsin 60°＝，则FB＝＝，则
anA∶anB∶anC＝∶∶＝∶7∶7，故A正确。
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