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第14讲　功和功率
1.（2026·安徽芜湖期末）中国杂技“爬杆”屡获国际大奖，某次表演中，杂技演员双手紧握固定在地面上的竹竿匀速攀升和匀速下滑时，所受的摩擦力分别是Ff1和Ff2，已知Ff1是静摩擦力，Ff2是滑动摩擦力，则下列说法中正确的是（　　）
A. Ff1对杂技演员做了正功
B. Ff1对杂技演员做了负功
C. Ff2对杂技演员做了正功
D. Ff2对杂技演员做了负功
2.（2026·重庆万州区联考）中国高铁交通运行举世瞩目。设定某高铁运行时所受阻力大小f与车速v之间的关系为f＝kv2（k为定值），在甲、乙两段水平轨道上匀速直线行驶的速度大小分别为300 km/h、200 km/h。则该高铁在甲、乙两段水平轨道上匀速直线行驶时，其发动机的输出功率的比值为（　　）
A. B.
C. D.
3.（2026·陕西榆林期末）如图甲所示，一滑块沿水平面向左运动，与水平轻弹簧接触后将弹簧压缩到最短，弹簧始终处在弹性限度内，图乙为测得的弹簧的弹力与弹簧压缩量之间的关系图像，由图可知，弹簧的压缩量由4 cm变为8 cm的过程中，弹簧弹力对滑块所做的功为（　　）
A.－3.6 J B.3.6 J
C.－1.8 J D.1.8 J
4.（2026·江西吉安模拟）如图所示，建筑工地上有一工人背起总质量为m的砖块，将后背看作斜面，后背与水平面的夹角为θ，工人背起砖块后由静止开始沿水平面做匀加速直线运动，加速度大小为a，砖块与工人之间始终保持相对静止，砖块与工人后背之间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，则在工人向前运动L距离的过程中，工人对砖块做的功为（　　）
A.maL B.maLcos θ
C.μmgLcos2θ D.mLsin θ
5.（2026·山东青岛期末）如图所示，某水车边缘均匀分布着30个盛水的竹筒，在水流冲击下，水车边缘以 m/s的速率匀速转动，当装满水的竹筒到达最高处时将水全部倒入水槽中。已知水车的半径为5 m，每个竹筒中装入水的质量均为1 kg。忽略竹筒装水的过程和水车浸入水的深度，重力加速度g＝10 m/s2，则水车运水的功率为（　　）
A.50 W B.25 W
C.15 W D.10 W
6.〔多选〕（2026·甘肃白银期末）某国产新能源汽车的质量为1.2×103 kg，在水平路面上测试时，其速度大小的倒数与加速度大小a的关系图像如图所示，在行驶过程中，该车的功率与所受的阻力均恒定，则该车在行驶过程中（　　）
A.所受阻力大小为4 000 N
B.所受阻力大小为1 200 N
C.功率为4 000 W
D.功率为1 200 W
7.〔多选〕（2026·山东烟台模拟）如图所示，半径为R的四分之一光滑圆弧竖直固定，最低点A放置一质量为m的物块，可视为质点。物块在方向始终沿圆弧切线的推力F作用下由A运动到B，力F大小恒为mg。对于该运动过程，下列说法正确的是（　　）
A.力F做功大小为mgR
B.力F做功大小为
C.力F的功率先增大后减小
D.克服重力做功的功率一直增大
8.过去人们通常用驴来拉磨把谷物磨成面粉，如图甲所示。假设驴拉磨可以看成做匀速圆周运动，示意图如图乙所示，驴对磨杆末端的拉力F＝800 N，拉力沿圆周切线方向，磨杆的半径r＝0.7 m，驴拉磨转动一周的时间为7 s，π≈3，则下列说法正确的是（　　）
A.磨杆上各点的线速度均相等
B.驴转动一周拉力所做的功为1 680 J
C.驴转动一周拉力的平均功率为480 W
D.磨杆末端的线速度大小为0.3 m/s
9.（2026·江苏扬州联考）图甲起重机某次从t＝0时刻由静止开始提升质量为m＝150 kg的物体，其a-t图像如图乙所示，5～10 s内起重机的功率为额定功率，不计其他阻力，取重力加速度为g＝10 m/s2，则以下说法正确的是（　　）
A.物体在0～10 s内运动的最大速度为10 m/s
B.起重机的额定功率为1 800 W
C.5～10 s内起重机对物体做的功等于0～5 s内起重机对物体做功的1.5倍
D.5～10 s内起重机对物体做的功等于0～5 s内起重机对物体做功的2倍
10.（2026 · 广东汕头联考）汕头海湾隧道全长约6.68公里，全段最高限速为60 km/h。海湾隧道中间为盾构段，埋于海底，南北两侧路段以较小的坡度与盾构段连接，全段可简化为如图所示模型。一汽车从南岸由静止开始以1 m/s2的加速度沿斜面向下匀加速启动，已知汽车质量为2.0×103 kg，汽车所受阻力恒为重力的0.2倍。斜面倾角的正弦值sin θ＝0.1，取重力加速度g＝10 m/s2。
（1）若汽车发动机的最大功率为P0＝5.6×104 W，下坡阶段足够长，求汽车下坡阶段做匀加速直线运动的时间；
（2）若汽车在上、下坡时均以最高限速匀速行驶，则下坡和上坡时的汽车发动机功率之比为多少。
第14讲　功和功率
1.D　Ff1对杂技演员不做功，因为静摩擦力作用点的位移等于0，A、B错误；Ff2向上与杂技演员的运动方向相反，所以 Ff2对杂技演员做了负功，C错误，D正确。
2.C　该高铁水平匀速直线行驶，其发动机的输出功率P＝Fv＝fv＝kv3，因此在甲、乙两段水平轨道上匀速直线行驶时，发动机的输出功率之比＝＝，故C正确。
3.C　根据W＝Fx可知，弹簧弹力做功等于F-x图像与x轴所围成的面积，则W＝－×0.04 J＝－1.8 J，故选C。
4.A　由牛顿第二定律，砖块受到的合力F合＝ma，方向水平向前，人对砖块的作用力为支持力和静摩擦力的合力F，设F与水平方向成α角，如图所示，Fcos α＝F合＝ma，所以工人对砖块做的功为W＝FLcos α＝maL，故A正确。
5.A　水车转动的周期为T＝，水车转动一圈对水做的功W＝2nmgR，则水车的功率P＝＝＝50 W，故A正确。
6.AC　在行驶过程中，该车的功率与所受的阻力均恒定，根据牛顿第二定律可得F－f＝ma，又P＝Fv，可得＝a＋，由题图可知＝1 s·m－1，＝ s3·m－2，解得f＝4 000 N，P＝4 000 W，故选A、C。
7.BD　由于力F方向始终沿圆弧切线，且大小恒为mg ，根据变力做功的计算方法，这里可以用微元法。把圆弧分成很多小段，每一小段上力F做的功ΔW＝FΔl（Δl是每一小段的弧长） ，则力F做功的大小W＝F（Δl1＋Δl2＋Δl3＋…＋Δln）＝Fs＝mg×＝，故A错误，B正确；从A到B过程，F始终大于重力沿切线方向的分力，所以物块一直在做加速运动，速度一直在增大，根据P＝Fv（F与v始终夹角为0°），可知F的功率一直在增大，故C错误；设重力方向与速度方向夹角为θ，由题图可知，对于该运动过程，θ从90°增大到180°，则克服重力做功的功率PG＝v，可知一直在增大，v也在增大，故克服重力做功的功率一直增大，故D正确。
8.C　磨杆上各点的角速度相等，根据v＝ωr可知，半径不同，则线速度不同，故A错误；驴转动一周拉力所做的功为W＝Fs＝F×2πr≈800×2×3×0.7 J＝3 360 J，故B错误；驴转动一周拉力的平均功率为P＝＝ W＝480 W，故C正确；磨杆末端的线速度大小为v＝≈ m/s＝0.6 m/s，故D错误。
9.D　由a-t图像可知，物体在0～5 s做匀加速直线运动，5 s时物体的速度为v1＝at1＝2×5 m/s＝10 m/s，由于5 s后物体继续做加速度逐渐减小的加速运动，可知物体在0～10 s内运动的最大速度大于10 m/s，故A错误；由a-t图像可知，在5 s时，物体结束匀加速运动，此时起重机功率达到最大功率，根据牛顿第二定律可得F－mg＝ma，解得F＝1 800 N，则起重机的额定功率为P额＝Fv1＝1 800×10 W＝18 000 W，故B错误；0～5 s内，物体的位移为x1＝t1＝×5 m＝25 m，0～5 s内起重机对物体做的功为W1＝Fx1＝1 800×25 J＝45 000 J，5～10 s内起重机保持额定功率不变，则5～10 s内起重机对物体做的功W2＝P额t＝18 000×5 J＝90 000 J，可得W2＝2W1，故C错误，D正确。
10.（1）14 s　（2）
解析：（1）汽车下坡时，以恒定加速度启动，有 F＋mgsin θ－f＝ma
其中f＝0.2mg，汽车加速运动过程中，功率逐渐增加，刚达到P0时，有P0＝Fv，v＝at
解得t＝14 s。
（2）汽车下坡过程中以最高时速vm匀速行驶，有F1＋mgsin θ＝f
设此时汽车发动机功率为P1，有P1＝F1vm
汽车上坡过程中以最高时速vm匀速行驶，有F2＝mgsin θ＋f
设此时汽车发动机功率为P2，有P2＝F2vm
解得＝。
1 / 1第14讲　功和功率
1.理解功的概念，会判断正、负功，会计算功的大小。 2.理解功率的概念，会求解平均功率和瞬时功率。 3.会分析两种机车启动方式中各物理量的变化并能进行相关计算。
考点一　功
知识速记
1.做功的两个要素
（1）作用在物体上的　　　　。
（2）物体在　　　　上发生位移。
2.公式W＝Flcos α
（1）α是力与　　　　方向之间的夹角，l为物体的位移。
（2）该公式只适用于　　　　做功。
3.功的正负
（1）当0≤α＜时，W＞0，力对物体做　　　　。
（2）当α＝时，W＝0，力对物体　　　　。
（3）当＜α≤π时，W＜0，力对物体做　　　　，或者说物体　　　　这个力做功。
　〔人教版必修第二册P74“问题”情境〕如图所示为马拉雪橇的情境图。雪橇和人总质量为m，受到与水平方向成θ角斜向上方大小恒为F的拉力，匀速运动了一段位移L。雪橇与水平地面之间的动摩擦因数为μ，判断下列说法的正误。
（1）拉力F对雪橇做功为FL。（　　）
（2）摩擦力对雪橇做正功。（　　）
（3）重力做功为零。（　　）
（4）雪橇所受的合外力对其做功为零。（　　）
要点深化
1.恒力做功的计算方法
2.合力做功的计算方法
方法一 先求合外力F合，再用W合＝F合lcos α求功。适用于F合为恒力的过程
方法二 先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功
方法三 利用动能定理W合＝ΔEk
（2026·四川眉山期末）图甲为一女士站在台阶式自动扶梯上匀加速上楼（忽略扶梯对手的作用），图乙为一男士站在履带式自动扶梯上匀速上楼，两人相对扶梯均静止。下列关于做功的判断正确的是（　　）
A.图甲中支持力对人不做功
B.图甲中摩擦力对人做正功
C.图乙中支持力对人做正功
D.图乙中摩擦力对人做负功
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（2026·江苏苏州月考）将一质量为m的小球从地面竖直向上抛出，小球上升h后又落回地面，在整个过程中受到的空气阻力大小始终为f，重力加速度为g，则关于这个过程中重力与空气阻力所做的功，下列说法正确的是（　　）
A.重力做的功为2mgh，空气阻力做的功为－2fh
B.空气阻力做的功为0，合力做功为－2fh
C.空气阻力做的功为－2fh，合力做功也为－2fh
D.重力做的功为2mgh，合力做的功为－2fh
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
变力做功的计算方法
方法 图例 方法解读
微元法 图中质量为m的物体在水平面内沿着圆周运动一周的过程中，摩擦力做功Wf＝－FfΔx1－FfΔx2－FfΔx3－…＝－Ff（Δx1＋Δx2＋Δx3＋…）＝－Ff·2πR，适用于力的大小不变而方向变化的情况
W＝Pt 公式法 如果功率恒定，可以利用公式W＝Pt计算功，图中力在前3 s内做功W＝P1t1＋P2t2＋P3t3＝6 J
平均 力法 水平面光滑，A、B始终相对静止 如果力随位移线性变化，在一段位移x内的初、末位置对应的力分别为F1、F2，则物体受到的平均力为 ＝，此变力所做的功W＝x
F-x图 像法 图线与x轴所围“面积”表示力F在这段位移内所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正功，位于x轴下方的“面积”为负功。图中拉力所做的功W＝x0
等效转 换法 F为恒力 图中恒力F把物块从位置A拉到位置B过程中绳子对物块做功W＝F
动能定 理法 应用动能定理可以求解变力做功。图中用力F把小球从A处缓慢拉到B处，则有WF－mgl（1－cos θ）＝0，得WF＝mgl（1－cos θ）
〔多选〕力F对物体所做的功可由公式W＝Flcos α求得。公式中力F必须是恒力。而实际问题中，有很多情况是变力在对物体做功。如图所示，对于甲、乙、丙、丁四种情况下求解某个力所做的功，下列说法正确的是（　　）
A.图甲中若F大小不变，物块从A到C过程中绳对物块做的功为W＝F（lOA－lOC）
B.图乙中，全过程中F做的总功为72 J
C.图丙中，绳长为R，若空气阻力f大小不变，小球从A运动到B过程中空气阻力做的功W＝πRf
D.图丁中，F始终保持水平，无论是F缓慢将小球从P拉到Q，还是F为恒力将小球从P拉到Q，F做的功都是W＝Flsin θ
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.（2026·河北廊坊模拟）石磨是把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一种工具。如图所示，石磨由下盘（不动盘）和上盘（转动盘）两部分组成。某人在手柄AB上施加方向总与OB垂直、大小为10 N的水平作用力使石磨上盘匀速转动，已知B点到转轴O的距离为0.3 m，则石磨上盘匀速转动一周的过程中摩擦力所做的功约为（　　）
A.0 B.－3 J
C.－6 J D.－18 J
2.〔多选〕（2026·云南昆明期末）如图，质量为m的物块放置在水平地面上，
右端连接一根轻弹簧，现对弹簧施加水平向右缓慢变大的拉力，当弹簧伸长L时物块开始运动，物块开始运动后保持拉力F不变将物块沿水平地面缓慢拉动距离L，取重力加速度为g，已知物块与水平地面的动摩擦因数μ＝0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（　　）
A.物块缓慢向右移动时，拉力F＝1.5mg
B.弹簧的劲度系数为
C.整个过程中拉力做的功为0.75mgL
D.整个过程克服摩擦力做的功为mgL
考点二　功率
　　
知识速记
1.定义：功与完成这些功所用　　　　之比。
2.物理意义：描述力对物体做功的　　　　。
3.公式
（1）P＝，P描述时间t内力对物体做功的　　　　。
（2）P＝Fvcos α
①v为平均速度，则P为　　　　功率。
②v为瞬时速度，则P为　　　　功率。
　〔教科版必修第二册P88“活动”情境〕引体向上分为两个过程：身体从最低点升到最高点的“上引”过程，身体从最高点回到最低点的“下放”过程，如图所示，已知该同学某次“下放”过程中重力做功为W，所需的时间为t，判断下列说法的正误。
（1）“下放”过程中，重力的平均功率为P＝。（　　）
（2）要确定“下放”过程中，该同学某一时刻的功率，还需要知道该时刻的速度。（　　）
（3）“上引”过程，该同学克服重力的瞬时功率一直在增加。（　　）
要点深化
1.平均功率的计算方法
（1）利用＝。
（2）利用＝F·cos α，其中为物体运动的平均速度，F为恒力，F与的夹角α不变。
2.瞬时功率的计算方法
（1）利用公式P＝Fvcos α，其中v为t时刻的瞬时速度。F可为恒力，也可为变力，α为F与v的夹角，α可以不变，也可以变化。
（2）公式P＝Fvcos α中，Fcos α可认为是力F在速度v方向上的分力，vcos α可认为是速度v在力F方向上的分速度。
（2026·江苏宿迁模拟）如图所示，汽车定速巡航（即速率不变）从左至右通过拱形路面。若汽车行驶过程中所受阻力大小不变，则该过程中汽车牵引力的功率（　　）
A.一直减小 B.一直增大
C.先减小后增大 D.先增大后减小
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（2026·广东汕头期中）我国最早的跳绳记载可追溯至汉代，如今，跳绳不仅是传统民俗活动，更成为一项风靡全球的竞技运动。某跳绳运动员原地跳绳时，他的速度大小v和时间t的关系图像如图所示，已知该运动员的质量为48 kg，重力加速度大小取10 m/s2，忽略空气阻力，则该运动员跳绳过程中克服重力做功的平均功率为（　　）
A.240 W B.120 W
C.80 W D.60 W
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　★（2026·广西河池模拟）穿越机比无人机有着更高的速度，更强的机动性。如图，某穿越机沿水平方向做加速直线运动，某时刻空气对其作用力F与运动方向成θ夹角，速度为v，穿越机重力为G，则此时（　　）
A.重力的功率为Gv
B.重力的功率为Gvcos θ
C.空气对其作用力的功率为v
D.空气对其作用力的功率为v
考点三　机车启动问题
要点深化
两种启动方式
项目 以恒定功率启动 以恒定加速度启动
P-t图像和v-t图像
OA段 过程分析 v↑ F＝↓ a＝↓ a＝不变 F不变 P＝Fv↑直到P＝P额＝Fv1
运动性质 加速度减小的加速直线运动 匀加速直线运动，维持时间t1＝
AB段 过程分析 F＝F阻 a＝0 vm＝ v↑ F＝↓ a＝↓
运动性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的加速直线运动
BC段 — F＝F阻 a＝0 以vm＝做匀速直线运动
（2026·山东泰安期末）有一质量m＝1 000 kg的混合动力轿车，在平直公路上以v＝24 m/s的速度匀速行驶，蓄电池不工作，汽油发动机的输出功率为P1＝48 kW。当司机看到前方较长一段距离内无其他车辆时，便使轿车汽油发动机和电动机开始同时工作（以该时刻作为计时起点），汽油发动机的输出功率保持不变仍为48 kW，电动机输出功率P2恒定，轿车汽油发动机和电动机同时工作之后的v-t图像如图所示。若轿车运动过程中所受阻力始终不变，则电动机输出功率P2为（　　）
A.68 kW B.30 kW
C.20 kW D.10 kW
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★〔多选〕（2026· 湖南长沙模拟）目前，世界上最先进的起重机是我国的“XCA4000”轮式起重机，满足170米的吊装高度，230吨的极限吊装重量，被誉为“全球第一吊”。将质量为m的重物悬空静止后，由静止开始以加速度a匀加速向上提升重物，经过时间t达到额定功率P，重力加速度为g，下面说法正确的是（　　）
A.重物匀速的最大速度为
B.重物匀速的最大速度为
C.起重机对重物做的功为Pt
D.起重机达到的额定功率P＝ma（g－a）t
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机车启动问题的几个重要关系式 1.无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝。 2.机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大，但速度不是最大，v＝＜vm＝。
第14讲　功和功率
考点一
知识速记
1.（1）力　（2）力的方向　2.（1）位移　（2）恒力　3.（1）正功　（2）不做功　（3）负功　克服
教材情境辨析
　（1）×　（2）×　（3）√　（4）√
要点深化
【例1】　B　在图甲中，该女士站在台阶式自动扶梯上匀加速上楼，受到竖直向上的支持力，水平向前的摩擦力，支持力与位移夹角小于90°，摩擦力方向与位移方向夹角也小于90°，根据功的定义W＝Flcos θ，可知支持力对人做正功，摩擦力对人做正功，故A错误，B正确；在图乙中，该男士站在履带式自动扶梯上匀速上楼，通过分析，可知支持力与速度方向垂直，支持力不做功；而静摩擦力方向与速度方向相同，故静摩擦力做正功，故C、D错误。
【例2】　C　从抛出至落回出发点的过程中，位移为零，所以重力所做的功WG＝0，上升过程，空气阻力对小球做功为W1＝－fh，下落过程，空气阻力对小球做功W2＝－fh，则从抛出到落回到抛出点的过程中，空气阻力对小球做的功为Wf＝W1＋W2＝－2fh，则合力做的功为W合＝WG＋Wf＝－2fh，故C正确。
拓展空间
【典例】　AB　转化法：图甲中因力对绳做的功等于绳对物块做的功，则物块从A到C过程中绳对物块做的功为W＝F（lOA－lOC），故A正确；图像法：图乙中，F-x图线与坐标轴围成的面积代表功，则全过程中F做的总功为W＝15×6 J＋（－3）×6 J＝72 J，故B正确；微元法：图丙中，绳长为R，若空气阻力f大小不变，方向始终与运动方向相反，可用微元法得小球从A运动到B过程中空气阻力做的功为W＝－f·＝－πRf，故C错误；动能定理法：图丁中，F始终保持水平，当F为恒力时将小球从P拉到Q，F做的功是W＝Flsin θ，而F缓慢将小球从P拉到Q，F为水平方向的变力，F做的功不能直接用力乘以位移计算，要根据动能定理求解力F做功，故D错误。
强化训练
1.D　由题意可知，F与摩擦力一直是平衡力，F克服摩擦力做功，因F大小不变，方向不断变化，则在微小的位移内可认为是恒力，则利用微元法可得F在微小位移内所做功为ΔW＝FΔx，根据W＝∑ΔW＝F∑Δx＝F·2πL＝10×2π×0.3 J＝6π J≈18 J ，可知摩擦力所做的功约为－18 J，故选D。
2.BC　物块缓慢运动时，由平衡条件得F＝F弹＝μmg＝kL，解得F＝F弹＝0.5mg，k＝，故A错误，B正确；整个过程中拉力做功为WF＝×L＋F·L＝0.75mgL，故C正确；整个过程克服摩擦力做的功为Wf＝μmgL＝0.5mgL，故D错误。
考点二
知识速记
1.时间　2.快慢　3.（1）快慢　（2）①平均　②瞬时
教材情境辨析
　（1）√　（2）√　（3）×
要点深化
【例3】　A　汽车定速巡航（即速率不变），上坡过程，由平衡条件可得汽车的牵引力大小为F＝mgsin θ＋f，其中θ为汽车轨迹切线与水平方向的夹角，f为阻力，根据功率P＝Fv＝v，汽车沿拱形路面上坡的过程中，θ减小，所以牵引力逐渐减小，可知功率逐渐减小。下坡过程，F＋mgsin θ＝f，θ变大，所以牵引力逐渐减小，功率也在逐渐减小。故A正确。
【例4】　D　该运动员每跳一次克服重力做的功为W＝mgh＝mg×gt2＝24 J，每跳一次用时为t1＝0.4 s，因此克服重力做功的平均功率为P＝＝60 W，故D正确。
强化训练
　C　重力的方向与穿越机的运动方向垂直，所以重力的功率为0，故A、B错误；空气对穿越机的作用力在运动方向的分力F水平＝，则空气对其作用力的功率为P＝F水平v＝v，故C正确，D错误。
考点三
要点深化
【例5】　C　设轿车运动过程中所受阻力为F阻，汽油发动机单独工作以v＝24 m/s的速度匀速行驶时，牵引力大小等于阻力，此时v1＝v＝24 m/s，由功率公式则有P1＝F阻v1，轿车汽油发动机和电动机同时工作之后，由v-t图像可知，最大速度为v2＝34 m/s，牵引力大小等于阻力，则有P1＋P2＝F阻v2，解得P2＝20 kW，故C正确。
【例6】　AC　起重机输出功率达到额定功率后，功率不再增加，当起重机对重物的拉力等于重物的重力时，重物达到最大速度P＝mgvm，则vm＝，故A正确，B错误；根据位移与时间公式得x＝v't，起重机对重物做的功为W＝Fx，又P＝Fv'，解得W＝Pt，故C正确；重物做匀加速直线运动，经过时间t达到速度v'＝at，根据牛顿第二定律，可得F－mg＝ma，又因为P＝Fv'，联立解得P＝mat，故D错误。
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第14讲　功和功率
目标要求
1. 理解功的概念，会判断正、负功，会计算功的大小。
2. 理解功率的概念，会求解平均功率和瞬时功率。
3. 会分析两种机车启动方式中各物理量的变化并能进行相关计算。
目 录
CONTENTS
考点一　功
考点二　功率
考点三　机车启动问题
课时跟踪检测
考点一　功
知识速记
1. 做功的两个要素
（1）作用在物体上的 。
（2）物体在 上发生位移。
2. 公式W＝Flcos α
（1）α是力与 方向之间的夹角，l为物体的位移。
（2）该公式只适用于 做功。
力　
力的方向　
位移　
恒力　
3. 功的正负
（1）当0≤α＜时，W＞0，力对物体做 。
（2）当α＝时，W＝0，力对物体 。
（3）当＜α≤π时，W＜0，力对物体做 ，或者说物体 这
个力做功。
正功　
不做功　
负功　
克服　
　〔人教版必修第二册P74“问题”情境〕如图所示
为马拉雪橇的情境图。雪橇和人总质量为m，受到与
水平方向成θ角斜向上方大小恒为F的拉力，匀速运动
了一段位移L。雪橇与水平地面之间的动摩擦因数为μ，判断下列说法的正误。
（1）拉力F对雪橇做功为FL。 （　×　）
（2）摩擦力对雪橇做正功。 （　×　）
×
×
（3）重力做功为零。 （　√　）
（4）雪橇所受的合外力对其做功为零。 （　√　）
√
√
要点深化
1. 恒力做功的计算方法
2. 合力做功的计算方法
方法一 先求合外力F合，再用W合＝F合lcos α求功。适用于F合为恒力
的过程
方法二 先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W合＝W1＋W2
＋W3＋…求合力做的功
方法三 利用动能定理W合＝ΔEk
（2026·四川眉山期末）图甲为一女士站在台阶式自动扶梯上匀加速上
楼（忽略扶梯对手的作用），图乙为一男士站在履带式自动扶梯上匀速上
楼，两人相对扶梯均静止。下列关于做功的判断正确的是（　B　）
B
A. 图甲中支持力对人不做功
B. 图甲中摩擦力对人做正功
C. 图乙中支持力对人做正功
D. 图乙中摩擦力对人做负功
解析：在图甲中，该女士站在台阶式自动扶梯上匀加速上楼，受到竖直向
上的支持力，水平向前的摩擦力，支持力与位移夹角小于90°，摩擦力方
向与位移方向夹角也小于90°，根据功的定义W＝Flcos θ，可知支持力对
人做正功，摩擦力对人做正功，故A错误，B正确；在图乙中，该男士站在
履带式自动扶梯上匀速上楼，通过分析，可知支持力与速度方向垂直，支
持力不做功；而静摩擦力方向与速度方向相同，故静摩擦力做正功，故
C、D错误。
（2026·江苏苏州月考）将一质量为m的小球从地面竖直向上抛出，小
球上升h后又落回地面，在整个过程中受到的空气阻力大小始终为f，重力
加速度为g，则关于这个过程中重力与空气阻力所做的功，下列说法正确
的是（　C　）
A. 重力做的功为2mgh，空气阻力做的功为－2fh
B. 空气阻力做的功为0，合力做功为－2fh
C. 空气阻力做的功为－2fh，合力做功也为－2fh
D. 重力做的功为2mgh，合力做的功为－2fh
C
解析：从抛出至落回出发点的过程中，位移为零，所以重力所做的功WG＝
0，上升过程，空气阻力对小球做功为W1＝－fh，下落过程，空气阻力对小
球做功W2＝－fh，则从抛出到落回到抛出点的过程中，空气阻力对小球做
的功为Wf＝W1＋W2＝－2fh，则合力做的功为W合＝WG＋Wf＝－2fh，故C
正确。
变力做功的计算方法
方法 图例 方法解读
微元法 图中质量为m的物体在水平面内沿着圆
周运动一周的过程中，摩擦力做功Wf
＝－FfΔx1－FfΔx2－FfΔx3－…＝－Ff
（Δx1＋Δx2＋Δx3＋…）＝－Ff·2πR，
适用于力的大小不变而方向变化的情况
方法 图例 方法解读
W＝Pt 公式法 如果功率恒定，可以利用公式W＝Pt计
算功，图中力在前3 s内做功W＝P1t1＋
P2t2＋P3t3＝6 J
方法 图例 方法解读
平均 力法 水平面光滑，A、B始终相对静止 如果力随位移线性变化，在一段位移x内的初、末位置对应的力分别为F1、F2，则物体受到的平均力为 ＝，此变力所做的功W＝x
F-x图 像法 图线与x轴所围“面积”表示力F在这段位移内所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正功，位于x轴下方的“面积”为负功。图中拉力所做的功W＝x0
方法 图例 方法解读
等效转 换法 F为恒力 图中恒力F把物块从位置A拉到位置B过
程中绳子对物块做功W＝F
动能定 理法 应用动能定理可以求解变力做功。图中
用力F把小球从A处缓慢拉到B处，则有
WF－mgl（1－cos θ）＝0，得WF＝mgl
（1－cos θ）
〔多选〕力F对物体所做的功可由公式W＝Flcos α求得。公式中力F必
须是恒力。而实际问题中，有很多情况是变力在对物体做功。如图所示，
对于甲、乙、丙、丁四种情况下求解某个力所做的功，下列说法正确的是
（　AB　）
AB
A. 图甲中若F大小不变，物块从A到C过程中绳对物块做的功为W＝F（lOA
－lOC）
B. 图乙中，全过程中F做的总功为72 J
C. 图丙中，绳长为R，若空气阻力f大小不变，小球从A运动到B过程中空
气阻力做的功W＝πRf
D. 图丁中，F始终保持水平，无论是F缓慢将小球从P拉到Q，还是F为恒
力将小球从P拉到Q，F做的功都是W＝Flsin θ
解析：转化法：图甲中因力对绳做的功等于绳对物块做的功，则物块从A
到C过程中绳对物块做的功为W＝F（lOA－lOC），故A正确；图像法：图乙
中，F-x图线与坐标轴围成的面积代表功，则全过程中F做的总功为W＝
15×6 J＋（－3）×6 J＝72 J，故B正确；微元法：图丙中，绳长为R，若
空气阻力f大小不变，方向始终与运动方向相反，可用微元法得小球从A运
动到B过程中空气阻力做的功为W＝－f·＝－πRf，故C错误；动能定理
法：图丁中，F始终保持水平，当F为恒力时将小球从P拉到Q，F做的功是
W＝Flsin θ，而F缓慢将小球从P拉到Q，F为水平方向的变力，F做的功不
能直接用力乘以位移计算，要根据动能定理求解力F做功，故D错误。
1. （2026·河北廊坊模拟）石磨是把米、麦、豆等粮食加工成粉、浆的一
种工具。如图所示，石磨由下盘（不动盘）和上盘（转动盘）两部分组
成。某人在手柄AB上施加方向总与OB垂直、大小为10 N的水平作用力使
石磨上盘匀速转动，已知B点到转轴O的距离为0.3 m，则石磨上盘匀速转
动一周的过程中摩擦力所做的功约为（　　）
A. 0 B. －3 J
C. －6 J D. －18 J
√
解析： 　由题意可知，F与摩擦力一直是平衡力，F克服摩擦力做功，因
F大小不变，方向不断变化，则在微小的位移内可认为是恒力，则利用微
元法可得F在微小位移内所做功为ΔW＝FΔx，根据W＝∑ΔW＝F∑Δx＝
F·2πL＝10×2π×0.3 J＝6π J≈18 J ，可知摩擦力所做的功约为－18 J，故
选D。
2. 〔多选〕（2026·云南昆明期末）如图，质量为m的物块放置在水平地面
上，右端连接一根轻弹簧，现对弹簧施加水平向右缓慢变大的拉力，当弹
簧伸长L时物块开始运动，物块开始运动后保持拉力F不变将物块沿水平地
面缓慢拉动距离L，取重力加速度为g，已知物块与水平地面的动摩擦因数
μ＝0.5，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（　　）
A. 物块缓慢向右移动时，拉力F＝1.5mg
B. 弹簧的劲度系数为
C. 整个过程中拉力做的功为0.75mgL
D. 整个过程克服摩擦力做的功为mgL
√
√
解析： 　物块缓慢运动时，由平衡条件得F＝F弹＝μmg＝kL，解得F＝F
弹＝0.5mg，k＝，故A错误，B正确；整个过程中拉力做功为WF＝
×L＋F·L＝0.75mgL，故C正确；整个过程克服摩擦力做的功为Wf＝
μmgL＝0.5mgL，故D错误。
考点二　功率
知识速记
1. 定义：功与完成这些功所用 之比。
2. 物理意义：描述力对物体做功的 。
3. 公式
（1）P＝，P描述时间t内力对物体做功的 。
（2）P＝Fvcos α
①v为平均速度，则P为 功率。
②v为瞬时速度，则P为 功率。
时间　
快慢　
快慢　
平均　
瞬时　
　〔教科版必修第二册P88“活动”情境〕引体向上分为两个过程：身体
从最低点升到最高点的“上引”过程，身体从最高点回到最低点的“下
放”过程，如图所示，已知该同学某次“下放”过程中重力做功为W，所
需的时间为t，判断下列说法的正误。
（1）“下放”过程中，重力的平均功率为P＝。 （　√　）
（2）要确定“下放”过程中，该同学某一时刻的功率，还需要知道该时
刻的速度。 （　√　）
（3）“上引”过程，该同学克服重力的瞬时功率一直在增加。
（　×　）
√
√
×
要点深化
1. 平均功率的计算方法
（1）利用＝。
（2）利用＝F·cos α，其中为物体运动的平均速度，F为恒力，F与的
夹角α不变。
2. 瞬时功率的计算方法
（1）利用公式P＝Fvcos α，其中v为t时刻的瞬时速度。F可为恒力，也可
为变力，α为F与v的夹角，α可以不变，也可以变化。
（2）公式P＝Fvcos α中，Fcos α可认为是力F在速度v方向上的分力，vcos
α可认为是速度v在力F方向上的分速度。
（2026·江苏宿迁模拟）如图所示，汽车定速巡航（即速率不变）从左
至右通过拱形路面。若汽车行驶过程中所受阻力大小不变，则该过程中汽
车牵引力的功率（　A　）
A. 一直减小 B. 一直增大
C. 先减小后增大 D. 先增大后减小
A
解析：汽车定速巡航（即速率不变），上坡过程，由平衡条件可得汽
车的牵引力大小为F＝mgsin θ＋f，其中θ为汽车轨迹切线与水平方向的
夹角，f为阻力，根据功率P＝Fv＝v，汽车沿拱形路面上
坡的过程中，θ减小，所以牵引力逐渐减小，可知功率逐渐减小。下坡
过程，F＋mgsin θ＝f，θ变大，所以牵引力逐渐减小，功率也在逐渐减
小。故A正确。
（2026·广东汕头期中）我国最早的跳绳记载可追溯至汉代，如今，跳
绳不仅是传统民俗活动，更成为一项风靡全球的竞技运动。某跳绳运动员
原地跳绳时，他的速度大小v和时间t的关系图像如图所示，已知该运动员
的质量为48 kg，重力加速度大小取10 m/s2，忽略空气阻力，则该运动员跳
绳过程中克服重力做功的平均功率为（　D　）
D
A. 240 W B. 120 W
C. 80 W D. 60 W
解析：该运动员每跳一次克服重力做的功为W＝mgh＝mg×gt2＝24 J，每
跳一次用时为t1＝0.4 s，因此克服重力做功的平均功率为P＝＝60 W，故
D正确。
　★（2026·广西河池模拟）穿越机比无人机有着更高的速度，更强的机动
性。如图，某穿越机沿水平方向做加速直线运动，某时刻空气对其作用力
F与运动方向成θ夹角，速度为v，穿越机重力为G，则此时（　　）
A. 重力的功率为Gv
B. 重力的功率为Gvcos θ
C. 空气对其作用力的功率为v
D. 空气对其作用力的功率为v
√
解析： 　重力的方向与穿越机的运动方向垂直，所以重力的功率为0，故
A、B错误；空气对穿越机的作用力在运动方向的分力F水平＝，则空气
对其作用力的功率为P＝F水平v＝v，故C正确，D错误。
考点三　机车启动问题
要点深化
两种启动方式
项目 以恒定功率启动 以恒定加速度启动
P-t图像和v-t图像
OA
段 过程分析 v↑ F＝↓ a＝
↓ a＝不变 F不变 P＝Fv↑
直到P＝P额＝Fv1
运动性质 加速度减小的加速直线运动 匀加速直线运动，维持时间t1＝
项目 以恒定功率启动 以恒定加速度启动
AB段 过程分析 F＝F阻 a＝0 vm＝ v↑ F＝↓ a＝↓
运动性质 以vm做匀速直线运动 加速度减小的加速直线运动
BC段 — F＝F阻 a＝0 以vm＝做匀
速直线运动
（2026·山东泰安期末）有一质量m＝1 000 kg的混合动力轿车，在平
直公路上以v＝24 m/s的速度匀速行驶，蓄电池不工作，汽油发动机的输出
功率为P1＝48 kW。当司机看到前方较长一段距离内无其他车辆时，便使
轿车汽油发动机和电动机开始同时工作（以该时刻作为计时起点），汽油
发动机的输出功率保持不变仍为48 kW，电动机输出功率P2恒定，轿车汽
油发动机和电动机同时工作之后的v-t图像如图所示。若轿车运动过程中所
受阻力始终不变，则电动机输出功率P2为（　C　）
C
A. 68 kW B. 30 kW
C. 20 kW D. 10 kW
解析：设轿车运动过程中所受阻力为F阻，汽油发动机单独工作以v＝24 m/s
的速度匀速行驶时，牵引力大小等于阻力，此时，v1＝v＝24 m/s，由功率
公式则有P1＝F阻v1，轿车汽油发动机和电动机同时工作之后，由v-t图像可
知，最大速度为v2＝34 m/s，牵引力大小等于阻力，则有P1＋P2＝F阻v2，解
得P2＝20 kW，故C正确。
★〔多选〕（2026· 湖南长沙模拟）目前，世界上最先进的起重机是我
国的“XCA4000”轮式起重机，满足170米的吊装高度，230吨的极限吊装
重量，被誉为“全球第一吊”。将质量为m的重物悬空静止后，由静止开
始以加速度a匀加速向上提升重物，经过时间t达到额定功率P，重力加速度
为g，下面说法正确的是（　AC　）
AC
A. 重物匀速的最大速度为
B. 重物匀速的最大速度为
C. 起重机对重物做的功为Pt
D. 起重机达到的额定功率P＝ma（g－a）t
解析：起重机输出功率达到额定功率后，功率不再增加，当起重机对重物
的拉力等于重物的重力时，重物达到最大速度P＝mgvm，则vm＝，故A
正确，B错误；根据位移与时间公式得x＝v't，起重机对重物做的功为W＝
Fx，又P＝Fv'，解得W＝Pt，故C正确；重物做匀加速直线运动，经过时
间t达到速度v'＝at，根据牛顿第二定律，可得F－mg＝ma，又因为P＝
Fv'，联立解得P＝mat，故D错误。
机车启动问题的几个重要关系式
1. 无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm
＝。
2. 机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大，但速
度不是最大，v＝＜vm＝。
课时跟踪检测
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1. （2026·安徽芜湖期末）中国杂技“爬杆”屡获国际大奖，某次表演
中，杂技演员双手紧握固定在地面上的竹竿匀速攀升和匀速下滑时，所受
的摩擦力分别是Ff1和Ff2，已知Ff1是静摩擦力，Ff2是滑动摩擦力，则下列
说法中正确的是（　　）
A. Ff1对杂技演员做了正功
B. Ff1对杂技演员做了负功
C. Ff2对杂技演员做了正功
D. Ff2对杂技演员做了负功
√
解析： 　Ff1对杂技演员不做功，因为静摩擦力作用点的位移等于0，A、
B错误；Ff2向上与杂技演员的运动方向相反，所以 Ff2对杂技演员做了负
功，C错误，D正确。
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2. （2026·重庆万州区联考）中国高铁交通运行举世瞩目。设定某高铁运
行时所受阻力大小f与车速v之间的关系为f＝kv2（k为定值），在甲、乙两
段水平轨道上匀速直线行驶的速度大小分别为300 km/h、200 km/h。则该
高铁在甲、乙两段水平轨道上匀速直线行驶时，其发动机的输出功率的比
值为（　　）
A. B.
C. D.
√
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解析： 该高铁水平匀速直线行驶，其发动机的输出功率P＝Fv＝fv＝
kv3，因此在甲、乙两段水平轨道上匀速直线行驶时，发动机的输出功率之
比＝＝，故C正确。
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3. （2026·陕西榆林期末）如图甲所示，一滑块沿水平面向左运动，与水
平轻弹簧接触后将弹簧压缩到最短，弹簧始终处在弹性限度内，图乙为测
得的弹簧的弹力与弹簧压缩量之间的关系图像，由图可知，弹簧的压缩量
由4 cm变为8 cm的过程中，弹簧弹力对滑块所做的功为（　　）
A. －3.6 J B. 3.6 J
C. －1.8 J D. 1.8 J
√
解析： 　根据W＝Fx可知，弹簧弹力做功等于F-x图像与x轴所围成的面
积，则W＝－×0.04 J＝－1.8 J，故选C。
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4. （2026·江西吉安模拟）如图所示，建筑工地上有一工人背起总质量为m
的砖块，将后背看作斜面，后背与水平面的夹角为θ，工人背起砖块后由
静止开始沿水平面做匀加速直线运动，加速度大小为a，砖块与工人之间
始终保持相对静止，砖块与工人后背之间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦
力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，则在工人向前运动L距离的过程中，
工人对砖块做的功为（　　）
A. maL B. maLcos θ
C. μmgLcos2θ D. mLsin θ
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解析： 　由牛顿第二定律，砖块受到的合力F合＝ma，方向水平向前，人对砖块的作用力为支持力和静摩擦力的合力F，设F与水平方向成α角，如图所示，Fcos α＝F合＝ma，所以工人对砖块做的功为W＝FLcos α＝maL，故A正确。
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5. （2026·山东青岛期末）如图所示，某水车边缘均匀分布着30个盛水的
竹筒，在水流冲击下，水车边缘以 m/s的速率匀速转动，当装满水的竹筒
到达最高处时将水全部倒入水槽中。已知水车的半径为5 m，每个竹筒中
装入水的质量均为1 kg。忽略竹筒装水的过程和水车浸入水的深度，重力
加速度g＝10 m/s2，则水车运水的功率为（　　）
A. 50 W B. 25 W
C. 15 W D. 10 W
√
解析： 水车转动的周期为T＝，水车转动一圈对水做的功W＝
2nmgR，则水车的功率P＝＝＝50 W，故A正确。
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6. 〔多选〕（2026·甘肃白银期末）某国产新能源汽车的质量为1.2×103
kg，在水平路面上测试时，其速度大小的倒数与加速度大小a的关系图像
如图所示，在行驶过程中，该车的功率与所受的阻力均恒定，则该车在行
驶过程中（　　）
A. 所受阻力大小为4 000 N
B. 所受阻力大小为1 200 N
C. 功率为4 000 W
D. 功率为1 200 W
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解析： 在行驶过程中，该车的功率与所受的阻力均恒定，根据牛顿第
二定律可得F－f＝ma，又P＝Fv，可得＝a＋，由题图可知＝1 s·m－
1，＝ s3·m－2，解得f＝4 000 N，P＝4 000 W，故选A、C。
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7. 〔多选〕（2026·山东烟台模拟）如图所示，半径为R的四分之一光滑圆
弧竖直固定，最低点A放置一质量为m的物块，可视为质点。物块在方向始
终沿圆弧切线的推力F作用下由A运动到B，力F大小恒为mg。对于该运动
过程，下列说法正确的是（　　）
A. 力F做功大小为mgR
B. 力F做功大小为
C. 力F的功率先增大后减小
D. 克服重力做功的功率一直增大
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解析： 由于力F方向始终沿圆弧切线，且大小恒为mg ，根据变力做
功的计算方法，这里可以用微元法。把圆弧分成很多小段，每一小段上力
F做的功ΔW＝FΔl（Δl是每一小段的弧长） ，则力F做功的大小W＝
F＝Fs＝mg×＝，故A错误，B正确；从
A到B过程，F始终大于重力沿切线方向的分力，所以物块一直在做加速运
动，速度一直在增大，根据P＝Fv（F与v始终夹角为0°），可知F的功率
一直在增大，故C错误；设重力方向与速度方向夹角为θ，由题图可知，对
于该运动过程，θ从90°增大到180°，则克服重力做功的功率PG＝
v，可知一直在增大，v也在增大，故克服重力做功的功率
一直增大，故D正确。
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8. 过去人们通常用驴来拉磨把谷物磨成面粉，如图甲所示。假设驴拉磨可
以看成做匀速圆周运动，示意图如图乙所示，驴对磨杆末端的拉力F＝800
N，拉力沿圆周切线方向，磨杆的半径r＝0.7 m，驴拉磨转动一周的时间
为7 s，π≈3，则下列说法正确的是（　　）
A. 磨杆上各点的线速度均相等
B. 驴转动一周拉力所做的功为1 680 J
C. 驴转动一周拉力的平均功率为480 W
D. 磨杆末端的线速度大小为0.3 m/s
√
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解析： 　磨杆上各点的角速度相等，根据v＝ωr可知，半径不同，则线速
度不同，故A错误；驴转动一周拉力所做的功为W＝Fs＝
F×2πr≈800×2×3×0.7 J＝3 360 J，故B错误；驴转动一周拉力的平均功
率为P＝＝ W＝480 W，故C正确；磨杆末端的线速度大小为v＝
≈ m/s＝0.6 m/s，故D错误。
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9. （2026·江苏扬州联考）图甲起重
机某次从t＝0时刻由静止开始提升质
量为m＝150 kg的物体，其a-t图像如
图乙所示，5～10 s内起重机的功率
为额定功率，不计其他阻力，取重力
加速度为g＝10 m/s2，则以下说法正确的是（　　）
A. 物体在0～10 s内运动的最大速度为10 m/s
B. 起重机的额定功率为1 800 W
C. 5～10 s内起重机对物体做的功等于0～5 s内起重机对物体做功的1.5倍
D. 5～10 s内起重机对物体做的功等于0～5 s内起重机对物体做功的2倍
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解析： 　由a-t图像可知，物体在0～5 s做匀加速直线运动，5 s时物体的
速度为v1＝at1＝2×5 m/s＝10 m/s，由于5 s后物体继续做加速度逐渐减小的
加速运动，可知物体在0～10 s内运动的最大速度大于10 m/s，故A错误；
由a-t图像可知，在5 s时，物体结束匀加速运动，此时起重机功率达到最大
功率，根据牛顿第二定律可得F－mg＝ma，解得F＝1 800 N，则起重机的
额定功率为P额＝Fv1＝1 800×10 W＝18 000 W，故B错误；0～5 s内，物体
的位移为x1＝t1＝×5 m＝25 m，0～5 s内起重机对物体做的功为W1＝
Fx1＝1 800×25 J＝45 000 J，5～10 s内起重机保持额定功率不变，则5～10
s内起重机对物体做的功W2＝P额t＝18 000×5 J＝90 000 J，可得W2＝2W1，
故C错误，D正确。
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10. （2026 · 广东汕头联考）汕头海湾隧道全长约6.68公里，全段最高限
速为60 km/h。海湾隧道中间为盾构段，埋于海底，南北两侧路段以较小的
坡度与盾构段连接，全段可简化为如图所示模型。一汽车从南岸由静止开
始以1 m/s2的加速度沿斜面向下匀加速启动，已知汽车质量为2.0×103
kg，汽车所受阻力恒为重力的0.2倍。斜面倾角的正弦值sin θ＝0.1，取重
力加速度g＝10 m/s2。
（1）若汽车发动机的最大功率为P0＝5.6×104 W，下坡阶段足够长，求汽
车下坡阶段做匀加速直线运动的时间；
答案： 14 s　
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解析： 汽车下坡时，以恒定加速度启动，有 F＋mgsin θ－f＝ma
其中f＝0.2mg，汽车加速运动过程中，功率逐渐增加，刚达到P0时，有P0
＝Fv，v＝at
解得t＝14 s。
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（2）若汽车在上、下坡时均以最高限速匀速行驶，则下坡和上坡时的汽
车发动机功率之比为多少。
答案：
解析：汽车下坡过程中以最高时速vm匀速行驶，有F1＋mgsin θ＝f
设此时汽车发动机功率为P1，有P1＝F1vm
汽车上坡过程中以最高时速vm匀速行驶，有F2＝mgsin θ＋f
设此时汽车发动机功率为P2，有P2＝F2vm
解得＝。
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