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第16讲　机械能守恒定律
1.（2026·广西北海期末）如图所示，是一种叫作“火箭蹦极”的游戏项目，惊险刺激深受年轻人喜爱。游戏开始前，装置中间的“蹦极球”会被锁定在最低点，此时两侧弹性绳索被拉长，人坐入球中系好安全带后解锁，“蹦极球”就会被向上抛出，上下反复很多来回后最终静止在空中。则下列说法正确的是（　　）
A.整个过程“蹦极球”、人和弹性绳索组成的系统机械能守恒
B.“蹦极球”从解锁到上升至最高点的过程中，动能一直增大
C.“蹦极球”从解锁到上升至最高点的过程中，重力势能一直增大
D.“蹦极球”从解锁到上升至最高点的过程中，绳索的弹性势能一直减小
2.〔多选〕（2026·北京延庆期末）如图所示，木块B与水平弹簧相连放在光滑水平面上，子弹A沿水平方向射入木块后留在木块B内，入射时间极短，而后木块将弹簧压缩到最短。关于子弹和木块组成的系统，下列说法中正确的是（　　）
A.子弹射入木块的过程中系统机械能守恒
B.子弹射入木块的过程中系统机械能不守恒
C.木块压缩弹簧过程中，子弹、木块和弹簧组成的系统机械能不守恒
D.木块压缩弹簧过程中，子弹、木块和弹簧组成的系统机械能守恒
3.（2026·江西萍乡期末）如图所示，轻质弹簧竖直放置，下端固定。将一木块从弹簧正上方某一位置静止释放，木块压缩弹簧后会重新回到释放点。已知弹簧始终在弹性限度内。关于木块从接触弹簧到离开弹簧的过程中，下列说法正确的是（　　）
A.弹簧的弹性势能先增大后减小
B.木块的机械能守恒
C.刚接触弹簧时，木块的动能最大
D.弹簧压缩到最短时，木块的重力势能的减少量等于弹簧的弹性势能
4.（2025·新课标高考2题）如图，撑杆跳高运动中，运动员经过助跑、撑杆起跳，最终越过横杆。若运动员起跳前助跑速度为10 m/s，则理论上运动员助跑获得的动能可使其重心提升的最大高度为（重力加速度取10 m/s2）（　　）
A.4 m　　　B.5 m C.6 m　　　D.7 m
5.（2026·广东广州期末）“打水漂”是人类最古老的游戏之一，游戏者运用手腕的力量让抛出去的石片在水面上弹跳数次。如图所示，游戏者在岸边以速度v水平抛出质量为m的石片，抛出后石片落到比抛出点低h的水面上。若以抛出点为零势能点，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　）
A.抛出后石片第一次落到水面时动能为mgh
B.抛出后石片第一次落到水面上的机械能为mv2
C.抛出后石片第一次落到水面上的动能为mv2
D.抛出后石片第一次落到水面时的重力的瞬时功率大小为mg
6.（2026·广西桂林期末）有一竖直放置的光滑“T”形架，滑块A、B分别套在水平杆与竖直杆上，A、B用一不可伸长的轻绳相连，A、B质量相等，且可看作质点，如图所示。开始时轻绳水平伸直，A、B静止。由静止释放B后，已知当轻绳与竖直方向的夹角为60°时，B沿着竖直杆下滑的速度为v，则（　　）
A.该过程滑块A的速度先增大后减小
B.连接A、B的绳长为
C.滑块A、B组成的系统机械能不守恒
D.当轻绳与竖直方向的夹角为60°时，滑块A的速度vA＝v
7.（2026·江苏常州模拟）如图所示，不可伸长、长为l的轻细线一端固定于O点，另一端连接一小球，此时细线刚好伸直，角度θ＝30°。现将小球静止释放，不计空气阻力，重力加速度为g，则小球运动到O点正下方时速度的大小为（　　）
A. B.
C. D.
8.（2026·福建福州期末）某同学闲暇时将手中的弹簧笔内的弹簧取出并固定在桌面上，用小笔帽套在弹簧上，竖直向下按压在水平桌面上（如图甲所示）。当他突然松手后弹簧将小笔帽竖直向上弹起，不计其受到的阻力，上升过程中的Ek-h图像如图乙所示（h2到h3部分为直线），则上升过程中，下列判断正确的是（　　）
A.弹簧原长为h1
B.O到h1之间弹簧弹性势能全部转化为小笔帽的动能
C.h2到h3之间小笔帽机械能不变
D.h1到h2过程Ek-h图像仍然为直线
9.（2026·海南海口期末）如图所示，光滑直杆固定在竖直面内，轻弹簧一端固定在O点，另一端与穿过杆的小球相连。小球从a点由静止释放，经b点运动到c点。小球在a点时弹簧处于原长，Oa＞Ob＝Oc，弹簧始终在弹性限度内，则小球（　　）
A.在运动过程中，机械能一直不变
B.在b和c两点的机械能相等
C.在b和c两点的动能相等
D.从a运动到b，弹簧的弹性势能变小
10.〔多选〕（2026·云南德宏期末）如图所示，一轻质光滑定滑轮固定在天花板上，质量相等的小球A和小球B通过不可伸长的跨过滑轮的轻绳连接，小球B套在光滑水平直杆上，用外力使小球B静止，此时连接B球部分的轻绳与水平方向的夹角为37°，撤去外力，小球B向左运动L的距离时，滑轮右侧轻绳刚好竖直，重力加速度为g，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，两小球质量均为m，在小球B由静止向左运动至速度最大的过程中，下列说法正确的是（　　）
A.轻绳对小球A的拉力先小于mg后大于mg
B.小球B的速度不一定总是大于小球A的速度
C.当小球A的加速度为零时，小球B的加速度一定也为零
D.小球B运动过程中的最大速度大小v＝
11.（2026·湖南长沙期末）如图所示，六分之一光滑圆弧支架竖直放置，圆弧半径为R，支架的底部CD水平，离地面足够高，圆心O在C点的正上方，右侧边缘P点固定一个光滑轻质滑轮（滑轮大小不计）。可视为质点的小球A、B系在长为3R的跨过滑轮的轻绳两端，两球的质量分别为3m、m。现将A球从紧靠滑轮P处由静止释放，取CD面为零势能面，重力加速度为g，不计空气阻力。求：
（1）释放前A、B系统的重力势能Ep；
（2）A球运动到C点时的速度大小vA。
12.〔多选〕（2025·山西吕梁二模）质量相等的物块A、B用轻质弹簧连接，质量为m的小球P用轻质细绳通过理想定滑轮C与物块A相连，小球P右侧通过轻质细绳拴在D点，整个系统在如图所示位置处于静止状态，物块B和水平地面之间恰好没有弹力。已知绳DP长为L，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度为g，不计一切摩擦。现将小球P托至与C、D两点等高的水平线上，此时两轻绳恰好伸直，则小球P从静止释放至运动到图示位置的过程中，下列说法正确的是（　　）
A.小球P处于超重状态
B.物块A的质量为0.4m
C.轻质弹簧的劲度系数为
D.小球P运动到图示位置时的速度大小为
第16讲　机械能守恒定律
1.C　由题意可知，整个过程“蹦极球”受到阻力作用，故整个系统机械能不守恒，故A错误；从解锁到上升到最高点的过程，动能先增大后减小，高度一直升高，重力势能一直增大，弹性绳索先由拉长逐渐恢复原长，后又要被逐渐拉长，故弹性势能先减小后增大，故C正确，B、D错误。
2.BD　子弹射入木块过程，有摩擦力做功，机械能转化为内能，系统机械能不守恒，故A错误，B正确；木块压缩弹簧过程，只有弹簧弹力做功，子弹、木块和弹簧组成的系统机械能守恒，故C错误，D正确。
3.A　木块从接触弹簧到离开弹簧的过程中，弹簧先被压缩后再伸长，则弹簧的弹性势能先增大后减小，故A正确；该过程中，弹簧的弹力对木块先做负功，后做正功，则木块的机械能先减小后增加，故B错误；刚接触弹簧的开始阶段，弹力小于重力，则木块的加速度向下，木块加速向下运动，当弹力等于重力时，加速度为零，此时木块速度最大，木块的动能最大，此时弹簧处于压缩状态，故C错误；木块从接触弹簧到离开弹簧的过程中，当弹簧压缩到最短时，木块的机械能（重力势能和动能之和）的减少量等于弹簧的弹性势能，故D错误。
4.B　当运动员在最高点速度为零时，重心提升高度最大，以地面为零势能面，根据机械能守恒定律有mv2＝mgh，可得其理论的最大高度h＝5 m，故选B。
5.B　根据动能定理得mgh＝Ek2－mv2，可得石片第一次落到水面上的动能Ek2＝mv2＋mgh，故A、C错误；整个过程机械能守恒，以抛出点为零势能点，抛出时的机械能为mv2，所以石片在水面时的机械能也为mv2，故B正确；石片落到水面时竖直方向的速度为vy＝gt＝，则重力的瞬时功率为PG＝mgvy＝mg，故D错误。
6.D　该过程，由于绳子拉力一定对A做正功，所以A的动能一直增加，速度一直增大，故A错误；滑块A、B组成的系统，只有重力做功，所以系统机械能守恒，故C错误；当轻绳与竖直方向的夹角为60°时，如图所示，将A、B的速度分解为沿绳的方向和垂直于绳的方向，两滑块沿绳子的方向速度大小相等，则有vBcos 60°＝vAcos 30°，解得vA＝v，故D正确；根据系统机械能守恒可得mgLcos 60°＝m＋mv2，联立解得连接A、B的绳长为L＝，故B错误。
7.C　小球释放时，先向下做自由落体运动，则细线伸直时下落的距离为l，则mgl＝mv2，细线伸直后沿细线方向的速度减为零，垂直细线方向的速度为v1＝vcos 30°，以后小球做圆周运动，则当小球运动到最低点时，有m＋mgl（1－sin 30°）＝m，解得v2＝，故选C。
8.C　根据动能定理可知Ek-h图像斜率的绝对值表示合力的大小，则笔帽上升到h1时图像的斜率为0，表明此时合力为0，即弹簧弹力与重力平衡，可知，此时弹簧处于压缩状态，故A错误；结合上述分析可知，O到h1之间弹簧弹性势能转化为小笔帽的动能和重力势能，故B错误；根据题意可知，上升高度h2后笔帽脱离弹簧向上做竖直上抛运动，笔帽仅受重力作用，即h2到h3之间小笔帽机械能不变，故C正确；结合上述分析可知，在上升h1时，笔帽的合力为0，即从O点上升至高度h1过程，笔帽做加速度减小的加速运动，之后弹力小于重力，笔帽做加速度增大的减速运动，到高度h2时，弹簧恢复原长，可知，h1到h2过程Ek-h图像仍然为曲线，故D错误。
9.B　小球在运动过程中，由于存在弹簧弹力对小球做功，所以小球的机械能不守恒，故A错误；小球与弹簧组成的系统，只有重力和弹簧弹力做功，所以系统满足机械能守恒，由于Ob＝Oc，可知在b和c两点时，弹簧的弹性势能相等，则小球在b和c两点的机械能相等，由于小球在b和c两点的重力势能不相等，所以小球在b和c两点的动能不相等，故B正确，C错误；小球在a点时弹簧处于原长，从a运动到b，弹簧的压缩量一直在增大，所以弹簧的弹性势能变大，故D错误。
10.AD　当B运动到滑轮正下方时，B沿绳方向速度为零，则A的速度也为零，说明A经历了先加速后减速的过程，先失重后超重，即轻绳对小球A的拉力先小于mg后大于mg，故A正确；因vA＝vBcos θ，小球B由静止向左运动至速度最大的过程中，θ角一直变大，可知小球B的速度一定总是大于小球A的速度，选项B错误；当小球B运动到滑轮正下方时B的速度最大，此时B的加速度为零，此时A的速度为零，但是加速度不为零（此时处于超重状态），选项C错误；当小球B运动到滑轮正下方时B的速度最大，由机械能守恒定律mg＝mv2，解得小球B运动过程中的最大速度大小v＝，选项D正确。
11.（1）－mgR　（2）
解析：（1）取CD面为零势能面，A球距离零势能面的高度hA＝R－Rcos 60°＝R
B球在零势能面以下的距离hB＝3R－R＝2.5R
所以释放前A、B系统的重力势能为Ep＝3mghA－mghB
解得Ep＝－mgR。
（2）由题意可知，A、B组成的系统机械能守恒，
有×3m＋m＝3mghA－mgR
在C点进行速度的合成与分解，如图所示
根据几何关系，有vB＝vAcos 30°
联立解得A球运动到C点时的速度大小为vA＝。
12.BD　小球P向下加速运动，处于失重状态，A错误；根据平衡条件可得TC＝mgsin 53°，且TC＝2Mg，解得M＝0.4m，B正确；物块A上升的高度h1＝Ltan 37°－＝0.5L，则弹簧的劲度系数k＝＝，C错误；小球P运动到图示位置时和物块A速度大小相等，即v2＝v1，根据机械能守恒定律，可得mgh2－Mgh1＝M＋m，根据几何关系得h2＝Lsin 37°＝0.6L，解得v2＝，D正确。
1 / 1第16讲　机械能守恒定律
1.知道机械能守恒的条件，理解机械能守恒定律的内容。 2.会用机械能守恒定律解决单个物体或系统的机械能守恒问题。
考点一　机械能守恒的理解和判断
知识速记
1.重力做功与重力势能的关系
（1）重力做功的特点
①重力做功与　　　　无关，只与始末位置的　　　　有关。
②重力做功不引起物体　　　　的变化。
（2）重力势能
①表达式：Ep＝　　　　。
②重力势能的特点
重力势能是物体和　　　　所共有的，重力势能的大小与参考平面的选取　　　　，但重力势能的变化与参考平面的选取　　　　。
（3）重力做功与重力势能变化的关系
重力对物体做正功，重力势能　　　　；重力对物体做负功，重力势能　　　　。即WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。
2.弹性势能
（1）定义：发生　　　　的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能。
（2）弹力做功与弹性势能变化的关系
弹力做正功，弹性势能　　　　；弹力做负功，弹性势能　　　　。即W＝　　　　。
3.机械能守恒定律
（1）内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，　　　　与　　　　可以互相转化，而总的机械能　　　　。
（2）表达式：mgh1＋m＝　　　　　　。
　〔粤教版必修第二册P101图4－5－3情境〕一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，忽略空气阻力，如图所示，判断下列说法的正误。
（1）蹦极过程中，重力势能的改变与重力势能零点的选取有关。（　　）
（2）绳子张紧前，重力做正功，重力势能转化为动能。（　　）
（3）绳张紧后的下落过程中，弹力做负功，弹性势能减少。（　　）
（4）蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒。（　　）
要点深化
　机械能是否守恒的三种判断方法
利用机械能的定义判断 若物体动能、势能之和保持不变，则机械能守恒
利用做功判断 若物体或系统只有重力（或系统内的弹力）做功，虽受其他力，但其他力不做功（或做功代数和为0），则机械能守恒
利用能量转化判断 若物体或系统与外界没有能量交换，物体或系统内也没有机械能与其他形式能的转化，则机械能守恒
（2026·黑龙江哈尔滨期中）如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是（　　）
A.甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，物体A 的机械能守恒
B.乙图中，B物体沿斜面匀速下滑的过程中，物体B的机械能守恒
C.丙图中，不计任何阻力时A加速下落、B加速上升的过程中，A、B组成的系统机械能守恒
D.丁图中，不计空气阻力，小球由水平位置A 处静止释放，运动到B处的过程中，小球机械能不守恒
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（2026·江苏常州期中）把质量是0.2 kg的小球放在竖立的弹簧上，并把小球往下按至A位置，如图甲所示。迅速松手后，弹簧把小球弹起，小球升至最高位置C（图乙），途中经过位置B时弹簧正好处于自由状态。已知B、A间的高度差为0.1 m，C、B间的高度差为0.2 m，弹簧的质量和空气的阻力均可忽略，g取10 m/s2，则下列说法正确的是（　　）
A.小球由位置A至位置B过程中弹簧的弹性势能全部转化为小球的重力势能
B.小球由位置A至位置C过程中小球的机械能守恒
C.小球处于位置A时，弹簧的弹性势能为0.6 J
D.在位置C时小球的机械能为0.6 J
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　〔多选〕（2026·北京昌平期末）我国传统弹弓术已被列入国家级非物质文化遗产名单。如图甲所示的“Y”型弹弓由弓与弹兜两部分组成，其中弓包括弓弦（即皮筋）与弓弩。两根完全相同的皮筋一端与弹兜相连，另一端分别固定在弓弩的两个弓眼上，皮筋和弹兜质量均远小于弹丸质量。使用者把弹丸放在弹兜里，先用手捏住弹兜拉伸皮筋（皮筋始终在弹性限度内），然后释放让弹丸沿水平方向射出，如图乙所示。在弹丸离开弹兜前的一小段时间内，下列说法正确的是（　　）
A.弹丸的加速度逐渐减小
B.弹丸受到弹兜的作用力逐渐增大
C.弹丸的动能逐渐增大
D.弹丸与皮筋组成的系统机械能守恒
考点二　单个物体的机械能守恒问题
要点深化
机械能守恒定律的表达式
（2026·天津滨海期中）如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上，若以地面为零势能面，不计空气阻力，则下列说法中正确的是（　　）
A.物体到海平面时的重力势能为mgh
B.物体到海平面之前任一位置机械能为m－mgh
C.物体在海平面上的动能为m－mgh
D.物体在海平面上的机械能为m
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（2025·北京顺义一模）如图所示，竖直面内的光滑轨道ABCD，AB段为曲面，BC段水平，CD段是半径R＝0.2 m的半圆形轨道，BC段与CD段在C点相切。在A点由静止释放一质量为m＝0.2 kg的小球，小球沿轨道运动至D点后，沿水平方向飞出，最终落到水平轨道BC段上的E点，A点距水平面的高度h＝0.8 m，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，求：
（1）小球运动到B点时的速度大小vB；
（2）小球运动到D点时轨道对小球的弹力大小FN；
（3）C、E两点间的距离x。
尝试解答
应用机械能守恒定律解题的一般步骤
非质点类的机械能守恒问题
1.在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理。
2.物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。
3.一般情况下，可将物体分段处理，确定物体各部分的重心位置，根据初末状态物体重力势能的变化列式求解。
（2026·广西百色期末）如图，手持质量为m、长为L的匀质铁链AB静止于光滑的水平桌面上，铁链的悬于桌面外。现释放铁链至A端恰好离开桌面，此时B端还未落地，则（　　）
A.铁链重力势能的减少量为mgL B.铁链重力势能的减少量为mgL
C.铁链此时速度为 D.铁链此时速度为
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
如图所示，粗细均匀的U形管内装有同种液体，在管口右端用盖板A密闭，两管内液面的高度差为h，U形管中液柱的总长为5h。现拿去盖板A，液体开始流动，不计液体内部及液体与管壁间的阻力，则当两管液面高度相同时，右侧液面下降的速度是（重力加速度为g）（　　）
A. B.
C. D.
考点三　系统的机械能守恒问题
要点深化
几种常见的系统机械能守恒情境
多物体 系统类型 常见情境 模型特点
轻绳连接 的系统 （1）两物体沿绳方向的分速度大小相等。 （2）对于单个物体，一般绳上的力会做功，机械能不守恒，但对于绳连接的系统，机械能可能守恒
轻杆连接 的系统 （1）平动时两物体的线速度相等，转动时两物体的角速度相等。 （2）杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。 （3）对于杆和物体组成的系统，若忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统的机械能守恒
（2026·云南大理期末）如图所示，套在光滑竖直杆上的圆环A用跨过光滑定滑轮的轻质细绳与放置在光滑水平面上的滑块B相连，滑轮（可视为质点）到杆的距离为L，初始绳子水平且刚好伸直。已知A、B质量均为m，重力加速度为g。将A、B由静止释放，当圆环A与初始位置相距L时，B的动能为（　　）
A.mgL B.mgL
C.mgL D.mgL
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（2026·安徽六安期末）如图甲所示，西班牙双人斗牛比赛是一项冒险的游戏，两人坐在跷跷板上，一人通过轻杆将另一人抬高从而躲避公牛的攻击。为研究方便，可将两人和轻杆组成的系统简化成图乙所示的球杆模型，质量为1.2m的小球A和质量为m的小球B固定在轻杆的两端，它们可以绕光滑轴O在竖直面内自由转动，两球与轴O间的距离均为l，不计空气阻力，重力加速度为g。将杆由水平位置静止释放，杆转过θ角度的过程中（此时两人均未落地），以下说法正确的是（　　）
A.小球A的机械能增加
B.小球B的机械能减少
C.系统减少的重力势能为mglcos θ
D.小球A的末态动能为mglsin θ
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（2025·山东威海三模）如图所示，质量分别为6m和m的物体P、Q用跨过定滑轮O的轻绳连接，P置于倾角为30°的光滑固定斜面上，Q穿在固定的竖直光滑杆上。轻质弹簧的一端固定在地面上，另一端连接Q。初始时，控制P使轻绳伸直且无拉力，轻绳的OP段与斜面平行，OQ段与杆的夹角为37°。将P由静止释放，Q在运动过程中经过M点，OM与杆垂直，长为1.5L。P、Q均可视为质点，弹簧始终在弹性限度内，劲度系数k＝，重力加速度为g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。则Q经过M点时的速率为（　　）
A. B.2
C. D.2
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
第16讲　机械能守恒定律
考点一
知识速记
1.（1）①路径　高度差　②机械能　（2）①mgh　②地球
有关　无关　（3）减小　增大　2.（1）弹性形变　（2）减小　增大
－ΔEp　3.（1）动能　势能　保持不变　（2）mgh2＋m　
教材情境辨析
　（1）×　（2）√　（3）×　（4）√
要点深化
【例1】　C　甲图中，物体A压缩弹簧时，弹簧弹力对A做功，A机械能不守恒，故A错误；乙图中，B匀速下滑，动能不变，重力势能减小，故B的机械能不守恒，故B错误；丙图中，不计阻力，A、B组成的系统只有重力做功，机械能守恒，故C正确；丁图中，不计空气阻力，小球从A到B只有重力做功，机械能守恒，故D错误。
【例2】　C　小球由位置A至位置B的过程中弹簧的弹性势能转化为小球的重力势能和动能，故A错误；小球由位置A至位置B的过程中，弹力对小球做正功，小球机械能增大，小球由位置B至位置C过程中，只有重力做负功，小球的机械能守恒，故B错误；由位置A至位置C的过程中，根据系统的机械能守恒得Ep弹＝mg（hAB＋hBC）＝0.6 J，故C正确；在位置C时，小球的速度为0，动能是0，但重力势能与参考平面的选择有关，若选位置C所在平面为参考平面，重力势能为零，机械能为零，若选择其他平面为参考平面，重力势能不为零，机械能不为零，故D错误。
强化训练
　ACD　在弹丸离开弹兜前的一小段时间内，皮筋的形变量减小，则弹力减小，故两个弹力的合力减小，即弹丸受到弹兜的作用力减小，根据牛顿第二定律，可知弹丸的加速度减小，故A正确，B错误；在弹丸离开弹兜前的一小段时间内，弹丸与皮筋组成的系统机械能守恒，故皮筋的弹性势能减小，弹丸的动能增大，故C、D正确。
考点二
要点深化
【例3】　D　若以地面为零势能面，物体到海平面时的重力势能为－mgh，选项A错误；物体到海平面之前任一位置机械能均等于在地面时的机械能，即为E＝m，选项B错误，D正确；物体在海平面上的动能为 Ek＝m＋mgh，选项C错误。
【例4】　（1）4 m/s　（2）6 N　 （3）0.8 m
解析：（1）根据题意，小球从A到B的过程中，由机械能守恒定律有mgh＝m
解得vB＝＝4 m/s。
（2）根据题意，小球从B到D的过程中，由机械能守恒定律有m＝mg·2R＋m
解得vD＝2 m/s
在D点，由牛顿第二定律有FN＋mg＝m
解得FN＝6 N。
（3）小球从D点飞出后做平抛运动，飞行时间为
t＝＝ s
C、E两点间的距离x＝vDt＝0.8 m。
拓展空间
【典例】　A　取桌面为零势能面，整个铁链的质量为m，重力势能减小量为ΔEp＝－mg×L×－＝mgL，故A正确，B错误；释放铁链至A端恰好离开桌面，由于桌面无摩擦，整个链条的机械能守恒。取桌面为零势能面， 根据机械能守恒定律得－mg×L×＝mv2－mg×0.5L，解得v＝，故C、D错误。
强化训练
　B　设管子的横截面积为S，液体的密度为ρ。拿去盖板，液体开始运动，根据机械能守恒定律得ρhSg×h＝ρ×5hSv2，解得v＝，故选B。
考点三
要点深化
【例5】　B　A、B组成的整体机械能守恒，有mgL＝m＋m，由于A、B速度关联，有v1cos 45°＝v2，联立解得B的速度为v2＝，则其动能为Ek＝m＝mgL，故选B。
【例6】　D　小球A、B组成的系统机械能守恒，系统转动过程中B球重力势能增加，动能增加，则B球机械能增加，A球机械能减小，故A、B错误；系统减少的重力势能为ΔEp减＝1.2mglsin θ－mglsin θ＝mglsin θ，故C错误；根据机械能守恒定律可得ΔEp减＝×（1.2m＋m）v2，联立可得小球A的末态动能为EkA＝×1.2mv2＝0.6mv2＝mglsin θ，故D正确。
【例7】　A　未释放P前，对Q有mg＝kx，解得弹簧压缩量x＝L，当Q经过M点时，由于OM与杆垂直，可知此时P的速度为0，根据几何关系可知开始时，QM＝＝2L，可知在M点时，弹簧伸长量为L，弹簧的弹性势能与开始时相同，故对P、Q和弹簧构成的系统，由机械能守恒定律有6mgsin 30°·－mg＝m，解得vM＝，故选A。
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第16讲　机械能守恒定律
目标要求
1. 知道机械能守恒的条件，理解机械能守恒定律的内容。
2. 会用机械能守恒定律解决单个物体或系统的机械能守恒问题。
目 录
CONTENTS
考点一　机械能守恒的理解和判断
考点二　单个物体的机械能守恒问题
考点三　系统的机械能守恒问题
课时跟踪检测
考点一　机械能守恒的理解和判断
知识速记
1. 重力做功与重力势能的关系
（1）重力做功的特点
①重力做功与 无关，只与始末位置的 有关。
②重力做功不引起物体 的变化。
路径　
高度差　
机械能　
（2）重力势能
①表达式：Ep＝ 。
②重力势能的特点
mgh　
重力势能是物体和 所共有的，重力势能的大小与参考平面的选
取 ，但重力势能的变化与参考平面的选取 。
（3）重力做功与重力势能变化的关系
重力对物体做正功，重力势能 ；重力对物体做负功，重力势
能 。即WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。
地球　
有关　
无关　
减小　
增大　
2. 弹性势能
（1）定义：发生 的物体的各部分之间，由于有弹力的相互
作用而具有的势能。
（2）弹力做功与弹性势能变化的关系
弹力做正功，弹性势能 ；弹力做负功，弹性势能 。即W
＝ 。
3. 机械能守恒定律
（1）内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内， 与
可以互相转化，而总的机械能 。
（2）表达式：mgh1＋m＝ 　mgh2＋m　。
弹性形变　
减小　
增大　
－ΔEp　
动能　
势能　
保持不变　
mgh2＋m　
　〔粤教版必修第二册P101图4－5－3情境〕一蹦极运动员身系弹性蹦极绳从水面上方的高台下落，忽略空气阻力，如图所示，判断下列说法的正误。
（1）蹦极过程中，重力势能的改变与重力势能零点的选取有关。
（　×　）
（2）绳子张紧前，重力做正功，重力势能转化为动能。 （　√　）
×
√
（3）绳张紧后的下落过程中，弹力做负功，弹性势能减少。 （　×　）
（4）蹦极过程中，运动员、地球和蹦极绳所组成的系统机械能守恒。
（　√　）
×
√
要点深化
　机械能是否守恒的三种判断方法
利用机械能的定义
判断 若物体动能、势能之和保持不变，则机械能守恒
利用做功判断 若物体或系统只有重力（或系统内的弹力）做功，
虽受其他力，但其他力不做功（或做功代数和为
0），则机械能守恒
利用能量转化判断 若物体或系统与外界没有能量交换，物体或系统内
也没有机械能与其他形式能的转化，则机械能守恒
（2026·黑龙江哈尔滨期中）如图所示，下列关于机械能是否守恒的判
断正确的是（　C　）
C
A. 甲图中，物体A将弹簧压缩的
过程中，物体A 的机械能守恒
B. 乙图中，B物体沿斜面匀速下滑
的过程中，物体B的机械能守恒
C. 丙图中，不计任何阻力时A加速下落、B加速上升的过程中，A、B组成
的系统机械能守恒
D. 丁图中，不计空气阻力，小球由水平位置A 处静止释放，运动到B处的
过程中，小球机械能不守恒
解析：甲图中，物体A压缩弹簧时，弹簧弹力对A做功，A机械能不守恒，
故A错误；乙图中，B匀速下滑，动能不变，重力势能减小，故B的机械能
不守恒，故B错误；丙图中，不计阻力，A、B组成的系统只有重力做功，
机械能守恒，故C正确；丁图中，不计空气阻力，小球从A到B只有重力做
功，机械能守恒，故D错误。
（2026·江苏常州期中）把质量是0.2 kg的小球放在竖立的弹簧上，并
把小球往下按至A位置，如图甲所示。迅速松手后，弹簧把小球弹起，小
球升至最高位置C（图乙），途中经过位置B时弹簧正好处于自由状态。已
知B、A间的高度差为0.1 m，C、B间的高度差为0.2 m，弹簧的质量和空
气的阻力均可忽略，g取10 m/s2，则下列说法正确的是（　C　）
C
A. 小球由位置A至位置B过程中弹簧的弹性势能全部转化为
小球的重力势能
B. 小球由位置A至位置C过程中小球的机械能守恒
C. 小球处于位置A时，弹簧的弹性势能为0.6 J
D. 在位置C时小球的机械能为0.6 J
解析：小球由位置A至位置B的过程中弹簧的弹性势能转化为小球的重力势
能和动能，故A错误；小球由位置A至位置B的过程中，弹力对小球做正
功，小球机械能增大，小球由位置B至位置C过程中，只有重力做负功，小
球的机械能守恒，故B错误；由位置A至位置C的过程中，根据系统的机械
能守恒得Ep弹＝mg（hAB＋hBC）＝0.6 J，故C正确；在位置C时，小球的速
度为0，动能是0，但重力势能与参考平面的选择有关，若选位置C所在平
面为参考平面，重力势能为零，机械能为零，若选择其他平面为参考平
面，重力势能不为零，机械能不为零，故D错误。
　〔多选〕（2026·北京昌平期末）我国传统弹弓术已被列入国家级非物质
文化遗产名单。如图甲所示的“Y”型弹弓由弓与弹兜两部分组成，其中
弓包括弓弦（即皮筋）与弓弩。两根完全相同的皮筋一端与弹兜相连，另
一端分别固定在弓弩的两个弓眼上，皮筋和弹兜质量均远小于弹丸质量。
使用者把弹丸放在弹兜里，先用手捏住弹兜拉伸皮筋（皮筋始终在弹性限
度内），然后释放让弹丸沿水平方向射出，如图乙所示。在弹丸离开弹兜
前的一小段时间内，下列说法正确的是（　　）
A. 弹丸的加速度逐渐减小
B. 弹丸受到弹兜的作用力逐渐增大
C. 弹丸的动能逐渐增大
D. 弹丸与皮筋组成的系统机械能守恒
√
√
√
解析： 　在弹丸离开弹兜前的一小段时间内，皮筋的形变量减小，则
弹力减小，故两个弹力的合力减小，即弹丸受到弹兜的作用力减小，根据
牛顿第二定律，可知弹丸的加速度减小，故A正确，B错误；在弹丸离开弹
兜前的一小段时间内，弹丸与皮筋组成的系统机械能守恒，故皮筋的弹性
势能减小，弹丸的动能增大，故C、D正确。
考点二　单个物体的机械能守恒问题
要点深化
机械能守恒定律的表达式
（2026·天津滨海期中）如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的
物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上，若以地面为零势能面，不
计空气阻力，则下列说法中正确的是（　D　）
D
A. 物体到海平面时的重力势能为mgh
B. 物体到海平面之前任一位置机械能为m－mgh
C. 物体在海平面上的动能为m－mgh
D. 物体在海平面上的机械能为m
解析：若以地面为零势能面，物体到海平面时的重力势能为－mgh，选项A
错误；物体到海平面之前任一位置机械能均等于在地面时的机械能，即为
E＝m，选项B错误，D正确；物体在海平面上的动能为 Ek＝m＋
mgh，选项C错误。
（2025·北京顺义一模）如图所示，竖直面内的光滑轨道ABCD，AB段
为曲面，BC段水平，CD段是半径R＝0.2 m的半圆形轨道，BC段与CD段
在C点相切。在A点由静止释放一质量为m＝0.2 kg的小球，小球沿轨道运
动至D点后，沿水平方向飞出，最终落到水平轨道BC段上的E点，A点距水
平面的高度h＝0.8 m，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，求：
（1）小球运动到B点时的速度大小vB；
答案： 4 m/s　
解析： 根据题意，小球从A到B的过程中，
由机械能守恒定律有mgh＝m
解得vB＝＝4 m/s。
（2）小球运动到D点时轨道对小球的弹力大小FN；
答案：6 N　
解析：根据题意，小球从B到D的过程中，由机械能守恒定律有m＝
mg·2R＋m
解得vD＝2 m/s
在D点，由牛顿第二定律有FN＋mg＝m
解得FN＝6 N。
（3）C、E两点间的距离x。
答案：0.8 m
解析：小球从D点飞出后做平抛运动，飞行时间为t＝＝ s
C、E两点间的距离x＝vDt＝0.8 m。
应用机械能守恒定律解题的一般步骤
非质点类的机械能守恒问题
1. 在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”
类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变
化，因此这类物体不能再看成质点来处理。
2. 物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械
能守恒。
3. 一般情况下，可将物体分段处理，确定物体各部分的重心位置，根据初
末状态物体重力势能的变化列式求解。
（2026·广西百色期末）如图，手持质量为m、长为L的匀质铁链AB静
止于光滑的水平桌面上，铁链的悬于桌面外。现释放铁链至A端恰好离开
桌面，此时B端还未落地，则（　A　）
A
A. 铁链重力势能的减少量为mgL
B. 铁链重力势能的减少量为mgL
C. 铁链此时速度为
D. 铁链此时速度为
解析：取桌面为零势能面，整个铁链的质量为m，重力势能减小量为ΔEp＝
－mg×L×－＝mgL，故A正确，B错误；释放铁链至A端恰
好离开桌面，由于桌面无摩擦，整个链条的机械能守恒。取桌面为零势能
面， 根据机械能守恒定律得－mg×L×＝mv2－mg×0.5L，解得v＝
，故C、D错误。
如图所示，粗细均匀的U形管内装有同种液体，在管口右端用盖板A密闭，
两管内液面的高度差为h，U形管中液柱的总长为5h。现拿去盖板A，液体
开始流动，不计液体内部及液体与管壁间的阻力，则当两管液面高度相同
时，右侧液面下降的速度是（重力加速度为g）（　　）
A. B.
C. D.
√
解析： 　设管子的横截面积为S，液体的密度为ρ。拿去盖板，液体开
始运动，根据机械能守恒定律得ρhSg×h＝ρ×5hSv2，解得v＝，
故选B。
考点三　系统的机械能守恒问题
要点深化
几种常见的系统机械能守恒情境
多物体系统类型 常见情境 模型特点
轻绳连接 的系统
（1）两物体沿绳方向的分速
度大小相等。
（2）对于单个物体，一般绳
上的力会做功，机械能不守
恒，但对于绳连接的系统，机
械能可能守恒
多物体系 统类型 常见情境 模型特点
轻杆连接 的系统
（1）平动时两物体的线速度相等，转动时两物体的角速度相等。
（2）杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
（3）对于杆和物体组成的系统，若忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统的机械能守恒
（2026·云南大理期末）如图所示，套在光滑竖直杆上的圆环A用跨过
光滑定滑轮的轻质细绳与放置在光滑水平面上的滑块B相连，滑轮（可视
为质点）到杆的距离为L，初始绳子水平且刚好伸直。已知A、B质量均为
m，重力加速度为g。将A、B由静止释放，当圆环A与初始位置相距L时，B
的动能为（　B　）
B
A. mgL B. mgL
C. mgL D. mgL
解析：A、B组成的整体机械能守恒，有mgL＝m＋m，由于A、B速
度关联，有v1cos 45°＝v2联立，解得B的速度为v2＝，则其动能为Ek
＝m＝mgL，故选B。
（2026·安徽六安期末）如图甲所示，西班牙双人斗牛比赛是一项冒险
的游戏，两人坐在跷跷板上，一人通过轻杆将另一人抬高从而躲避公牛的
攻击。为研究方便，可将两人和轻杆组成的系统简化成图乙所示的球杆模
型，质量为1.2m的小球A和质量为m的小球B固定在轻杆的两端，它们可以
绕光滑轴O在竖直面内自由转动，两球与轴O间的距离均为l，不计空气阻
力，重力加速度为g。将杆由水平位置静止释放，杆转过θ角度的过程中
（此时两人均未落地），以下说法正确的是（　D　）
D
A. 小球A的机械能增加
B. 小球B的机械能减少
C. 系统减少的重力势能为mglcos θ
D. 小球A的末态动能为mglsin θ
解析：小球A、B组成的系统机械能守恒，系统转动过程中B球重力势能增
加，动能增加，则B球机械能增加，A球机械能减小，故A、B错误；系统
减少的重力势能为ΔEp减＝1.2mglsin θ－mglsin θ＝mglsin θ，故C错误；根
据机械能守恒定律可得ΔEp减＝×（1.2m＋m）v2，联立可得小球A的末态
动能为EkA＝×1.2mv2＝0.6mv2＝mglsin θ，故D正确。
（2025·山东威海三模）如图所示，质量分别为6m和m的物体P、Q用
跨过定滑轮O的轻绳连接，P置于倾角为30°的光滑固定斜面上，Q穿在固
定的竖直光滑杆上。轻质弹簧的一端固定在地面上，另一端连接Q。初始
时，控制P使轻绳伸直且无拉力，轻绳的OP段与斜面平行，OQ段与杆的夹
角为37°。将P由静止释放，Q在运动过程中经过M点，OM与杆垂直，长
为1.5L。P、Q均可视为质点，弹簧始终在弹性限度内，劲度系数k＝，
重力加速度为g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。则Q经过M点时的速率为
（　A　）
A
A. B. 2
C. D. 2
解析：未释放P前，对Q有mg＝kx，解得弹簧压缩量x＝L，当Q经过M点
时，由于OM与杆垂直，可知此时P的速度为0，根据几何关系可知开始
时，QM＝＝2L，可知在M点时，弹簧伸长量为L，弹簧的弹性势能
与开始时相同，故对P、Q和弹簧构成的系统，由机械能守恒定律有6mgsin
30°·－mg＝m，解得vM＝，故选A。
课时跟踪检测
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1. （2026·广西北海期末）如图所示，是一种叫作“火箭蹦极”的游戏项
目，惊险刺激深受年轻人喜爱。游戏开始前，装置中间的“蹦极球”会被
锁定在最低点，此时两侧弹性绳索被拉长，人坐入球中系好安全带后解
锁，“蹦极球”就会被向上抛出，上下反复很多来回后最终静止在空中。
则下列说法正确的是（　　）
A. 整个过程“蹦极球”、人和弹性绳索组成的系统机械能守恒
B. “蹦极球”从解锁到上升至最高点的过程中，动能一直增大
C. “蹦极球”从解锁到上升至最高点的过程中，重力势能一直增大
D. “蹦极球”从解锁到上升至最高点的过程中，绳索的弹性势能一直减小
√
解析： 　由题意可知，整个过程“蹦极球”受到阻力作用，故整个系
统机械能不守恒，故A错误；从解锁到上升到最高点的过程，动能先增
大后减小，高度一直升高，重力势能一直增大，弹性绳索先由拉长逐
渐恢复原长，后又要被逐渐拉长，故弹性势能先减小后增大，故C正
确，B、D错误。
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2. 〔多选〕（2026·北京延庆期末）如图所示，木块B与水平弹簧相连放在
光滑水平面上，子弹A沿水平方向射入木块后留在木块B内，入射时间极
短，而后木块将弹簧压缩到最短。关于子弹和木块组成的系统，下列说法
中正确的是（　　）
A. 子弹射入木块的过程中系统机械能守恒
B. 子弹射入木块的过程中系统机械能不守恒
C. 木块压缩弹簧过程中，子弹、木块和弹簧组成的系统机械能不守恒
D. 木块压缩弹簧过程中，子弹、木块和弹簧组成的系统机械能守恒
√
√
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解析： 　子弹射入木块过程，有摩擦力做功，机械能转化为内能，系统
机械能不守恒，故A错误，B正确；木块压缩弹簧过程，只有弹簧弹力做
功，子弹、木块和弹簧组成的系统机械能守恒，故C错误，D正确。
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3. （2026·江西萍乡期末）如图所示，轻质弹簧竖直放置，下端固定。将
一木块从弹簧正上方某一位置静止释放，木块压缩弹簧后会重新回到释放
点。已知弹簧始终在弹性限度内。关于木块从接触弹簧到离开弹簧的过程
中，下列说法正确的是（　　）
A. 弹簧的弹性势能先增大后减小
B. 木块的机械能守恒
C. 刚接触弹簧时，木块的动能最大
D. 弹簧压缩到最短时，木块的重力势能的减少量等于弹簧的弹
性势能
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解析： 　木块从接触弹簧到离开弹簧的过程中，弹簧先被压缩后再伸
长，则弹簧的弹性势能先增大后减小，故A正确；该过程中，弹簧的弹力
对木块先做负功，后做正功，则木块的机械能先减小后增加，故B错误；
刚接触弹簧的开始阶段，弹力小于重力，则木块的加速度向下，木块加速
向下运动，当弹力等于重力时，加速度为零，此时木块速度最大，木块的
动能最大，此时弹簧处于压缩状态，故C错误；木块从接触弹簧到离开弹
簧的过程中，当弹簧压缩到最短时，木块的机械能（重力势能和动能之
和）的减少量等于弹簧的弹性势能，故D错误。
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4. （2025·新课标高考2题）如图，撑杆跳高运动中，运动员经过助跑、撑
杆起跳，最终越过横杆。若运动员起跳前助跑速度为10 m/s，则理论上运
动员助跑获得的动能可使其重心提升的最大高度为（重力加速度取10
m/s2）（　　）
A. 4 m B. 5 m
C. 6 m D. 7 m
√
解析： 当运动员在最高点速度为零时，重心提升高度最大，以地面为
零势能面，根据机械能守恒定律有mv2＝mgh，可得其理论的最大高度h＝
5 m，故选B。
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5. （2026·广东广州期末）“打水漂”是人类最古老的游戏之一，游戏者
运用手腕的力量让抛出去的石片在水面上弹跳数次。如图所示，游戏者在
岸边以速度v水平抛出质量为m的石片，抛出后石片落到比抛出点低h的水
面上。若以抛出点为零势能点，不计空气阻力，则下列说法正确的是
（　　）
A. 抛出后石片第一次落到水面时动能为mgh
B. 抛出后石片第一次落到水面上的机械能为mv2
C. 抛出后石片第一次落到水面上的动能为mv2
D. 抛出后石片第一次落到水面时的重力的瞬时功率大小为mg
√
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解析： 　根据动能定理得mgh＝Ek2－mv2，可得石片第一次落到水面上
的动能Ek2＝mv2＋mgh，故A、C错误；整个过程机械能守恒，以抛出点为
零势能点，抛出时的机械能为mv2，所以石片在水面时的机械能也为
mv2，故B正确；石片落到水面时竖直方向的速度为vy＝gt＝，则重
力的瞬时功率为PG＝mgvy＝mg，故D错误。
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6. （2026·广西桂林期末）有一竖直放置的光滑“T”形架，滑块A、B分别
套在水平杆与竖直杆上，A、B用一不可伸长的轻绳相连，A、B质量相等，
且可看作质点，如图所示。开始时轻绳水平伸直，A、B静止。由静止释放
B后，已知当轻绳与竖直方向的夹角为60°时，B沿着竖直杆下滑的速度为
v，则（　　）
A. 该过程滑块A的速度先增大后减小
B. 连接A、B的绳长为
C. 滑块A、B组成的系统机械能不守恒
D. 当轻绳与竖直方向的夹角为60°时，滑块A的速度vA＝v
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解析： 　该过程，由于绳子拉力一定对A做正功，所以
A的动能一直增加，速度一直增大，故A错误；滑块A、B
组成的系统，只有重力做功，所以系统机械能守恒，故C
错误；当轻绳与竖直方向的夹角为60°时，如图所示，
将A、B的速度分解为沿绳的方向和垂直于绳的方向，两滑块沿绳子的方向速度大小相等，则有vBcos 60°＝vAcos 30°，解得vA＝v，故D正确；根据系统机械能守恒可得mgLcos 60°＝m＋mv2，联立解得连接A、B的绳长为L＝，故B错误。
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7. （2026·江苏常州模拟）如图所示，不可伸长、长为l的轻细线一端固定
于O点，另一端连接一小球，此时细线刚好伸直，角度θ＝30°。现将小球
静止释放，不计空气阻力，重力加速度为g，则小球运动到O点正下方时速
度的大小为（　　）
A. B.
C. D.
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解析： 　小球释放时，先向下做自由落体运动，则细线伸直时下落的距
离为l，则mgl＝mv2，细线伸直后沿细线方向的速度减为零，垂直细线方
向的速度为v1＝vcos 30°，以后小球做圆周运动，则当小球运动到最低点
时，有m＋mgl（1－sin 30°）＝m，解得v2＝，故选C。
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8. （2026·福建福州期末）某同学闲暇时将手中的弹簧笔内的弹簧取出并
固定在桌面上，用小笔帽套在弹簧上，竖直向下按压在水平桌面上（如图
甲所示）。当他突然松手后弹簧将小笔帽竖直向上弹起，不计其受到的阻
力，上升过程中的Ek-h图像如图乙所示（h2到h3部分为直线），则上升过程
中，下列判断正确的是（　　）
A. 弹簧原长为h1
B. O到h1之间弹簧弹性势能全部转化为
小笔帽的动能
C. h2到h3之间小笔帽机械能不变
D. h1到h2过程Ek-h图像仍然为直线
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解析： 　根据动能定理可知Ek-h图像斜率的绝对值表示合力的大小，则笔
帽上升到h1时图像的斜率为0，表明此时合力为0，即弹簧弹力与重力平
衡，可知，此时弹簧处于压缩状态，故A错误；结合上述分析可知，O到h1
之间弹簧弹性势能转化为小笔帽的动能和重力势能，故B错误；根据题意
可知，上升高度h2后笔帽脱离弹簧向上做竖直上抛运动，笔帽仅受重力作
用，即h2到h3之间小笔帽机械能不变，故C正确；结合上述分析可知，在上
升h1时，笔帽的合力为0，即从O点上升至高度h1过程，笔帽做加速度减小
的加速运动，之后弹力小于重力，笔帽做加速度增大的减速运动，到高度
h2时，弹簧恢复原长，可知，h1到h2过程Ek-h图像仍然为曲线，故D错误。
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9. （2026·海南海口期末）如图所示，光滑直杆固定在竖直面内，轻弹簧
一端固定在O点，另一端与穿过杆的小球相连。小球从a点由静止释放，经
b点运动到c点。小球在a点时弹簧处于原长，Oa＞Ob＝Oc，弹簧始终在弹
性限度内，则小球（　　）
A. 在运动过程中，机械能一直不变
B. 在b和c两点的机械能相等
C. 在b和c两点的动能相等
D. 从a运动到b，弹簧的弹性势能变小
√
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解析： 　小球在运动过程中，由于存在弹簧弹力对小球做功，所以小球
的机械能不守恒，故A错误；小球与弹簧组成的系统，只有重力和弹簧弹
力做功，所以系统满足机械能守恒，由于Ob＝Oc，可知在b和c两点时，弹
簧的弹性势能相等，则小球在b和c两点的机械能相等，由于小球在b和c两
点的重力势能不相等，所以小球在b和c两点的动能不相等，故B正确，C错
误；小球在a点时弹簧处于原长，从a运动到b，弹簧的压缩量一直在增
大，所以弹簧的弹性势能变大，故D错误。
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10. 〔多选〕（2026·云南德宏期末）如图所示，一轻质光滑定滑轮固定在
天花板上，质量相等的小球A和小球B通过不可伸长的跨过滑轮的轻绳连
接，小球B套在光滑水平直杆上，用外力使小球B静止，此时连接B球部分
的轻绳与水平方向的夹角为37°，撤去外力，小球B向左运动L的距离时，
滑轮右侧轻绳刚好竖直，重力加速度为g，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝
0.8，两小球质量均为m，在小球B由静止向左运动至速度最大的过程中，
下列说法正确的是（　　）
A. 轻绳对小球A的拉力先小于mg后大于mg
B. 小球B的速度不一定总是大于小球A的速度
C. 当小球A的加速度为零时，小球B的加速度一定也为零
D. 小球B运动过程中的最大速度大小v＝
√
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解析： 　当B运动到滑轮正下方时，B沿绳方向速度为零，则A的速度也
为零，说明A经历了先加速后减速的过程，先失重后超重，即轻绳对小球A
的拉力先小于mg后大于mg，故A正确；因vA＝vBcos θ，小球B由静止向左
运动至速度最大的过程中，θ角一直变大，可知小球B的速度一定总是大于
小球A的速度，选项B错误；当小球B运动到滑轮正下方时B的速度最大，
此时B的加速度为零，此时A的速度为零，但是加速度不为零（此时处于超
重状态），选项C错误；当小球B运动到滑轮正下方时B的速度最大，由机
械能守恒定律mg＝mv2，解得小球B运动过程中的最
大速度大小v＝，选项D正确。
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11. （2026·湖南长沙期末）如图所示，六分之一光滑圆弧支架竖直放置，
圆弧半径为R，支架的底部CD水平，离地面足够高，圆心O在C点的正上
方，右侧边缘P点固定一个光滑轻质滑轮（滑轮大小不计）。可视为质点
的小球A、B系在长为3R的跨过滑轮的轻绳两端，两球的质量分别为3m、
m。现将A球从紧靠滑轮P处由静止释放，取CD面为零势能面，重力加速度
为g，不计空气阻力。求：
（1）释放前A、B系统的重力势能Ep；
答案： －mgR　
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解析： 取CD面为零势能面，A球距离零势能面的高度hA＝R－Rcos
60°＝R
B球在零势能面以下的距离hB＝3R－R＝2.5R
所以释放前A、B系统的重力势能为Ep＝3mghA－mghB
解得Ep＝－mgR。
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（2）A球运动到C点时的速度大小vA。
答案：
解析：由题意可知，A、B组成的系统机械能守恒，有
×3m＋m＝3mghA－mgR
在C点进行速度的合成与分解，如图所示
根据几何关系，有vB＝vAcos 30°
联立解得A球运动到C点时的速度大小为vA＝。
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12. 〔多选〕（2025·山西吕梁二模）质量相等的物块
A、B用轻质弹簧连接，质量为m的小球P用轻质细绳
通过理想定滑轮C与物块A相连，小球P右侧通过轻质
细绳拴在D点，整个系统在如图所示位置处于静止状
态，物块B和水平地面之间恰好没有弹力。已知绳DP长为L，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度为g，不计一切摩擦。现将小球P托至与C、D两点等高的水平线上，此时两轻绳恰好伸直，则小球P从静止释放至运动到图示位置的过程中，下列说法正确的是（　　）
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A. 小球P处于超重状态
B. 物块A的质量为0.4m
C. 轻质弹簧的劲度系数为
D. 小球P运动到图示位置时的速度大小为
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解析： 小球P向下加速运动，处于失重状态，A错误；根据平衡条件
可得TC＝mgsin 53°，且TC＝2Mg，解得M＝0.4m，B正确；物块A上升的
高度h1＝Ltan 37°－＝0.5L，则弹簧的劲度系数k＝＝
，C错误；小球P运动到图示位置时和物块A速度大小相等，即v2＝
v1，根据机械能守恒定律，可得mgh2－Mgh1＝M＋m，根据几何关
系得h2＝Lsin 37°＝0.6L，解得v2＝，D正确。
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THANKS
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