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2026年江苏省南京市初中学业水平数学考试押题卷
说明:
答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡定的位置上，并将条形码粘贴好.
全卷满分120分，考试时间120分钟。
3.选择题部分，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.非选择题部分，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案(含作辅助线)写在答题卡指定区域内.写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效。
4.考试结束后，请将答题卡交回.
一、选择题(本大题共6小题，每小题2分，共12分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，多选、错选、不选均不给分。)
1．的算术平方根是（ ）
A． B． C． D．
2．国产动漫《哪吒之降世魔童》票房已斩获15800000000元，开启了国漫市场崛起新篇章，将数据15800000000用科学记数法表示是（ ）
A． B． C． D．
3．若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．且
4．如图，矩形纸片中，，将纸片沿折叠，使点C与点A重合，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．2
5．如图，直线，直线、与、、分别交于点、、和、、，若，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，四边形内接于，是直径，是弧的中点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分）
7．不等式组的解集是________．
8．因式分解：________．
9．一个正多边形的一个外角等于，则这个正多边形的边数是______．
10．若是关于的方程的两个根，且，则______．
11．如图，是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且，，则_________________°．
12．已知一次函数y＝x＋1的图像与y轴交于点A，将该函数图像绕点A旋转45°，旋转后的图像对应的函数关系式是_____．
13．如图，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，则点的坐标为_____．
14．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为_______．
15．如图，若的半径为2，若用的内接正六边形的周长来估计的周长，则的周长与其内接正六边形的周长的差为______．（结果保留）
16．如图，平行四边形的三个顶点B，C，D在上，线段为直径，连接，与相交于点E，已知，，则______；延长交于点H，连接，若，则的长为______．
三、解答题（本大题共11小题，共计88分，解答题要有必要的文字说明）
17．（7分）解不等式组，并写出它的正整数解．
18．（7分）先化简，再求值：当时，求代数式的值．
19．（8分）某工厂计划安排甲、乙两车间生产11040个龙年福字．根据现有设备和工艺，甲车间每天可生产240个福字，甲车间单独先工作4天后，工厂安排乙车间加入一起赶工，且乙车间每天可生产600个福字．
(1)从开始加工到完成这批福字一共需要多少天？
(2)由于市场需求增大，甲车间按原生产效率单独生产4天后，工厂改进了两个车间的生产工艺，并将剩下的生产任务平均分给了甲、乙两车间．改进后甲、乙两车间每天生产的福字数量之比为，且改进工艺后乙车间比甲车间提前8天完成剩下生产任务，问改进工艺后甲车间每天生产多少个福字？
20．（7分）班委为班级联欢会设计了一个“比9点”游戏，游戏规则如下：在大小和形状完全相同的四张卡片的正面分别写上数字3、4、5、6，将这四张卡片洗匀后正面朝下放在桌子上，甲同学先从中随机抽一张，然后乙同学再从剩下的三张中随机抽取一张，若两人的卡片上的数字之和大于9，则乙同学胜，否则甲同学胜．
(1)求甲同学抽到数字3的概率；
(2)请用画树状图或列表的方法分析这个游戏是否公平．
21．（8分）如图，等腰直角中，，点P在外，且，连接．
(1)若，求；
(2)若，求的长．
22．（7分）为了解A，B两款品质相近的无人机满电运行的最长时间，分别抽样调查了两款无人机各10架，记录它们运行的最长时间（单位：），并进行数据整理．
平均数 中位数 众数 方差
无人机A 70 69.5
无人机B 72 69
(1)填空：______，______，______（填写“、或”）；
(2)根据以上信息，你认为哪款无人机运行时间更有优势？请说明理由；
(3)如果A款无人机再实验1次，运行最长时间为，那么A款无人机最长运行时间的方差将______（填“变大”，“变小”或“不变”）
23．（8分）如图所示，一座小山顶的水平观景台的海拔高度为，小明想利用这个观景台测量对面山顶C点处的海拔高度，他在该观景台上选定了一点A，在点A处测得C点的仰角，再在上选一点B，在点B处测得C点的仰角，．求山顶C点处的海拔高度．（小明身高忽略不计，参考数据：，，）
24．（8分）在矩形中，，，连接，．将半圆形量角器放在如图1所示的位置，其直径在边上，点E是量角器上的零刻度，交于点F，点O是半圆形量角器所在圆的圆心．
图1 图2 备用图
(1)求点F在半圆形量角器上的读数；
(2)将半圆形量角器绕点A顺时针旋转．
①当点E旋转到上时，交于点M，如图2所示．求证：与半圆形量角器相切，并求图2中阴影部分的面积；
②在旋转过程中，当与直线只有一个交点（不包括端点A，E）时，设此交点与点C的距离为d，请直接写出d的取值范围．
25．（8分）2026年春节期间，南京夫子庙景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件，已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元．
(1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？
(2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，直接写出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(3)在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完，设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元．
26．（9分）已知二次函数（，a，b，c为常数）经过点和点．
(1) ， ；（用含a的代数式表示）
(2)当抛物线开口向下，且时，y有最大值1，求a的值；
(3)已知点，，若该抛物线与线段只有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
27．（11分）问题提出
(1)如图（1），在中，，且分别交于点D，E，则____．（填“”“”或“”）．
问题探究
(2)如图（2），是的角平分线，过点D作交于点E，求证：．
问题拓展
(3)如图（3），在菱形中，，点G在射线上，且．连接交于点F，过点F作交于点H，若，求的长．
参考答案
1．A
2．C
3．B
4．C
5．D
6．A
7．
8．
9．
10．
11．68
12．y＝－x＋1 或y＝3x＋1
13．
14．32
15．
16．
17．【详解】解：，
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为
∴不等式组的正整数解为，
18．【详解】解：
，
当时，
原式．
19．【详解】（1）解：设从开始加工到完成这批福字一共需要x天，
由题意得，
解得；
答：从开始加工到完成这批福字一共需要16天．
（2）解：设改进工艺后甲车间每天生产个福字，乙车间每天生产个福字．
4天后，甲、乙还各需加工：（个）；
根据题意得，
解得；
经检验：是所列方程的解，且符合题意，
（个）；
答：改进工艺后甲车间每天生产360个福字．
20．【详解】（1）解：∵四张卡片的正面分别写上数字3、4、5、6，
∴甲同学抽到数字3的概率为；
（2）解：这个游戏不公平．理由如下：
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两人的卡片上的数字之和大于9的结果有4种，两人的卡片上的数字之和不大于9的结果有8种，
∴乙同学胜的概率，甲同学胜的概率，
∵，
∴乙同学胜的概率≠甲同学胜的概率，
∴这个游戏不公平．
21．【详解】（1）解：过C作交延长线于Q，连接，如图：
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
在中，，，
∴；
（2）解：由（1）知，
∵，
∴，
∴，
∴．
22．【详解】（1）解：A组数据为66、72、64、70、72、69、80、67、72、68，
72出现的次数最多，故众数为；
方差，
B组数据为68、69、69、69、70、72、72、74、77、80，
所以其中位数为，
方差．
∴；
（2）解：B款无人机运行时间更有优势，
款无人机运行时间的平均时间大于A款无人机，
款无人机运行时间更有优势（答案不唯一，合理均可）．
（3）解：变小 ，理由如下：
新增数据70与A款无人机的平均数相等，加入后会减小数据的方差．
23．【详解】解：过点C作，交的延长线于点D，
设
∵，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∵小山顶的水平观景台的海拔高度为，
∴山顶C点处的海拔高度约，
∴山顶C点处的海拔高度约为．
24．【详解】（1）解：连接，如图，
∵
∴
在半圆形量角器中，
∵，
∴，
∴点F在半圆形量角器上的读数为60；
（2）解：①证明：过点O作，连接．
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴在中，．
∵，
∴，
∴，
∴在中，，
∴是半圆形量角器的半径．
∵，
∴与半圆形量角器相切；
在中，
∵，
∴．
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
②当半圆O与相切时，由①易得．
如图1，当经过点B时，点E在上，
∵，，
∴，
此时．
如图2，当点E在的延长线上时，
∵，，
∴，
∴．
综上所述，当与直线只有一个交点（不包括端点A，E）时，d的取值范围是或．
25．【详解】（1）解：设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元．
根据题意得．
解得．
则每件B类特产的售价（元）．
答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件．
（2）解：由题意得
∵A类特产进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价
∴．
答：（）．
（3）解：
．
∴当时，w有最大值1840．
答：函数关系式为；A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元．
26．【详解】（1）解：将点、代入中，
得：，
得：
解得，
将代入中，
得
解得；
（2）解：∵抛物线开口向下
∴，
由（1）得，，
∴对称轴为：，
①当对称轴在范围内时，
此时，
解得，
又∵，
∴此情况不存在；
②当对称轴在范围内时，
此时，且，
解得，
此时最大值在顶点，
∴顶点纵坐标为：，
解得，符合条件；
③当对称轴在范围内时，
此时，且，
解得，
此时最大值在，
∴
解得，舍去；
综上所述，；
（3）解：①当时，，，
∴
解得，抛物线不经过点，如图①，
抛物线与线段只有一个交点，结合图象可知；
②当时，若抛物线的顶点在线段上时，则
解得，，
当时，
，
此时，顶点横坐标满足，符合题意，如图②，抛物线与线段只有一个交点；
如图③，当时，
，
此时顶点横坐标不满足，不符合题意，舍去；
若抛物线与线段有两个交点，且其中一个交点恰好为点时，
把代入解析式中，得
解得，
如图④，抛物线和线段有两个交点，且其中一个交点恰好为点，
结合图象可知当时，抛物线与线段有一个交点．
综上所述，的取值范围为或或．
27．【详解】（1）解：∵，
∴，
∴．
（2）证明：∵，
∴， ，
∵是的角平分线，
∴
∴，
∴，
∴ ，
∴．
（3）解：∵菱形，
∴，
又∵，
∴类比由(2)中结论可得：，
∵，
∴，即，解得：，
∴，
如图，过点B作，垂足为点 Q，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴．
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