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2026年江苏省南京市初中学业水平数学考试第三次全真模拟考试押题卷
说明:
答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡定的位置上，并将条形码粘贴好.
全卷满分120分，考试时间120分钟。
3.选择题部分，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.非选择题部分，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案(含作辅助线)写在答题卡指定区域内.写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效。
4.考试结束后，请将答题卡交回.
一、选择题(本大题共6小题，每小题2分，共12分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的，多选、错选、不选均不给分。)
1．下列计算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
2．当x＝1时，下列式子没有意义的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列等式从左到右的变形，是因式分解的是（ ）．
A． B．
C． D．
4．如图，一束光线先后经平面镜反射后，反射光线与平行，已知，当时，的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，，F为DE的中点．若的周长为18，则OF的长为( )
A．3.5 B．4 C．5 D．7
6．如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻折；②沿函数的图像翻折；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图像经过一种变换后过点的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分）
7．若，则的值为______．
8．如图，要用一个扇形纸片围成一个无底的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为, 扇形的圆心角的度数是120°，则圆锥的侧面积为_________（结果保留）．

9．若是方程的一根，则实数m的值为________．
10．当时，化简_____．
11．如图，在平行四边形中，和相交于点O，E、F、G分别是、、的中点，连接，，则的周长为 __________________ ．
12．了解时事新闻，关心国家重大事件是每个中学生应具备的素养，在学校举行的新闻事件比赛中，知道“祝融号”成功到达火星的同学有40人，频率为0.8，则参加比赛的同学共有 _______ 人．
13．如图，在中，的平分线交于E，交的延长线于点F，则______．
14．如图，将绕点C顺时针方向旋转得到，若，连接，则度数为 ________ ．
15．如图，在正方形中，是边上的点，以为直径的与相切．若，则的长为___________．
16．如图，在中，，．平分，为延长线上一点，且，那么的值为___________．
三、解答题（本大题共11小题，共计88分，解答题要有必要的文字说明）
17．（7分）（1）解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来．
（2）解方程：．
18．（7分）如图，中，，分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接，，与交于点．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
19．（8分）现有120台大小两种型号的挖掘机同时工作，大型挖掘机每小时可挖掘土方360立方米，小型挖掘机每小时可挖掘土方200立方米，20小时共挖掘土方704 000立方米，求大小型号的挖掘机各多少台？
20．（7分）某区积极响应党的号召，鼓励老师们踊跃捐款．为了了解该区老师们的捐款情况，抽取了部分老师的捐款金额进行统计，数据整理成如下尚不完整的统计表和统计图．
某区教师捐款金额抽样统计表
组别 捐款金额（元） 人数
A 2
B 10
C
D 14
E 4
（1）一共抽取了______名老师；
（2）补全条形统计图，并算出扇形统计图中组对应扇形的圆心角度数为______°；
（3）该社区共有1000名老师，请估计捐款金额超过300元的老师有多少名
21．（8分）已知实数、、满足，，求证：．
22．（7分）南京江北新区快速路某下坡路段，交通部门安装了一套电子限速检测系统．如图，在离下坡路终点6米处（即米）的电线杆上安装一个电子眼进行区间测速，电子眼位于点处，区间测速的起点为坡面点处，此时电子眼的俯角为；区间测速的终点为下坡路终点处，此时电子眼的俯角为（四点在同一平面）．
(1)求电线杆的高度；
(2)已知下坡路段坡比，如果该路段限速16.67米/秒，某汽车用时1秒匀速通过测速路段，该汽车是否超速？请说明理由．（参考数据：）
23．（8分）如图，为的直径，C，D为上不同于A，B 的两点，，连接， 过点C作，垂足为E，直径与的延长线相交于F点．
(1)求证：是的切线；
(2)当时，求的长．
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试卷第1页，共3页
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24．（8分）某校在商场购进A、B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了3000元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花20元．
(1)问购买一个A品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？
(2)该校决定再次购进A、B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3500元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？
25．（9分）二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点C．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图1，点E是第三象限内的抛物线上的动点，过点E作轴，交x轴于点D，四边形的面积是否存在最大值？若存在，请求出E点坐标；
(3)如图2，点P是抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点Q，在x轴上有一点，连接，在抛物线的对称轴上是否存在一点H，使得，若存在，请求出点H的坐标．
26．（11分）在三角形中，以，为边在三角形外部作等边三角形和等边三角形，且连接．
【初步尝试】
（1）在图1中，连接，，求证：；
【深入探究】
（2）在图2、图3中，，延长交线段于点．
①如图2，当点为线段的中点时，的值为_______________；
②如图3，在直线上方作等边三角形，当点在的边上时，求的值；
【拓展延伸】
（3）在图4中，点在直线上方，，且，点为线段的中点，连接，求线段的最大值．
试卷第1页，共3页
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参考答案
一、选择题
1．D
2．D
3．C
4．B
5．A
6．B
二、填空题
7．
8．．
9．
10．
11．
12．50
13．4
14．20°
15．1
16．
三、解答题
17．【详解】解：（1）
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以，不等式组的解集为，
不等式组的解集在数轴上表示为：
（2）
这里，
，
∴，
即：
18．【详解】（1）证明：由作图知：．
在和中，
．
（2）解：，，
．
又，
，．
，
，
．
19．【详解】设大型挖掘机x台，则小型挖掘机(120－x)台．根据题意得：
20［360x＋200(120－x)］＝704 000
解得x＝70，120－x＝50
答：大型挖掘机70台，小型挖掘机50台．
20．【详解】解：（1）由条形图可知D组14人，由扇形统计图知占抽样人数的28%
抽样总人数=14÷28%=50（名），
故答案为：50；
（2）C组人数=50-2-10-14-4=20（名），可以补全条形图．
条形图如图所示：
B组对应扇形的圆心角度数为360°×=72°，
故答案为72．
（3）抽样中捐款金额超过300元的老师D组14÷50=28%，E在4÷50=8%，
社区共有1000名老师，估计捐款金额超过300元的老师（名）
答：估计捐款金额超过300元的教师有360名．
21．【详解】证明：，
．
把代入，得，
，
．
．
22．【详解】（1）解：由题意知，
∴，
在中，，
答：电线杆的高度为8米；
（2）解：不超速，理由如下
过D作于F，于G，
则四边形是矩形，
∴，，，
∴，
设，
∵坡比，
∴，
∴，，
在中，，
∴，
解得，即，
∴
∴，
而，
所以该汽车不超速．
23．【详解】（1）证明：连接．
∵，
∴．
又∵，
∴．
又∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
又∵为的半径，
∴为的切线；
（2）解：连接，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，
．
24．【详解】（1）解：设购买一个A品牌的篮球需元，则购买一个B品牌的篮球需元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴（元），
答：购买一个A品牌的篮球需60元，购买一个B品牌的篮球需80元
（2）解：∵A品牌篮球售价比第一次购买时提高了，
∴（元）
设该校可购买个B品牌篮球，则购买品牌的篮球个，
依题意得：，
解得：，
答：该校此次最多可购买33个B品牌篮球．
25．【详解】（1）解：∵二次函数经过点，
∴将代入表达式，
得，
解得，
；
（2）解：对于二次函数，当时，，
，
设，
轴，
，
，
，
，
∴当时，四边形面积最大，最大值为6，
此时E点坐标为；
（3）解：存在，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为，将代入直线的解析式得：，
解得，
∴直线的解析式为：，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为：，
∴，
∴，
取点，过点R作轴，交于点M，
则，
∴，
连接并延长交对称轴直线于点，
根据题意，，，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴点符合题意，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为：，
当时，，
故；
过点C作轴，过点N作轴，二线交于点G，
则四边形是矩形，
∴，，，
∴，
在上取一点，使得，
则，
∴，
连接并延长交对称轴直线于点，
根据题意，，，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴点符合题意，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为：，
当时，，
故；
综上所述，符合题意的点H坐标有，．
26．【详解】（1）证明：∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）①如图，延长至，使得，连接
∵点为线段的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴是等边三角形，
∴，
在直角中，，
∴；
②当点在边上时，由①可得；
当在边上时，如图，延长交于点，交于点，延长、交于点，连接，交于点，设，，
∵和是等边三角形，
∴，，，
∵，
∴，
∴平分，
∴，，
∴，
由勾股定理可得，
∴，
∵，
∴，
在直角中，，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
同理①可得，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理，
∴，
∴，
化简，得，
解得或（负值舍去），
∴；
综上所述，或．
（3）如图，以为边向上作等边，连接、，作于点，以为边作，使得，边交的延长线于点，连接，取的中点，连接、，作于点，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，，
同理（2）可得，
∴，，
∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即点是的中点，
∵点为的中点，
∴是的中位线，
∴为定值，，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
由勾股定理可得，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在直角中，，
∵，
∴当、、三点共线时，取得最大值．

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