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第17讲　功能关系和能量守恒定律
1.〔多选〕（2026·广西玉林期末）如图所示为碗池的横截面简化示意图，假如某次训练中运动员以同一姿势沿轨道下滑了一段距离，这一过程中重力对运动员做功为800 J，运动员克服阻力做功为200 J，则运动员在此过程中（　　）
A.机械能守恒
B.动能增加了600 J
C.重力势能减少了600 J
D.机械能减少了200 J
2.（2026·北京海淀期末）如图所示，两个完全相同的物体分别自固定斜面AC和BC顶端由静止开始下滑，已知物体与两斜面间的动摩擦因数相同，物体滑至斜面底部C点时的动能分别为EkA和EkB，下滑过程中产生的热量分别为QA和QB，则（　　）
A.EkA＞EkB，QA＝QB B.EkA＝EkB，QA＞QB
C.EkA＞EkB，QA＞QB D.EkA＜EkB，QA＝QB
3.（2026·江苏苏州期中）如图，公园里的喷泉有40个相同的喷口，每个喷泉管口直径为2 cm，水的密度ρ＝1×103 kg/m3。喷嘴方向可变化，喷出的水柱最高可达约10 m，则喷泉电动机的输出功率约为（　　）
A.6 kW B.18 kW C.60 kW D.180 kW
4.（2026·广西南宁期中）如图所示，一滑板爱好者沿着倾角为30°的斜坡从静止开始自由下滑，下滑过程中的加速度大小恒为g，已知滑板爱好者连同滑板的总质量为m， 重力加速度为g，滑板爱好者（含滑板）沿斜坡下滑距离为L的过程中，下列说法正确的是（　　）
A.滑板爱好者下滑过程中受到的阻力为mg B.滑板爱好者减少的重力势能为mgL
C.滑板爱好者增加的动能为mgL D.滑板爱好者减少的机械能为mgL
5.（2026·广东深圳期末）如图所示，“深坑打夯机”的夯杆在两个摩擦轮作用下，从静止开始匀加速竖直上升一段时间，然后松开摩擦轮，夯杆会继续上升。夯杆静止时重力势能为零，不计空气阻力。则夯杆上升过程中，其机械能随上升高度的变化关系是（　　）
6.★（2026·山东烟台联考）如图甲所示为消防员采用的高压水枪，图乙为某次灭火的示意图，消防员将出水管与水平地面成θ＝53°角架好，着火点与出水口的竖直距离H＝11 m，水平距离L＝12 m，水落在着火点。已知出水管的横截面积S＝0.005 m2，灭火过程中水枪机器的效率η＝80％，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，水的密度ρ＝1×103 kg/m3，重力加速度g取10 m/s2，忽略空气阻力及出水口与水箱液面的高度差，则水枪机器消耗的功率为（　　）
A.20 kW B.25 kW
C.40 kW D.50 kW
7.★（2026·浙江台州期末）一台热水器的聚热面积约3 m2，若每天相当于太阳直射热水器4 h，太阳能的20％可转化为水的内能，已知太阳辐射的总功率约为4×1026 J/s，太阳与地球之间的距离约为1.5×1011 m，阳光垂直射到地面附近的能量约为太阳辐射到地球能量的一半。则下列说法正确的是（　　）
A.太阳垂直射到地面附近单位面积的辐射功率约为1 400 W
B.这台热水器单位时间聚集的太阳能最多约为700 J
C.这台热水器一天内最多能利用的太阳能约为6×106 J
D.这台热水器全年内最多转化的水的内能约为2×108 J
8.（2026·重庆渝中区期末）如图甲所示，失控车辆紧急避险车道是设置在公路右侧的斜坡，路面通常由沙砾构成。如图乙所示，一辆质量为m的失控货车以某一速度无动力冲上一个倾角为5.7°的避险车道，摩擦力恒为mg，g为重力加速度，sin 5.7°≈0.1，货车沿斜面上升的最大高度为H，则在这个过程中（　　）
A.货车的重力做功mgH
B.货车克服摩擦力做的功为4mgH
C.货车的动能损失了mgH
D.货车的机械能减小了3mgH
9.〔多选〕（2026 ·重庆北碚期末）从地面竖直向上抛出一物体，其机械能E总等于动能Ek与重力势能Ep之和。取地面为重力势能零势能面，该物体的E总和Ep随它离开地面的高度h的变化如图所示。重力加速度g取10 m/s2。由图中数据可得（　　）
A.物体的质量为20 kg
B.h＝0时，物体的速率为20 m/s
C.h＝2 m时物体的动能Ek＝50 J
D.从地面至h＝4 m物体动能减少100 J
10.（2026·江苏盐城模拟）如图所示，倾角为θ＝53°的足够长的斜面体固定放置在水平地面上，一根轻质细线跨过斜面顶端的定滑轮，一端与斜面上质量为m＝1 kg的物块甲连接，另一端与质量未知的物块乙连接，甲、乙恰好处于静止状态。已知甲与斜面之间的动摩擦因数μ＝0.5，重力加速度g＝10 m/s2，不计滑轮与细线之间的摩擦，滑轮与物块甲间的细线与斜面平行，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6。
（1）求物块乙的质量m乙；
（2）若物块乙的质量为m乙'＝0.4 kg，将甲、乙由静止释放，当甲运动距离为L＝0.5 m时，求此时甲的速度大小；
（3）在（2）的情况下求系统机械能的变化量。
11.（2025·云南高考6题）如图所示，质量为m的滑块（视为质点）与水平面上MN段的动摩擦因数为μ1，与其余部分的动摩擦因数为μ2，且μ1＞μ2。第一次，滑块从Ⅰ位置以速度v0向右滑动，通过MN段后停在水平面上的某一位置，整个运动过程中，滑块的位移大小为x1，所用时间为t1；第二次，滑块从Ⅱ位置以相同速度v0向右滑动，通过MN段后停在水平面上的另一位置，整个运动过程中，滑块的位移大小为x2，所用时间为t2。忽略空气阻力，则（　　）
A.t1＜t2 B.t1＞t2
C.x1＞x2 D.x1＜x2
第17讲　功能关系和能量守恒定律
1.BD　由于克服阻力做功为200 J，克服阻力做功等于机械能的减少量，故运动员在此过程中机械能减少了200 J，故A错误，D正确；设克服阻力做功为Wf，由动能定理可得ΔEk＝WG－Wf＝800 J－200 J＝600 J，可知动能增加了600 J，故B正确；根据ΔEp＝－WG＝－800 J，可知重力势能减少了800 J，故C错误。
2.A　设斜面倾角为θ，底端边长为d，下滑过程中产生的热量Q＝μmgcos θ×＝μmgd，即QA＝QB。根据能量守恒定律得mgh＝Q＋Ek，显然自AC滑至斜面底部时的高度大，动能大，即EkA＞EkB，故选A。
3.B　喷出的水柱最高达10 m，可得最大速度v＝＝10 m/s，根据能量转化，有 P＝，又m＝ρSvt＝ρπvt，解得P＝5πρd2v3≈18 kW，故选B。
4.D　根据牛顿第二定律可知mgsin 30°－f＝m×g，解得f＝mg，故A错误；滑板爱好者减少的重力势能等于重力所做的功，即减少的重力势能为ΔEp＝mgLsin 30°＝mgL，故B错误；根据动能定理可知，滑板爱好者增加的动能为ΔEk＝FL＝maL＝mgL，故C错误；滑板爱好者减少的机械能等于克服摩擦力所做的功，即为ΔE＝fL＝mgL，故D正确。
5.C　夯杆机械能的变化量等于摩擦力对夯杆做功，即E＝ΔE＝fh，松开摩擦轮后，夯杆只受重力作用，则机械能守恒。则E-h图像如选项C所示，故选C。
6.B　设水做斜抛运动的初速度为v0，经t时间水打到着火点，在竖直方向有H＝v0tsin θ－gt2，在水平方向有L＝v0tcos θ，联立解得t＝1 s，v0＝20 m/s，设水枪机器消耗的功率为P，经Δt时间打出水的质量为m＝ρSvΔt，根据能量守恒定律有PΔt×80％＝m，解得P＝25 kW，故选B。
7.C　太阳垂直射到地面附近单位面积的辐射功率P0＝×＝× W≈700 W，故A错误；由题意可知，这台热水器单位时间聚集的太阳能最多为E＝Pt＝P0St＝2 100 J，故B错误；根据题意，这台热水器一天内最多能利用的太阳能为Q0＝Q＝P0St0＝×2 100×4×3 600 J≈6×106 J，故C正确；根据题意，这台热水器全年内最多转化的水的内能约为365Q0≈2×109 J，故D错误。
8.B　由重力做功公式可知货车的重力做功为WG＝－mgH，重力方向与位移方向夹角大于90°，故重力做负功，大小为mgH，故A错误；设货车沿斜面上升的距离为L，由几何关系H＝L·sin 5.7°，可得L＝10H，则货车克服摩擦力做的功为Wf＝f·L＝mg·10H＝4mgH，故B正确；由动能定理WG－Wf＝ΔEk0，代入数据得ΔEk0＝5mgH，则动能损失为5mgH，故C错误；机械能变化等于除重力外其他力做的功，此题中对应为摩擦力做的功，即ΔE＝－f·L＝－mg·10H＝－4mgH，即货车的机械能减小了4mgH，故D错误。
9.CD　由图可知在最高点时hm＝4 m，此时Ep＝mghm＝80 J，解得物体的质量为m＝2 kg，故A错误；在h＝0时，由图可知Ek0＝m＝100 J，解得物体的速率为v0＝10 m/s，故B错误；由图像可得，h＝2 m时，物体的机械能为90 J，所以此时动能为 Ek＝E总－Ep＝90 J－40 J＝50 J，故C正确；根据图像可知在h＝4 m时，物体的动能为零，故从地面至h＝4 m物体动能减少ΔEk＝Ek0＝m＝100 J，故D正确。
10.（1）0.5 kg或1.1 kg　（2） m/s　（3）－1.5 J
解析：（1）甲恰好不下滑时，由平衡条件得
m乙g＋μmgcos θ＝mgsin θ
解得m乙＝0.5 kg
当甲恰好不上滑时，由平衡条件得
m乙g＝μmgcos θ＋mgsin θ
解得m乙＝1.1 kg。
（2）若物块乙的质量为m乙'＝0.4 kg，将甲、乙静止释放后，甲沿斜面向下运动，由动能定理可得
mgLsin θ－μmgLcos θ－m乙'gL＝（m＋m乙'）v2
解得v＝ m/s。
（3）由能量守恒定律可知，系统减小的机械能等于摩擦产生的热量，则系统机械能的变化量为
ΔE＝－μmgLcos θ
解得ΔE＝－1.5 J。
11.A　设MN段的长度为x0，设滑块在除MN段外通过的路程为x，整个过程由动能定理得－μ1mgx0－μ2mgx＝0－m，由题意可知滑块两次在MN段的路程相等，则两次在除MN段外通过的路程也一定相等，则有x1＝x0＋x，x2＝x0＋x，所以x1＝x2，C、D错误；滑块在MN段的加速度大小为a1＝μ1g，滑块在除MN段外的加速度大小为a2＝μ2g，由于第二次的释放点距离M较近，则滑块第二次在M点的速度比第一次的大，由于两次滑块通过MN的位移相同，则第二次滑块在MN段的运动时间较短，作出两次滑块的速度—时间图像，如图所示，由图可直观地看出，第二次运动的总时间较长，即t1＜t2，A正确，B错误。
1 / 1第17讲　功能关系和能量守恒定律
1.熟练掌握几种常见的功能关系，并会用于解决实际问题。 2.会处理与功能关系相关的图像问题。 3.会应用能量守恒观点解决综合问题。
考点一　功能关系的理解和应用
要点深化
1.功能关系的理解
（1）功是能量转化的量度，即做了多少功就有多少能量发生了转化。
（2）做功的过程一定伴随着能量的转化，而且能量的转化必须通过做功来实现。
2.常见的功能关系
能量 功能关系 表达式
势能 重力做的功等于重力势能减少量 W＝Ep1－Ep2＝－ΔEp
弹力做的功等于弹性势能减少量
静电力做的功等于电势能减少量
动能 合外力做的功等于物体动能变化量 W＝Ek2－Ek1＝mv2－m
机械能 除重力或系统内弹力之外的其他力做的功等于机械能变化量 W其他＝E2－E1＝ΔE
摩擦产生的 内能 一对相互作用的滑动摩擦力做功之和的绝对值等于产生的内能 Q＝｜Wf｜＝ Ff·x相对
电能 克服安培力做的功等于电能增加量 W克安＝E2－E1 ＝ΔE电
（2026·安徽黄山联考）如图所示，将弹簧跳跳人玩具按压到桌面上，松手后能够弹起一定高度。从压缩状态到上升至最高点的过程中，不计空气阻力，下列说法中正确的是（　　）
A.跳跳人玩具克服重力做的功，小于跳跳人玩具重力势能的增加量
B.弹簧弹力对跳跳人玩具做的功，等于弹簧的弹性势能增加量
C.当弹簧恢复到原长时，弹簧上方的头部的动能最大
D.在弹簧恢复到原长之前，弹簧上方的头部的机械能增加
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
〔多选〕（2026· 福建福州期中）运动员从滑雪场的倾斜直滑道滑下，运动员质量m＝60 kg，滑道倾角α＝37°，滑道长度L＝50 m，运动员与滑道间的动摩擦因数μ＝0.2，将运动员视为质点，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则运动员从倾斜直滑道下滑的过程中（　　）
A.重力势能变化量ΔEp＝1.8×104 J
B.动能变化量ΔEk＝1.32×104 J
C.机械能变化量ΔE＝4.8×103 J
D.因摩擦产生的热量Q＝4.8×103 J
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
摩擦力做功的分析方法 1.无论是滑动摩擦力，还是静摩擦力，计算做功时都应是用力与对地位移的乘积。 2.摩擦生热的计算：公式Q＝Ff·x相对中x相对为两接触物体间的相对位移，若物体在传送带上做往复运动时，则x相对为总的相对路程。
考点二　功能关系中的图像问题
要点深化
几种功能关系图像的分析
类型 图像 分析
Ek-x图像 切线斜率：合外力 ①合外力沿＋x方向 ②合外力沿－x方向
Ep-x图像 切线斜率：重力、弹力等 ①力沿－x方向 ②力沿＋x方向
E机-x图像 切线斜率：除重力、弹力以外的力 ①沿＋x方向 ②沿－x方向
E机-t图像 切线斜率：功率
（2026·河北石家庄月考）如图甲所示，质量为m＝1 kg的小物体自倾角为37°固定粗糙斜面底端以E0＝200 J的初动能沿斜面向上滑动（斜面足够长）。规定斜面底端为零势能面，物体向上滑动的过程中动能和机械能与上升高度h的关系分别如图乙所示。已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，取重力加速度大小为g＝10 m/s2。则（　　）
A.物体向上滑动的最大距离为6 m
B.物体与斜面间的动摩擦因数为0.4
C.物体再返回到斜面底端时的动能为40 J
D.物体在斜面上运动的全过程中因摩擦产生的热量为80 J
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　〔多选〕（2026·广东广州联考）雨滴一般形成于距离地面几千米的高空，雨滴形成后由静止开始下落，假设雨滴运动过程中质量保持不变，受到空气阻力的大小与速率成正比。以地面为零势能面，设雨滴下降的距离为x，运动时间为t，雨滴的速率为v，所受阻力的瞬时功率为P，机械能为E，重力势能为Ep，下列图像可能正确的是（　　）
考点三　能量守恒定律的理解及应用
知识速记
1.内容
能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为　　　　，或者从一个物体转移到　　　　，在转化或转移的过程中，能量的总量　　　　。
2.理解
（1）某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量　　　　，且减少量和增加量一定　　　　。
（2）某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量　　　　，且减少量和增加量一定　　　　。
如图所示，市场上有一种自动机械手表，既不需要上发条，也不用任何电源，却能不停地走下去。思考以下问题：
（1）维持表针走动的能量是从哪儿来的？
（2）在能量发生转化或转移时，能量的总量会减少吗？
要点深化
1.表达式
（1）E初＝E末，初状态各种能量的总和等于末状态各种能量的总和。
（2）ΔE增＝ΔE减，增加的能量总和等于减少的能量总和。
2.能量转化问题的解题思路
（1）当涉及摩擦力做功、机械能不守恒时，一般应用能量守恒定律。
（2）解题时，首先确定初、末状态，然后确定变化过程中哪种形式的能量减少，哪种形式的能量增加，再求出减少的能量总和ΔE减与增加的能量总和ΔE增，最后由ΔE减＝ΔE增列式求解。
★〔人教版必修第二册P100·T3改编〕〔多选〕舟山市地处沿海，风力资源极为丰富，舟山某风力发电的外景如图所示。假设该地有一风力发电机，它的叶片转动时可形成半径为20 m的圆面。某时间内该地区的风速是7.0 m/s，风向恰好跟叶片转动的圆面垂直，已知空气的密度为1.2 kg/m3，假如这个风力发电机能将此圆内12％的空气动能转化为电能。则下列说法正确的是（　　）
A.单位时间内冲击风力发电机叶片圆面的气流的体积约为8 800 m3
B.单位时间内冲击风力发电机叶片圆面的气流的动能约为25.8 kJ
C.此风力发电机发电的功率约为31 kW
D.若风速变为原来的2倍，则风力发电机发电的功率变为原来的4倍
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.根据圆柱体体积公式求出单位时间内冲击风力发电机叶片圆面的气流的体积V0＝＝＝＝πR2v。 2.利用m＝ρV求出气流的质量。 3.再由动能公式Ek＝mv2求出动能。 4.再由功率公式P＝求出发电功率。
（2026·广东深圳期末）某“弹射游戏”装置如图所示，轨道BC由两个半径均为R＝0.1 m的圆形管道和圆单侧轨道拼接而成位于竖直面内，管道内直径大于小正方形滑块边长，且远小于R。轻弹簧左端固定，自然状态下弹簧右端位于O点，用质量为m＝0.02 kg的小滑块将弹簧压缩x0到A位置，由静止释放，小滑块恰能通过单侧轨道的最高点C，其中，OB段长为R，滑块与轨道间的动摩擦因数μ＝0.5，其它各处摩擦不计，假设弹簧弹性势能与形变量的平方成正比。求：
（1）小滑块到达最高点C的速度vC大小及小滑块落地点到B点的距离xB；
（2）若弹簧的压缩量增为2x0，其它条件不变，小滑块经过B时对管道的弹力FN；
（3）要使小滑块在BC轨道上运动过程中不脱离轨道，弹簧的弹性势能要满足的条件。
尝试解答
第17讲　功能关系和能量守恒定律
考点一
要点深化
【例1】　D　跳跳人玩具克服重力做的功，等于跳跳人玩具重力势能的增加量，故A错误；弹力对跳跳人玩具做的功，等于弹簧弹性势能的减少量，故B错误；当弹簧的弹力与头部的重力平衡时，速度最大，动能最大，故C错误；弹簧恢复原长前，弹力对头部做正功，头部的机械能增加，故D正确。
【例2】　BD　重力势能变化量ΔEp＝－mgh＝－mgLsin 37°＝－1.8×104 J，故A错误；由动能定理得动能变化量为ΔEk＝L＝1.32×104 J，故B正确；机械能的变化量等于除重力以外的摩擦力做的功，所以有ΔE＝－μmgcos 37°·L＝－4.8×103 J，故C错误；摩擦产生的热量为Q＝μmgcos 37°·L＝4.8×103 J，故D正确。
考点二
【例3】　C　设物体向上滑动的最大距离为L，则根据题中图像可得mgLsin 37°＝E0，解得L＝20 m，故A错误；设物体与斜面间的动摩擦因数为μ，则由动能定理有－mgLsin 37°－μmgLcos 37°＝0－E0，解得μ＝0.5，故B错误；物体从最高点下滑到斜面底端时，根据动能定理有mgLsin 37°－μmgLcos 37°＝Ek，解得Ek＝40 J，故C正确；物体在斜面上运动的全过程中因摩擦产生的热量为Q＝2μmgLcos 37°＝160 J，故D错误。
强化训练
　AD　根据牛顿第二定律有mg－kv＝ma，可知雨滴做加速度减小的加速运动，当空气阻力等于重力时，加速度为0，此后雨滴做匀速直线运动，故A正确；根据P＝fv＝kv2，当雨滴达到最大速度后，速度不能继续增大，则P-v图像应为一段开口向上的抛物线，故B错误；根据功能关系可知，机械能的变化量等于阻力对雨滴所做的功，则有f＝kv＝，可知E-x图像的切线斜率绝对值先逐渐增大后不变，但机械能不能减小到零，故C错误；设初始时雨滴的重力势能为Ep0，则雨滴的重力势能为Ep＝Ep0－mgx，故D正确。
考点三
知识速记
1.其他形式　别的物体　保持不变　2.（1）增加　相等
（2）增加　相等
思考与讨论
　提示：（1）手表戴在手腕上，通过手臂的运动，机械手表获得能量，供手表指针走动，若将此手表长时间放置不动，它就会停下来。
（2）在能量发生转化或转移时，能量只会从一个物体转移到另一个物体或者从一种形式转化为另一种形式，但能量的总量不会减少。
要点深化
【例4】　AC　单位时间内冲击风力发电机叶片圆面的气流的体积约为V0＝＝＝πR2v≈8 800 m3，故A正确；单位时间内冲击风力发电机叶片圆面的气流的动能约Ek0＝m0v2＝ρV0v2≈258 kJ，故B错误；此风力发电机发电的功率约为P＝12％×Ek0≈31 kW，故C正确；根据能量守恒定律可知风力发电机发电的功率为P＝12％×Ek0＝12％×ρπR2v3，由上式可知，若风速变为原来的2倍，则风力发电机发电的功率变为原来的8倍，故D错误。
【例5】　（1）1 m/s，0.4 m　（2）4.8 N，方向竖直向下
（3）0.01 J≤Ep≤0.03 J或Ep≥0.06 J
解析：（1）小滑块恰能通过最高点C，此时仅由重力提供向心力，有mg＝m
解得vC＝＝1 m/s
小滑块离开C点后做平抛运动，有2R＝gt2
解得x＝vCt＝0.2 m
故小滑块落地点到B点的距离为xB＝x＋2R＝0.4 m。
（2）当弹簧的压缩量为x0时，根据能量守恒定律，得弹簧弹性势能Ep1＝μmgR＋m＋mg·2R＝3mgR
当弹簧的压缩量增为2x0时，弹簧弹性势能Ep2＝4Ep1＝12mgR
由能量守恒定律，得Ep2＝μmgR＋m
在B点，根据牛顿第二定律，有FN'－mg＝m
解得FN'＝4.8 N
根据牛顿第三定律，小滑块对管道的弹力FN＝FN'＝4.8 N，方向竖直向下。
（3）小滑块恰好能进入B点所需的弹性势能
Ep3＝μmgR＝0.01 J
小滑块恰能运动到与O1等高处所需的弹簧弹性势能
Ep4＝μmgR＋mgR＝0.03 J
小滑块恰能运动到C点所需的弹簧弹性势能为
Ep5＝Ep1＝3mgR＝0.06 J
故符合条件的弹性势能范围是
0.01 J≤Ep≤0.03 J或Ep≥0.06 J。
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第17讲　功能关系和能量守恒定律
目标要求
1. 熟练掌握几种常见的功能关系，并会用于解决实际问题。
2. 会处理与功能关系相关的图像问题。
3. 会应用能量守恒观点解决综合问题。
目 录
CONTENTS
考点一　功能关系的理解和应用
考点二　功能关系中的图像问题
考点三　能量守恒定律的理解及应用
课时跟踪检测
考点一　功能关系的理解和应用
要点深化
1. 功能关系的理解
（1）功是能量转化的量度，即做了多少功就有多少能量发生了转化。
（2）做功的过程一定伴随着能量的转化，而且能量的转化必须通过做功
来实现。
2. 常见的功能关系
能量 功能关系 表达式
势能 重力做的功等于重力势能减少量 W＝Ep1－Ep2＝－ΔEp
弹力做的功等于弹性势能减少量
静电力做的功等于电势能减少量
能量 功能关系 表达式
动能 合外力做的功等于物体动能变化量 W＝Ek2－Ek1＝mv2－
m
机械能 除重力或系统内弹力之外的其他力做
的功等于机械能变化量 W其他＝E2－E1＝ΔE
摩擦产生
的内能 一对相互作用的滑动摩擦力做功之和
的绝对值等于产生的内能 Q＝｜Wf｜＝Ff·x相对
电能 克服安培力做的功等于电能增加量 W克安＝E2－E1＝ΔE电
（2026·安徽黄山联考）如图所示，将弹簧跳跳人玩具按压到桌面上，松手后能够弹起一定高度。从压缩状态到上升至最高点的过程中，不计空气阻力，下列说法中正确的是（　D　）
D
A. 跳跳人玩具克服重力做的功，小于跳跳人玩具重力势能的增加量
B. 弹簧弹力对跳跳人玩具做的功，等于弹簧的弹性势能增加量
C. 当弹簧恢复到原长时，弹簧上方的头部的动能最大
D. 在弹簧恢复到原长之前，弹簧上方的头部的机械能增加
解析：跳跳人玩具克服重力做的功，等于跳跳人玩具重力势能的增加
量，故A错误；弹力对跳跳人玩具做的功，等于弹簧弹性势能的减少
量，故B错误；当弹簧的弹力与头部的重力平衡时，速度最大，动能最
大，故C错误；弹簧恢复原长前，弹力对头部做正功，头部的机械能增
加，故D正确。
〔多选〕（2026· 福建福州期中）运动员从滑雪场的倾斜直滑道滑
下，运动员质量m＝60 kg，滑道倾角α＝37°，滑道长度L＝50 m，运动员
与滑道间的动摩擦因数μ＝0.2，将运动员视为质点，取g＝10 m/s2，sin
37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则运动员从倾斜直滑道下滑的过程中（　B　）
BD
A. 重力势能变化量ΔEp＝1.8×104 J
B. 动能变化量ΔEk＝1.32×104 J
C. 机械能变化量ΔE＝4.8×103 J
D. 因摩擦产生的热量Q＝4.8×103 J
解析：重力势能变化量ΔEp＝－mgh＝－mgLsin 37°＝－1.8×104 J，故A
错误；由动能定理得动能变化量为ΔEk＝L＝
1.32×104 J，故B正确；机械能的变化量等于除重力以外的摩擦力做的
功，所以有ΔE＝－μmgcos 37°·L＝－4.8×103 J，故C错误；摩擦产生的
热量为Q＝μmgcos 37°·L＝4.8×103 J，故D正确。
摩擦力做功的分析方法
1. 无论是滑动摩擦力，还是静摩擦力，计算做功时都应是用力与对地位移
的乘积。
2. 摩擦生热的计算：公式Q＝Ff·x相对中x相对为两接触物体间的相对位移，
若物体在传送带上做往复运动时，则x相对为总的相对路程。
考点二　功能关系中的图像问题
要点深化
几种功能关系图像的分析
类型 图像 分析
Ek-x图像 切线斜率：合外力
①合外力沿＋x方向
②合外力沿－x方向
Ep-x图像 切线斜率：重力、弹力等
①力沿－x方向
②力沿＋x方向
类型 图像 分析
E机-x图像 切线斜率：除重力、弹力以外的
力
①沿＋x方向
②沿－x方向
E机-t图像 切线斜率：功率
（2026·河北石家庄月考）如图甲所示，质量为m＝1 kg的小物体自倾
角为37°固定粗糙斜面底端以E0＝200 J的初动能沿斜面向上滑动（斜面足
够长）。规定斜面底端为零势能面，物体向上滑动的过程中动能和机械能
与上升高度h的关系分别如图乙所示。已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝
0.8，取重力加速度大小为g＝10 m/s2。则（　C　）
C
A. 物体向上滑动的最大距离为6 m
B. 物体与斜面间的动摩擦因数为0.4
C. 物体再返回到斜面底端时的动能为40 J
D. 物体在斜面上运动的全过程中因摩擦产生的热量为80 J
解析：设物体向上滑动的最大距离为L，则根据题中图像可得mgLsin 37°
＝E0，解得L＝20 m，故A错误；设物体与斜面间的动摩擦因数为μ，则由
动能定理有－mgLsin 37°－μmgLcos 37°＝0－E0，解得μ＝0.5，故B错
误；物体从最高点下滑到斜面底端时，根据动能定理有mgLsin 37°－
μmgLcos 37°＝Ek，解得Ek＝40 J，故C正确；物体在斜面上运动的全过程
中因摩擦产生的热量为Q＝2μmgLcos 37°＝160 J，故D错误。
　〔多选〕（2026·广东广州联考）雨滴一般形成于距离地面几千米的高
空，雨滴形成后由静止开始下落，假设雨滴运动过程中质量保持不变，受
到空气阻力的大小与速率成正比。以地面为零势能面，设雨滴下降的距离
为x，运动时间为t，雨滴的速率为v，所受阻力的瞬时功率为P，机械能为
E，重力势能为Ep，下列图像可能正确的是（　　）
√
√
解析： 　根据牛顿第二定律有mg－kv＝ma，可知雨滴做加速度减小的
加速运动，当空气阻力等于重力时，加速度为0，此后雨滴做匀速直线运
动，故A正确；根据P＝fv＝kv2，当雨滴达到最大速度后，速度不能继续增
大，则P-v图像应为一段开口向上的抛物线，故B错误；根据功能关系可
知，机械能的变化量等于阻力对雨滴所做的功，则有f＝kv＝，可知E-x
图像的切线斜率绝对值先逐渐增大后不变，但机械能不能减小到零，故C
错误；设初始时雨滴的重力势能为Ep0，则雨滴的重力势能为Ep＝Ep0－
mgx，故D正确。
考点三　能量守恒定律的理解及应用
知识速记
1. 内容
能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为
，或者从一个物体转移到 ，在转化或转移的过程中，
能量的总量 。
其他
形式　
别的物体　
保持不变　
2. 理解
（1）某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量 ，且减少
量和增加量一定 。
（2）某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量 ，且减少
量和增加量一定 。
增加　
相等　
增加　
相等　
　如图所示，市场上有一种自动机械手表，既不需要上发条，也不用任何
电源，却能不停地走下去。思考以下问题：
（1）维持表针走动的能量是从哪儿来的？
提示： 手表戴在手腕上，通过手臂的运动，机械手表获
得能量，供手表指针走动，若将此手表长时间放置不动，它就
会停下来。
（2）在能量发生转化或转移时，能量的总量会减少吗？
提示： 在能量发生转化或转移时，能量只会从一个物体转移到另一个物体或者从一种形式转化为另一种形式，但能量的总量不会减少。
要点深化
1. 表达式
（1）E初＝E末，初状态各种能量的总和等于末状态各种能量的总和。
（2）ΔE增＝ΔE减，增加的能量总和等于减少的能量总和。
2. 能量转化问题的解题思路
（1）当涉及摩擦力做功、机械能不守恒时，一般应用能量守恒定律。
（2）解题时，首先确定初、末状态，然后确定变化过程中哪种形式的能
量减少，哪种形式的能量增加，再求出减少的能量总和ΔE减与增加的能量
总和ΔE增，最后由ΔE减＝ΔE增列式求解。
★〔人教版必修第二册P100·T3改编〕〔多选〕舟山市
地处沿海，风力资源极为丰富，舟山某风力发电的外景如图
所示。假设该地有一风力发电机，它的叶片转动时可形成半
径为20 m的圆面。某时间内该地区的风速是7.0 m/s，风向恰
好跟叶片转动的圆面垂直，已知空气的密度为1.2 kg/m3，
假如这个风力发电机能将此圆内12％的空气动能转化为电能。则下列说法
正确的是（　AC　）
AC
A. 单位时间内冲击风力发电机叶片圆面的气流的体积约为8 800 m3
B. 单位时间内冲击风力发电机叶片圆面的气流的动能约为25.8 kJ
C. 此风力发电机发电的功率约为31 kW
D. 若风速变为原来的2倍，则风力发电机发电的功率变为原来的4倍
解析：单位时间内冲击风力发电机叶片圆面的气流的体积约为V0＝＝
＝πR2v≈8 800 m3，故A正确；单位时间内冲击风力发电机叶片圆面的气流
的动能约Ek0＝m0v2＝ρV0v2≈258 kJ，故B错误；此风力发电机发电的功
率约为P＝12％×Ek0≈31 kW，故C正确；根据能量守恒定律可知风力发电
机发电的功率为P＝12％×Ek0＝12％×ρπR2v3，由上式可知，若风速变为
原来的2倍，则风力发电机发电的功率变为原来的8倍，故D错误。
1. 根据圆柱体体积公式求出单位时间内冲击风力发电力叶片圆面的气流的
体积V0＝＝＝＝πR2v。
2. 利用m＝ρV求出气流的质量。
3. 再由动能公式Ek＝mv2求出动能。
4. 再由功率公式P＝求出发电功率。
（2026·广东深圳期末）某“弹射游戏”装置如图所示，轨道BC由两
个半径均为R＝0.1 m的圆形管道和圆单侧轨道拼接而成位于竖直面内，
管道内直径大于小正方形滑块边长，且远小于R。轻弹簧左端固定，自然
状态下弹簧右端位于O点，用质量为m＝0.02 kg的小滑块将弹簧压缩x0到A
位置，由静止释放，小滑块恰能通过单侧轨道的最高点C，其中，OB段长
为R，滑块与轨道间的动摩擦因数μ＝0.5，其它各处摩擦不计，假设弹簧
弹性势能与形变量的平方成正比。求：
答案： 1 m/s，0.4 m　
（1）小滑块到达最高点C的速度vC大小及小滑块落地点到B点的距离xB；
解析： 小滑块恰能通过最高点C，此时仅由重力提供向心力，有mg＝
m
解得vC＝＝1 m/s
小滑块离开C点后做平抛运动，有2R＝gt2
解得x＝vCt＝0.2 m
故小滑块落地点到B点的距离为xB＝x＋2R＝0.4 m。
（2）若弹簧的压缩量增为2x0，其它条件不变，小滑块经过B时对管道的弹
力FN；
答案： 4.8 N，方向竖直向下　
解析：当弹簧的压缩量为x0时，根据能量守恒定律，得弹簧弹性势能Ep1＝
μmgR＋m＋mg·2R＝3mgR
当弹簧的压缩量增为2x0时，弹簧弹性势能Ep2＝4Ep1＝12mgR
由能量守恒定律，得Ep2＝μmgR＋m
在B点，根据牛顿第二定律，有FN'－mg＝m
解得FN'＝4.8 N
根据牛顿第三定律，小滑块对管道的弹力FN＝FN'＝4.8 N，方向竖直
向下。
（3）要使小滑块在BC轨道上运动过程中不脱离轨道，弹簧的弹性势能要
满足的条件。
答案： 0.01 J≤Ep≤0.03 J或Ep≥0.06 J
解析：小滑块恰好能进入B点所需的弹性势能Ep3＝μmgR＝0.01 J
小滑块恰能运动到与O1等高处所需的弹簧弹性势能Ep4＝μmgR＋mgR＝
0.03 J
小滑块恰能运动到C点所需的弹簧弹性势能为
Ep5＝Ep1＝3mgR＝0.06 J
故符合条件的弹性势能范围是
0.01 J≤Ep≤0.03 J或Ep≥0.06 J。
课时跟踪检测
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1. 〔多选〕（2026·广西玉林期末）如图所示为碗池的横截面简化示意
图，假如某次训练中运动员以同一姿势沿轨道下滑了一段距离，这一过程
中重力对运动员做功为800 J，运动员克服阻力做功为200 J，则运动员在此
过程中（　　）
A. 机械能守恒
B. 动能增加了600 J
C. 重力势能减少了600 J
D. 机械能减少了200 J
√
√
解析： 　由于克服阻力做功为200 J，克服阻力做功等于机械能的减少
量，故运动员在此过程中机械能减少了200 J，故A错误，D正确；设克服
阻力做功为Wf，由动能定理可得ΔEk＝WG－Wf＝800 J－200 J＝600 J，可知
动能增加了600 J，故B正确；根据ΔEp＝－WG＝－800 J，可知重力势能减
少了800 J，故C错误。
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2. （2026·北京海淀期末）如图所示，两个完全相同的物体分别自固定斜
面AC和BC顶端由静止开始下滑，已知物体与两斜面间的动摩擦因数相
同，物体滑至斜面底部C点时的动能分别为EkA和EkB，下滑过程中产生的热
量分别为QA和QB，则（　　）
A. EkA＞EkB，QA＝QB B. EkA＝EkB，QA＞QB
C. EkA＞EkB，QA＞QB D. EkA＜EkB，QA＝QB
√
解析： 设斜面倾角为θ，底端边长为d，下滑过程中产生的热量Q＝
μmgcos θ×＝μmgd，即QA＝QB。根据能量守恒定律得mgh＝Q＋Ek，显
然自AC滑至斜面底部时的高度大，动能大，即EkA＞EkB，故选A。
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3. （2026·江苏苏州期中）如图，公园里的喷泉有40个相同的喷口，每个
喷泉管口直径为2 cm，水的密度ρ＝1×103 kg/m3。喷嘴方向可变化，喷出
的水柱最高可达约10 m，则喷泉电动机的输出功率约为（　　）
A. 6 kW B. 18 kW
C. 60 kW D. 180 kW
√
解析： 喷出的水柱最高达10 m，可得最大速度v＝＝
10 m/s，根据能量转化，有 P＝，又m＝ρSvt＝
ρπvt，解得P＝5πρd2v3≈18 kW，故选B。
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4. （2026·广西南宁期中）如图所示，一滑板爱好者沿着倾角为30°的斜
坡从静止开始自由下滑，下滑过程中的加速度大小恒为g，已知滑板爱好
者连同滑板的总质量为m， 重力加速度为g，滑板爱好者（含滑板）沿斜
坡下滑距离为L的过程中，下列说法正确的是（　　）
A. 滑板爱好者下滑过程中受到的阻力为mg
B. 滑板爱好者减少的重力势能为mgL
C. 滑板爱好者增加的动能为mgL
D. 滑板爱好者减少的机械能为mgL
√
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解析： 　根据牛顿第二定律可知mgsin 30°－f＝m×g，解得f＝mg，
故A错误；滑板爱好者减少的重力势能等于重力所做的功，即减少的重力
势能为ΔEp＝mgLsin 30°＝mgL，故B错误；根据动能定理可知，滑板爱
好者增加的动能为ΔEk＝FL＝maL＝mgL，故C错误；滑板爱好者减少的机
械能等于克服摩擦力所做的功，即为ΔE＝fL＝mgL，故D正确。
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5. （2026·广东深圳期末）如图所示，“深坑打夯机”的夯杆在两个摩擦
轮作用下，从静止开始匀加速竖直上升一段时间，然后松开摩擦轮，夯杆
会继续上升。夯杆静止时重力势能为零，不计空气阻力。则夯杆上升过程
中，其机械能随上升高度的变化关系是（　　）
√
解析： 　夯杆机械能的变化量等于摩擦力对夯杆做功，即E＝ΔE＝fh，松
开摩擦轮后，夯杆只受重力作用，则机械能守恒。则E-h图像如选项C所
示，故选C。
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6. ★（2026·山东烟台联考）如图甲所示为消防员采用的高压水枪，图乙为
某次灭火的示意图，消防员将出水管与水平地面成θ＝53°角架好，着火
点与出水口的竖直距离H＝11 m，水平距离L＝12 m，水落在着火点。已知
出水管的横截面积S＝0.005 m2，灭火过程中水枪机器的效率η＝80％，sin
53°＝0.8，cos 53°＝0.6，水的密度ρ＝1×103 kg/m3，重力加速度g取10
m/s2，忽略空气阻力及出水口与水箱液面的高度差，则水枪机器消耗的功
率为（　　）
A. 20 kW B. 25 kW
C. 40 kW D. 50 kW
√
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解析： 　设水做斜抛运动的初速度为v0，经t时间水打到着火点，在竖直
方向有H＝v0tsin θ－gt2，在水平方向有L＝v0tcos θ，联立解得t＝1 s，v0＝
20 m/s，设水枪机器消耗的功率为P，经Δt时间打出水的质量为m＝ρSvΔt，
根据能量守恒定律有PΔt×80％＝m，解得P＝25 kW，故选B。
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7. ★（2026·浙江台州期末）一台热水器的聚热面积约3 m2，
若每天相当于太阳直射热水器4 h，太阳能的20％可转化为
水的内能，已知太阳辐射的总功率约为4×1026 J/s，太阳与
地球之间的距离约为1.5×1011 m，阳光垂直射到地面附近的能量约为太阳辐射到地球能量的一半。则下列说法正确的是（　　）
A. 太阳垂直射到地面附近单位面积的辐射功率约为1 400 W
B. 这台热水器单位时间聚集的太阳能最多约为700 J
C. 这台热水器一天内最多能利用的太阳能约为6×106 J
D. 这台热水器全年内最多转化的水的内能约为2×108 J
√
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解析： 太阳垂直射到地面附近单位面积的辐射功率P0＝×＝
× W≈700 W，故A错误；由题意可知，这台热水器单位时间
聚集的太阳能最多为E＝Pt＝P0St＝2 100 J，故B错误；根据题意，这台热
水器一天内最多能利用的太阳能为Q0＝Q＝P0St0＝×2 100×4×3 600
J≈6×106 J，故C正确；根据题意，这台热水器全年内最多转化的水的内
能约为365Q0≈2×109 J，故D错误。
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8. （2026·重庆渝中区期末）如图甲所示，失控车辆紧急避险车道是设置
在公路右侧的斜坡，路面通常由沙砾构成。如图乙所示，一辆质量为m的
失控货车以某一速度无动力冲上一个倾角为5.7°的避险车道，摩擦力恒
为mg，g为重力加速度，sin 5.7°≈0.1，货车沿斜面上升的最大高度为
H，则在这个过程中（　　）
A. 货车的重力做功mgH
B. 货车克服摩擦力做的功为4mgH
C. 货车的动能损失了mgH
D. 货车的机械能减小了3mgH
√
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解析： 　由重力做功公式可知货车的重力做功为WG＝－mgH，重力方向
与位移方向夹角大于90°，故重力做负功，大小为mgH，故A错误；设货
车沿斜面上升的距离为L，由几何关系H＝L·sin 5.7°，可得L＝10H，则货
车克服摩擦力做的功为Wf＝f·L＝mg·10H＝4mgH，故B正确；由动能定理
WG－Wf＝ΔEk0，代入数据得ΔEk0＝5mgH，则动能损失为5mgH，故C错
误；机械能变化等于除重力外其他力做的功，此题中对应为摩擦力做的
功，即ΔE＝－f·L＝－mg·10H＝－4mgH，即货车的机械能减小了4mgH，
故D错误。
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9. 〔多选〕（2026 ·重庆北碚期末）从地面竖直向上抛出一物体，其机械
能E总等于动能Ek与重力势能Ep之和。取地面为重力势能零势能面，该物体
的E总和Ep随它离开地面的高度h的变化如图所示。重力加速度g取10 m/s2。
由图中数据可得（　　）
A. 物体的质量为20 kg
B. h＝0时，物体的速率为20 m/s
C. h＝2 m时物体的动能Ek＝50 J
D. 从地面至h＝4 m物体动能减少100 J
√
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解析： 　由图可知在最高点时hm＝4 m，此时Ep＝mghm＝80 J，解得物
体的质量为m＝2 kg，故A错误；在h＝0时，由图可知Ek0＝m＝100 J，
解得物体的速率为v0＝10 m/s，故B错误；由图像可得，h＝2 m时，物体的
机械能为90 J，所以此时动能为 Ek＝E总－Ep＝90 J－40 J＝50 J，故C正
确；根据图像可知在h＝4 m时，物体的动能为零，故从地面至h＝4 m物体
动能减少ΔEk＝Ek0＝m＝100 J，故D正确。
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10. （2026·江苏盐城模拟）如图所示，倾角为θ＝53°的
足够长的斜面体固定放置在水平地面上，一根轻质细线跨
过斜面顶端的定滑轮，一端与斜面上质量为m＝1 kg的物
块甲连接，另一端与质量未知的物块乙连接，甲、乙恰好
处于静止状态。已知甲与斜面之间的动摩擦因数μ＝0.5，重力加速度g＝10 m/s2，不计滑轮与细线之间的摩擦，滑轮与物块甲间的细线与斜面平行，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6。
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（1）求物块乙的质量m乙；
答案： 0.5 kg或1.1 kg　
解析： 甲恰好不下滑时，由平衡条件得
m乙g＋μmgcos θ＝mgsin θ
解得m乙＝0.5 kg
当甲恰好不上滑时，由平衡条件得
m乙g＝μmgcos θ＋mgsin θ
解得m乙＝1.1 kg。
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（2）若物块乙的质量为m乙'＝0.4 kg，将甲、乙由静止释放，当甲运动距
离为L＝0.5 m时，求此时甲的速度大小；
答案： m/s　
解析：若物块乙的质量为m乙'＝0.4 kg，将甲、乙静止释放后，甲沿斜面向
下运动，由动能定理可得mgLsin θ－μmgLcos θ－m乙'gL＝（m＋m乙'）v2，
解得v＝ m/s。
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（3）在（2）的情况下求系统机械能的变化量。
答案： －1.5 J
解析：由能量守恒定律可知，系统减小的机械能等于摩擦产生的热量，则
系统机械能的变化量为
ΔE＝－μmgLcos θ
解得ΔE＝－1.5 J。
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11. （2025·云南高考6题）如图所示，质量为m的滑块（视为质点）与水平
面上MN段的动摩擦因数为μ1，与其余部分的动摩擦因数为μ2，且μ1＞μ2。
第一次，滑块从Ⅰ位置以速度v0向右滑动，通过MN段后停在水平面上的某
一位置，整个运动过程中，滑块的位移大小为x1，所用时间为t1；第二次，
滑块从Ⅱ位置以相同速度v0向右滑动，通过MN段后停在水平面上的另一位
置，整个运动过程中，滑块的位移大小为x2，所用时间为t2。忽略空气阻
力，则（　　）
A. t1＜t2 B. t1＞t2
C. x1＞x2 D. x1＜x2
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解析： 　设MN段的长度为x0，设滑块在除MN段外通过
的路程为x，整个过程由动能定理得－μ1mgx0－μ2mgx＝0
－m，由题意可知滑块两次在MN段的路程相等，则
两次在除MN段外通过的路程也一定相等，则有x1＝x0＋
x，x2＝x0＋x，所以x1＝x2，C、D错误；滑块在MN段的加速度大小为a1＝μ1g，滑块在除MN段外的加速度大小为a2＝μ2g，由于第二次的释放点距离M较近，则滑块第二次在M点的速度比第一次的大，由于两次滑块通过MN
的位移相同，则第二次滑块在MN段的运动时间较短，作出两次滑块的速度—时间图像，如图所示，由图可直观地看出，第二次运动的总时间较长，即t1＜t2，A正确，B错误。
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