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第四章因式分解单元检测卷北师大版2025—2026学年八年级数学下册（含答案）
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．下列各式从左到右的变形，是彻底的因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．对多项式分解因式的结果为（ ）
A． B． C． D．
3．如果 ，那么的值为（ ）
A． B． C．4 D．2
4．将代数式分解为几个整式的积，其中一个整式是（ ）
A．a B． C． D．
5．定义如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“豫数”．如，，，因此4、12、20都是“豫数”，有关“豫数”说法正确的是（　　）
A．28是“豫数” B．32是“豫数”
C．所有“豫数”都是6的倍数 D．最小的“豫数”是2
6．下列多项式，能用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则代数式的值为（　　）
A．1 B．3 C．5 D．7
8．已知a，b满足等式，，，则x，y的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．因式分解：______．
10．分解因式：____________．
11．已知，，则的值为______．
12．已知，则______．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．把下列多项式分解因式：
(1)；
(2)．
14．因式分解：
(1)
(2)
(3)
(4)
15．判断下列命题是真命题还是假命题．如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例．
(1)若，则；
(2)若为正整数，则能被24整除．
16．观察下列等式，并回答问题．
；
；
；
…
华华发现规律：比任意一个偶数大3的数与此偶数的平方差能被3整除．
(1)的结果是3的_____倍；
(2)设偶数为（k为整数），试说明与的平方差能被3整除．
17．如图，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形
(1)上述操作能验证的等式是___________；（请选择正确的一个）
A． B．
C．
(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知，求的值．
②计算：
18．定义：若将多项式和分别进行因式分解，至少有一个因式相同，则称多项式和为共因多项式，其中该相同因式为同因子．
例如：对于多项式，，将两个多项式因式分解，，，从因式分解的结果可知都含有因式，所以多项式和为共因多项式，其中因式为同因子．
(1)共因多项式和的同因子是__________；
(2)请写出多项式的一个共因多项式（除外），要求为二次三项式，并说明理由；
(3)现有足够多的正方形和长方形卡片，如图1所示，分别记为甲，乙，丙．①选取甲卡片张，乙卡片张，丙卡片张，拼成如图2所示的图形，根据此图，写出一个多项式的因式分解；
②选取甲、乙，丙三种卡片，通过拼图得到①中多项式的一个共因多项式（①中多项式除外），要求为正方形，请画出拼图，并写出此共因多项式的因式分解．
参考答案
一、选择题
1．D
2．B
3．C
4．A
5．A
6．B
7．C
8．D
二、填空题
9．
10．
11．30
12．9
三、解答题
13．【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
14．【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
15．【详解】（1）解：是假命题；
当时，，
∵，
∴但，
故原命题是假命题；
（2）解：是真命题，理由如下：
原式
，
∵为正整数，
∴为正整数，且是两个连续的正整数，
∴一定能被2整除，
又∵一定能被12整除，
∴能被整除.
16．【详解】（1）解：，
∴的结果是3的43倍；
（2）证明：∵ 偶数为，为整数，对应比它大3的数为，
∴
∵为整数，
∴为整数，
∴能被整除
即与的平方差能被3整除．
17．【详解】（1）解：图1阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为，
所以.
（2）解：①∵，
∴，
又∵，
∴，
答：的值为3；
②
．
18．【详解】（1）解：，，
故共因多项式和的同因子是．
（2）解：，
，
则和的同因子是，
故是的共因多项式．
（3）①解：由图可知，图2的面积可表示为，
也可表示为，
故．
②解：如图为所求拼图，
拼图的面积可表示为，
也可表示为，
则，
与的同因子是，
故是的共因多项式．
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