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第十章　二元一次方程组
10.1　二元一次方程组的概念
初中数学人教版（2024）七年级下册
学习目标
1.了解二元一次方程及二元一次方程组的概念.(重点)
2.理解二元一次方程的解及二元一次方程组的解的概念.(重点)
3.会判断一组数是不是二元一次方程组的解.(难点)
情境引入
在中国古代数学著作《九章算术》里，二元一次方程组是由算筹布置而成的，如图所示，
图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项.已知如图所示的算筹图所表
示的方程组是
一、
二元一次方程
问题1　新疆是我国棉花的主要产地之一.近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式.某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机，1 h就完成了8 hm2棉田的采摘.如果每台大型采棉机1 h完成2 hm2棉田的采摘，每台小型采棉机1 h完成1 hm2棉田的采摘，那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台？
(1)上面的问题包含了哪些必须同时满足的相等关系？
提示　容易发现，问题包含两个必须同时满足的相等关系：
大型采棉机台数＋小型采棉机台数＝总台数.
大型采棉机1 h采摘面积＋小型采棉机1 h采摘面积＝1 h采摘总面积.
(2)如何列一元一次方程？
提示　设这个种棉大户租用了x台大型采棉机，则2x＋(6－x)＝8.
(3)能不能根据题意直接设两个未知数，使列方程变的容易呢？
提示　设这个种棉大户租用了x台大型采棉机，y台小型采棉机，则
x＋y＝6，①
2x＋y＝8.②
知识梳理
每个方程都含有两个未知数(x和y)，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫作 .
注意点：(1)“一次”是指含有未知数的项的次数都是1，而不只是未知数的次数.
(2)方程的左右两边都是整式.
二元一次方程
例1　下面方程属于二元一次方程的有
A.2m＋3＝6 B.x＋2y＝z
C.7u＋5v＝3 D.ab＋3b＝4
√
跟踪训练1　(1)若xm-3－8yn+2＝0是关于x，y的二元一次方程，则m＝　　，n＝　　　.
(2)判断下列哪一个方程是二元一次方程.
①＋2y＝1；②x＋＝－7；③8ab＝5；
④2x2－x＋1＝0；⑤2(x＋y)－3(x－y)＝1.
4
－1
解　 ①⑤是二元一次方程.
二、
二元一次方程组
知识梳理
把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个方程组.这个方程组中含有两个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有两个方程，像这样的方程组叫作 .
注意点：(1)方程组中只有两个未知数.
(2)含有每个未知数的项的次数都是1.
(3)一共有两个方程，且这两个方程左右两边都是整式.
二元一次方程组
例2　下列方程组是不是二元一次方程组，为什么？
(1)(2)(3)
解　都不是二元一次方程组，因为(1)中含三个未知数；(2)中3xy项的次数是2；(3)中不是整式.
跟踪训练2　下列方程组中是二元一次方程组的是
A. B.
C. D.
√
三、
二元一次方程(组)的解
问题2　(1)满足方程x＋y＝6，且符合问题1的实际意义的x，y的值有哪些？把它们填入表中；
提示　如表所示.
x 0 1 2 3 4 …
y
x 0 1 2 3 4 …
y 6 5 4 3 2 …
(2)满足方程2x＋y＝8，且符合问题1的实际意义的x，y的值有哪些？把它们填入表中；
提示　如表所示.
x 0 1 2 3 4 …
y
x 0 1 2 3 4 …
y 8 6 4 2 0 …
(3)经过观察，一个二元一次方程的解唯一吗？
提示　不唯一，一般地，二元一次方程有无数个解.
(4)一个二元一次方程组的解唯一吗？
提示　一般地，二元一次方程组只有一个解.(特殊情况下无解或有无数多个解)
知识梳理
1.二元一次方程的解：
一般地，使二元一次方程两边的值 的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解.
2.二元一次方程组的解：
一般地，二元一次方程组的两个方程的 ，叫作二元一次方程组的解.
如x＝2，y＝4是方程x＋y＝6的一个解，也是方程2x＋y＝8的一个解，
记作
相等
公共解
例3　(1)下列4组数值中，是二元一次方程2x＋y＝10的解的是
A. B.
C. D.
√
(2)检验下列各对数是不是方程组的解.
(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)
解　(ⅰ)把x＝2，y＝1分别代入方程①②，发现不满足②，所以不
是原方程组的解.
(ⅱ)把x＝3，y＝－1分别代入方程①②，发现不满足①，所以不
是原方程组的解.
(ⅲ)把x＝4，y＝分别代入方程①②，发现满足①②，所以是原方
程组的解.
反思感悟
只有同时满足方程组的两个方程时，才是方程组的解.
跟踪训练3　(1)下列各组数中，是方程x－3y＝2的解的是
A. B.
C. D.
√
(2)方程组的解是
A. B.
C. D.
√
(3)关于x，y的方程组的解是则|m－n|的值是
A.5 B.3 C.2 D.1
√
解析　把x＝1，y＝1代入方程①，得m＝3－1＝2，再代入方程②，得n＝1＋2×1＝3，则|m－n|＝|2－3|＝1.
(4)写出一个二元一次方程组，使得它的解为
解　(答案不唯一)
课堂小结
1.已知2x＋3y＝4，当x＝y时，x，y的值都为　　　　，当x＋y＝0时，x＝　　　　，y＝　　　　.
课堂练习
－4
4
2.已知是方程2x－4y＋2a＝3的一组解，则a＝　　　　.
解析　把x＝－3，y＝－2代入方程2x－4y＋2a＝3，得a＝.
课堂练习
3.若方程2x2m+3＋3y3n-7＝0是关于x，y的二元一次方程，则m＝　　　　，n＝　　　　.
－1
解析　令2m＋3＝1，得m＝－1，令3n－7＝1，得n＝.
课堂练习
4.判断是否是二元一次方程组的解.
解　不是，不符合方程x＋y＝－1.
课堂练习
5.加工某种产品需经两道工序，第一道工序每人每天可完成900件，第二道工序每人每天可完成1 200件，现有7位工人参与加工这两道工序，应怎样安排人数才能使每天第一、第二道工序所完成的件数相等？
解　设第一道工序安排x人，第二道工序安排y人，
根据题意列方程组得
解得
所以第一道工序安排4人，第二道工序安排3人.
课堂练习
谢谢观看

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