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第十章　二元一次方程组
10.3　实际问题与二元一次方程组(1)
初中数学人教版（2024）七年级下册
学习目标
1.能够根据具体的数量关系，列出二元一次方程组解决相关问题.(重点)
2.归纳列方程组解决实际问题的一般步骤.(重点)
3.体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型，发展模型观念和应用意识.(难点)
课堂引入
1.解二元一次方程组的方法有代入消元法和加减消元法.
2.(1)用代入消元法解二元一次方程组的步骤：
(2)用加减消元法解二元一次方程组的步骤：
实际问题与二元一次方程组
问题　养牛场原有30头大牛和15头小牛，1天约用饲料675 kg；一周后又购进12头大牛和5头小牛，这时1天约用饲料940 kg.饲养员李大叔估计平均每头大牛1天需饲料18~20 kg，每头小牛1天需饲料7~8 kg.你能通过计算检验他的估计吗？
(1)如何理解“通过计算检验他的估计”这句话？
提示　只要求出每头大牛和每头小牛1天各需的饲料数量，就可以检验他的估计是否正确.
(2)题目中哪些是已知量，哪些是未知量？你如何设未知数？
提示　已知量：大牛小牛原来和现在一天约用饲料多少千克.
未知量：每头大牛小牛一天各需要用饲料多少千克.
设未知数：设每头大牛和每头小牛1天各约用饲料x kg和y kg.
(3)题中有哪些等量关系？
提示　大牛用的饲料＋小牛用的饲料＝1天约需用饲料.
30头大牛和15头小牛一天需用饲料为675 kg，
30x＋15y＝675；
(30＋12)头大牛和(15＋5)头小牛一天需用饲料为940 kg，
(30＋12)x＋(15＋5)y＝940；
12头大牛和5头小牛需用饲料为(940－675)kg.
12x＋5y＝940－675.
(4)请完整的写出本题的解答过程.
提示　设每头大牛和每头小牛1天各约用饲料x kg和y kg.
根据题意，得
解这个方程组，得
故每头大牛1天约用饲料20 kg，每头小牛1天约用饲料5 kg.
因此，饲养员李大叔对大牛的食量估计正确，对小牛的食量估计偏高.
例　某学校现有甲种材料35 kg，乙种材料29 kg，活动课要求学生制作A，B两种型号的工艺品，用料情况如表：
需甲种材料 需乙种材料
1件A型工艺品 0.9 kg 0.3 kg
1件B型工艺品 0.4 kg 1 kg
(1)利用这些材料能制作A，B两种型号的工艺品各多少件；
解　设用这些材料能制作A型工艺品x件，B型工艺品y件，
根据题意得
故用这些材料能制作A型工艺品30件，B型工艺品20件.
例　某学校现有甲种材料35 kg，乙种材料29 kg，活动课要求学生制作A，B两种型号的工艺品，用料情况如表：
(2)若甲、乙两种材料的单价分别为8元/kg和10元/kg，问制作A，B两种型号的工艺品的材料费各多少钱？
解　制作一件A型工艺品需要的材料费为0.9×8＋0.3×10＝10.2(元)，
制作一件B型工艺品需要的材料费为0.4×8＋1×10＝13.2(元)，
则制作A型工艺品需要的材料费为10.2×30＝306(元)，
制作B型工艺品需要的材料费为13.2×20＝264(元).
需甲种材料 需乙种材料
1件A型工艺品 0.9 kg 0.3 kg
1件B型工艺品 0.4 kg 1 kg
反思感悟
(1)用二元一次方程组解决实际问题，要充分利用题目中的条件，列出独立的两个方程.
(2)估计只是经验之谈，数据才能说明问题.
跟踪训练　把长18米的钢材锯成10段，而每段的长只能取“1米或2米”两种型号之一，小明估计2米的有2段，你们认为他估计的是否准确？为什么呢？如果不准确，那2米和1米的各有多少段？
解　设应锯成2米的有x段，1米的有y段，
依题意得
解得
因此，小明估计的不准确.2米的有8段，1米的有2段.
课堂小结
利用二元一次方程组解决实际问题的基本思路：
1.甲、乙两数的和为10，差为2，若设甲数为x，乙数为y，则可列方程组
为　 　　　.
课堂练习
2.某校春季运动会比赛中，七年级(1)班、(5)班的竞技实力相当，关于比赛结果，甲同学说：(1)班与(5)班得分比为6∶5；乙同学说：(1)班得分比(5)班得分的2倍少40分.请你算一算两个班的得分各是多少.
解　设(1)班得x分，(5)班得y分，
根据题意得
故(1)班得60分，(5)班得50分.
课堂练习
3.某单位组织34人分别到五台山和平遥古城旅游，到五台山的人数比到平遥古城的人数的2倍多1人，求到两地的人数各是多少？
解　设到五台山旅游的有x人，到平遥古城旅游的有y人，
根据题意得
故到五台山旅游的有23人，到平遥古城旅游的有11人.
课堂练习
4.笼中有蛐蛐和蜘蛛共10只，共有68条腿，求蛐蛐和蜘蛛各几只？(注：一只蛐蛐6条腿，一只蜘蛛8条腿)
解　设蛐蛐有x只，蜘蛛有y只，
根据题意得
故蛐蛐有6只，蜘蛛有4只.
课堂练习
5.学校合唱队男生人数是女生人数的，后来调入3名女生，这时男生人数与女生人数的比是3∶4，学校合唱队原来有多少名同学？
解　设学校合唱队原来有x名女同学，y名男同学，
由题意得解得
∴x＋y＝5＋6＝11，
∴学校合唱队原来有11名同学.
课堂练习
6.某超市账目记录显示，第一天卖出39支牙刷和21盒牙膏，收入300元；第二天以同样的价格卖出同样的52支牙刷和28盒牙膏，收入应该是_______元.
解析　设牙刷单价为x元/支，牙膏单价为y元/盒，
由题意可知39x＋21y＝300，
则52x＋28y＝(39x＋21y)＝400.
400
课堂练习
7.一个两位数，个位数字与十位数字的和为8，个位数字与十位数字互换位置后，所得的两位数比原两位数小18，则原两位数是多少？
解　设个位数字为x，十位数字为y，则这个两位数表示为10y＋x.
由题意可列方程组为解得
所以原两位数为53.
课堂练习
8. 某工艺厂准备生产A，B两种礼盒，该厂主要用甲、乙两种原料，已知生产一套A礼盒需要甲原料和乙原料分别为4盒和3盒，生产一套B礼盒需要甲原料和乙原料分别为5盒和10盒.该厂购进甲、乙原料的量分别为20 000盒和30 000盒，如果所进原料全部用完，求该厂能生产A，B两种礼盒各多少套？
解　设生产A礼盒x套，生产B礼盒y套，
由题意可列方程组解得
即生产A礼盒2 000套，生产B礼盒2 400套.
课堂练习
第十章　二元一次方程组
10.3　
实际问题与二元一次方程组(2)
初中数学人教版（2024）七年级下册
学习目标
1.能够根据几何图形与图文信息，列出二元一次方程组解决几何图形、工程类相关问题.(重点)
2.进一步理解和体会利用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤.(难点)
课堂引入
1.用二元一次方程组解决的实际问题一定含有两个未知量，能找到两个相等关系.
2.列方程组解应用题的一般步骤：
(1)设：分析所有的已知量、未知量，恰当地设未知数.
(2)列：找相等关系，列二元一次方程组.
(3)解：解二元一次方程组.
(4)答：检验解的合理性，写出答案.
实际问题与二元一次方程组
例1　据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1∶2.现要把一块长200 m、宽100 m的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物.怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是3∶4？
(1)认真分析本题中的数量关系，解决上述问题；
解　如图所示，设AE为x m，BE为y m，
根据题意，得解得
故过这块地长边上离一端120 m处，作这条边的垂线，将土地分成两块，较大的一块种植甲种作物，较小的一块种植乙种作物.
例1　据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1∶2.现要把一块长200 m、宽100 m的长方形土地划分为两块小长方形土地，分别种植这两种作物.怎样划分这块土地，才能使甲、乙两种作物的总产量的比是3∶4？
(2)是否还有其他设计方案？
解　有其他设计方案.
如图所示，设AM为p m，DM为q m，
根据题意，得解得
故过这块地短边上离一端60 m处，作这条边的垂线，将土地分成两块，较大的一块种植甲种作物，较小的一块种植乙种作物.
跟踪训练1　将一副直角三角板按如图方式摆放，图中α比β的3倍多10°，则α－β＝　　　°.
50
解析　由题意得
解得
所以α－β＝70°－20°＝50°.
例2　为打造集休闲娱乐、健身运动、观光旅游、体验自然等于一体的多功能活动区域.深圳湾公园海滨步道现有一段长350米的河边道路需整治，任务由A，B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治15米，B工程队每天整治10米，共用时30天.
根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组：
甲：乙：
从甲、乙两位同学所列方程组中任选一组，补全以下解题过程，并利用此方程组求出A，B两个工程队分别整治河边道路多少米.
解：选择的方程组为　　　(填“甲”或“乙”)，
设x为　　　　；
y为　　　　.
解　选择的方程组为甲，设x为A工程队工作的天数，
y为B工程队工作的天数.
根据题意得解此方程组得
∴15x＝150，10y＝200，
即A，B两个工程队分别整治河边道路150米和200米.
选择的方程组为乙，设x为A工程队整治河边道路的长度，
y为B工程队整治河边道路的长度.
根据题意得解此方程组得
即A，B两个工程队分别整治河边道路150米和200米.
跟踪训练2　一家工厂里2个男工和4个女工在一天内可加工全部零件的，8个男工和10个女工在一天内可加工完全部零件.如果把单独让男工加工和单独让女工加工进行比较，要在一天内完成任务，女工要比男工多多少人？
解　设男工的工作效率为x，女工的工作效率为y，
根据题意得解得
如果单独让男工加工或单独让女工加工，要在一天内完成任务，
需要女工1÷＝30(人)，需要男工1÷＝12(人)，
女工比男工多30－12＝18(人).故女工要比男工多18人.
课堂小结
1.解决工程问题，有时我们需要把工作总量看作单位“1”.
2.工作总量、工作效率和工作时间之间的关系式为工作总量＝工作效率×工作时间；
工作效率＝工作总量÷工作时间；
工作时间＝工作总量÷工作效率.
1.如图所示为两个形状、大小完全一样的小长方形拼接而
成的图形.已知AB＝5，CD＝3，则此图形的面积为
A.6 B.8 C.10 D.12
课堂练习
√
解析　设小长方形的长为x，宽为y，
由题意，得解得
∴2xy＝2×4×1＝8，
即此图形的面积为8.
2.如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A，D两
点分别与A'，D'对应，若∠CFE＝∠CFD'，设∠CFD'＝x°，∠CFE＝
y°，根据题意可得
A. B.
C. D.
√
解析　根据翻折的性质可得∠DFE＝∠EFD'＝x°＋y°，所以x＋2y＝180，
根据题意，得
课堂练习
3.幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛
书”.把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三
阶幻方(如图1)，将9个数填在3×3(三行三列)的方格中，
如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数
字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方.图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则mn＝　 .
0
解析　根据题意得解得
∴mn＝06＝0.
课堂练习
4.一个长方形的周长为36厘米，若长减少4厘米，宽增加2厘米，长方形就变成正方形，求此正方形的边长.
解　设长方形的长为x厘米，宽为y厘米.
根据题意，得
解得
∴x－4＝12－4＝8.
故此正方形的边长为8厘米.
课堂练习
5.一批零件共1 100个，如果甲先做5天后，乙加入合作，再做8天正好做完；如果乙先做5天后，甲加入合作，再做9天也恰好完成，问两人每天各做多少个零件？
解　设甲每天做x个零件，乙每天做y个零件，
依题意，得
解得
所以甲每天做60个零件，乙每天做40个零件.
课堂练习
6.某校为学生开展拓展性课程，拟在一块
长比宽多6米的长方形场地内建造由两个大棚组
成的植物养殖区(如图1)，要求两个大棚之间有
间隔4米的路，设计方案如图2，已知每个大棚的周长为44米.求每个大棚的长和宽各是多少？
解　设大棚的宽为a米，长为b米，
根据题意可得解得
∴大棚的宽为8米，长为14米.
课堂练习
7.风力发电是一种绿色环保的发电方式，一般主要分布在山顶、海上、草原等地区.其中一套风力发电设备(如图)由一个风机塔筒和三个风机叶片组成，其中碳纤维材料是必须的材料，据了解15吨的碳纤维材料可以制作30个风机塔筒或60个风机叶片.
(1)1吨碳纤维材料可以做多少个风机塔筒或多少个风机叶片？(5分)
课堂练习
解　设1吨碳纤维材料可以做x个风机塔筒或y个风机叶片，
根据题意得，制作1个风机塔筒需要 吨的碳纤维材料，制作1个风机叶片需要 吨的碳纤维材料，
∴解得x＝2，y＝4，
∴1吨碳纤维材料可以做2个风机塔筒或4个风机叶片.
课堂练习
(2)现有75吨碳纤维材料，一共可以做______套风力发电设备.(5分)
解　设用m吨碳纤维材料制作风机塔筒，用n吨碳纤维材料制作风机叶片，
∴解得∴2×30＝60(套).
∴一共可以做60套风力发电设备.
课堂练习
第十章　二元一次方程组
10.3　
实际问题与二元一次方程组(3)
初中数学人教版（2024）七年级下册
学习目标
1.学会运用二元一次方程组解决较复杂的实际问题.(重点)
2.进一步经历和体验方程组解决实际问题的过程.(难点)
情境引入
目前，我国物流业蓬勃发展，这离不开运输，运输方式包括航空、铁路、公路、水运等，当前国内运输主要以铁路和公路为主.这节课我们将学习运输中的运价运费、行程等较复杂的实际问题.
实际问题与二元一次方程组
问题1　公路的运价为1.5元/(吨·千米)，里程为10千米，货物重量为200吨，则公路运费为多少元？
提示　1.5×10×200＝3 000(元).
问题2　铁路的运价为1.2元/(吨·千米)，原料重量为100吨，里程为20千米，则铁路运费为多少元？
提示　1.2×20×100＝2 400(元).
问题3　公路的运价为1.5元/(吨·千米)，里程为10千米，货物重量为x吨，则公路运费为多少元？
提示　1.5×10x＝15x(元).
问题4　铁路的运价为1.2元/(吨·千米)，原料重量为y吨，里程为20千米，则铁路运费为多少元？
提示　1.2×20y＝24y(元).
问题5　你了解运费的单位“元∕(吨·千米)”的含义吗？
提示　运费按每吨每千米收取.
例　如图所示，长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B地.已知公路运价为1.5元/(t·km)，铁路运价为1.2元/(t·km)，且这两
次运输共支出公路运费15 000元，铁路运费97 200元.这
批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
解　设产品重x t，原料重y t，根据题意得
产品x t 原料y t 合计
公路运费/元 1.5×20x 1.5×10y 15 000
铁路运费/元 1.2×110x 1.2×120y 97 200
价值/元 8 000x 1 000y
例　如图所示，长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连，这家工厂从A地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B地.已知公路运价为1.5元/(t·km)，铁路运价为1.2元/(t·km)，且这两
次运输共支出公路运费15 000元，铁路运费97 200元.这
批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
解　解方程组得
8 000x－(1 000y＋15 000＋97 200)
＝8 000×300－(1 000×400＋15 000＋97 200)
＝1 887 800(元).
故这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1 887 800元.
反思感悟
对于稍复杂的实际问题，可通过画图、列表等方式，帮助分析题目中的相等关系，分步表示数量之间的关联，更方便地列出方程组.
跟踪训练　(1)某市的出租车是这样收费的：起步价所包含路程为0~3 千米，超过3 千米的部分按每千米另行收费.小刘说：“我乘出租车从家到汽车站走了4.5 千米，付车费5.25元.”小李说：“我从我家乘出租车到汽车站走了6 千米，付车费7.5元.”
①出租车的起步价是多少元？超过3千米后每千米收费多少元？
解　设出租车的起步价是x元，超过3千米后每千米收费y元.
依题意得解得
即出租车的起步价是3元，超过3千米后每千米收费1.5元.
跟踪训练　(1)某市的出租车是这样收费的：起步价所包含路程为0~3 千米，超过3 千米的部分按每千米另行收费.小刘说：“我乘出租车从家到汽车站走了4.5 千米，付车费5.25元.”小李说：“我从我家乘出租车到汽车站走了6 千米，付车费7.5元.”
②小明乘出租车从学校到汽车站走了8.5 千米，应付车费多少元？
解　3＋×1.5＝11.25(元).
即小明乘出租车从学校到汽车站走了8.5 千米，应付车费11.25元.
(2)一批货物要运往某地，货主准备用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车的情况如表(两次两种货车都满载)：
现租用该公司3辆甲种货车和5辆乙种货车一次刚好运完这批货，如果按每吨
付运费30元计算，你能算出货主应付运费多少元吗？
解　设甲、乙两种货车每辆每次分别运货x吨、y吨，根据题意得
租用该公司3辆甲种货车和5辆乙种货车总运费为30×(3x＋5y)＝30×(3×4＋5×2.5)＝735(元).故货主应付运费735元.
第一次 第二次
甲种货车的车辆数(辆) 2 5
乙种货车的车辆数(辆) 3 6
累计运货吨数(吨) 15.5 35
课堂小结
1.松鼠妈妈采松子，晴天每天可以采20个，雨天每天只能采12个，它连续几天一共采了112个，平均每天采14个，问这几天当中有几天晴天，几天雨天？
课堂练习
解　设这几天当中有x天晴天，y天雨天，根据题意得
故这几天当中有2天晴天，6天雨天.
2.某食品厂要配制含蛋白质15%的食品100 kg，现在有含蛋白质分别为20%，12%的两种配料.用这两种配料可以配制出所要求的食品吗？如果可以的话，它们各需多少千克？
解　设用含蛋白质为20%的配料x kg，含蛋白质为12%的配料y kg，根据题意得
故配料可以配制出所要求的食品，用含蛋白质为20%的配料37.5 kg，含蛋白质为12%的配料62.5 kg.
课堂练习
3.小明家离学校1 880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路.他跑步去学校共用了16分钟，已知小明在上坡路上的平均速度为4.8千米/时，在下坡路上的平均速度为12千米/时，那么小明在上坡路上用了多少分钟？(温馨提示：计算时请注意单位)
解　4.8千米/时＝80米/分钟，12千米/时＝200米/分钟，
设小明在上坡路上用了x分钟，在下坡路上用了y分钟，
由题意得解得
即小明在上坡路上用了11分钟.
课堂练习
4.某村18位农民筹集5万元资金，承包了一些低产田地.根据市场调查，他们计划对种植作物的品种进行调整，
作物品种 每公顷所需人数 每公顷投入资金/万元
蔬菜 5 1.5
荞麦 4 1
改种蔬菜和荞麦.种这两种作物每公顷所需的人数和需投入的资金如表：
在现有情况下，这18位农民应承包多少公顷田地，怎样安排种植才能使所有人都参与种植，且资金正好够用？
解　设蔬菜种植x公顷，
荞麦种植y公顷，
将题中出现的量在表格
中呈现：
作物品种 种植面积/公顷 需要人数 投入资金/万元
蔬菜 x 5x 1.5x
荞麦 y 4y y
合计 18 5
课堂练习
解　根据题意得解方程组得
故承包田地的面积为x＋y＝4(公顷)，人员安排为：5x＝5×2＝10(人)种植蔬菜，4y＝4×2＝8(人)种植荞麦.
4.某村18位农民筹集5万元资金，承包了一些低产田地.根据市场调查，他们计划对种植作物的品种进行调整，
作物品种 每公顷所需人数 每公顷投入资金/万元
蔬菜 5 1.5
荞麦 4 1
改种蔬菜和荞麦.种这两种作物每公顷所需的人数和需投入的资金如表：
在现有情况下，这18位农民应承包多少公顷田地，怎样安排种植才能使所有人都参与种植，且资金正好够用？
课堂练习
解　故这18位农民应承包4公顷田地，种植蔬菜和荞麦各2公顷，并安排10人种植蔬菜，8人种植荞麦，这样能使所有人都参与种植且资金正好够用.
4.某村18位农民筹集5万元资金，承包了一些低产田地.根据市场调查，他们计划对种植作物的品种进行调整，
作物品种 每公顷所需人数 每公顷投入资金/万元
蔬菜 5 1.5
荞麦 4 1
改种蔬菜和荞麦.种这两种作物每公顷所需的人数和需投入的资金如表：
在现有情况下，这18位农民应承包多少公顷田地，怎样安排种植才能使所有人都参与种植，且资金正好够用？
课堂练习
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