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(共45张PPT)
第十章　二元一次方程组
*10.4　三元一次方程组的解法(1)
初中数学人教版（2024）七年级下册
学习目标
1.了解三元一次方程组的概念.(重点)
2.能解简单的三元一次方程组，在解的过程中进一步体会“消元”思想.(难点)
课堂引入
1.解二元一次方程组有哪几种方法？
2.解二元一次方程组的基本思路是什么？
三元一次方程
及三元一次方程组的概念
一、
问题1　在一次足球联赛中，一支球队共参加了22场比赛，积47分，且胜的场数比负的场数的4倍多2.按照足球联赛的积分规则，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么这支球队胜、平、负各多少场？设这个球队胜、平、负的场数分别为x，y，z.根据题意，列出方程.
提示　由题意得
知识梳理
含有三个未知数，且未知数的项的次数都是1的方程叫作三元一次方程.
含有三个未知数，且含有未知数的式子都是 ，含有未知数的项的次数都是1，一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组.
注意点：三元一次方程组中有三个方程，并不是每个方程都要求是三元一次方程.
整式
例1　请你判断下列方程组是不是三元一次方程组.
(1) (2)
(3) (4)
解　 (1)(2)是三元一次方程组；(3)中每个方程中含未知数的项的次数不是1，故不是三元一次方程组；(4)中少了一个方程，不是三元一次方程组.
跟踪训练1　 (1)下列是三元一次方程组的是
A. B.
C. D.
√
(2)三元一次方程x－y＋z＝3有无数个解，下列四组值中，不是该方程的解的是
A. B. C. D.
√
解析　A项，把x＝1，y＝1，z＝3代入方程，左边＝1－1＋3＝3＝右边，所以是方程的解；
B项，把x＝2，y＝1，z＝2代入方程，左边＝2－1＋2＝3＝右边，所以是方程的解；
C项，把x＝2，y＝3，z＝4代入方程，左边＝2－3＋4＝3＝右边，所以是方程的解；
D项，把x＝3，y＝2，z＝1代入方程，左边＝3－2＋1＝2≠右边，所以不是方程的解.
三元一次方程组的解法
二、
问题2　如何解三元一次方程组呢？
提示　解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.
例2　(课本P108例1)解三元一次方程组
解　 ②×3＋③，得11x＋10z＝35.④
①与④组成方程组解这个方程组，得
把x＝5，z＝－2代入②，得2×5＋3y－2＝9，y＝.
因此，这个三元一次方程组的解为
跟踪训练2　(1)在方程5x－2y＋z＝3中，若x＝－1，y＝－2，则z＝　 .
4
解析　把x＝－1，y＝－2代入方程，得5×(－1)－2×(－2)＋z＝3，解得z＝4.
(2)(ⅰ)解三元一次方程组
解　①＋②，得2x＋2z＝2，即x＋z＝1，④
③与④组成二元一次方程组
解这个方程组，得
把x＝2.5，z＝－1.5代入①，得y＝1，
因此，三元一次方程组的解为
(ⅱ)解方程组
解　①×5－②，得4x＋3y＝38，④
③与④组成方程组解这个方程组，得
把x＝8，y＝2代入①，得8＋2＋z＝12，
所以z＝2.
因此，这个三元一次方程组的解为
课堂小结
1.解三元一次方程组如果消掉未知数z，则应对方程
组变形为
A.①＋③，①×2－②
B.①＋③，③×2＋②
C.②－①，②－③
D.①－②，①×2－③
课堂练习
√
2.解三元一次方程组
解　
①＋②＋③，得2x＋2y＋2z＝15，x＋y＋z＝7.5，④
④－①，得z＝3.5，④－②，得x＝2.5，④－③，得y＝1.5，
所以方程组的解为
课堂练习
解　方法一　①＋②，得2y＝16，y＝8，
②＋③，得2z＝6，z＝3，
把y＝8，z＝3代入①，得x＋8－3＝11，
所以x＝6，
所以方程组的解为
3.解方程组
课堂练习
3.解方程组
解　方法二　①＋②＋③，得x＋y＋z＝17，④
④－①，得2z＝6，z＝3，
④－②，得2x＝12，x＝6，
④－③，得2y＝16，y＝8，
所以方程组的解为
课堂练习
4.解方程组
解　③×3－②，得9x－y＝39，④
①与④组成方程组解这个方程组得
把x＝5代入③，得z＝7，
所以方程组的解为
课堂练习
5.(课本P109练习(4))解方程组
解　
①＋②，得5x＋2y＝16，④
②＋③，得3x＋4y＝18，⑤
④与⑤组成方程组
课堂练习
5.(课本P109练习(4))解方程组
解　解这个方程组得
把x＝2，y＝3代入③，得2＋3＋z＝6，z＝1，
所以方程组的解为
课堂练习
第十章　二元一次方程组
*10.4　三元一次方程组的解法(2)
初中数学人教版（2024）七年级下册
学习目标
1.能解含有三个未知数的问题，在解的过程中进一步体会“消元”思想.(重点)
2.会利用三元一次方程组解决实际问题，进一步提高分析问题、解决问题的能力.(难点)
情境引入
求三个小动物的年龄.
题中共有几个未知数？你能设出未知数，列出方程，解决这个问题吗？
构造三元一
次方程组确定待定系数
一、
例1　(课本P109例2)在等式y＝ax2＋bx＋c中，当x＝－1时，y＝0；当x＝2时，y＝3；当x＝5时，y＝60.求a，b，c的值.
解　根据题意，列得三元一次方程组
②－①，得a＋b＝1. ④
③－①，得4a＋b＝10. ⑤
④与⑤组成二元一次方程组解这个方程组，得
把a＝3，b＝－2代入①，得c＝－5.
因此a，b，c的值分别为3，－2，－5.
跟踪训练1　幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方—九宫格.将9个数填入幻方的空格中，要求每一行、每一列以及两条对角线上的3个数之和相等，图1是一个已完成的幻方.图2是一个未完成的幻方，其中A－B的值为　　　.
－6
解析　根据题意得解得
∴A－B＝x－5－(x＋1)＝－6.
列三元一次方程组
解决实际问题
二、
例2　(课本P110例3)一个三位数，各数位上的数的和为14，百位上的数的2倍减去十位上的数的差是个位上的数的，如果把这个三位数个位上的数与百位上的数交换位置，那么所得的新数比原数小99，求这个三位数.
解　设这个三位数百位上的数为x，十位上的数为y，个位上的数为z，根据题意，列得三元一次方程组
解这个方程组，得
因此这个三位数是473.
跟踪训练2　(1)某校的篮球数比排球数的2倍少3个，足球数与排球数的比是2∶3，三种球共41个，则三种球各有多少个？
解　设篮球有x个，排球有y个，足球有z个，根据题意，得
把①代入③，得2y－3＋y＋z＝41，即3y＋z＝44，④
②与④组成方程组解得
跟踪训练2　(1)某校的篮球数比排球数的2倍少3个，足球数与排球数的比是2∶3，三种球共41个，则三种球各有多少个？
解　把y＝12代入①，得x＝21，
所以
故篮球有21个，排球有12个，足球有8个.
(2)(课本P111习题10.4第5题)甲地到乙地全程是3.3 km，由一段上坡路、一段平路、一段下坡路组成.如果保持上坡每小时走3 km，平路每小时走4 km，下坡每小时走5 km，那么从甲地到乙地需51 min，从乙地到甲地需53.4 min，从甲地到乙地时，上坡、平路、下坡的路程各是多少？
解　设从甲地到乙地上坡、平路、下坡的路程分别为x km，y km，z km，则
解这个方程组，得
所以从甲地到乙地的上坡、平路、下坡的路程分别为1.2 km，0.6 km，1.5 km.
课堂小结
1.若方程组的解x，y的值相等，则a的值为
A.－4 B.4 C.2 D.1
课堂练习
√
解析　由题意可得x＝y，将x＝y代入原方程组的第二个方程得4x＋3x＝14，则x＝y＝2；
将x＝y＝2代入第一个方程得a＋4＝6，
解得a＝2.
2.○，□，△各代表一个数，根据○＋△＝50，□＋△＝63，○＋□＝77，求得○＝　　　　.
32
解析　令○＝x， ＝y，△＝z，
由题意得
①＋②＋③，得2x＋2y＋2z＝190，即x＋y＋z＝95，④
④－②，得x＝32.
即○＝32.
课堂练习
3.有一个三位数，十位上的数字是个位上的数字的，百位上的数字与十位上的数字之和比个位上的数字大1，将百位与个位上的数字对调后得到的新三位数比原三位数大495，求原三位数.
解　设原三位数百位、十位、个位上的数字分别为x，y，z.由题意，得
解得
所以原三位数是368.
课堂练习
4.已知三角形ABC的三边长a，b，c满足a＝b＋1，b＝c＋1，若这个三角形周长为21，求a，b，c的值.
解　由题意得
解得
∴a，b，c的值分别为8，7，6.
课堂练习
5.幼儿营养标准中要求每一个幼儿每天所需的营养量中应包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素.现有一批营养师根据上面的标准给幼儿园小朋友们配餐，其中每天包含A，B，C三种食物，表格给出的是每份(50 g)食物A，B，C所含的铁、钙和维生素的量.
(1)如果设食谱中A，B，C三种食物各为x，y，z份，
请列出方程组，使得A，B，C三种食物中所含的营
养量刚好满足幼儿营养标准中的要求；
食物 铁 钙 维生素
A 5 20 5
B 5 10 15
C 10 10 5
解　由该食谱中包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素，得方程组
课堂练习
5.幼儿营养标准中要求每一个幼儿每天所需的营养量中应包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素.现有一批营养师根据上面的标准给幼儿园小朋友们配餐，其中每天包含A，B，C三种食物，表格给出的是每份(50 g)食物A，B，C所含的铁、钙和维生素的量.
(2)解该三元一次方程组，求出满足要求的A，B，
C的份数.
解　化简方程组，得
②×2－①，得3x＋y＝7， ④
②－③，得x－2y＝0， ⑤
食物 铁 钙 维生素
A 5 20 5
B 5 10 15
C 10 10 5
课堂练习
5.幼儿营养标准中要求每一个幼儿每天所需的营养量中应包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素.现有一批营养师根据上面的标准给幼儿园小朋友们配餐，其中每天包含A，B，C三种食物，表格给出的是每份(50 g)食物A，B，C所含的铁、钙和维生素的量.
(2)解该三元一次方程组，求出满足要求的A，B，
C的份数.
解　④与⑤组成方程组
解这个方程组，得
把x＝2，y＝1代入②，得z＝2，
食物 铁 钙 维生素
A 5 20 5
B 5 10 15
C 10 10 5
课堂练习
5.幼儿营养标准中要求每一个幼儿每天所需的营养量中应包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素.现有一批营养师根据上面的标准给幼儿园小朋友们配餐，其中每天包含A，B，C三种食物，表格给出的是每份(50 g)食物A，B，C所含的铁、钙和维生素的量.
(2)解该三元一次方程组，求出满足要求的A，B，
C的份数.
解　所以方程组的解为
故该食谱中包含A种食物2份，B种食物1份，C种食物2份.
食物 铁 钙 维生素
A 5 20 5
B 5 10 15
C 10 10 5
课堂练习
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