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第20讲　机械振动
1.如图，一弹簧振子沿x轴做简谐运动，振子零时刻向右经过A点，2 s时第一次到达B点，已知振子经过A、B两点时的速度大小相等，2 s内经过的路程为0.4 m，该弹簧振子的周期和振幅分别为（　　）
A.1 s　0.1 m B.2 s　0.1 m
C.4 s　0.2 m D.4 s　0.4 m
2.（2026·云南曲靖期末）某学习小组的同学在实验室用如图甲所示的装置研究单摆的运动规律，O是单摆的平衡位置，单摆在竖直平面内左右摆动，M、N是摆球所能到达的最远位置。取向右为正方向。图乙是单摆的振动图像。已知当地的重力加速度大小g＝10 m/s2，取π2＝10，下列说法中正确的是（　　）
A.单摆的振幅是0.14 m，振动的频率是1 Hz
B.振动的表达式为x＝0.07sin（2πt）m
C.单摆的摆长为1 m
D.t＝1.5 s时摆球在N点
3.（2026·河南南阳市期末）钓鱼在中国有着悠久的历史，深受广大群众喜爱。扔入水中的鱼漂在竖直方向做简谐运动，取竖直向上为正方向，其振动图像如图所示，则t＝0.1 s时鱼漂偏离平衡位置的位移大小为（　　）
A. cm B.1 cm
C. cm D.3 cm
4.（2026·辽宁阜新月考）如图所示，房顶上固定一根长3.6 m的细线沿竖直墙壁垂到窗沿下，细线下端系了一个小球（可视为质点）。打开窗子，让小球在垂直于窗子的竖直平面内小幅摆动，窗上沿到房顶的高度为2 m，不计空气阻力，g取10 m/s2，则小球运动的周期为（　　）
A.1.6π s B.1.8π s
C.π s D.2.2π s
5.（2025·江西南昌二模）图甲为某同学用弹簧、小球与加速度无线传感器（质量可忽略不计）制成的一个振动装置，以竖直向上为正方向，图乙为传感器记录的小球在竖直方向振动时加速度随时间变化的情况，忽略空气阻力，下列说法中正确的是（　　）
A.t＝0.2 s时，小球位于平衡位置上方
B.t＝0.3 s与t＝0.7 s时，小球的机械能相同
C.t＝0.4 s时，弹簧弹力为0
D.t＝0.3 s与t＝0.7 s时，小球的动能相同
6.〔多选〕共振现象是指一个物理系统在其自然的振动频率（所谓的共振频率）下趋于从周围环境吸收更多能量的趋势。自然中有许多地方有共振的现象。人类也在其技术中利用或者试图避免共振现象。如图为一个单摆在地面上做受迫振动的共振曲线（振幅A与驱动力频率f的关系），重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是（π2≈10）（　　）
A.此单摆的固有周期为2 s
B.此单摆的摆长约为2 m
C.若仅增大摆长，单摆的固有频率增大
D.若仅增大摆长，共振曲线的峰将向左移
7.（2025·四川德阳三模）质量为m＝0.5 kg的重物和劲度系数为k＝100 N/m轻弹簧制作的一个振动装置，如图a所示，轻弹簧上端连接在固定的力传感器上。将重物拉离平衡位置，力传感器的示数F随时间t变化的图像如图b所示。不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是（　　）
A.重物做简谐振动的周期为1.0 s
B.t＝0.6 s时，重物处于最低点
C.0.4 s～0.6 s，重物的加速度越来越小
D.重物做简谐振动的振幅为5 cm
8.（2026·山西运城期中）如图所示，一木箱固定在水平地面上，木箱顶端固定一轻质弹簧，弹簧下端悬挂一重物。将重物竖直下拉一段距离后放手，重物到达最高点时弹簧恰好处于原长。已知重物运动过程中未触及木箱底部，弹簧的最大弹性势能为Ep（Ep＝kx2，k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量），弹簧始终处在弹性限度内，重力加速度为g，不计空气阻力，则重物的最大动能为（　　）
A.Ep B.Ep C.Ep D.Ep
9.〔多选〕（2025·河北高考9题）如图，截面为等腰三角形的光滑斜面体固定在水平地面上，两个相同的小物块通过不可伸长的细绳跨过顶端的轻质定滑轮，静止在斜面体两侧，细绳与斜面平行。此外，两物块分别用相同的轻质弹簧与斜面体底端相连，且弹簧均处于原长。将左侧小物块沿斜面缓慢拉下一小段距离，然后松开。弹簧始终在弹性限度内，斜面倾角为θ，不计摩擦和空气阻力。在两物块运动过程中，下列说法正确的是（　　）
A.左侧小物块沿斜面做简谐运动
B.细绳的拉力随左侧小物块加速度的增大而增大
C.右侧小物块在最高位置的加速度与其在最低位置的加速度大小相等
D.若θ增大，则右侧小物块从最低位置运动到最高位置所用的时间变长
10.（2026·辽宁大连期末）如图甲所示，一可视为质点的小球在光滑圆弧曲面AB上做往复运动，可视为简谐运动。t＝0时刻将质量m＝0.05 kg的小球从A点由静止释放，图乙为圆弧轨道对小球的支持力大小F随时间t变化的曲线。根据题中所给信息（g取10 m/s2），求：
（1）小球简谐运动的周期T和圆弧轨道的半径R；
（2）小球运动到平衡位置时的速度；（结果可用根号表示）
（3）图乙中轨道支持力的最小值。
11.〔多选〕（2025·甘肃高考8题）如图，轻质弹簧上端固定，下端悬挂质量为2m的小球A，质量为m的小球B与A用细线相连，整个系统处于静止状态。弹簧劲度系数为k，重力加速度为g。现剪断细线，下列说法正确的是（　　）
A.小球A运动到弹簧原长处的速度最大 B.剪断细线的瞬间，小球A的加速度大小为
C.小球A运动到最高点时，弹簧的伸长量为 D.小球A运动到最低点时，弹簧的伸长量为
第20讲　机械振动
1.C　振子由A点到B点共经过了半个周期，则周期为T＝4 s，振子在一个完整的周期内经过的路程为0.8 m，有4A＝0.8 m，解得振幅为A＝0.2 m，故C正确。
2.C　由题图乙，可知振幅A＝0.07 m、周期T＝2 s，则频率f＝＝0.5 Hz，故A错误；振动的表达式为x＝Asin ωt，且ω＝2πf，则x＝0.07sin（πt）m，故B错误；由单摆的周期公式T＝2π，解得l＝＝1 m，故C正确；由题图乙知，t＝1.5 s时摆球在负向最大位移处，因向右为正方向，所以摆球在M点，故D错误。
3.C　由题图可知，简谐运动的周期T＝0.8 s，则ω＝＝π rad/s，振幅A＝2 cm，鱼漂的振动方程为y＝Asin ωt＝2sin πt（cm），t＝0.1 s时鱼漂的位移大小y＝ cm，故选C。
4.C　线未碰墙体前，单摆周期T1＝2π＝2π× s＝1.2π s，线碰墙体后，单摆周期T2＝2π＝2π× s＝0.8π s，则小球运动的周期为T＝＝π s，故选C。
5.D　t＝0.2 s时，加速度最大，而且为正，以竖直向上为正方向，则小球位于平衡位置下方，故A错误；t＝0.3 s与t＝0.7 s时，由图乙可知，小球的加速度大小相同方向相反，则t＝0.3 s和t＝0.7 s时，小球所处的位置关于平衡位置对称，故小球速率相等，动能相等，而位置不同，重力势能不同，机械能不同，B错误，D正确；t＝0.4 s时，小球的加速度为零，弹簧弹力等于重力，故C错误。故选D。
6.AD　当驱动力的频率等于单摆的固有频率时，发生共振现象，振幅达到最大，由题图知，驱动力的频率为0.5 Hz时，振幅最大，则此单摆的固有频率为0.5 Hz，固有周期为2 s，故A正确；根据单摆周期公式T＝2π，解得此单摆的摆长约为l＝＝ m＝1 m，故B错误；若仅增大摆长，根据单摆周期公式，可知单摆的固有周期增大，固有频率减小，共振曲线的峰将向左移，故C错误，D正确。
7.D　由题可知，重物做简谐振动的周期等于力传感器的示数F随时间t变化的周期，为T＝0.8 s，故A错误；由图b可知，t＝0.6 s时，力传感器的示数最小，即合力为向下的最大，此时重物处于最高点，故B错误；由图b可知，t＝0.2 s时，力传感器的示数最大，即合力为向上的最大，此时重物处于最低点，则0.4 s～0.6 s，在由平衡位置向上运动，所以重物的加速度越来越大，故C错误；由图b可知，重物在平衡位置时，弹力为F弹＝kx1＝5 N，解得x1＝5 cm，重物在最低点时，弹力为F弹'＝kx2＝10 N，解得x2＝10 cm，所以，振幅为A＝x2－x1＝5 cm，故D正确。
8.B　分析可知，重物做简谐运动，设弹簧的劲度系数为k，重物的质量为m，在平衡位置时有mg＝kx0，重物到达最高点时弹簧恰好处于原长，则振幅A＝x0＝，根据对称性可知，重物处于最低点时，弹簧的弹性势能最大，有Ep＝k（2A）2，当重物处于平衡位置时，动能最大，从最低点到平衡位置，根据能量守恒定律有Ep＝mgx0＋k＋Ekm，联立解得Ekm＝Ep，故选B。
9.AC　对左侧小物块，设沿斜面向下的位移为x，则有T＋kx－mgsin θ＝ma，此时，对右侧小物块，有mgsin θ＋kx－T＝ma，联立可得2kx＝2ma，则左侧小物块的合外力F＝ma＝kx，方向与位移方向相反，故其做简谐运动，故A正确；根据以上分析，可得2T＝2mgsin θ，可知细绳拉力保持不变，故B错误；同理可知，右侧小物块也做简谐运动，根据对称性，其在最高和最低位置的加速度大小相等，故C正确；弹簧振子振动周期T周＝2π，与斜面夹角无关，故D错误。
10.（1）0.4π s　0.4 m　（2） m/s　（3）0.495 N
解析：（1）由F-t图可得小球做简谐运动的周期T＝0.4π s
由T＝2π
联立解得R＝＝0.4 m。
（2）由F-t图可得，摆球运动到平衡位置时轨道的支持力Fmax＝0.510 N
由牛顿第二定律得Fmax－mg＝m
代入数据，解得平衡位置时速度v＝ m/s。
（3）小球从A点运动到最低点的过程机械能守恒，设OA与竖直方向夹角为θ，由机械能守恒定律得mgR（1－cos θ）＝mv2－0
支持力的最小值Fmin＝mgcos θ
联立解得Fmin＝0.495 N。
11.BC　加速度为零时速度最大，此时弹簧的弹力等于A的重力，弹簧处于拉伸状态，选项A错误；剪断细线之前F弹＝3mg，剪断细线瞬间弹簧弹力不变，则对A，由牛顿第二定律得F弹－2mg＝2ma，解得a＝，选项B正确；剪断细线之前弹簧伸长量x1＝，剪断细线后A做简谐振动，在平衡位置时弹簧伸长量x2＝，即振幅为A＝x1－x2＝，由对称性可知小球A运动到最高点时，弹簧伸长量为，选项C正确；再根据对称性可知，小球A运动到最低点时，弹簧伸长量为，选项D错误。
1 / 1第20讲　机械振动
1.知道简谐运动的概念，掌握简谐运动的特征，理解简谐运动的表达式和图像。 2.知道什么是单摆，熟记单摆的周期公式。 3.理解受迫振动和共振的概念，了解产生共振的条件。
考点一　简谐运动
知识速记
1.简谐运动
（1）如果物体的位移与　　　　的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像（x-t图像）是一条正弦曲线，这样的振动是一种简谐运动。
（2）条件：物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成　　　　，并且总是指向　　　　。
（3）平衡位置：平衡位置是物体在振动过程中　　　　为零的位置，并不一定是　　　为零的位置。
（4）回复力
①定义：使物体返回到　　　　的力。
②方向：总是指向　　　　。
③来源：属于　　　　力，可以是某一个力，也可以是几个力的　　　　或某个力的　　　　。
（5）简谐运动的特征
①动力学特征：F＝　　　　，k为常量。
②运动学特征：x、v、a均按正弦或余弦规律发生　　　　变化（注意v、a的变化趋势相反）。
③能量特征：系统的机械能　　　　，振幅A　　　　。
2.描述简谐运动的物理量
物理量 定义 意义
位移 由　　　　指向质点　　　　的有向线段 描述质点振动中某时刻的位置相对于　　　　的位移
振幅 振动物体离开平衡位置的　　　 描述振动的　　　和能量
周期 振动物体完成一次　　　　所需的时间 描述振动的　　　，两者互为倒数：T＝　　　　
频率 物体完成全振动的次数与所用时间之比
　〔人教版选择性必修第一册P43“问题”情境〕当我们把弹簧振子的小球拉离平衡位置释放后，小球就会在平衡位置附近做简谐运动。如图所示，判断下列说法的正误
（1）小球受弹簧的弹力的效果是使小球回到平衡位置。（　　）
（2）小球加速度方向总是与位移方向相反。（　　）
（3）小球加速度增大时，速度一定减小。（　　）
（4）小球先后通过同一点，回复力、速度、加速度、位移都是相同的。（　　）
训练落实
1.对于下面甲、乙、丙、丁四种情况，不是简谐运动的是（　　）
A.如甲图：倾角为θ的光滑斜面上的小球沿斜面拉下一段距离，然后松开（忽略空气阻力）
B.如乙图：粗细均匀的木筷，下端绕几圈铁丝，竖直浮在较大的装有水的杯中。把木筷往上提起一段距离后放手，木筷就在水中上下振动
C.如丙图：小球在半径为R的光滑球面上的A、B（R远大于弧长AB）之间来回运动
D.如丁图：小球在光滑固定的斜面上来回运动
2.如图所示，小球在BC之间做简谐运动，当小球位于O点时，弹簧处于原长，在小球从C点运动到O点的过程中（　　）
A.动能不断增大，加速度不断减小
B.回复力不断增大，系统机械能守恒
C.弹性势能不断减小，加速度不断增大
D.弹性势能不断增大，加速度不断减小
3.如图所示，可视为质点的小球以O为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动。若从小球经过O点开始计时，在t1＝0.1 s时刻小球第一次经过O、B两点间的M点（图中未画出），在t2＝0.5 s时刻小球第二次经过M点，则小球第三次通过M点的时刻为（　　）
A.1 s B.1.3 s
C.1.6 s D.1.9 s
　简谐运动的特点
受力 回复力F＝－kx（k为常量），F、a的大小与x的大小成正比，方向相反
运动 衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小
能量 振幅越大，能量越大。在运动过程中，动能和势能相互转化，系统的机械能守恒
周期性 做简谐运动的物体的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为
对称性 （1）如图所示，做简谐运动的物体经过关于平衡位置O对称的两点P、P'（OP＝OP'）时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等。 （2）物体由P到O所用的时间等于由O到P'所用的时间，即tPO＝tOP'。 （3）物体做往复运动过程中通过同一段路程（如OP段）所用的时间相等，即tOP＝tPO。 （4）相隔（n为正整数）的两个时刻，物体位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等、方向相反
考点二　简谐运动的表达式和图像
知识速记
1.简谐运动的表达式
（1）动力学表达式：F＝　　　　（k为常量），其中“－”表示回复力与位移的方向相反。
（2）运动学表达式：x＝　　　　　　，其中A代表振幅，ω＝2πf代表简谐运动的快慢，（ωt＋φ0）代表简谐运动的相位，φ0叫作初相位或　　　　，ω为圆频率，ω＝。
2.简谐运动的振动图像
（1）从　　　　开始计时，函数表达式为x＝Asin ωt，图像如图甲所示。
（2）从　　　　　　　　　　开始计时，函数表达式为x＝Acos ωt，图像如图乙所示。
　如图为某物体做简谐运动的图像，思考下列问题。
（1）该简谐运动的圆频率是多少？
（2）哪些时刻物体的速度与0.4 s时的速度相同？
（3）哪段时间的加速度在减小，这些时间段的位移如何变化？
（4）哪段时间的势能在增大？
要点深化
根据简谐运动图像可获取的信息
（1）振幅A、周期T（或频率f）和初相位φ（如图所示）。
（2）某时刻振动质点离开平衡位置的位移。
（3）某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正负分别表示该时刻质点的速度的大小和方向，速度的方向也可根据下一时刻物体的位移的变化来确定。
（4）某时刻质点的回复力、加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，回复力和加速度的方向相同，在图像上总是指向t轴。
（5）某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变化情况。
注意：简谐运动的时间、位移与相位具有一一对应关系，利用这一点，可以简化相关计算，也可以利用这一点结合图像，直接从图像中看出初相位。比如：
（2026·湖北武汉期末）装有砂粒的试管竖直静浮于水中，如图a所示，将试管提起一小段距离后释放，一段时间内试管在竖直方向的振动可视为简谐运动。取竖直向上为正方向，以某时刻作为计时起点，试管振动图像如图b所示，则试管（　　）
A.上下振动的频率为2.5 Hz
B.一个周期运动的总路程为2.0 cm
C.在t＝0.1 s时曲线斜率最大，加速度最大
D.在t＝0.2 s时速度最大，方向竖直向上
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（2026·北京朝阳期中）如图甲，水平弹簧振子的平衡位置为O点，振子在B、C两点之间做简谐运动，规定水平向右为正方向。图乙是振子做简谐运动的x-t图像。下列说法正确的是（　　）
A.振子从C点经过O点运动到B点为一次全振动
B.图乙中的P点时刻，振子的速度沿负方向
C.振子的振动方程为x＝0.1sin（2πt＋）m
D.振子在1.5 s时的位移为0.1 m
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
振动图像问题的分析思路 1.从振动图像获取必要信息。 2.把振动图像和振子振动情境结合起来，分析出振子的运动情况。 3.注意规定的正方向和零时刻不同，振子的振动图像是不同的。 4.明确简谐运动中振子的位移是由平衡位置指向振子所在的位置，平衡位置处振子的位移为零。
　〔多选〕（2025·陕西商洛二模）如图甲所示，竖直悬挂的弹簧振子在M、N两点之间做简谐运动，O点为平衡位置，振子到达N点开始计时，规定竖直向下为正方向。图乙是弹簧振子做简谐运动的x-t图像，则（　　）
A.弹簧振子从N点经过O点再运动到M点为一次全振动
B.乙中的P点时刻振子的速度方向与加速度方向都沿正方向
C.弹簧振子的振动方程为x＝0.14sin（πt＋）m
D.弹簧振子在前2.5 s内的路程为0.35 m
　 弹簧振子周期公式T＝2π 的应用
　做匀速圆周运动的物体在任意一直径上的垂直投影做简谐振动，故投影做简谐振动的周期与物体做匀速圆周运动周期相等，假设弹簧振子做振幅为R的简谐运动，其在平衡位置处的速度等于物体做圆周运动的线速度，即v＝，其中T为圆周运动的周期，等于简谐运动的周期。弹簧振子运动过程中能量守恒，有mv2＝kR2（振动系统的总能量为kR2），联立以上两式可得T＝2π，即为弹簧振子的周期公式。
（2025·江苏常州二模）弹簧振子做简谐运动的周期公式为T＝2π，其中m为振子的质量，k为弹簧的劲度系数。小鸟落在树枝上所引起树枝的振动可类比于弹簧振子的简谐运动。如图所示，两只质量不同的小鸟A和B先、后分别落在同一树枝的不同位置时，所引起树枝的振动周期恰好相同，则以下说法中正确的是（　　）
A.小鸟A所引起的振动的k值较小，小鸟A的质量小于小鸟B的质量
B.小鸟A所引起的振动的k值较小，小鸟A的质量大于小鸟B的质量
C.小鸟A所引起的振动的k值较大，小鸟A的质量小于小鸟B的质量
D.小鸟A所引起的振动的k值较大，小鸟A的质量大于小鸟B的质量
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考点三　单摆及其周期公式
知识速记
1.单摆的定义：
如果细线的长度不可改变，细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置叫作单摆，如图所示。
2.单摆做简谐运动的条件：θ＜5°。
3.回复力：F＝　　　　　　。
4.单摆的周期公式：T＝　　　　　　。
5.单摆的等时性：单摆的振动周期取决于　　　和　　　　　，与振幅和摆球质量　　　　。
如图所示，将一摆长为l，摆球质量为m的单摆悬挂在O点。拉开摆球，使它偏离平衡位置一个很小的角度，然后释放，摆球将沿着平衡位置为中点的一段圆弧做往复运动。摆球可视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g。
（1）求单摆摆动任一角度θ 时的回复力大小F；
（2）证明单摆的运动是简谐运动。
要点深化
1.单摆的受力特征
（1）回复力：摆球重力沿垂直于细线方向上的分力充当回复力，F回＝－mgsin θ＝－x＝－kx，负号表示回复力F回与位移x的方向相反。
（2）向心力：细线的拉力和摆球重力沿细线方向的分力的合力充当向心力，即F向＝FT－mgcos θ。
（3）两点说明
①当摆球在最高点时，F向＝m＝0，FT＝mgcos θ。
②当摆球在最低点时，F向＝m，F向最大，FT＝mg＋m。
2.周期公式T＝2π的两点说明
（1）l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离。
（2）g为当地重力加速度。
〔多选〕如图所示的是两个单摆的振动图像，纵轴表示摆球偏离平衡位置的位移。下列说法正确的是（　　）
A.甲、乙两个摆的频率之比为2∶1
B.t＝4 s时，两单摆的回复力最大
C.乙摆球在第1 s末和第3 s末速度相同
D.甲、乙两个摆的摆长之比为1∶4
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
〔多选〕（2026·海南海口模拟）某研究性学习小组设计了如图1所示的实验装置，将一倾角可调的光滑斜面固定在水平面上，斜面上固定一力传感器，将小球通过摆线挂在力传感器上，摆线与斜面始终保持平行，小球能在斜面上做单摆运动。当斜面倾角θ＝45°时，传感器输出的细线拉力F随时间t的变化曲线如图2所示，则下列说法正确的是（　　）
A.由图2可知单摆的周期为T＝0.8 s
B.只减小斜面倾角，则单摆周期将变大
C.摆线应选用不易伸缩的轻质细绳
D.只增大摆线的长度，则单摆周期将减小
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
等效摆长及等效重力加速度 （1）等效摆长：摆球摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离。如图甲所示的双线摆的摆长l'＝r＋Lcos α。图乙中小球（可看作质点）在半径为R的光滑圆槽中A点的附近振动，其等效摆长为l'＝R。
（2）等效重力加速度：与单摆所处物理环境有关。
①在不同星球表面：g'＝，M为星球的质量，R为星球的半径。
②单摆处于超重或失重状态下的等效重力加速度分别为g'＝g＋a和g'＝g－a，a为超重或失重时单摆系统整体竖直向上或竖直向下的加速度大小。
（2026·河南洛阳期中）如图所示，用两根完全相同、不可伸长的轻绳对称地将小球吊在空中，两绳与水平方向夹角均为60°。轻推小球，测得其在垂直纸面方向摆动的周期为T，已知每根轻绳的长度为L，小球可视为质点，则当地重力加速度g的大小为（　　）
A. B.
C. D.
考点四　受迫振动和共振
知识速记
1.受迫振动
（1）概念：系统在驱动力作用下的振动。
（2）振动特征：物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的频率等于　　　　的频率，与物体的固有频率　　　　。
2.共振
（1）概念：当驱动力的频率等于物体的　　　　时，物体做受迫振动的振幅达到　　　　的现象。
（2）共振的条件：驱动力的频率等于物体的　　　　。
（3）共振的特征：共振时　　　　最大。
（4）共振曲线（如图所示）。
f＝f0时，A＝　　　　，f与f0相差越大，物体做受迫振动的振幅　　　　。
　（1）如图，钢尺的振动为什么会越来越弱？荡来荡去的秋千没人推动后，为什么会慢慢停下来？
（2）“洗”是中国古代盥洗用的脸盆，用青铜铸成。如图所示，倒些清水在其中，用手掌慢慢摩擦盆耳，盆就会发出嗡嗡声，到一定节奏时还会溅起层层水花，产生这种现象的原因是什么？
训练落实
1.★（2026·广东湛江联考）上海中心大厦内部的“上海慧眼”阻尼器重达一千吨，有效抵御了大风对建筑的影响。该阻尼器沿水平方向做阻尼振动，振动图像如图所示。关于阻尼器的说法正确的是（　　）
A.振动周期越来越小 B.t＝4 s时的动能为零
C.t＝8 s时沿x轴负方向运动 D.振动的能量越来越小
2.〔多选〕如图甲所示，在一条张紧的绳子上挂几个摆，a、c摆的摆长相同且小于b摆的摆长。当a摆振动的时候，通过张紧的绳子给其他各摆施加驱动力，使其余各摆也振动起来。图乙是c摆稳定以后的振动图像，重力加速度为g，不计空气阻力，则（　　）
A.a、b、c单摆的固有周期关系为Ta＝Tc＜Tb
B.b、c摆振动达到稳定时，c摆振幅较大
C.由图乙可知，此时b摆的周期大于t0
D.c摆的摆长为
3.〔人教版选择性必修一P60·T6改编〕如图甲，把一个筛子用四根弹簧支撑起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛，该共振筛的共振曲线如图乙所示，已知仅增大电压，可使偏心轮转速提高；仅增大筛子质量，可增大筛子的固有周期。现在，在某电压下偏心轮的转速是2 r/s，则（　　）
A.筛子现在振动的频率为0.8 Hz
B.共振筛的固有频率为0.8 Hz
C.仅增大电压，可以使筛子振幅增大
D.仅增大筛子质量，可以使筛子振幅增大
第20讲　机械振动
考点一
知识速记
1.（1）时间　（2）正比　平衡位置　（3）回复力　合力
（4）①平衡位置　②平衡位置　③效果　合力　分力
（5）①－kx　②周期性　③守恒　不变　2.平衡位置　所在位置　平衡位置　最大距离　幅度大小　全振动　快慢　　
教材情境辨析
　（1）√　（2）√　（3）√　（4）×
训练落实
1.D　甲图中当小球在平衡位置上方时，合力方向沿斜面向下，当在平衡位置下方时合力沿斜面向上，弹力与重力沿斜面向下的分力的合力与位移成正比，其特点符合简谐振动物体的动力学特征，小球做简谐振动，故A错误；乙图木筷在水中受浮力和重力作用，当木筷在平衡位置上方时，合力向下，当木筷在平衡位置下方时，合力向上，重力和浮力的合力与位移成正比，其特点符合简谐振动物体的动力学特征，木筷做简谐振动，故B错误；丙图小球离开最低点受到的重力沿切线方向的分力与位移成正比，方向与小球位移方向相反，为小球提供回复力，小球在最低点附近左右振动属于简谐振动，故C错误；丁图斜面光滑，重力沿斜面的分力提供小球做机械振动的回复力，但该力大小不变，不与位移成正比，故小球的运动不是简谐振动，故D正确。
2.A　做简谐运动的小球，从C点到O点的过程中逐渐衡位置，速度方向指向平衡位置，弹簧弹力充当回复力，也指向平衡位置，故速度方向与受力方向相同，合外力做正功，动能不断增大；同时由于偏离平衡位置的位移减小，由回复力公式F＝－kx可知，回复力大小逐渐减小，根据牛顿第二定律可知F＝－kx＝ma，故加速度大小不断减小，故A正确；由上述分析可知回复力不断减小，整个系统只有弹簧弹力做功，故系统的机械能守恒，故B错误；在小球从C点到O点的过程中，弹簧形变量逐渐减小，故弹性势能逐渐减小，同时由上述分析可知，加速度也逐渐减小，故C、D错误。
3.B　小球从平衡位置第一次经过M点用时0.1 s，第一次到第二次经过M点用时为Δt＝t2－t1＝0.4 s，故从平衡位置到第一次到B点所用的时间为t＝＝t1＋＝0.3 s，故周期为T＝1.2 s，由题意可知小球第一次到第三次通过M点间隔一个周期，故小球第三次通过M点的时刻为t3＝t1＋T＝1.3 s，故选B。
考点二
知识速记
1.（1）－kx　（2）Asin（ωt＋φ0）　初相　2.（1）平衡位置
（2）正向最大位移处
思考与讨论
　（1）2.5π rad/s　（2）0.2 s，1.0 s，1.2 s
（3）0.1～0.3 s，0.5～0.7 s，0.9～1.1 s，1.3～1.5 s　位移也减小　（4）0～0.1 s，0.3～0.5 s，0.7～0.9 s，1.1～1.3 s
解析：（1）由图像知T＝0.8 s，根据w＝＝2.5π rad/s。
（2）0.4 s时物体在平衡位置且向正方向运动，0.2 s，1.0 s，1.2 s时刻物体也在平衡位置且向正方向运动，速度与0.4 s时相同。
（3）根据a＝－，加速度减小时位移减小。0.1～0.3 s、0.5～0.7 s、0.9～1.1 s、1.3～1.5 s这些时间段，加速度减小，位移也减小。
（4）势能与位移大小有关，位移增大时势能增大。0～0.1 s、0.3～0.5 s、0.7～0.9 s、1.1～1.3 s这些时间段位移增大，势能增大。
要点深化
【例1】　A　根据图像b可知，周期为0.4 s，则频率为f＝＝2.5 Hz，故A正确；一个周期运动的总路程为s＝4A＝4 cm，故B错误；根据图像可知，t＝0.1 s时曲线斜率最大，此时速度最大，加速度为0，故C错误；根据图像可知，t＝0.2 s时质点处于负向最大位置处，则此时速度最小，故D错误。
【例2】　B　振子从C点经过O点运动到B点，然后再经过O点到C点为一次全振动，选项A错误；由振动图像可知，图乙中的P点时刻，振子的速度沿负方向，选项B正确；振子的振幅0.1 m，ω＝＝ rad/s＝2π rad/s，则振动方程为x＝0.1sin（2πt＋）m，选项C错误；振子在1.5 s时的位移为－0.1 m，选项D错误。
强化训练
　BD　弹簧振子从N点经过O点再运动到M点为次全振动，故A错误；图乙切线的斜率表示质点的速度，则P点时刻振子的速度方向为正方向，根据a＝－可知，加速度方向沿正方向，故B正确；由图乙知周期为T＝2 s，弹簧振子的振幅为A＝0.07 m，则ω＝＝π rad/s，规定竖直向下为正方向，振子到达N点开始计时，t＝0时刻位移为0.07 m，可知初相为，则弹簧振子的振动方程为x＝0.07sin（πt＋）m，故C错误；弹簧振子在前2.5 s内通过的路程为s＝×4A＝0.35 m，故D正确。
拓展空间
【典例】　A　两小鸟引起振动的周期相同，但枝头处的k相对较小，根据简谐运动的周期公式T＝2π可知，枝头处小鸟的质量较小，故选A。
考点三
知识速记
3.mgsin θ　4.2π　5.摆长l　重力加速度g　无关
思考与讨论
　提示：（1）摆球的回复力由重力在运动轨迹切线方向的分力提供，摆角为θ时，其大小为F＝mgsin θ。
（2）当摆角θ很小时，摆球运动的圆弧可以看成直线，相对位置O的位移x大小与弧长相等，有sin θ≈θ＝，回复力大小可表示为F＝mgsin θ＝x，由于回复力方向与位移x方向相反，故回复力与位移关系可表示为F＝－x，其中是定值，故在摆角很小时，摆球的运动是简谐运动。
要点深化
【例3】　AD　由x-t图像可得甲、乙两个摆的周期之比为1∶2，故频率之比为2∶1，故A正确；t＝4 s时，两单摆处于平衡位置，该位置的回复力为零，B错误；根据x-t图像切线斜率表示速度可知乙摆球在第1 s末和第3 s末速度大小相等方向相反，C错误；由单摆的周期公式可知T＝2π得甲、乙两个摆的摆长之比为＝＝，故D正确。
【例4】　BC　由题图2可知，单摆的周期为T＝2×（0.9－0.1）s＝1.6 s，故A错误；根据题意可知，斜面倾角为θ时，等效重力加速度为g'＝gsin θ，由单摆周期公式有T＝2π，只减小斜面倾角，则单摆周期将变大，只增大摆线的长度，则单摆周期将增大，故B正确，D错误；为避免单摆摆动过程中摆长变化，摆线应选用不易伸缩的轻质细绳，故C正确。
强化训练
　D　由几何关系可知单摆的摆长为L'＝Lsin 60°＝L，由周期公式T＝2π，解得当地重力加速度为g＝，故选D。
考点四
知识速记
1.（2）驱动力　无关　2.（1）固有频率　最大值　（2）固有频率　（3）振幅　（4）Am　越小　
思考与讨论
　提示：（1）钢尺在振动过程中，受到空气的阻力，一部分能量转化为热能或其他形式的能量，振动逐渐减弱，振幅变小；荡来荡去的秋千没人推动后，会因为摩擦阻力和空气阻力的作用，机械能转化为内能，所以每次上升的高度逐渐减小，会慢慢停下来。
（2）用双手摩擦盆耳，起初频率非常低，逐渐提高摩擦频率，当摩擦频率等于盆的固有频率时，会发生共振现象，此时溅起的水花振幅最大。
训练落实
1.D　由题图可知，振动周期不变，故A错误；t＝4 s时正好经过平衡位置，速度最大，动能最大，故B错误；t＝8 s时图线切线的斜率为正，则沿x轴正方向运动，故C错误；由题图可知，阻尼器振动的振幅越来越小，则能量越来越小，故D正确。
2.AB　由于a、c摆的摆长相同且小于b摆的摆长，根据单摆的周期公式T＝2π可知，固有周期关系为Ta＝Tc＜Tb，故A正确；因为Ta＝Tc，所以c摆与a摆共振，达到稳定时，c摆振幅较大，b摆的振幅较小，故B正确；受迫振动的频率等于驱动力的频率，所以三个单摆的频率相同，周期相同，故b摆的周期等于t0，故C错误；根据以上分析，可知c摆的周期为t0，由T＝2π，解得l＝，故D错误。
3.B　由题图可知，该共振筛振幅最大的时候，其频率为0.8 Hz，即发生共振的频率为0.8 Hz，也就是说共振筛的固有频率为0.8 Hz，故B项正确；由于现在偏心轮的转速为2 r/s，其频率为f＝n＝2 Hz，筛子做受迫运动，所以筛子此时的频率为2 Hz，故A项错误；由之前的分析可知，此时筛子的频率为2 Hz，而由题意可知，电压增加，则频率增加，则筛子固有频率和驱动力频率的差值变大，筛子振幅减小，故C项错误；由图可知，筛子固有频率为0.8 Hz，增加筛子质量，筛子的固有周期增大，则固有频率减小，则固有频率和驱动力频率的差值变大，筛子振幅减小，故D项错误。
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第20讲　机械振动
目标要求
1. 知道简谐运动的概念，掌握简谐运动的特征，理解简谐运动的表达式和图像。
2. 知道什么是单摆，熟记单摆的周期公式。
3. 理解受迫振动和共振的概念，了解产生共振的条件。
目 录
CONTENTS
考点一　简谐运动
考点二　简谐运动的表达式和图像
考点三　单摆及其周期公式
考点四　受迫振动和共振
课时跟踪检测
考点一　简谐运动
知识速记
1. 简谐运动
（1）如果物体的位移与 的关系遵从正弦函数的规律，即它的振
动图像（x-t图像）是一条正弦曲线，这样的振动是一种简谐运动。
（2）条件：物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小
成 ，并且总是指向 。
（3）平衡位置：平衡位置是物体在振动过程中 为零的位置，
并不一定是 为零的位置。
时间　
正比　
平衡位置　
回复力　
合力　
①定义：使物体返回到 的力。
②方向：总是指向 。
③来源：属于 力，可以是某一个力，也可以是几个力的
或某个力的 。
平衡位置　
平衡位置　
效果　
合力　
分力　
（4）回复力
（5）简谐运动的特征
①动力学特征：F＝ ，k为常量。
②运动学特征：x、v、a均按正弦或余弦规律发生 变化（注意
v、a的变化趋势相反）。
③能量特征：系统的机械能 ，振幅A 。
－kx　
周期性　
守恒　
不变　
2. 描述简谐运动的物理量
物理量 定义 意义
位移 由 指向质点
的有向线段 描述质点振动中某时刻的位
置相对于 的位
移
振幅 振动物体离开平衡位置的
描述振动的 和
能量
平衡位置　
所在
位置　
平衡位置　
最大
距离　
幅度大小　
物理量 定义 意义
周期 振动物体完成一次 所
需的时间 描述振动的 ，两者
互为倒数：T＝
频率 物体完成全振动的次数与所用时
间之比
全振动　
快慢　
　
　〔人教版选择性必修第一册P43“问题”情境〕当我们把弹簧振子的小
球拉离平衡位置释放后，小球就会在平衡位置附近做简谐运动。如图所
示，判断下列说法的正误
（1）小球受弹簧的弹力的效果是使小球回到平衡位置。 （　√　）
（2）小球加速度方向总是与位移方向相反。 （　√　）
（3）小球加速度增大时，速度一定减小。 （　√　）
（4）小球先后通过同一点，回复力、速度、加速度、位移都是相同的。
（　×　）
√
√
√
×
训练落实
1. 对于下面甲、乙、丙、丁四种情况，不是简谐运动的是（　　）
A. 如甲图：倾角为θ的光滑斜面上的小球沿斜面拉下一段距离，然后松开
（忽略空气阻力）
B. 如乙图：粗细均匀的木筷，下端绕几圈铁丝，竖直浮在较大的装有水的
杯中。把木筷往上提起一段距离后放手，木筷就在水中上下振动
C. 如丙图：小球在半径为R的光滑球面上的A、B（R远大于弧长AB）之间
来回运动
D. 如丁图：小球在光滑固定的斜面上来回运动
√
解析： 　甲图中当小球在平衡位置上方时，合力方向沿斜面向下，当在
平衡位置下方时合力沿斜面向上，弹力与重力沿斜面向下的分力的合力与
位移成正比，其特点符合简谐振动物体的动力学特征，小球做简谐振动，
故A错误；乙图木筷在水中受浮力和重力作用，当木筷在平衡位置上方
时，合力向下，当木筷在平衡位置下方时，合力向上，重力和浮力的合力
与位移成正比，其特点符合简谐振动物体的动力学特征，木筷做简谐振
动，故B错误；丙图小球离开最低点受到的重力沿切线方向的分力与位移
成正比，方向与小球位移方向相反，为小球提供回复力，小球在最低点附
近左右振动属于简谐振动，故C错误；丁图斜面光滑，重力沿斜面的分力
提供小球做机械振动的回复力，但该力大小不变，不与位移成正比，故小
球的运动不是简谐振动，故D正确。
2. 如图所示，小球在BC之间做简谐运动，当小球位于O点时，弹簧处于原
长，在小球从C点运动到O点的过程中（　　）
A. 动能不断增大，加速度不断减小
B. 回复力不断增大，系统机械能守恒
C. 弹性势能不断减小，加速度不断增大
D. 弹性势能不断增大，加速度不断减小
√
解析： 　做简谐运动的小球，从C点到O点的过程中逐渐衡位置，
速度方向指向平衡位置，弹簧弹力充当回复力，也指向平衡位置，故速度
方向与受力方向相同，合外力做正功，动能不断增大；同时由于偏离平衡
位置的位移减小，由回复力公式F＝－kx可知，回复力大小逐渐减小，根
据牛顿第二定律可知F＝－kx＝ma，故加速度大小不断减小，故A正确；由
上述分析可知回复力不断减小，整个系统只有弹簧弹力做功，故系统的机
械能守恒，故B错误；在小球从C点到O点的过程中，弹簧形变量逐渐减
小，故弹性势能逐渐减小，同时由上述分析可知，加速度也逐渐减小，故
C、D错误。
3. 如图所示，可视为质点的小球以O为平衡位置，在B、C两点间做简谐运
动。若从小球经过O点开始计时，在t1＝0.1 s时刻小球第一次经过O、B两
点间的M点（图中未画出），在t2＝0.5 s时刻小球第二次经过M点，则小球
第三次通过M点的时刻为（　　）
A. 1 s B. 1.3 s
C. 1.6 s D. 1.9 s
√
解析： 　小球从平衡位置第一次经过M点用时0.1 s，第一次到第二次经
过M点用时为Δt＝t2－t1＝0.4 s，故从平衡位置到第一次到B点所用的时间
为t＝＝t1＋＝0.3 s，故周期为T＝1.2 s，由题意可知小球第一次到第三
次通过M点间隔一个周期，故小球第三次通过M点的时刻为t3＝t1＋T＝1.3
s，故选B。
　简谐运动的特点
受力 回复力F＝－kx（k为常量），F、a的大小与x的大小成正比，方
向相反
运动 衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，
a、F、x都增大，v减小
能量 振幅越大，能量越大。在运动过程中，动能和势能相互转化，
系统的机械能守恒
周期性 做简谐运动的物体的位移、回复力、加速度和速度均随时间做
周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也
随时间做周期性变化，其变化周期为
对称性 （1）如图所示，做简谐运动的物体经过关于平衡位置O对称的
两点P、P'（OP＝OP'）时，速度的大小、动能、势能相等，相
对于平衡位置的位移大小相等。
（2）物体由P到O所用的时间等于由O到P'所用的时间，即tPO＝
tOP'。
（3）物体做往复运动过程中通过同一段路程（如OP段）所用
的时间相等，即tOP＝tPO。
（4）相隔（n为正整数）的两个时刻，物体位置关于
平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等、方向相反
考点二　简谐运动的表达式和图像
知识速记
1. 简谐运动的表达式
（1）动力学表达式：F＝ （k为常量），其中“－”表示回复力与
位移的方向相反。
（2）运动学表达式：x＝ ，其中A代表振幅，ω＝2πf代
表简谐运动的快慢，（ωt＋φ0）代表简谐运动的相位，φ0叫作初相位
或 ，ω为圆频率，ω＝。
－kx　
Asin（ωt＋φ0）　
初相　
2. 简谐运动的振动图像
（1）从 开始计时，函数表达式为x＝Asin ωt，图像如图
甲所示。
（2）从 开始计时，函数表达式为x＝Acos ωt，图像如
图乙所示。
平衡位置　
正向最大位移处　
　如图为某物体做简谐运动的图像，思考下列问题。
（1）该简谐运动的圆频率是多少？
答案： 2.5π rad/s　
解析： 由图像知T＝0.8 s，根据w＝＝2.5π rad/s。
（2）哪些时刻物体的速度与0.4 s时的速度相同？
答案： 0.2 s，1.0 s，1.2 s
解析： 0.4 s时物体在平衡位置且向正方向运动，0.2 s，1.0 s，1.2 s时
刻物体也在平衡位置且向正方向运动，速度与0.4 s时相同。
（3）哪段时间的加速度在减小，这些时间段的位移如何变化？
答案： 0.1～0.3 s，0.5～0.7 s，0.9～1.1 s，1.3～1.5 s　位移也减小　
解析：根据a＝－，加速度减小时位移减小。0.1～0.3 s、0.5～0.7
s、0.9～1.1 s、1.3～1.5 s这些时间段，加速度减小，位移也减小。
（4）哪段时间的势能在增大？
答案： 0～0.1 s，0.3～0.5 s，0.7～0.9s，1.1～1.3 s
解析：势能与位移大小有关，位移增大时势能增大。0～0.1 s、0.3～
0.5 s、0.7～0.9 s、1.1～1.3 s这些时间段位移增大，势能增大。
要点深化
根据简谐运动图像可获取的信息
（1）振幅A、周期T（或频率f）和初相位φ（如图所示）。
（2）某时刻振动质点离开平衡位置的位移。
（3）某时刻质点速度的大小和方向：曲线上各点切线的斜率的大小和正
负分别表示该时刻质点的速度的大小和方向，速度的方向也可根据下一时
刻物体的位移的变化来确定。
（4）某时刻质点的回复力、加速度的方向：回复力总是指向平衡位置，
回复力和加速度的方向相同，在图像上总是指向t轴。
（5）某段时间内质点的位移、回复力、加速度、速度、动能和势能的变
化情况。
注意：简谐运动的时间、位移与相位具有一一对应关系，利用这一点，可
以简化相关计算，也可以利用这一点结合图像，直接从图像中看出初相
位。比如：
（2026·湖北武汉期末）装有砂粒的试管竖直静浮于水中，如图a所
示，将试管提起一小段距离后释放，一段时间内试管在竖直方向的振动可
视为简谐运动。取竖直向上为正方向，以某时刻作为计时起点，试管振动
图像如图b所示，则试管（　A　）
A
A. 上下振动的频率为2.5 Hz
B. 一个周期运动的总路程为2.0 cm
C. 在t＝0.1 s时曲线斜率最大，加速度最大
D. 在t＝0.2 s时速度最大，方向竖直向上
解析：根据图像b可知，周期为0.4 s，则频率为f＝＝2.5 Hz，故A正确；
一个周期运动的总路程为s＝4A＝4 cm，故B错误；根据图像可知，t＝0.1
s时曲线斜率最大，此时速度最大，加速度为0，故C错误；根据图像可
知，t＝0.2 s时质点处于负向最大位置处，则此时速度最小，故D错误。
（2026·北京朝阳期中）如图甲，水平弹簧振子的平衡位置为O点，振
子在B、C两点之间做简谐运动，规定水平向右为正方向。图乙是振子做简
谐运动的x-t图像。下列说法正确的是（　B　）
B
A. 振子从C点经过O点运动到B点为一次全振动
B. 图乙中的P点时刻，振子的速度沿负方向
C. 振子的振动方程为x＝0.1sin（2πt＋）m
D. 振子在1.5 s时的位移为0.1 m
解析：振子从C点经过O点运动到B点，然后再经过O点到C点为一次全振
动，选项A错误；由振动图像可知，图乙中的P点时刻，振子的速度沿负方
向，选项B正确；振子的振幅0.1 m，ω＝＝ rad/s＝2π rad/s，则振动方
程为x＝0.1sin（2πt＋）m，选项C错误；振子在1.5 s时的位移为－0.1
m，选项D错误。
振动图像问题的分析思路
1. 从振动图像获取必要信息。
2. 把振动图像和振子振动情境结合起来，分析出振子的运动情况。
3. 注意规定的正方向和零时刻不同，振子的振动图像是不同的。
4. 明确简谐运动中振子的位移是由平衡位置指向振子所在的位置，平衡位
置处振子的位移为零。
　〔多选〕（2025·陕西商洛二模）如图甲
所示，竖直悬挂的弹簧振子在M、N两点之
间做简谐运动，O点为平衡位置，振子到达
N点开始计时，规定竖直向下为正方向。图乙是弹簧振子做简谐运动的x-t图像，则（　BD　）
BD
A. 弹簧振子从N点经过O点再运动到M点为一次全振动
B. 乙中的P点时刻振子的速度方向与加速度方向都沿正方向
C. 弹簧振子的振动方程为x＝0.14sin（πt＋）m
D. 弹簧振子在前2.5 s内的路程为0.35 m
解析：弹簧振子从N点经过O点再运动到M点为次全振动，故A错误；图乙
切线的斜率表示质点的速度，则P点时刻振子的速度方向为正方向，根据a
＝－可知，加速度方向沿正方向，故B正确；由图乙知周期为T＝2 s，弹
簧振子的振幅为A＝0.07 m，则ω＝＝π rad/s，规定竖直向下为正方向，
振子到达N点开始计时，t＝0时刻位移为0.07 m，可知初相为，则弹簧振
子的振动方程为x＝0.07sin（πt＋）m，故C错误；弹簧振子在前2.5 s内
通过的路程为s＝×4A＝0.35 m，故D正确。
弹簧振子周期公式T＝2π的应用
　做匀速圆周运动的物体在任意一直径上的垂直投影做简谐振动，故投影
做简谐振动的周期与物体做匀速圆周运动周期相等，假设弹簧振子做振幅
为R的简谐运动，其在平衡位置处的速度等于物体做圆周运动的线速度，
即v＝，其中T为圆周运动的周期，等于简谐运动的周期。弹簧振子运动
过程中能量守恒，有mv2＝kR2（振动系统的总能量为kR2），联立以上
两式可得T＝2π，即为弹簧振子的周期公式。
（2025·江苏常州二模）弹簧振子做简谐运动的周期公式为T＝2π，
其中m为振子的质量，k为弹簧的劲度系数。小鸟落在树枝上所引起树枝的
振动可类比于弹簧振子的简谐运动。如图所示，两只质量不同的小鸟A和B
先、后分别落在同一树枝的不同位置时，所引起树枝的振动周期恰好相
同，则以下说法中正确的是（　A　）
A
A. 小鸟A所引起的振动的k值较小，小鸟A的质量小于小鸟B的质量
B. 小鸟A所引起的振动的k值较小，小鸟A的质量大于小鸟B的质量
C. 小鸟A所引起的振动的k值较大，小鸟A的质量小于小鸟B的质量
D. 小鸟A所引起的振动的k值较大，小鸟A的质量大于小鸟B的质量
解析：两小鸟引起振动的周期相同，但枝头处的k相对较小，根据简谐运动
的周期公式T＝2π可知，枝头处小鸟的质量较小，故选A。
考点三　单摆及其周期公式
知识速记
1. 单摆的定义：如果细线的长度不可改变，细线的质量与小球相比可
以忽略，球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置叫作单
摆，如图所示。
3. 回复力：F＝ 。
4. 单摆的周期公式：T＝ 。
5. 单摆的等时性：单摆的振动周期取决于 和 ，
与振幅和摆球质量 。
mgsin θ　
2π　
摆长l　
重力加速度g　
无关　
2. 单摆做简谐运动的条件：θ＜5°。
如图所示，将一摆长为l，摆球质量为m的单摆悬挂在O点。拉开摆球，
使它偏离平衡位置一个很小的角度，然后释放，摆球将沿着平衡位置
为中点的一段圆弧做往复运动。摆球可视为质点，不计空气阻力，重
力加速度为g。
（1）求单摆摆动任一角度θ 时的回复力大小F；
提示： 摆球的回复力由重力在运动轨迹切线方向的分力提
供，摆角为θ时，其大小为F＝mgsin θ。
（2）证明单摆的运动是简谐运动。
提示： 当摆角θ很小时，摆球运动的圆弧可以看成直线，相
对位置O的位移x大小与弧长相等，有sin θ≈θ＝，回复力大小可
表示为F＝mgsin θ＝x，由于回复力方向与位移x方向相反，故
回复力与位移关系可表示为F＝－x，其中是定值，故在摆角
很小时，摆球的运动是简谐运动。
要点深化
1. 单摆的受力特征
（1）回复力：摆球重力沿垂直于细线方向上的分力充当回复力，F回＝－
mgsin θ＝－x＝－kx，负号表示回复力F回与位移x的方向相反。
（2）向心力：细线的拉力和摆球重力沿细线方向的分力的合力充当向心
力，即F向＝FT－mgcos θ。
（3）两点说明
①当摆球在最高点时，F向＝m＝0，FT＝mgcos θ。
②当摆球在最低点时，F向＝m，F向最大，FT＝mg＋m。
2. 周期公式T＝2π的两点说明
（1）l为等效摆长，表示从悬点到摆球重心的距离。
（2）g为当地重力加速度。
〔多选〕如图所示的是两个单摆的振动图像，纵轴表示摆球偏离平衡
位置的位移。下列说法正确的是（　AD　）
A. 甲、乙两个摆的频率之比为2∶1
B. t＝4 s时，两单摆的回复力最大
C. 乙摆球在第1 s末和第3 s末速度相同
D. 甲、乙两个摆的摆长之比为1∶4
AD
解析：由x-t图像可得甲、乙两个摆的周期之比为1∶2，故频率之比为
2∶1，故A正确；t＝4 s时，两单摆处于平衡位置，该位置的回复力为零，
B错误；根据x-t图像切线斜率表示速度可知乙摆球在第1 s末和第3 s末速度
大小相等方向相反，C错误；由单摆的周期公式可知T＝2π得甲、乙两
个摆的摆长之比为＝＝，故D正确。
〔多选〕（2026·海南海口模拟）某研究性学习小组设计了如图1所示
的实验装置，将一倾角可调的光滑斜面固定在水平面上，斜面上固定一力
传感器，将小球通过摆线挂在力传感器上，摆线与斜面始终保持平行，小
球能在斜面上做单摆运动。当斜面倾角θ＝45°时，传感器输出的细线拉
力F随时间t的变化曲线如图2所示，则下列说法正确的是（　BC　）
BC
A. 由图2可知单摆的周期为T＝0.8 s
B. 只减小斜面倾角，则单摆周期将变大
C. 摆线应选用不易伸缩的轻质细绳
D. 只增大摆线的长度，则单摆周期将减小
解析：由题图2可知，单摆的周期为T＝2×（0.9－0.1）s＝1.6 s，故A错
误；根据题意可知，斜面倾角为θ时，等效重力加速度为g'＝gsin θ，由单
摆周期公式有T＝2π，只减小斜面倾角，则单摆周期将变大，只增大
摆线的长度，则单摆周期将增大，故B正确，D错误；为避免单摆摆动过程
中摆长变化，摆线应选用不易伸缩的轻质细绳，故C正确。
等效摆长及等效重力加速度
（1）等效摆长：摆球摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离。如图甲所示的
双线摆的摆长l'＝r＋Lcos α。图乙中小球（可看作质点）在半径为R的光滑
圆槽中A点的附近振动，其等效摆长为l'＝R。
（2）等效重力加速度：与单摆所处物理环境有关。
①在不同星球表面：g'＝，M为星球的质量，R为星球的半径。
②单摆处于超重或失重状态下的等效重力加速度分别为g'＝g＋a和g'＝g－
a，a为超重或失重时单摆系统整体竖直向上或竖直向下的加速度大小。
（2026·河南洛阳期中）如图所示，用两根完全相同、不可伸长的轻绳对称
地将小球吊在空中，两绳与水平方向夹角均为60°。轻推小球，测得其在
垂直纸面方向摆动的周期为T，已知每根轻绳的长度为L，小球可视为质
点，则当地重力加速度g的大小为（　　）
A. B.
C. D.
√
解析： 　由几何关系可知单摆的摆长为L'＝Lsin 60°＝L，由周期公式
T＝2π，解得当地重力加速度为g＝，故选D。
考点四　受迫振动和共振
知识速记
1. 受迫振动
（1）概念：系统在驱动力作用下的振动。
（2）振动特征：物体做受迫振动达到稳定后，物体振动的频率等于
的频率，与物体的固有频率 。
驱
动力　
无关　
2. 共振
（1）概念：当驱动力的频率等于物体的 时，物体做受迫振
动的振幅达到 的现象。
（2）共振的条件：驱动力的频率等于物体的 。
（3）共振的特征：共振时 最大。
（4）共振曲线（如图所示）。
f＝f0时，A＝ ，f与f0相差越大，物体做受迫振动的振幅 。
固有频率　
最大值　
固有频率　
振幅　
Am　
越小　
　（1）如图，钢尺的振动为什么会越来越弱？荡来荡去的秋千没人推动
后，为什么会慢慢停下来？
提示： 钢尺在振动过程中，受到空气的阻力，一部分能量转化为热
能或其他形式的能量，振动逐渐减弱，振幅变小；荡来荡去的秋千没人推
动后，会因为摩擦阻力和空气阻力的作用，机械能转化为内能，所以每次
上升的高度逐渐减小，会慢慢停下来。
（2）“洗”是中国古代盥洗用的脸盆，用青铜铸成。如图所示，倒些清
水在其中，用手掌慢慢摩擦盆耳，盆就会发出嗡嗡声，到一定节奏时还会
溅起层层水花，产生这种现象的原因是什么？
提示： 用双手摩擦盆耳，起初频率非常低，逐渐提高摩擦频率，
当摩擦频率等于盆的固有频率时，会发生共振现象，此时溅起的水花
振幅最大。
训练落实
1. ★（2026·广东湛江联考）上海中心大厦内部的“上海慧眼”阻尼器重达
一千吨，有效抵御了大风对建筑的影响。该阻尼器沿水平方向做阻尼振
动，振动图像如图所示。关于阻尼器的说法正确的是（　　）
A. 振动周期越来越小
B. t＝4 s时的动能为零
C. t＝8 s时沿x轴负方向运动
D. 振动的能量越来越小
√
解析： 　由题图可知，振动周期不变，故A错误；t＝4 s时正好经过平衡
位置，速度最大，动能最大，故B错误；t＝8 s时图线切线的斜率为正，则
沿x轴正方向运动，故C错误；由题图可知，阻尼器振动的振幅越来越小，
则能量越来越小，故D正确。
2. 〔多选〕如图甲所示，在一条张紧的绳子上挂几个摆，a、c摆的摆长相
同且小于b摆的摆长。当a摆振动的时候，通过张紧的绳子给其他各摆施加
驱动力，使其余各摆也振动起来。图乙是c摆稳定以后的振动图像，重力加
速度为g，不计空气阻力，则（　　）
A. a、b、c单摆的固有周期关系为Ta＝Tc＜Tb
B. b、c摆振动达到稳定时，c摆振幅较大
C. 由图乙可知，此时b摆的周期大于t0
D. c摆的摆长为
√
√
解析： 　由于a、c摆的摆长相同且小于b摆的摆长，根据单摆的周期公
式T＝2π可知，固有周期关系为Ta＝Tc＜Tb，故A正确；因为Ta＝Tc，所
以c摆与a摆共振，达到稳定时，c摆振幅较大，b摆的振幅较小，故B正
确；受迫振动的频率等于驱动力的频率，所以三个单摆的频率相同，周期
相同，故b摆的周期等于t0，故C错误；根据以上分析，可知c摆的周期为
t0，由T＝2π，解得l＝，故D错误。
3. 〔人教版选择性必修一P60·T6改编〕如图甲，把一个筛子用四根弹簧支
撑起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这
就做成了一个共振筛，该共振筛的共振曲线如图乙所示，已知仅增大电
压，可使偏心轮转速提高；仅增大筛子质量，可增大筛子的固有周期。现
在，在某电压下偏心轮的转速是2 r/s，则（　　）
A. 筛子现在振动的频率为0.8 Hz
B. 共振筛的固有频率为0.8 Hz
C. 仅增大电压，可以使筛子振幅增大
D. 仅增大筛子质量，可以使筛子振幅增大
√
解析： 　由题图可知，该共振筛振幅最大的时候，其频率为0.8 Hz，
即发生共振的频率为0.8 Hz，也就是说共振筛的固有频率为0.8 Hz，
故B项正确；由于现在偏心轮的转速为2 r/s，其频率为f＝n＝2 Hz，筛
子做受迫运动，所以筛子此时的频率为2 Hz，故A项错误；由之前的分
析可知，此时筛子的频率为2 Hz，而由题意可知，电压增加，则频率
增加，则筛子固有频率和驱动力频率的差值变大，筛子振幅减小，故C
项错误；由图可知，筛子固有频率为0.8 Hz，增加筛子质量，筛子的
固有周期增大，则固有频率减小，则固有频率和驱动力频率的差值变
大，筛子振幅减小，故D项错误。
课时跟踪检测
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1. 如图，一弹簧振子沿x轴做简谐运动，振子零时刻向右经过A点，2 s时第
一次到达B点，已知振子经过A、B两点时的速度大小相等，2 s内经过的路
程为0.4 m，该弹簧振子的周期和振幅分别为（　　）
A. 1 s　0.1 m B. 2 s　0.1 m
C. 4 s　0.2 m D. 4 s　0.4 m
√
解析： 　振子由A点到B点共经过了半个周期，则周期为T＝4 s，振子在
一个完整的周期内经过的路程为0.8 m，有4A＝0.8 m，解得振幅为A＝0.2
m，故C正确。
2. （2026·云南曲靖期末）某学习小组的同学在实验室用如图甲所示的装
置研究单摆的运动规律，O是单摆的平衡位置，单摆在竖直平面内左右摆
动，M、N是摆球所能到达的最远位置。取向右为正方向。图乙是单摆的
振动图像。已知当地的重力加速度大小g＝10 m/s2，取π2＝10，下列说法中
正确的是（　　）
A. 单摆的振幅是0.14 m，振动的频率是1 Hz
B. 振动的表达式为x＝0.07sin（2πt）m
C. 单摆的摆长为1 m
D. t＝1.5 s时摆球在N点
√
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解析： 　由题图乙，可知振幅A＝0.07 m、周期T＝2 s，则频率f＝＝0.5
Hz，故A错误；振动的表达式为x＝Asin ωt，且ω＝2πf，则x＝0.07sin
（πt）m，故B错误；由单摆的周期公式T＝2π，解得l＝＝1 m，故C
正确；由题图乙知，t＝1.5 s时摆球在负向最大位移处，因向右为正方向，
所以摆球在M点，故D错误。
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3. （2026·河南南阳市期末）钓鱼在中国有着悠久的历史，深受广大群众
喜爱。扔入水中的鱼漂在竖直方向做简谐运动，取竖直向上为正方向，其
振动图像如图所示，则t＝0.1 s时鱼漂偏离平衡位置的位移大小为（　　）
A. cm B. 1 cm
C. cm D. 3 cm
√
解析： 　由题图可知，简谐运动的周期T＝0.8 s，则ω＝＝π rad/s，振
幅A＝2 cm，鱼漂的振动方程为y＝Asin ωt＝2sin πt（cm），t＝0.1 s时鱼
漂的位移大小y＝ cm，故选C。
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4. （2026·辽宁阜新月考）如图所示，房顶上固定一根长3.6 m的细线沿竖
直墙壁垂到窗沿下，细线下端系了一个小球（可视为质点）。打开窗子，
让小球在垂直于窗子的竖直平面内小幅摆动，窗上沿到房顶的高度为2
m，不计空气阻力，g取10 m/s2，则小球运动的周期为（　　）
A. 1.6π s B. 1.8π s
C. π s D. 2.2π s
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解析： 　线未碰墙体前，单摆周期T1＝2π＝2π× s＝1.2π s，线碰
墙体后，单摆周期T2＝2π＝2π× s＝0.8π s，则小球运动的周期
为T＝＝π s，故选C。
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5. （2025·江西南昌二模）图甲为某同学
用弹簧、小球与加速度无线传感器（质
量可忽略不计）制成的一个振动装置，
以竖直向上为正方向，图乙为传感器记
录的小球在竖直方向振动时加速度随时间变化的情况，忽略空气阻力，下列说法中正确的是（　　）
A. t＝0.2 s时，小球位于平衡位置上方
B. t＝0.3 s与t＝0.7 s时，小球的机械能相同
C. t＝0.4 s时，弹簧弹力为0
D. t＝0.3 s与t＝0.7 s时，小球的动能相同
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解析： 　t＝0.2 s时，加速度最大，而且为正，以竖直向上为正方向，则
小球位于平衡位置下方，故A错误；t＝0.3 s与t＝0.7 s时，由图乙可知，
小球的加速度大小相同方向相反，则t＝0.3 s和t＝0.7 s时，小球所处的位
置关于平衡位置对称，故小球速率相等，动能相等，而位置不同，重力势
能不同，机械能不同，B错误，D正确；t＝0.4 s时，小球的加速度为零，
弹簧弹力等于重力，故C错误。故选D。
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6. 〔多选〕共振现象是指一个物理系统在其自然的振动频率（所谓的共振
频率）下趋于从周围环境吸收更多能量的趋势。自然中有许多地方有共振
的现象。人类也在其技术中利用或者试图避免共振现象。如图为一个单摆
在地面上做受迫振动的共振曲线（振幅A与驱动力频率f的关系），重力加
速度g取10 m/s2，下列说法正确的是（π2≈10）（　　）
A. 此单摆的固有周期为2 s
B. 此单摆的摆长约为2 m
C. 若仅增大摆长，单摆的固有频率增大
D. 若仅增大摆长，共振曲线的峰将向左移
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解析： 　当驱动力的频率等于单摆的固有频率时，发生共振现象，振幅
达到最大，由题图知，驱动力的频率为0.5 Hz时，振幅最大，则此单摆的
固有频率为0.5 Hz，固有周期为2 s，故A正确；根据单摆周期公式T＝
2π，解得此单摆的摆长约为l＝＝ m＝1 m，故B错误；若仅增大
摆长，根据单摆周期公式，可知单摆的固有周期增大，固有频率减小，共
振曲线的峰将向左移，故C错误，D正确。
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7. （2025·四川德阳三模）质量为m＝0.5 kg的重物和劲度系数为k＝100
N/m轻弹簧制作的一个振动装置，如图a所示，轻弹簧上端连接在固定的力
传感器上。将重物拉离平衡位置，力传感器的示数F随时间t变化的图像如
图b所示。不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是
（　　）
A. 重物做简谐振动的周期为1.0 s
B. t＝0.6 s时，重物处于最低点
C. 0.4 s～0.6 s，重物的加速度越来越小
D. 重物做简谐振动的振幅为5 cm
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解析： 　由题可知，重物做简谐振动的周期等于力传感器的示数F随时间
t变化的周期，为T＝0.8 s，故A错误；由图b可知，t＝0.6 s时，力传感器
的示数最小，即合力为向下的最大，此时重物处于最高点，故B错误；由
图b可知，t＝0.2 s时，力传感器的示数最大，即合力为向上的最大，此时
重物处于最低点，则0.4 s～0.6 s，在由平衡位置向上运动，所以重物的加
速度越来越大，故C错误；由图b可知，重物在平衡位置时，弹力为F弹＝
kx1＝5 N，解得x1＝5 cm，重物在最低点时，弹力为F弹'＝kx2＝10 N，解得
x2＝10 cm，所以，振幅为A＝x2－x1＝5 cm，故D正确。
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8. （2026·山西运城期中）如图所示，一木箱固定在水平地面上，木箱顶
端固定一轻质弹簧，弹簧下端悬挂一重物。将重物竖直下拉一段距离后放
手，重物到达最高点时弹簧恰好处于原长。已知重物运动过程中未触及木
箱底部，弹簧的最大弹性势能为Ep（Ep＝kx2，k为弹簧的劲度系数，x为弹
簧的形变量），弹簧始终处在弹性限度内，重力加速度为g，不计空气阻
力，则重物的最大动能为（　　）
A. Ep B. Ep
C. Ep D. Ep
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解析： 　分析可知，重物做简谐运动，设弹簧的劲度系数为k，重物的质
量为m，在平衡位置时有mg＝kx0，重物到达最高点时弹簧恰好处于原长，
则振幅A＝x0＝，根据对称性可知，重物处于最低点时，弹簧的弹性势
能最大，有Ep＝k（2A）2，当重物处于平衡位置时，动能最大，从最低点
到平衡位置，根据能量守恒定律有Ep＝mgx0＋k＋Ekm，联立解得Ekm＝
Ep，故选B。
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9. 〔多选〕（2025·河北高考9题）如图，截面为等腰三角形的光滑斜面体
固定在水平地面上，两个相同的小物块通过不可伸长的细绳跨过顶端的轻
质定滑轮，静止在斜面体两侧，细绳与斜面平行。此外，两物块分别用相
同的轻质弹簧与斜面体底端相连，且弹簧均处于原长。将左侧小物块沿斜
面缓慢拉下一小段距离，然后松开。弹簧始终在弹性限度内，斜面倾角为
θ，不计摩擦和空气阻力。在两物块运动过程中，下列说法正确的是（　　）
A. 左侧小物块沿斜面做简谐运动
B. 细绳的拉力随左侧小物块加速度的增大而增大
C. 右侧小物块在最高位置的加速度与其在最低位置的
加速度大小相等
D. 若θ增大，则右侧小物块从最低位置运动到最高位置所用的时间变长
√
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解析： 　对左侧小物块，设沿斜面向下的位移为x，则有T＋kx－mgsin θ
＝ma，此时，对右侧小物块，有mgsin θ＋kx－T＝ma，联立可得2kx＝
2ma，则左侧小物块的合外力F＝ma＝kx，方向与位移方向相反，故其做简
谐运动，故A正确；根据以上分析，可得2T＝2mgsin θ，可知细绳拉力保持
不变，故B错误；同理可知，右侧小物块也做简谐运动，根据对称性，其
在最高和最低位置的加速度大小相等，故C正确；弹簧振子振动周期T周＝
2π，与斜面夹角无关，故D错误。
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10. （2026·辽宁大连期末）如图甲所示，一可视为质点的小球在光滑圆弧
曲面AB上做往复运动，可视为简谐运动。t＝0时刻将质量m＝0.05 kg的小
球从A点由静止释放，图乙为圆弧轨道对小球的支持力大小F随时间t变化
的曲线。根据题中所给信息（g取10 m/s2），求：
（1）小球简谐运动的周期T和
圆弧轨道的半径R；
答案： 0.4π s　0.4 m　
解析： 由F-t图可得小球做简谐运动
的周期T＝0.4π s
由T＝2π联立解得R＝＝0.4 m。
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（2）小球运动到平衡位置时的速度；（结果可用根号表示）
答案： m/s
解析：由F-t图可得，摆球运动到平衡位置时轨道的支持力Fmax＝0.510 N
由牛顿第二定律得Fmax－mg＝m
代入数据，解得平衡位置时速度v＝ m/s。
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（3）图乙中轨道支持力的最小值。
答案： 0.495 N
解析：小球从A点运动到最低点的过程
机械能守恒，设OA与竖直方向夹角为
θ，由机械能守恒定律得mgR（1－cos θ）＝mv2－0
支持力的最小值Fmin＝mgcos θ
联立解得Fmin＝0.495 N。
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11. 〔多选〕（2025·甘肃高考8题）如图，轻质弹簧上端固定，下端悬挂
质量为2m的小球A，质量为m的小球B与A用细线相连，整个系统处于静止
状态。弹簧劲度系数为k，重力加速度为g。现剪断细线，下列说法正确的
是（　　）
A. 小球A运动到弹簧原长处的速度最大
B. 剪断细线的瞬间，小球A的加速度大小为
C. 小球A运动到最高点时，弹簧的伸长量为
D. 小球A运动到最低点时，弹簧的伸长量为
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解析： 加速度为零时速度最大，此时弹簧的弹力等于A的重力，弹簧
处于拉伸状态，选项A错误；剪断细线之前F弹＝3mg，剪断细线瞬间弹簧
弹力不变，则对A，由牛顿第二定律得F弹－2mg＝2ma，解得a＝，选项B
正确；剪断细线之前弹簧伸长量x1＝，剪断细线后A做简谐振动，在平
衡位置时弹簧伸长量x2＝，即振幅为A＝x1－x2＝，由对称性可知小
球A运动到最高点时，弹簧伸长量为，选项C正确；再根据对称性可知，
小球A运动到最低点时，弹簧伸长量为，选项D错误。
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