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第21讲　机械波
1.（2025·北京高考5题）质点S沿竖直方向做简谐运动，在绳上形成的波传到质点P时的波形如图所示，则（　　）
A.该波为纵波 B.质点S开始振动时向上运动
C.S、P两质点振动步调完全一致 D.经过一个周期，质点S向右运动一个波长距离
2.★〔多选〕（2026·辽宁大连期中）洪泽湖是我国第四大淡水湖，位于江苏省西部淮河下游，洪泽湖甘泉般的湖水，养育着千百万人民，环洪泽湖公路项目也是大运河百里画廊建设的重要节点、重中之重。下列与之相关的波现象中说法正确的是（　　）
A.用声呐探测湖底某处的深度，利用了波的衍射现象
B.湖中水波绕过芦苇、石块向前传播，是波的干涉现象
C.岸上交通警察用监视器测量汽车的速度可利用多普勒效应
D.湖中鸣笛的快艇驶近游客的过程中，游客听到的声波频率与该波源的发声频率相比会变大
3.★（2025·江苏苏锡二模）如图所示为干涉型消声器的结构图，声波达到管道A点时，分成两列声波，分别沿半圆管道和直管道传播，在B点相遇，因干涉而相消。声波的波长为λ，则AB两点距离d可能为（　　）
A. B. C. D.
4.（2026·河南信阳联考）如图甲，蜻蜓在水面点水，激起一圈圈波纹。将此波视为简谐横波，以点水处为坐标原点O，沿水面建立坐标系Oxy。某时刻观察到的波形示意图如图乙所示，实线圆、虚线圆分别表示此刻相邻的波峰和波谷。已知从开始点水到波纹传出去5 m远共用时20 s，则（　　）
A.该波的波长为0.8 cm B.该波的频率为0.064 Hz
C.图乙所示时刻O点的振动方向竖直向上 D.图乙所示时刻P点的振动方向竖直向上
5.（2026·江西南昌联考）一列简谐横波沿直线传播，在波的传播方向上有A、B两点，t＝0时刻，A、B两点间形成如图甲所示的波形，t＝2 s时刻，A、B两点间第一次形成如图乙所示的波形，已知A、B两点间的距离a＝12 m，则该波的波速可能为（　　）
A.1 m/s B.2 m/s C.4 m/s D.6 m/s
6.（2026·安徽江淮联考）一根绳子的两端点沿y轴方向做简谐振动，形成两列简谐波。某一时刻（记为t＝0）绳子上的波形如图所示。已知绳子上波的传播速度为2 m/s，则（　　）
A.两列波的周期都是1 s
B.t＝4 s时，绳子中点M正在向y轴正方向振动
C.两列波的绳子中点M为振动减弱点
D.从t＝0到t＝10 s内，绳子中点M运动的路程为1.8 m
7.（2026·安徽宣城月考）图甲为一列简谐横波在t＝0.10 s时刻的波形图，质点P此时偏离平衡位置的位移大小为5 cm，Q是平衡位置为x＝4 m处的质点，图乙为质点Q的振动图像，则质点P第一次回到平衡位置所用的时间是（　　）
A. s　　　B. s C. s　　　D. s
8.〔多选〕（2026·重庆渝中模拟）如图所示为S1和S2两相干水波的干涉图样，两列波各自的振幅均为5 cm，波速为1 m/s，波长为0.5 m，B是AC连线的中点。图中实线表示波峰，虚线表示波谷。则下列说法中正确的是（　　）
A.图示时刻A、B两点的竖直高差为5 cm
B.从图示时刻开始经0.75 s，B点通过的路程为60 cm
C.再经过0.125 s， C点处于波峰
D.D点一直处于平衡位置
9.（2025·河北廊坊三模）一列沿x轴方向传播的简谐横波t＝0时刻的波形如图中实线所示，t＝0.01 s时刻的波形如图中虚线所示。已知质点振动的周期T＞0.01 s。关于这列波，下列说法正确的是（　　）
A.波的频率可能为7.5 Hz B.波的频率可能为50 Hz
C.波速可能为4 m/s D.波速可能为2 m/s
10.〔多选〕（2025·山东高考9题）均匀介质中分别沿x轴负向和正向传播的甲、乙两列简谐横波，振幅均为2 cm，波速均为1 m/s，M、N为介质中的质点。t＝0时刻的波形图如图所示，M、N的位移均为1 cm。下列说法正确的是（　　）
A.甲波的周期为6 s B.乙波的波长为6 m
C.t＝6 s时，M向y轴正方向运动 D.t＝6 s时，N向y轴负方向运动
11.（2026·江苏无锡联考）如图所示为一列简谐横波在两个不同时刻的波形，虚线为实线所示的横波在t＝0.5 s后的波形图线。
（1）若质点的振动周期T与t的关系为T＜t＜3T，则在t内波向前传播的距离x为多少？
（2）若波速为v＝1.8 m/s，则波向哪个方向传播？
12.〔多选〕（2025·浙江1月选考12题）如图1所示，两波源S1和S2分别位于x＝0与x＝12 m处，以x＝6 m为边界，两侧为不同的均匀介质。t＝0时两波源同时开始振动，其振动图像相同，如图2所示。t＝0.1 s时x＝4 m与x＝6 m两处的质点开始振动。不考虑反射波的影响，则（　　）
A.t＝0.15 s时两列波开始相遇 B.在6 m＜x≤12 m间S2波的波长为1.2 m
C.两列波叠加稳定后，x＝8.4 m处的质点振动减弱 D.两列波叠加稳定后，在0＜x＜6 m间共有7个加强点
第21讲　机械波
1.B　由图可知，该波上质点的振动方向与波动传播方向垂直，是横波，故A错误；根据同侧法可知，质点P开始振动的方向向上，则质点S开始振动时向上运动，故B正确；由图可知，S、P两质点沿波传播方向上的距离为λ，则两质点振动步调完全相反，故C错误；质点不能随波迁移，只能在各自平衡位置附近上下振动，故D错误。
2.CD　声呐探测湖底某处的深度，利用了波的反射现象，故A错误；湖中水波绕过芦苇、石块向前传播，是波的衍射现象，故B错误；岸上交通警察对行进中的汽车发射一个已知频率的超声波，波被运动的汽车反射回来，根据接收到的频率发生的变化，来测量汽车的速度，以便于进行交通管理，利用了多普勒效应，故C正确；根据多普勒效应可知，当波源与观察者互相靠近时，接收到的频率会增大，故湖中鸣笛的快艇驶近游客的过程中，游客听到的声波频率与该波源的发声频率相比会变大，故D正确。
3.D　两列波在B点相遇时因干涉而相消，则这两列声波由A点传播到B点的路程差满足Δs＝－d＝（2n＋1）（其中n＝0，1，2，…），即d＝（其中n＝0，1，2，…），当n＝0时，d＝，故选D。
4.C　相邻波峰与波谷间距为，由图乙，＝（1.8－1.0）cm＝0.8 cm，则λ＝1.6 cm，A错误；波速v＝＝0.25 m/s，频率f＝＝15.625 Hz，B错误；根据“上下坡”法，此时O点振动方向竖直向上，C正确；P点在波峰与波谷间，根据“上下坡”法，P点振动方向竖直向下，D错误。
5.A　若该简谐横波向右传播，由图可知，波在2 s内传播了6 m，波速为v＝＝ m/s＝3 m/s，若该简谐横波向左传播，由图可知，波在2 s内传播了2 m，波速为v＝＝ m/s＝1 m/s，故选A。
6.B　由波形图可知两列波的波长λ＝4 m，波速v＝2 m/s，则周期T＝＝2 s，故A错误；将波形平移，t＝4 s时两列波在M点引起的振动都是向y轴正方向振动，故B正确；由“同侧”法可知，t＝0时刻，x＝4 m处质点的振动方向向下，x＝10 m处质点的振动方向向上，且二者振动方向相反。M点到这两个质点的路程差Δx＝2 m＝，所以M点为振动加强点，故C错误；从图示时刻开始，左侧波形传至M点需要＝1 s，右侧波传至M点需要T＝2 s，所以当右侧波传至M点时，M点已运动s1＝2A1＝20 cm，右侧波传至M点后，M点再振动8 s＝4T，s2＝4×4（A1＋A2）＝16×（10＋20）cm＝480 cm，所以M点运动的路程为s＝s1＋s2＝500 cm＝5 m，故D错误。
7.A　由乙图可知，0.1 s时Q处于平衡位置且向下振动，可知波沿x轴负方向传播，根据图像可得，周期为T＝0.2 s，波长为λ＝8 m，所以波速为v＝＝40 m/s，根据波的函数表达式y＝Asin＝10sin（cm），可得质点P的平衡位置坐标为x＝ m，此后质点P第一次回到平衡位置即x＝4 m处的振动状态传到质点P处，需要时间Δt＝＝ s＝ s，故选A。
8.BD　图中A、B两点都是振动加强点，A在波峰，B在平衡位置，A、B两点的竖直高差为Δh＝2A＝10 cm，故A错误；波的周期为T＝＝0.5 s，由于t＝0.75 s＝1T，则B点通过的路程为s＝2A×6＝60 cm，故B正确；图中C点处于波谷，再经过0.125 s，即t'＝T，C点处于平衡位置，故C错误；由图可知，D点为波峰和波谷的交点，是振动减弱点，且两列波的振幅相同，因此D点一直处于平衡位置，故D正确。
9.D　若波沿x轴负方向传播，t＝0时刻处于原点的质点向上振动，则有Δt＝（n＋）T＝0.01 s（n＝0，1，2…），可得T＝ s（n＝0，1，2…），由于T＞0.01 s，则n＝0，可得周期为T＝ s，则频率为f＝＝75 Hz，波速为v＝＝6 m/s，若波沿x轴正方向传播，t＝0时刻处于原点的质点向下振动，则有Δt＝（n＋）T＝0.01 s（n＝0，1，2…），可得T＝ s（n＝0，1，2…），由于T＞0.01 s，则n＝0，可得周期为T＝ s，则频率为f＝＝25 Hz，波速为v＝＝2 m/s，故D正确。
10.BD　由题图可知，甲波的波长λ甲＝4 m，由v＝可知，甲波的周期T甲＝4 s，A错误；设t＝0时刻乙波的波形图表达式为y＝Asin，结合题图有sin＝、sin（ ×6＋φ）＝，且4 m＜λ乙＜8 m，联立解得乙波的波长为λ乙＝6 m，B正确；结合题图由同侧法可知，t＝0时刻M向y轴正方向运动，则t＝6 s＝T甲时刻M向y轴负方向运动，C错误；结合B项分析和v＝可知，乙波的周期为T乙＝6 s，由题图可知t＝0时刻N向y轴负方向运动，所以t＝6 s＝T乙时刻N向y轴负方向运动，D正确。
11.（1）见解析　（2）波沿x轴正方向传播
解析：（1）①若波沿x轴正方向传播，根据图像可知，时间t内波的传播距离为
x1＝nλ＋λ（n＝0，1，2，3…），其中λ＝24 cm
波传播的速度v1＝＝
根据题意有T＜t＜3T
解得n＝1，2
解得x1＝42 cm或x1＝66 cm
②若波沿x轴负方向传播，根据图像可知，时间t内波的传播距离为
x2＝nλ＋λ（n＝0，1，2，3…）
波传播的速度v2＝＝
根据题意有T＜t＜3T
解得n＝1，2
解得x2＝30 cm或x2＝54 cm。
（2）若波速为v＝1.8 m/s，根据v＝
解得波传播的距离Δx＝90 cm＝3λ＋λ
结合上述可知，波沿x轴正方向传播。
12.BC　t＝0.1 s时x＝4 m与x＝6 m两处的质点开始振动，则波在x＝6 m左侧介质中的波速为v1＝ m/s＝40 m/s，同理，波在x＝6 m右侧介质中的波速为v2＝ m/s＝60 m/s，两列波相遇时，有v1t＋0.1 s×v2＋v1（t－0.1 s）＝12 m，解得t＝0.125 s，A错误；由题图2可知两波源的周期均为T＝0.02 s，在6 m＜x≤12 m间S2波的波长为λ2＝v2T＝60×0.02 m＝1.2 m，B正确；S1波传到x＝8.4 m时所用时间为t'＝s＝0.19 s，此时S2波在x＝8.4 m处已经振动的时间为Δt＝0.19 s－ s＝0.13 s＝6T，则t＝0.19 s时S1波在x＝8.4 m处的振动形式为正处在平衡位置向上运动，S2波在x＝8.4 m处的振动形式为正处在平衡位置向下振动，由波的叠加原理可知，两列波叠加稳定后x＝8.4 m处的质点为振动减弱点，C正确；S2波传到x＝6 m处时所用的时间为0.1 s＝5T，则此时S2波使x＝6 m处的质点正处在平衡位置向上振动，此时x＝0处的波源S1也正处在平衡位置向上振动，即x＝0处和x＝6 m处的质点振动方向相同，即两列波振动步调一致，又两列波在0＜x＜6 m间的波长均为λ1＝v1T＝40×0.02 m＝0.8 m，则对该区间x处质点，振动加强点处有x－（6 m－x）＝nλ1＝0.8n（m），其中n为整数，即x＝3 m＋n×0.4 m（n为整数），又0＜x＜6 m，可得n取0、±1、±2、±3、±4、±5、±6、±7，则在0＜x＜6 m间共有15个振动加强点，D错误。
1 / 1第21讲　机械波
1.知道机械波的形成条件及特点。 2.掌握波速、波长和频率的关系，会分析波的图像。 3.知道波的干涉、衍射现象和多普勒效应，掌握发生干涉和明显衍射的条件。
考点一　机械波的形成与波的图像
知识速记
1.机械波
（1）机械波的形成条件
①有发生机械振动的　　　　。
②有传播　　　　，如空气、水等。
（2）传播特点
①机械波传播的只是振动的　　　　和　　　　，质点只在各自的平衡位置附近做简谐运动，并不随波　　　　。
②波传到任意一点，该点的起振方向都和波源的起振方向　　　　。
③介质中每个质点都做　　　　振动，因此，任一质点的振动频率和周期都和波源的振动频率和周期　　　　。
④波源经过一个周期T完成一次全振动，波恰好向前传播一个波长的距离。
2.波的图像
（1）坐标轴：横轴表示各质点的　　　　，纵轴表示该时刻各质点的　　　　。
（2）意义：表示在波的传播方向上，某时刻各质点离开　　　　的位移。
（3）图像（如图）
3.波长、波速、频率及其关系
（1）波长λ：在波的传播方向上，振动相位总是　　　　的两个相邻质点间的距离。
（2）波速v：波在介质中的传播速度，由　　　　本身的性质决定。
（3）频率f：由波源决定，等于波源的　　　　。
（4）波长、波速和频率（周期）的关系：v＝＝　　　　。
　〔人教版选择性必修第一册P62“演示”情境〕如图所示，取一条较长的软绳，用手提住一端拉平后向上抖动一次，可以看到绳上形成一个凸起部分，这个凸起部分向另一端传去。向下抖动一次，可以看到绳上形成一个凹下部分，这个凹下部分也向另一端传去。连续向上、向下抖动长绳，可以看到一列波产生和传播的情形。判断下列说法的正误。
（1）绳波上任一质点的振动频率和周期都和波源的振动频率和周期相同。（　　）
（2）手经过一个周期T完成一次全振动，绳波形恰好向前传播一个波长的距离。（　　）
（3）绳上的质点会随波从左向右移动。（　　）
（4）抖动绳子的频率越快，波传播的也就越慢。（　　）
要点深化
1.机械波的特点
（1）机械波从一种介质进入另一种介质，由于介质的情况不同，它的波长和波速可能改变，但频率和周期都不会改变。
（2）质点振动nT（波传播nλ）时，波形不变。
（3）相隔波长整数倍的两质点，振动状态总相同；相隔半波长奇数倍的两质点，振动状态总相反。
2.波的传播方向与质点振动方向的互判
“上下 坡”法 沿波的传播方向，“上坡”时质点向下振动，“下坡”时质点向上振动
“同侧”法　 波形图上某点表示传播方向和振动方向的箭头在图线同侧
“微平 移”法 将波形沿波传播方向进行微小的平移，再由对应同一x坐标的两波形曲线上的点来判断质点振动方向
（2026·湖南长沙模拟）一条绳子可以分成一个个小段，每小段都可以看作一个质点，这些质点之间存在相互作用。如图是某绳波形成过程示意图，质点1在外力作用下沿竖直方向做简谐运动，带动质点2、3、4…各个质点依次振动，把振动从绳的左端传到右端。t＝T时，质点9刚要开始运动。下列说法正确的是（　　）
A.t＝T时，质点4的刚开始振动 B.t＝T时，质点9开始向下运动
C.t＝T时，质点5的加速度达到最大 D.t＝T时，质点13第一次到达波峰
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
〔多选〕（2026·贵州毕节期末）一列简谐横波沿x轴正方向传播，a、b为x轴上的两个质点，平衡位置坐标分别为xa＝1 m、xb＝6 m，t＝0时刻波形如图所示，t＝0.5 s时刻，b第一次到达波峰。下列说法正确的是（　　）
A.波源的起振方向沿y轴负方向 B.该简谐横波的周期为 s
C.t＝0.5 s时刻，a的加速度最大 D.t＝0.75 s时刻，a、b的速度方向相同
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　如图为沿x轴正方向发送的简谐波图像，已知波传播速度为2 cm/s，t＝0时刻波恰好传到质点P，质点A、Q的横坐标分别为1.2 cm、6 cm。下列说法正确的是（　　）
A.质点Q开始振动的方向沿y轴正方向
B.在t＝0时刻质点A回复力的方向沿y轴负方向
C.经过2.0 s，质点P运动到Q所处位置
D.在t＝2.75 s，质点Q第一次到达波峰
考点二　波的图像和振动图像的综合应用
要点深化
波的图像和振动图像的比较
比较项目 振动图像 波的图像
研究对象 一个质点 波传播方向上的所有质点
研究内容 某质点位移随时间的变化规律 某时刻所有质点在空间分布的规律
图像
横坐标 表示时间 表示各质点的平衡位置
物理意义 某质点在各时刻的位移 某时刻各质点的位移
振动方向 的判断 （看下一时刻的位移） （“同侧”法、“上下坡”法、“微平移”法）
Δt后的 图形 随时间推移，图像延伸，但已有形状不变 随时间推移，图像沿波的传播方向平移，原有波形做周期性变化
联系 （1）纵坐标均表示质点的位移 （2）纵坐标的最大值均表示振幅 （3）波在传播过程中，各质点都在各自的平衡位置附近振动
（2026·宁夏青铜峡联考）一列简谐横波在t＝0时的波形如图甲所示，P是平衡位置为x＝2 m处的质点，图乙为质点P的振动图像，下列说法正确的是（　　）
A.波沿x轴正方向传播，t＝0.5 s时，质点P的加速度沿正向，并非最大
B.波沿x轴负方向传播，t＝0.5 s时，质点P的运动方向沿y轴负方向
C.波沿x轴负方向传播，t＝0到t＝2 s，该波沿x轴正方向传播了2 m
D.波沿x轴正方向传播，t＝0到t＝2 s，质点P通过的路程为8 cm
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
求解波的图像与振动图像综合问题的技巧
（2026·吉林通化模拟）一列向右传播的简谐横波t0＝0时刻的波形如图所示，波速v＝5 m/s，从t1＝7 s时刻开始计时（t＝0），质点A的振动图像如选项图所示，其中最符合实际的是（　　）
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
解析式法和比例法求解波动问题
1.解析式法求解波动问题
波动方程为y＝Asin（ωx＋φ0），其中A表示振幅，ω＝，λ表示波长。
2.比例法求解波动问题
质点振动 过程 波传播 距离 所需 时间 图示
0→A 0→
0→A 0→
0→A 0→
0→A 0→
〔多选〕（2026·江西九江联考）水袖舞是中国京剧的特技之一，现将水袖运动的波形视为简谐横波，t＝0时刻的波形图如图所示，其中质点P、Q的横坐标分别为0.3 m、1.8 m。若Q的振动方程为y＝－0.24sin（πt）m，水袖足够长，则下列说法正确的是（　　）
A.t＝0时P沿y轴负方向运动
B.该波的波速大小为1.2 m/s
C.t＝1.25 s时，P第一次到达波谷
D.t＝0.5 s时，P偏离平衡位置的位移为0.12 m
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考点三　波的多解问题
要点深化
1.造成波的多解问题的主要因素
双向性 传播方向双向性：波的传播方向不确定
振动方向双向性：质点的振动方向不确定
周期性 时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确
空间周期性：波传播距离Δx与波长λ的关系不明确
隐含性 在波动问题中，往往只给出完整波形的一部分，或给出几个特殊点，而其余信息均处于隐含状态，这样，波形就有多种情况，形成波动问题的多解性
2.解决波的多解问题的一般思路
（1）首先找出造成多解的原因，比如传播方向的双向性，可先假设波向右传播，再假设波向左传播，分别进行分析。
（2）根据周期性列式，若题目给出的是时间条件，则列出t＝nT＋Δt（n＝0，1，2…）进行求解；若给出的是距离条件，则列出x＝nλ＋Δx（n＝0，1，2…）进行求解。
（3）根据需要进一步求与波速（v＝或v＝＝λf）等有关的问题。
（2025·海南高考5题）如图所示，实线和虚线分别是沿着x轴正方向传播的一列简谐横波在t＝0时刻和t＝0.5 s的波形图，已知波的周期T＞0.5 s，则下列关于该列波说法正确的是（　　）
A.波长为5 cm
B.波速为10 cm/s
C.周期为1 s
D.t＝0时刻，质点M向下振动
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
〔多选〕（2025·陕晋青宁8题）一列简谐横波在介质中沿直线传播，其波长大于1 m，a、b为介质中平衡位置相距2 m的两质点，其振动图像如图所示。则t＝0时的波形图可能为（　　）
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（2026·湖南常德模拟）如图所示，一列简谐横波沿直线向右传播，a、b两质点的平衡位置相距d＝6 m，在某时刻a、b质点均振动到平衡位置，且a、b之间有且仅有一个波谷。这列波的波长不可能是（　　）
A.4 m B.6 m
C.8 m D.12 m
考点四　波的干涉、衍射及多普勒效应
知识速记
1.波的叠加：在两列波的重叠的区域中，每个质点的位移等于这两列波单独传播时引起的位移的　　　　。
2.波的干涉和衍射
波的干涉 波的衍射
现象 形成加强区和减弱区相互隔开的稳定的　　　 波能够绕过障碍物或孔继续向前传播
条件 两列波的频率必须　　　　、相位差恒定、振动方向相同 发生明显衍射的条件：障碍物或孔的　　　　比波长小或相差不多
3.多普勒效应：波源和观察者相互靠近或者相互　　　　时，观察者接收到的波的频率发生　　　　的现象。
（1）接收频率：观察者接收到的频率等于观察者在单位时间内接收到的完全波的个数。
（2）当波源与观察者相互靠近时，观察者接收到的频率　　　　，当波源与观察者相互远离时，观察者接收到的频率　　　　。
　〔粤教版选择性必修第一册P84图3－4－4情境〕如图所示，交警手持雷达测速仪向行进中的汽车发射一个频率为f的电磁波，波被汽车反射回来，又被接收，判断下列说法的正误。
（1）雷达测速仪所依据的原理是“多普勒效应”。（　　）
（2）雷达测速仪接收到的反射波的频率等于f。（　　）
（3）雷达测速仪发出的波与被汽车反射回来的波相遇会发生干涉。（　　）
要点深化
　波的干涉现象中加强点、减弱点的判断方法
1.公式法
某质点的振动是加强还是减弱，取决于该点到两相干波源的距离之差Δr。
①当两波源振动步调一致时。
若Δr＝nλ（n＝0，1，2，…），则振动加强；
若Δr＝（2n＋1）（n＝0，1，2，…），则振动减弱。
②当两波源振动步调相反时。
若Δr＝（2n＋1）（n＝0，1，2，…），则振动加强；
若Δr＝nλ（n＝0，1，2，…），则振动减弱。
2.图像法
在某时刻波的干涉的波形图上，波峰与波峰（或波谷与波谷）的交点，一定是加强点，而波峰与波谷的交点一定是减弱点，各加强点或减弱点各自连接形成以两波源为中心向外辐射的连线，形成加强线和减弱线，两种线互相间隔，加强点与减弱点之间各质点的振幅介于加强点与减弱点的振幅之间。
教材母题
　〔人教版选择性必修一P78·T1改编〕如图所示，实线与虚线分别表示振幅不同、频率相同的两列波的波峰和波谷，此刻M是波峰与波峰的相遇点，N、P是波峰和波谷的相遇点，下列说法中不正确的是（　　）
A.P、N两处的质点始终处在平衡位置
B.O、M连线的中点是振动加强的点
C.O、M连线的中点正处在平衡位置且向上运动
D.从该时刻起，经过四分之一周期，M处的质点到达平衡位置，且向下运动
链接高考
　（2025·黑吉辽蒙高考5题）平衡位置在同一水平面上的两个振动完全相同的点波源，在均匀介质中产生两列波。若波峰用实线表示，波谷用虚线表示，P点位于其最大正位移处，曲线ab上的所有点均为振动减弱点，则下列图中可能满足以上描述的是（　　）
链接分析
　（1）教材母题和2025黑吉辽蒙高考5题均以两列波的叠加为情境，考查波的干涉。
（2）都利用图像判断加强区和减弱区。
〔多选〕（2025·宁夏银川三模）两列简谐横波在x轴上传播，a波沿x轴正方向传播，b波沿x轴负方向传播，t＝0时刻的波形图如图所示：此时刻平衡位置在x＝4 m和x＝8 m的质点P、Q刚好开始振动，两列波的波速均为2 m/s，质点M、N的平衡位置分别为x＝5 m和x＝6 m，下列说法正确的是（　　）
A.两列波相遇时刻为1.0 s，此时刻质点N向上振动
B.P、Q间（不包括P、Q）有1处振动加强点
C.两列波频率相同，可以发生干涉
D.0～2.5 s内质点M运动路程为30 cm
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.如图所示，P为桥墩，A为靠近桥墩浮在水面的叶片，波源S连续振动，形成水波，此时叶片A静止不动。为使水波带动叶片振动，可行的方法是（　　）
A.提高波源频率
B.降低波源频率
C.增大波源距桥墩的距离
D.减小波源距桥墩的距离
2.（2026·江苏徐州一模）如图所示为一辆救护车在道路上匀速行驶时，用软件拟合其产生的声波的图样，图中的圆表示波峰。下列说法正确的是（　　）
A.该图表示的是干涉现象
B.左侧波的频率小于右侧波的频率
C.前侧波的频率大于后侧波的频率
D.单位时间内前侧接收的完全波个数与后侧的相同
第21讲　机械波
考点一
知识速记
1.（1）①波源　②介质　（2）①形式　能量　迁移　②相同　③受迫　相同　　2.（1）平衡位置　位移　（2）平衡位置
3.（1）相同　（2）介质　（3）振动频率　（4）λf
教材情境辨析
　（1）√　（2）√　（3）×　（4）×
要点深化
【例1】　D　t＝T时，质点5刚开始振动，故A错误；由同侧法可知，t＝T时，质点9开始向上运动，故B错误；t＝T时，质点5到达平衡位置向下振动，则此时质点5的加速度为零，故C错误；t＝T时，质点13已经振动了时间，第一次到达波峰，故D正确。
【例2】　AD　简谐横波沿x轴正方向传播，根据同侧法可知波源的起振方向沿y轴负方向，故A正确；由题意可知，有＋＝0.5 s，解得T＝0.4 s，故B错误；t＝0.5 s时刻，a处于平衡位置，加速度为零，故C错误；t＝0.75 s时刻，根据质点的振动规律可知a、b的速度均沿y轴正方向，故D正确。
强化训练
　D　根据“上下坡”法可知，P质点的起振方向沿y轴负方向，介质中所有质点的起振方向都相同，则质点Q开始振动的方向沿y轴负方向，故A错误；回复力指向平衡位置，故在t＝0时刻质点A的回复力的方向沿y轴正方向，故B错误；质点在平衡位置上下振动，不随波传播，故C错误；由题图可知xPQ＝6 cm－2 cm＝4 cm，则t1＝＝2 s，质点Q开始振动的方向沿y轴负方向，则t2＝T＝×＝0.75 s，则质点Q第一次到达波峰的时间为t＝t1＋t2＝2.75 s，故D正确。
考点二
要点深化
【例3】　A　由乙图可知，t＝0时质点P沿y轴负方向运动，根据“同侧”法可知，波沿x轴正方向传播；t＝0.5 s时，质点P处于由平衡位置向波谷运动的过程，此时质点P的加速度沿正方向，但并非最大；质点P的运动方向沿y轴负方向，故A正确，B错误；波沿x轴正方向传播，由题图可知波长为λ＝4 m，周期为T＝4 s，则波速为v＝＝1 m/s，可知从t＝0到t＝2 s，该波沿x轴正方向传播了Δx＝vΔt＝2 m，故C错误；从t＝0到t＝2 s，由于Δt＝2 s＝T，可知质点P通过的路程为s＝2A＝16 cm，故D错误。
【例4】　A　简谐横波向右传播，由波形“平移”法可知t0＝0时刻质点A的振动方向向下，由题图知波长λ＝20 m，则周期为T＝＝4 s，因为t＝7 s＝1T，所以质点A在t＝7 s时刻在平衡位置上方，速度方向向上，正向波峰运动，所以从t＝7 s时刻开始计时描述质点A的振动图像，A项中的图最符合实际。
拓展空间
【典例】　BC　根据y＝－0.24sin（πt）m可知，经极短时间Δt，y＜0，说明t＝0时Q沿y轴负方向运动，则波沿x轴正方向传播，可判断此时P沿y轴正方向运动，故A错误；该波的周期T＝＝ s＝2 s，由题图可知该波的波长λ＝2.4 m，可得该波的波速大小v＝＝1.2 m/s，故B正确；t＝0时刻起P到达波峰的最短时间Δt＝＝ s＝0.25 s，P再经时间＝1 s到达波谷，因此t＝1.25 s时P第一次到达波谷，故C正确；对于D选项，方法一：解析式法：t＝0时yP0＝AcosxP＝0.24cos（×0.3）m＝0.12 m，因此P的振动方程为y＝0.24sin（πt＋）m，当t＝0.5 s时yP1＝0.12 m，故D错误。方法二：比例法：当t＝0时，xP＝0.3 m＝λ，则yP＝0.12 m，t＝0.5 s时，波自左向右传播的距离为：Δx＝v·Δt＝0.6 m，x＝－0.3 m处的质点的振动状态传到P点，故此时P偏离平衡位置的距离yP＝0.12 m，故D错误。
考点三
要点深化
【例5】　D　由题图可知波长为10 cm，故A错误；t＝0时刻到t＝0.5 s的过程中，Δt＝nT＋T，n＝0，1，2…，已知波的周期T＞0.5 s，则n只能取0，则T＝ s，波速为v＝＝15 cm/s，故B、C错误；简谐横波沿着x轴正方向传播，根据同侧法可知t＝0时刻，质点M向下振动，故D正确。
【例6】　CD　简谐横波的波长大于1 m，A中波长小于1 m，A错误；t＝0时，b质点的位移为－10 cm，B错误，利用淘汰法，C、D可能正确。
强化训练
　C　两质点都经过平衡位置，两质点之间只有一个波谷，情况如图所示，则n＝6 m（n＝1、2、3），解得λ1＝12 m，λ2＝6 m，λ3＝4 m，不可能是8 m。故选C。
考点四
知识速记
1.矢量和　2.干涉图样　相同　尺寸　3.远离　变化
（2）增加　变小
教材情境辨析
　（1）√　（2）×　（3）×
要点深化
教材母题
　A　P、N两点是波谷和波峰叠加，振幅不同，所以在平衡位置上下振动，A错误；由于O、M是振动加强点，结合图可知，OM连线的中点到两波源的距离差为半个波长的偶数倍，所以该点是振动加强的点，B正确；图示时刻O、M连线的中点处于平衡位置，且两列波单独引起的速度均向上，所以该质点的合速度向上运动，C正确；从该时刻起，经过四分之一周期，质点M到达平衡位置，且向下运动，D正确。
链接高考
　C　由于P点位于其最大正位移处，所以P点位于波峰与波峰的交点，故B、D错误；由题图可知，两列波分别向左、向上传播，沿左上方将减弱点连线，则连线上的点均为振动减弱点，A错误，C正确。
【例7】　AC　0时刻P、Q两质点刚好开始振动，且振动方向相反，经过时间t两列波在N点相遇，则有t＝＝1 s，根据波的叠加原理，可知此时刻质点N向上振动，故A正确；由题可知波长λ＝4 m，xPQ＝4 m，因为PQ间波程差在－4 m与＋4 m之间，由于两列波振动方向相反，故波在Δx＝±λ处加强，可知振动加强点有2处，故B错误；两列波波长相同，波速相同，故频率相同，可以发生干涉，故C正确；周期T＝＝2 s，a波传播到M点时间t1＝＝0.5 s，b波传播到M点时间t2＝＝1.5 s，可知b波传到M时M已经振动Δt＝t2－t1＝T，由B选项分析易知M为振动加强点，故0～2.5 s内质点M运动路程s＝2Aa＋2（Aa＋Ab）＝32 cm，故D错误。
强化训练
1.B　波能否发生明显的衍射现象，取决于波长与障碍物尺寸的大小关系。频率减小时，波长增大，波可能发生明显衍射，B正确，A错误；改变桥墩距波源的距离，波长不会变化，C、D错误。
2.C　题图表示的是多普勒效应，A错误；根据波的图样可知，前侧形成的波纹比较密，后侧形成的波纹比较稀疏，由多普勒效应可知，前侧波的频率大于后侧波的频率，左侧波的频率等于右侧波的频率，救护车向前运动，单位时间内前侧接收的完全波个数比后侧的多，C正确，B、D错误。
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第21讲　机械波
目标要求
1. 知道机械波的形成条件及特点。
2. 掌握波速、波长和频率的关系，会分析波的图像。
3. 知道波的干涉、衍射现象和多普勒效应，掌握发生干涉和明显衍射的条件。
目 录
CONTENTS
考点一　机械波的形成与波的图像
考点二　波的图像和振动图像的综合应用
考点三　波的多解问题
考点四　波的干涉、衍射及多普勒效应
课时跟踪检测
考点一　机械波的形成与波的图像
知识速记
1. 机械波
（1）机械波的形成条件
①有发生机械振动的 。
②有传播 ，如空气、水等。
波源　
介质　
（2）传播特点
①机械波传播的只是振动的 和 ，质点只在各自的平衡位
置附近做简谐运动，并不随波 。
②波传到任意一点，该点的起振方向都和波源的起振方向 。
③介质中每个质点都做 振动，因此，任一质点的振动频率和周期
都和波源的振动频率和周期 。
④波源经过一个周期T完成一次全振动，波恰好向前传播一个波长的距
离。
形式　
能量　
迁移　
相同　
受迫　
相同　
2. 波的图像
（1）坐标轴：横轴表示各质点的 ，纵轴表示该时刻各质点
的 。
（2）意义：表示在波的传播方向上，某时刻各质点离开 的
位移。
平衡位置　
位移　
平衡位置　
（3）图像（如图）
3. 波长、波速、频率及其关系
（1）波长λ：在波的传播方向上，振动相位总是 的两个相邻质点
间的距离。
（2）波速v：波在介质中的传播速度，由 本身的性质决定。
（3）频率f：由波源决定，等于波源的 。
（4）波长、波速和频率（周期）的关系：v＝＝ 。
相同　
介质　
振动频率　
λf　
　〔人教版选择性必修第一册P62“演示”情境〕如图所示，取一条较长
的软绳，用手提住一端拉平后向上抖动一次，可以看到绳上形成一个凸起
部分，这个凸起部分向另一端传去。向下抖动一次，可以看到绳上形成一
个凹下部分，这个凹下部分也向另一端传去。连续向上、向下抖动长绳，
可以看到一列波产生和传播的情形。判断下列说法的正误。
（1）绳波上任一质点的振动频率和周期都和波源的振动频率和周期相
同。 （　√　）
√
（2）手经过一个周期T完成一次全振动，绳波形恰好向前传播一个波长的
距离。 （　√　）
（3）绳上的质点会随波从左向右移动。 （　×　）
（4）抖动绳子的频率越快，波传播的也就越慢。 （　×　）
√
×
×
要点深化
1. 机械波的特点
（1）机械波从一种介质进入另一种介质，由于介质的情况不同，它的波
长和波速可能改变，但频率和周期都不会改变。
（2）质点振动nT（波传播nλ）时，波形不变。
（3）相隔波长整数倍的两质点，振动状态总相同；相隔半波长奇数倍的
两质点，振动状态总相反。
2. 波的传播方向与质点振动方向的互判
“上下坡”
法 沿波的传播方向，“上坡”时质点向
下振动，“下坡”时质点向上振动
“同侧”法　 波形图上某点表示传播方向和振动方
向的箭头在图线同侧
“微平移”
法 将波形沿波传播方向进行微小的平
移，再由对应同一x坐标的两波形曲
线上的点来判断质点振动方向
（2026·湖南长沙模拟）一条绳子可以分成一个个小段，每小段都可以
看作一个质点，这些质点之间存在相互作用。如图是某绳波形成过程示意
图，质点1在外力作用下沿竖直方向做简谐运动，带动质点2、3、4…各个
质点依次振动，把振动从绳的左端传到右端。t＝T时，质点9刚要开始运
动。下列说法正确的是（　D　）
D
A. t＝T时，质点4的刚开始振动
B. t＝T时，质点9开始向下运动
C. t＝T时，质点5的加速度达到最大
D. t＝T时，质点13第一次到达波峰
解析：t＝T时，质点5刚开始振动，故A错误；由同侧法可知，t＝T时，
质点9开始向上运动，故B错误；t＝T时，质点5到达平衡位置向下振动，
则此时质点5的加速度为零，故C错误；t＝T时，质点13已经振动了时
间，第一次到达波峰，故D正确。
〔多选〕（2026·贵州毕节期末）一列简谐横波沿x轴正方向传播，a、
b为x轴上的两个质点，平衡位置坐标分别为xa＝1 m、xb＝6 m，t＝0时刻波
形如图所示，t＝0.5 s时刻，b第一次到达波峰。下列说法正确的是
（　AD　）
AD
A. 波源的起振方向沿y轴负方向
B. 该简谐横波的周期为 s
C. t＝0.5 s时刻，a的加速度最大
D. t＝0.75 s时刻，a、b的速度方向相同
解析：简谐横波沿x轴正方向传播，根据同侧法可知波源的起振方向沿y轴
负方向，故A正确；由题意可知，有＋＝0.5 s，解得T＝0.4 s，故B错
误；t＝0.5 s时刻，a处于平衡位置，加速度为零，故C错误；t＝0.75 s时
刻，根据质点的振动规律可知a、b的速度均沿y轴正方向，故D正确。
　如图为沿x轴正方向发送的简谐波图像，已知波传播速度为2 cm/s，t＝0
时刻波恰好传到质点P，质点A、Q的横坐标分别为1.2 cm、6 cm。下列说
法正确的是（　　）
A. 质点Q开始振动的方向沿y轴正方向
B. 在t＝0时刻质点A回复力的方向沿y轴负方向
C. 经过2.0 s，质点P运动到Q所处位置
D. 在t＝2.75 s，质点Q第一次到达波峰
√
解析： 　根据“上下坡”法可知，P质点的起振方向沿y轴负方向，介质
中所有质点的起振方向都相同，则质点Q开始振动的方向沿y轴负方向，故
A错误；回复力指向平衡位置，故在t＝0时刻质点A的回复力的方向沿y轴
正方向，故B错误；质点在平衡位置上下振动，不随波传播，故C错误；由
题图可知xPQ＝6 cm－2 cm＝4 cm，则t1＝＝2 s，质点Q开始振动的方向
沿y轴负方向，则t2＝T＝×＝0.75 s，则质点Q第一次到达波峰的时间为
t＝t1＋t2＝2.75 s，故D正确。
考点二　波的图像和振动图像的综
合应用
要点深化
波的图像和振动图像的比较
比较项目 振动图像 波的图像
研究对象 一个质点 波传播方向上的所有质点
研究内容 某质点位移随时间的
变化规律 某时刻所有质点在空间分布的规
律
图像
横坐标 表示时间 表示各质点的平衡位置
比较项目 振动图像 波的图像
物理意义 某质点在各时刻的位移 某时刻各质点的位移
振动方向 的判断 （看下一时刻的位移）
（“同侧”法、“上下坡”
法、“微平移”法）
比较项目 振动图像 波的图像
Δt后的 图形 随时间推移，图像延伸，但
已有形状不变 随时间推移，图像沿波的传播
方向平移，原有波形做周期性
变化
联系 （1）纵坐标均表示质点的位移 （2）纵坐标的最大值均表示振幅 （3）波在传播过程中，各质点都在各自的平衡位置附近振动
（2026·宁夏青铜峡联考）一
列简谐横波在t＝0时的波形如图甲
所示，P是平衡位置为x＝2 m处的
质点，图乙为质点P的振动图像，
下列说法正确的是（　A　）
A
A. 波沿x轴正方向传播，t＝0.5 s时，质点P的加速度沿正向，并非最大
B. 波沿x轴负方向传播，t＝0.5 s时，质点P的运动方向沿y轴负方向
C. 波沿x轴负方向传播，t＝0到t＝2 s，该波沿x轴正方向传播了2 m
D. 波沿x轴正方向传播，t＝0到t＝2 s，质点P通过的路程为8 cm
解析：由乙图可知，t＝0时质点P沿y轴负方向运动，根据“同侧”法可
知，波沿x轴正方向传播；t＝0.5 s时，质点P处于由平衡位置向波谷运动
的过程，此时质点P的加速度沿正方向，但并非最大；质点P的运动方向沿
y轴负方向，故A正确，B错误；波沿x轴正方向传播，由题图可知波长为λ
＝4 m，周期为T＝4 s，则波速为v＝＝1 m/s，可知从t＝0到t＝2 s，该波
沿x轴正方向传播了Δx＝vΔt＝2 m，故C错误；从t＝0到t＝2 s，由于Δt＝2 s
＝T，可知质点P通过的路程为s＝2A＝16 cm，故D错误。
求解波的图像与振动图像综合问题的技巧
（2026·吉林通化模拟）一列向右传播的简谐横
波t0＝0时刻的波形如图所示，波速v＝5 m/s，从t1＝
7 s时刻开始计时（t＝0），质点A的振动图像如选项
图所示，其中最符合实际的是（　A　）
A
解析：简谐横波向右传播，由波形“平移”法可知t0＝0时刻质点A的振动
方向向下，由题图知波长λ＝20 m，则周期为T＝＝4 s，因为t＝7 s＝
1T，所以质点A在t＝7 s时刻在平衡位置上方，速度方向向上，正向波峰
运动，所以从t＝7 s时刻开始计时描述质点A的振动图像，A项中的图最符
合实际。
解析式法和比例法求解波动问题
1. 解析式法求解波动问题
波动方程为y＝Asin（ωx＋φ0），其中A表示振幅，ω＝，λ表示波长。
2. 比例法求解波动问题
质点振动过程 波传播距离 所需时间 图示
0→A 0→
0→A 0→
0→A 0→
0→A 0→
〔多选〕（2026·江西九江联考）水袖舞是中国京剧的特技之一，现将
水袖运动的波形视为简谐横波，t＝0时刻的波形图如图所示，其中质点P、
Q的横坐标分别为0.3 m、1.8 m。若Q的振动方程为y＝－0.24sin（πt）
m，水袖足够长，则下列说法正确的是（　BC　）
BC
A. t＝0时P沿y轴负方向运动
B. 该波的波速大小为1.2 m/s
C. t＝1.25 s时，P第一次到达波谷
D. t＝0.5 s时，P偏离平衡位置的位移为0.12 m
解析：根据y＝－0.24sin（πt）m可知，经极短时间Δt，y＜0，说明t＝
0时Q沿y轴负方向运动，则波沿x轴正方向传播，可判断此时P沿y轴正
方向运动，故A错误；该波的周期T＝＝ s＝2 s，由题图可知该波
的波长λ＝2.4 m，可得该波的波速大小v＝＝1.2 m/s，故B正确；t＝
0时刻起P到达波峰的最短时间Δt＝＝ s＝0.25 s，P再经时间＝1
s到达波谷，因此t＝1.25 s时P第一次到达波谷，故C正确；
对于D选项，方法一：解析式法：t＝0时yP0＝AcosxP＝0.24cos
（×0.3）m＝0.12 m，因此P的振动方程为y＝0.24sin（πt＋）
m，当t＝0.5 s时yP1＝0.12 m，故D错误。方法二：比例法：当t＝0
时，xP＝0.3 m＝λ，则yP＝0.12 m，t＝0.5 s时，波自左向右传播
的距离为：Δx＝v·Δt＝0.6 m，x＝－0.3 m处的质点的振动状态传到P
点，故此时P偏离平衡位置的距离yP＝0.12 m，故D错误。
考点三　波的多解问题
要点深化
1. 造成波的多解问题的主要因素
双向性 传播方向双向性：波的传播方向不确定
振动方向双向性：质点的振动方向不确定
周期性 时间周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确
空间周期性：波传播距离Δx与波长λ的关系不明确
隐含性 在波动问题中，往往只给出完整波形的一部分，或给出几个特
殊点，而其余信息均处于隐含状态，这样，波形就有多种情
况，形成波动问题的多解性
2. 解决波的多解问题的一般思路
（1）首先找出造成多解的原因，比如传播方向的双向性，可先假设波向
右传播，再假设波向左传播，分别进行分析。
（2）根据周期性列式，若题目给出的是时间条件，则列出t＝nT＋Δt（n＝
0，1，2…）进行求解；若给出的是距离条件，则列出x＝nλ＋Δx（n＝0，
1，2…）进行求解。
（3）根据需要进一步求与波速（v＝或v＝＝λf）等有关的问题。
（2025·海南高考5题）如图所示，实线和虚线分别是沿着x轴正方向传
播的一列简谐横波在t＝0时刻和t＝0.5 s的波形图，已知波的周期T＞0.5
s，则下列关于该列波说法正确的是（　D　）
A. 波长为5 cm
B. 波速为10 cm/s
C. 周期为1 s
D. t＝0时刻，质点M向下振动
D
解析：由题图可知波长为10 cm，故A错误；t＝0时刻到t＝0.5 s的过程中，
Δt＝nT＋T，n＝0，1，2…，已知波的周期T＞0.5 s，则n只能取0，则T＝
s，波速为v＝＝15 cm/s，故B、C错误；简谐横波沿着x轴正方向传播，
根据同侧法可知t＝0时刻，质点M向下振动，故D正确。
〔多选〕（2025·陕晋青宁8题）一列简谐横波在介质中沿直线传播，其波长大于1 m，a、b为介质中平衡位置相距2 m的两质点，其振动图像如图所示。则t＝0时的波形图可能为（　CD　）
CD
解析：简谐横波的波长大于1 m，A中波长小于1 m，A错误；t＝0时，b质
点的位移为－10 cm，B错误，利用淘汰法，C、D可能正确。
（2026·湖南常德模拟）如图所示，一列简谐横波沿直线向右传播，a、b两
质点的平衡位置相距d＝6 m，在某时刻a、b质点均振动到平衡位置，且
a、b之间有且仅有一个波谷。这列波的波长不可能是（　　）
A. 4 m B. 6 m
C. 8 m D. 12 m
√
解析： 　两质点都经过平衡位置，两质点之
间只有一个波谷，情况如图所示，则n＝6 m
（n＝1、2、3），解得λ1＝12 m，λ2＝6 m，λ3
＝4 m，不可能是8 m。故选C。
考点四　波的干涉、衍射及多普勒效应
知识速记
1. 波的叠加：在两列波的重叠的区域中，每个质点的位移等于这两列波单
独传播时引起的位移的 。
矢量和　
2. 波的干涉和衍射
波的干涉 波的衍射
现象 形成加强区和减弱区相
互隔开的稳定的
波能够绕过障碍物或孔继续向前传
播
条件 两列波的频率必须
、相位差恒定、振
动方向相同 发生明显衍射的条件：障碍物或孔
的 比波长小或相差不多
干涉
图样　
相
同　
尺寸　
3. 多普勒效应：波源和观察者相互靠近或者相互 时，观察者接收
到的波的频率发生 的现象。
（1）接收频率：观察者接收到的频率等于观察者在单位时间内接收到的
完全波的个数。
（2）当波源与观察者相互靠近时，观察者接收到的频率 ，当波
源与观察者相互远离时，观察者接收到的频率 。
远离　
变化　
增加　
变小　
　〔粤教版选择性必修第一册P84图3－4－4情境〕如图所示，交警手持雷
达测速仪向行进中的汽车发射一个频率为f的电磁波，波被汽车反射回来，
又被接收，判断下列说法的正误。
（1）雷达测速仪所依据的原理是“多普勒效应”。 （　√　）
（2）雷达测速仪接收到的反射波的频率等于f。 （　×　）
（3）雷达测速仪发出的波与被汽车反射回来的波相遇会发生干涉。
（　×　）
√
×
×
要点深化
　波的干涉现象中加强点、减弱点的判断方法
1. 公式法
某质点的振动是加强还是减弱，取决于该点到两相干波源的距离之差Δr。
①当两波源振动步调一致时。
若Δr＝nλ（n＝0，1，2，…），则振动加强；
若Δr＝（2n＋1）（n＝0，1，2，…），则振动减弱。
②当两波源振动步调相反时。
若Δr＝（2n＋1）（n＝0，1，2，…），则振动加强；
若Δr＝nλ（n＝0，1，2，…），则振动减弱。
2. 图像法
在某时刻波的干涉的波形图上，波峰与波峰（或波谷与波谷）的交点，一
定是加强点，而波峰与波谷的交点一定是减弱点，各加强点或减弱点各自
连接形成以两波源为中心向外辐射的连线，形成加强线和减弱线，两种线
互相间隔，加强点与减弱点之间各质点的振幅介于加强点与减弱点的振幅
之间。
教材母题
　〔人教版选择性必修一P78·T1改编〕如图所示，实线与虚线分别表示振
幅不同、频率相同的两列波的波峰和波谷，此刻M是波峰与波峰的相遇
点，N、P是波峰和波谷的相遇点，下列说法中不正确的是（　　）
A. P、N两处的质点始终处在平衡位置
B. O、M连线的中点是振动加强的点
C. O、M连线的中点正处在平衡位置且向上运动
D. 从该时刻起，经过四分之一周期，M处的质点到达平衡位置，且向下
运动
√
解析： 　P、N两点是波谷和波峰叠加，振幅不同，所以在平衡位置上下
振动，A错误；由于O、M是振动加强点，结合图可知，OM连线的中点到
两波源的距离差为半个波长的偶数倍，所以该点是振动加强的点，B正
确；图示时刻O、M连线的中点处于平衡位置，且两列波单独引起的速度
均向上，所以该质点的合速度向上运动，C正确；从该时刻起，经过四分
之一周期，质点M到达平衡位置，且向下运动，D正确。
链接高考
　（2025·黑吉辽蒙高考5题）平衡位置在同一水平面上的两个振动完全相
同的点波源，在均匀介质中产生两列波。若波峰用实线表示，波谷用虚线
表示，P点位于其最大正位移处，曲线ab上的所有点均为振动减弱点，则
下列图中可能满足以上描述的是（　　）
√
解析： 　由于P点位于其最大正位移处，所以P点位于波峰与波峰的交
点，故B、D错误；由题图可知，两列波分别向左、向上传播，沿左上方将
减弱点连线，则连线上的点均为振动减弱点，A错误，C正确。
链接分析
　（1）教材母题和2025黑吉辽蒙高考5题均以两列波的叠加为情境，考查
波的干涉。
（2）都利用图像判断加强区和减弱区。
〔多选〕（2025·宁夏银川三模）两列简谐横波在x轴上传播，a波沿x
轴正方向传播，b波沿x轴负方向传播，t＝0时刻的波形图如图所示：此时
刻平衡位置在x＝4 m和x＝8 m的质点P、Q刚好开始振动，两列波的波速均
为2 m/s，质点M、N的平衡位置分别为x＝5 m和x＝6 m，下列说法正确的
是（　AC　）
AC
A. 两列波相遇时刻为1.0 s，此时刻质点N向上振动
B. P、Q间（不包括P、Q）有1处振动加强点
C. 两列波频率相同，可以发生干涉
D. 0～2.5 s内质点M运动路程为30 cm
解析：0时刻P、Q两质点刚好开始振动，且振动方向相反，经过时间t两列
波在N点相遇，则有t＝＝1 s，根据波的叠加原理，可知此时刻质点N向
上振动，故A正确；由题可知波长λ＝4 m，xPQ＝4 m，因为PQ间波程差在
－4 m与＋4 m之间，由于两列波振动方向相反，故波在Δx＝±λ处加强，
可知振动加强点有2处，故B错误；两列波波长相同，波速相同，故频率相
同，可以发生干涉，故C正确；周期T＝＝2 s，a波传播到M点时间t1＝
＝0.5 s，b波传播到M点时间t2＝＝1.5 s，可知b波传到M时M已经振动
Δt＝t2－t1＝T，由B选项分析易知M为振动加强点，故0～2.5 s内质点M运
动路程s＝2Aa＋2（Aa＋Ab）＝32 cm，故D错误。
1. 如图所示，P为桥墩，A为靠近桥墩浮在水面的叶片，波源S连续振动，
形成水波，此时叶片A静止不动。为使水波带动叶片振动，可行的方法是
（　　）
A. 提高波源频率
B. 降低波源频率
C. 增大波源距桥墩的距离
D. 减小波源距桥墩的距离
√
解析： 　波能否发生明显的衍射现象，取决于波长与障碍物尺寸的大小
关系。频率减小时，波长增大，波可能发生明显衍射，B正确，A错误；改
变桥墩距波源的距离，波长不会变化，C、D错误。
2. （2026·江苏徐州一模）如图所示为一辆救护车在道路上匀速行驶时，
用软件拟合其产生的声波的图样，图中的圆表示波峰。下列说法正确的是
（　　）
A. 该图表示的是干涉现象
B. 左侧波的频率小于右侧波的频率
C. 前侧波的频率大于后侧波的频率
D. 单位时间内前侧接收的完全波个数与后侧的相同
√
解析： 　题图表示的是多普勒效应，A错误；根据波的图样可知，前
侧形成的波纹比较密，后侧形成的波纹比较稀疏，由多普勒效应可
知，前侧波的频率大于后侧波的频率，左侧波的频率等于右侧波的频
率，救护车向前运动，单位时间内前侧接收的完全波个数比后侧的
多，C正确，B、D错误。
课时跟踪检测
1. （2025·北京高考5题）质点S沿竖直方向做简谐运动，在绳上形成的波
传到质点P时的波形如图所示，则（　　）
A. 该波为纵波
B. 质点S开始振动时向上运动
C. S、P两质点振动步调完全一致
D. 经过一个周期，质点S向右运动一个波长距离
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√
解析： 　由图可知，该波上质点的振动方向与波动传播方向垂直，是横
波，故A错误；根据同侧法可知，质点P开始振动的方向向上，则质点S开
始振动时向上运动，故B正确；由图可知，S、P两质点沿波传播方向上的
距离为λ，则两质点振动步调完全相反，故C错误；质点不能随波迁移，
只能在各自平衡位置附近上下振动，故D错误。
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2. ★〔多选〕（2026·辽宁大连期中）洪泽湖是我国第四大淡水湖，位于江
苏省西部淮河下游，洪泽湖甘泉般的湖水，养育着千百万人民，环洪泽湖
公路项目也是大运河百里画廊建设的重要节点、重中之重。下列与之相关
的波现象中说法正确的是（　　）
A. 用声呐探测湖底某处的深度，利用了波的衍射现象
B. 湖中水波绕过芦苇、石块向前传播，是波的干涉现
象
C. 岸上交通警察用监视器测量汽车的速度可利用多普勒效应
D. 湖中鸣笛的快艇驶近游客的过程中，游客听到的声波频率与该波源的发声频率相比会变大
√
√
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解析： 　声呐探测湖底某处的深度，利用了波的反射现象，故A错
误；湖中水波绕过芦苇、石块向前传播，是波的衍射现象，故B错误；
岸上交通警察对行进中的汽车发射一个已知频率的超声波，波被运动
的汽车反射回来，根据接收到的频率发生的变化，来测量汽车的速
度，以便于进行交通管理，利用了多普勒效应，故C正确；根据多普勒
效应可知，当波源与观察者互相靠近时，接收到的频率会增大，故湖
中鸣笛的快艇驶近游客的过程中，游客听到的声波频率与该波源的发
声频率相比会变大，故D正确。
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3. ★（2025·江苏苏锡二模）如图所示为干涉型消声器的结构图，声波达到
管道A点时，分成两列声波，分别沿半圆管道和直管道传播，在B点相遇，
因干涉而相消。声波的波长为λ，则AB两点距离d可能为（　　）
A. B.
C. D.
√
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解析： 　两列波在B点相遇时因干涉而相消，则这两列声波由A点传播到
B点的路程差满足Δs＝－d＝（2n＋1）（其中n＝0，1，2，…），即d
＝（其中n＝0，1，2，…），当n＝0时，d＝，故选D。
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4. （2026·河南信阳联考）如图甲，蜻蜓在水面点水，激起一圈圈波纹。
将此波视为简谐横波，以点水处为坐标原点O，沿水面建立坐标系Oxy。某
时刻观察到的波形示意图如图乙所示，实线圆、虚线圆分别表示此刻相邻
的波峰和波谷。已知从开始点水到波纹传出去5 m远共用时20 s，则（　　）
A. 该波的波长为0.8 cm
B. 该波的频率为0.064 Hz
C. 图乙所示时刻O点的振动方向竖直向上
D. 图乙所示时刻P点的振动方向竖直向上
√
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解析： 　相邻波峰与波谷间距为，由图乙，＝（1.8－1.0）cm＝0.8
cm，则λ＝1.6 cm，A错误；波速v＝＝0.25 m/s，频率f＝＝15.625 Hz，
B错误；根据“上下坡”法，此时O点振动方向竖直向上，C正确；P点在
波峰与波谷间，根据“上下坡”法，P点振动方向竖直向下，D错误。
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5. （2026·江西南昌联考）一列简谐横波沿直线传播，在波的传播方向上
有A、B两点，t＝0时刻，A、B两点间形成如图甲所示的波形，t＝2 s时
刻，A、B两点间第一次形成如图乙所示的波形，已知A、B两点间的距离a
＝12 m，则该波的波速可能为（　　）
A. 1 m/s B. 2 m/s
C. 4 m/s D. 6 m/s
√
解析： 　若该简谐横波向右传播，由图可知，波在2 s内传播了6 m，波速
为v＝＝ m/s＝3 m/s，若该简谐横波向左传播，由图可知，波在2 s内传播
了2 m，波速为v＝＝ m/s＝1 m/s，故选A。
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6. （2026·安徽江淮联考）一根绳子的两端点沿y轴方向做简谐振动，形成
两列简谐波。某一时刻（记为t＝0）绳子上的波形如图所示。已知绳子上
波的传播速度为2 m/s，则（　　）
A. 两列波的周期都是1 s
B. t＝4 s时，绳子中点M正在向y轴正方向振动
C. 两列波的绳子中点M为振动减弱点
D. 从t＝0到t＝10 s内，绳子中点M运动的路程为1.8 m
√
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解析： 　由波形图可知两列波的波长λ＝4 m，波速v＝2 m/s，则周期T＝
＝2 s，故A错误；将波形平移，t＝4 s时两列波在M点引起的振动都是向y
轴正方向振动，故B正确；由“同侧”法可知，t＝0时刻，x＝4 m处质点的
振动方向向下，x＝10 m处质点的振动方向向上，且二者振动方向相反。M
点到这两个质点的路程差Δx＝2 m＝，所以M点为振动加强点，故C错
误；从图示时刻开始，左侧波形传至M点需要＝1 s，右侧波传至M点需要
T＝2 s，所以当右侧波传至M点时，M点已运动s1＝2A1＝20 cm，右侧波传
至M点后，M点再振动8 s＝4T，s2＝4×4（A1＋A2）＝16×（10＋20）cm
＝480 cm，所以M点运动的路程为s＝s1＋s2＝500 cm＝5 m，故D错误。
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7. （2026·安徽宣城月考）图甲为一列简谐横波在t＝0.10 s时刻的波形
图，质点P此时偏离平衡位置的位移大小为5 cm，Q是平衡位置为x＝4 m处
的质点，图乙为质点Q的振动图像，则质点P第一次回到平衡位置所用的时
间是（　　）
A. s B. s
C. s D. s
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解析： 　由乙图可知，0.1 s时Q处于平衡位置且向下振动，可知波沿x轴
负方向传播，根据图像可得，周期为T＝0.2 s，波长为λ＝8 m，所以波速
为v＝＝40 m/s，根据波的函数表达式y＝Asin＝10sin（cm），可得
质点P的平衡位置坐标为x＝ m，此后质点P第一次回到平衡位置即x＝4 m
处的振动状态传到质点P处，需要时间Δt＝＝ s＝ s，故选A。
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8. 〔多选〕（2026·重庆渝中模拟）如图所示为S1和S2两相干水波的干涉图
样，两列波各自的振幅均为5 cm，波速为1 m/s，波长为0.5 m，B是AC连
线的中点。图中实线表示波峰，虚线表示波谷。则下列说法中正确的是
（　　）
A. 图示时刻A、B两点的竖直高差为5 cm
B. 从图示时刻开始经0.75 s，B点通过的路程为60 cm
C. 再经过0.125 s， C点处于波峰
D. D点一直处于平衡位置
√
√
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解析： 　图中A、B两点都是振动加强点，A在波峰，B在平衡位置，A、
B两点的竖直高差为Δh＝2A＝10 cm，故A错误；波的周期为T＝＝0.5 s，
由于t＝0.75 s＝1T，则B点通过的路程为s＝2A×6＝60 cm，故B正确；图
中C点处于波谷，再经过0.125 s，即t'＝T，C点处于平衡位置，故C错
误；由图可知，D点为波峰和波谷的交点，是振动减弱点，且两列波的振
幅相同，因此D点一直处于平衡位置，故D正确。
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9. （2025·河北廊坊三模）一列沿x轴方向传播的简谐横波t＝0时刻的波形
如图中实线所示，t＝0.01 s时刻的波形如图中虚线所示。已知质点振动的
周期T＞0.01 s。关于这列波，下列说法正确的是（　　）
A. 波的频率可能为7.5 Hz
B. 波的频率可能为50 Hz
C. 波速可能为4 m/s
D. 波速可能为2 m/s
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解析： 　若波沿x轴负方向传播，t＝0时刻处于原点的质点向上振动，则
有Δt＝（n＋）T＝0.01 s（n＝0，1，2…），可得T＝ s（n＝0，1，
2…），由于T＞0.01 s，则n＝0，可得周期为T＝ s，则频率为f＝＝75
Hz，波速为v＝＝6 m/s，若波沿x轴正方向传播，t＝0时刻处于原点的质
点向下振动，则有Δt＝（n＋）T＝0.01 s（n＝0，1，2…），可得T＝
s（n＝0，1，2…），由于T＞0.01 s，则n＝0，可得周期为T＝ s，
则频率为f＝＝25 Hz，波速为v＝＝2 m/s，故D正确。
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10. 〔多选〕（2025·山东高考9题）均匀介质中分别沿x轴负向和正向传播
的甲、乙两列简谐横波，振幅均为2 cm，波速均为1 m/s，M、N为介质中
的质点。t＝0时刻的波形图如图所示，M、N的位移均为1 cm。下列说法正
确的是（　　）
A. 甲波的周期为6 s
B. 乙波的波长为6 m
C. t＝6 s时，M向y轴正方向运动
D. t＝6 s时，N向y轴负方向运动
√
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解析： 　由题图可知，甲波的波长λ甲＝4 m，由v＝可知，甲波的周期
T甲＝4 s，A错误；设t＝0时刻乙波的波形图表达式为y＝Asin，
结合题图有sin＝、sin（ ×6＋φ）＝，且4 m＜λ乙＜8
m，联立解得乙波的波长为λ乙＝6 m，B正确；结合题图由同侧法可知，t＝
0时刻M向y轴正方向运动，则t＝6 s＝T甲时刻M向y轴负方向运动，C错
误；结合B项分析和v＝可知，乙波的周期为T乙＝6 s，由题图可知t＝0时
刻N向y轴负方向运动，所以t＝6 s＝T乙时刻N向y轴负方向运动，D正确。
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11. （2026·江苏无锡联考）如图所示为一列简谐横波在两个不同时刻的波
形，虚线为实线所示的横波在t＝0.5 s后的波形图线。
（1）若质点的振动周期T与t的关系为T＜t＜3T，则在t内波向前传播的距
离x为多少？
答案： 见解析　
解析： ①若波沿x轴正方向传播，根据图像可知，时间t内波的传播距
离为x1＝nλ＋λ（n＝0，1，2，3…），其中λ＝24 cm
波传播的速度v1＝＝
根据题意有T＜t＜3T
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解得n＝1，2
解得x1＝42 cm或x1＝66 cm
②若波沿x轴负方向传播，根据图像可知，时间t内波的传播距离为
x2＝nλ＋λ（n＝0，1，2，3…）
波传播的速度v2＝＝
根据题意有T＜t＜3T
解得n＝1，2
解得x2＝30 cm或x2＝54 cm。
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（2）若波速为v＝1.8 m/s，则波向哪个方向传播？
答案： 波沿x轴正方向传播
解析：若波速为v＝1.8 m/s，根据v＝
解得波传播的距离Δx＝90 cm＝3λ＋λ
结合上述可知，波沿x轴正方向传播。
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12. 〔多选〕（2025·浙江1月选考12题）如图1所示，两波源S1和S2分别位
于x＝0与x＝12 m处，以x＝6 m为边界，两侧为不同的均匀介质。t＝0时两
波源同时开始振动，其振动图像相同，如图2所示。t＝0.1 s时x＝4 m与x＝
6 m两处的质点开始振动。不考虑反射波的影响，则（　　）
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A. t＝0.15 s时两列波开始相遇
B. 在6 m＜x≤12 m间S2波的波长为1.2 m
C. 两列波叠加稳定后，x＝8.4 m处的质点振动减弱
D. 两列波叠加稳定后，在0＜x＜6 m间共有7个加强点
√
√
解析： 　t＝0.1 s时x＝4 m与x＝6 m两处的质点开始振动，则波在x＝6
m左侧介质中的波速为v1＝ m/s＝40 m/s，同理，波在x＝6 m右
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侧介质中的波速为v2＝ m/s＝60 m/s，两列波相遇时，有v1t＋0.1 s×v2＋
v1（t－0.1 s）＝12 m，解得t＝0.125 s，A错误；由题图2可知两波源的周
期均为T＝0.02 s，在6 m＜x≤12 m间S2波的波长为λ2＝v2T＝60×0.02 m＝
1.2 m，B正确；S1波传到x＝8.4 m时所用时间为t'＝s＝0.19 s，
此时S2波在x＝8.4 m处已经振动的时间为Δt＝0.19 s－ s＝0.13 s＝
6T，则t＝0.19 s时S1波在x＝8.4 m处的振动形式为正处在平衡位置向上运
动，S2波在x＝8.4 m处的振动形式为正处在平衡位置向下振动，由波的叠
加原理可知，两列波叠加稳定后x＝8.4 m处的质点为振动减弱点，C正确；
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S2波传到x＝6 m处时所用的时间为0.1 s＝5T，则此时S2波使x＝6 m处的质
点正处在平衡位置向上振动，此时x＝0处的波源S1也正处在平衡位置向上
振动，即x＝0处和x＝6 m处的质点振动方向相同，即两列波振动步调一致，
又两列波在0＜x＜6 m间的波长均为λ1＝v1T＝40×0.02 m＝0.8 m，则对该
区间x处质点，振动加强点处有x－（6 m－x）＝nλ1＝0.8n（m），其中n为
整数，即x＝3 m＋n×0.4 m（n为整数），又0＜x＜6 m，可得n取0、±1、
±2、±3、±4、±5、±6、±7，则在0＜x＜6 m间共有15个振动加强点，
D错误。
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