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实验9　用单摆测量重力加速度
1.（2026·天津和平期末）利用单摆可以测量当地的重力加速度。
（1）为了较精确地进行测量，以下两种单摆组装方式，应选择　　　　（选填“a”或“b”）。
（2）组装好单摆，先用刻度尺测量摆线长度，再用游标卡尺测量小球的直径，其示数如图甲，则小球直径为 　　　　mm；摆球在竖直平面内稳定摆动后，用秒表记录单摆经历多次全振动所用的时间t如图乙所示，则t＝　　　　s。
（3）测量出多组单摆的摆长L和运动周期T，作出T2-L图像，如图丙所示，由此可求出重力加速度g＝　　　　m/s2。（取π2≈10，保留2位有效数字）
（4）该图像不过坐标原点，原因可能是将　　　　（选填“摆线长”或“摆线长加小球直径”）作为摆长，上述操作在使用图像法求解重力加速度时会使测量值　　　　　　（选填“偏大”“偏小”或“无影响”）。
2.（2026·福建泉州期末）某班同学们用单摆测量重力加速度，实验装置如图甲所示。
（1）第一组同学在测量单摆的周期时，从单摆运动到最低点开始计时且计数为1，到第n次经过最低点所用的时间为t。在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得摆球悬挂后的摆线长（从悬点到摆球的最上端），再用螺旋测微器测得摆球的直径为d（读数如图乙所示）。
①从图乙可知，摆球的直径为d＝　　　　mm。
②该小组的一位同学认为单摆周期为T＝， 并由此计算当地的重力加速度，他们的测量结果与实际值相比将　　　　　。 （选填“偏大”“偏小”或“不变”）
（2）第二组同学经测量得到7组摆长L和对应的周期T，画出T2-L图线，如图丙所示。若取π2＝9.87，利用T2-L图线的斜率，求得当地重力加速度大小g＝　　　　 　m/s2。处理完数据后，该组同学发现在计算摆长时用的是摆线长度而未计入小球半径，这样 　　　　（选填“影响”或“不影响”）重力加速度的计算。
3.（2026·安徽合肥联考）某同学利用在半径为R的光滑圆弧球面上做简谐运动的匀质小球来测定当地的重力加速度，实验装置如图1所示，在该实验条件下，小球在圆弧球面上的运动可视为单摆。
（1）该同学首先利用游标卡尺测量小球的直径，示数如图2所示，则小球的直径为d＝　　　　cm。
（2）该同学在圆弧球面下方安装了压力传感器，将小球从A点由静止释放后，压力传感器的示数变化如图3所示，则小球摆动的周期为T＝　　　　。
（3）根据已知的物理量，可得当地重力加速度g的表达式为g＝　　　　（用d、t0、R表示）。
4.（2025·山东烟台三模）某同学课后尝试在家里做用单摆测量重力加速度的实验。由于没有合适的摆球，于是他找到了一块鸡蛋大小、外形不规则的大理石块代替小球进行实验。如图甲所示，实验过程中他先将石块用细线系好，结点为M，将细线的上端固定于O点，然后利用刻度尺测出OM间细线的长度l作为摆长，利用手机的秒表功能测出石块做简谐运动的周期T，在测出几组不同摆长l对应的周期T的数值后，他作出的T2-l图像如图乙所示。
（1）结点M到石块重心的距离为　　　　cm；
（2）由此得出重力加速度的测量值为　　　　m/s2；（取π＝3.14，计算结果保留3位有效数字）
（3）实验中，该同学将l作为摆长，这对重力加速度测量结果的影响是：测量值　　　　（选填“大于”“等于”或“小于”）真实值。
5.（2026·甘肃民乐联考）一学生小组用图甲所示的装置做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。
（1）组装好装置，用毫米刻度尺测量摆线长度L，用螺旋测微器测量小钢球直径，示数如图乙所示，小钢球直径d＝　　　　mm，记摆长l＝L＋。
（2）拉开小钢球，使摆线偏离平衡位置的角度不大于5°，释放小钢球，当其振动稳定时，应在　　　（选填“最高点”或“最低点”）开始计时并计数，记下多次全振动的时间，计算出周期T。
（3）多次改变摆线长度，在小摆角下测得不同摆长l对应的小钢球摆动周期T，并作出l-T2图像，图像为过原点的直线，其斜率为k，如图丙中实线所示，则重力加速度g＝　　　　。（用k表示）
（4）若将摆线长度误认为摆长，仍用上述图像法处理数据，作出的图像可能为图丙中的虚线　　　（选填“1”“2”或“3”）。
6.★（2026·陕西咸阳模拟）如图1所示为利用“双线摆”和手机软件测量当地重力加速度的实验装置。直尺两端固定在铁架台上，借助手机水平仪调节直尺水平。用不可伸长的细线穿过小球，使小球两侧的细线等长，且细线两端分别固定在直尺上，具体实验步骤如下：
（1）用游标卡尺测量小球直径为d，小球静止时用直尺测量小球上端到细线两端点的距离均为l，直尺上细线两端点距离为s，则小球前后做单摆运动时的等效摆长L＝　　　　　（用d、l、s表示）。
（2）将准备好的铷磁铁与单摆小球来回摩擦充分接触，让小球被磁化具有磁性。打开手机软件，点击进入磁力计工具。
（3）将手机放在小球平衡位置正下方，让双线摆在摆角小于5°条件下前后做往复运动，小球经过最低点时，手机软件开始计时。点击“数据选取”功能，记录多个周期下两个峰值的时间间隔如图2所示，则单摆周期为　　　　s（保留3位有效数字）。
（4）改变摆长，测量多组数据，在电脑利用软件建立T2-L关系图像，得到如图3的函数图像，则当地重力加速度大小为　　　　m/s2（π2取9.87，结果保留3位有效数字）。
实验9　用单摆测量重力加速度
1.（1）b　（2）9.3　100.0　（3）10　（4）摆线长　无影响
解析：（1）根据单摆模型可知，单摆的悬点要固定，故选b。
（2）小球直径为d＝9 mm＋3×0.1 mm＝9.3 mm，单摆经历多次全振动所用的时间t＝60 s＋40.0 s＝100.0 s。
（3）根据单摆周期公式T＝2π，整理得T2＝L，则斜率为k＝＝＝4，解得g＝10 m/s2。
（4）根据上述分析可知，理论上图像应该为过原点倾斜的直线，题中图像相对理论图像而言，在相同周期下，所测摆长比实际值偏小，则原因可能是将摆线长作为摆长，根据T＝2π，整理得T2＝L＋，由于斜率不变，所以使用图像法求解重力加速度时对测量值无影响。
2.（1）5.980（5.979～5.981）　偏大　（2）9.87　不影响
解析：（1）由图乙可知摆球的直径为
d＝5.5 mm＋48.0×0.01 mm＝5.980 mm
在一个周期内摆球有两次经过最低点，所以单摆的实际周期为T'＝＝，而该小组的一位同学认为单摆周期为T＝，比实际周期更小；根据单摆的周期公式T＝2π，解得g＝L，可知得到的重力加速度的测量值偏大。
（2）根据单摆的周期公式T＝2π，可得T2＝L，则T2-L图线的斜率为k＝＝ s2/m，解得g＝9.87 m/s2。
如果在测量摆长时，忘记加摆球的半径r，由于图像的斜率并没有受到影响，则不会影响重力加速度的计算。
3.（1）1.150　（2）2t0　（3）
解析：（1）由游标卡尺的读数规则可知，小球的直径
d＝11 mm＋0.05×10 mm＝11.50 mm＝1.150 cm。
（2）由题图3可知t0为小球从圆弧球面最左端运动到最右端的时间，故小球的运动周期为T＝2t0。
（3）小球的运动可视为单摆运动，该等效单摆的摆长为l＝R－，由单摆周期公式T＝2π，可知，当地重力加速度的表达式为g＝。
4.（1）1.0　（2）9.86　（3）等于
解析：（1）设结点M到石块重心的距离为d，由单摆周期公式T＝2π可得T2＝l＋d
由图乙可知当T2＝0时，可得d＝－l＝1.0 cm。
（2）由图乙可得图像斜率k＝＝×102 s2/m，解得g＝≈9.86 m/s2。
（3）由单摆周期公式T＝2π可得T2＝l＋d，图像的斜率k＝，可得重力加速度g＝，重力加速度和摆长无关，因此该同学将l作为摆长，这对重力加速度测量结果无影响，最终得到的测量值等于真实值。
5.（1）20.025（20.024或20.026）　（2）最低点　（3）4π2k　（4）3
解析：（1）根据螺旋测微器的读数规律，小钢球直径
d＝20 mm＋2.5×0.01 mm＝20.025 mm。
（2）为了减小误差，当小钢球振动稳定后，应在平衡位置开始计时并计数，即在最低点开始计时并计数。
（3）根据单摆周期公式有T＝2π，整理可得l＝T2，图线的斜率k＝，解得g＝4π2k。
（4）若将摆线长度L误认为摆长l，则有T＝2π，整理可得L＝－，可知，斜率不变，纵轴截距为负值，可能为图丙中的虚线3。
6.（1）＋　（3）2.33　（4）9.73
解析：（1）由几何关系可得小球做单摆运动时的等效摆长为L＝＋＝＋。
（3）由图2可知磁性小球经过最低点测得的磁感应强度B最大，小球两次经最低点的时间间隔是半个周期，所以则单摆周期为T＝ s≈2.33 s。
（4）根据单摆周期公式T＝2π，可得T2＝L，由图3的函数图像可知＝4.055 5，解得g≈9.73 m/s2。
1 / 1实验9　用单摆测量重力加速度
实验基础必备
装置原理 操作要领
测量摆长l和周期T，由T＝2π得g＝ （1）做单摆：将细线穿过带中心孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后把线的另一端用铁夹固定在铁架台上，让摆球自然下垂。 （2）测摆长：用米尺量出摆线长l'（精确到毫米），用游标卡尺测出小球直径D，则单摆的摆长l＝　　　　。 （3）测周期：将单摆从平衡位置拉开一个角度（小于5°），然后释放小球，记下单摆摆动30～50次的总时间，算出一次　　　　的时间，即为单摆的振动周期
数据处理 （1）公式法：g＝　　　　，算出重力加速度g的值，再求出g的平均值。 （2）图像法：根据测出的一系列摆长l对应的周期T，作l-T2的图像，由单摆周期公式得l＝T2，图像应是一条通过原点倾斜的直线，如图所示，求出图线的斜率k，即可利用g＝　　　　求重力加速度
注意事项 误差分析
1.摆线要选1 cm左右、柔软不易伸长的丝线，不要过长或过短。 2.悬线长要待悬挂好球后再测，计算摆长时要将悬线长加上摆球半径。 3.单摆要在竖直平面内摆动，不要形成圆锥摆。 4.要从平衡位置开始计时，并数准全振动的次数 系统误差：悬点是否固定、小球与细线是否符合要求、是单摆运动还是圆锥摆运动等。 偶然误差：（1）振动时间t（单摆周期T＝）的测量：是否从摆球通过平衡位置开始计时、多记或漏记全振动的次数、停表的读数等。 （2）长度的测量：测量摆线长、摆球的直径读数时的误差等
教材原型实验
（2025·海南高考14题）小组用如图所示单摆测量当地重力加速度
（1）用游标卡尺测得小球直径d＝20 mm，刻度尺测得摆线长l＝79 cm，则单摆摆长L＝　　　cm（保留四位有效数字）；
（2）拉动小球，使摆线伸直且与竖直方向的夹角为θ（θ＜5°），无初速度的释放小球，小球经过　　　　（选填“最高”或“最低”）点时，开始计时，记录小球做了30次全振动用时t＝54.00 s，则单摆周期T＝　　　　s，由此可得当地重力加速度g＝　　　　m/s2（π2≈10）。
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（2025·天津北辰三模）实验小组的同学在实验室做“用单摆测量重力加速度”的实验。
（1）下列操作正确的是　　　　（填选项前字母）；
A.选用弹性较好的细线
B.应该先悬挂摆球后再测量摆线的长度
C.尽可能让小球摆动的幅度大一些
D.通过测量多个全振动的时间计算周期
（2）经测量得到5组不同的摆长L和对应的周期T，画出L-T2图线，然后在图线上选取A、B两个点，坐标如图所示。则当地重力加速度的表达式g＝　　　　　　　，图中图像不过原点的原因是以下：　　　　（填选项前字母）。
A.计算摆长时用的是摆线长度而未计入小球半径
B.计算摆长时用的是摆线长度加上小球直径
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
创新拓展实验
创新角度 创新示例 创新分析
时间测量的创新 　 见[典例4] （1）利用力传感器，获得力与时间的关系图像。 （2）利用光电门，得到单摆运动的周期
实验原理的创新 　 见[典例3] （1）求出双线摆的等效摆长。 （2）求出“杆线摆”的等效重力加速度和周期
　　
（2026·黑龙江哈尔滨模拟）某同学利用双线摆测量当地的重力加速度，实验装置如图甲所示。
（1）把两根不可伸长的轻绳系在质量分布均匀的金属小球的最上端，已知每根绳长为d，两悬点间相距2s，小球半径为r，则双线摆的等效摆长L的表达式为　　　　　　；测出双线摆做简谐运动的周期T与等效摆长L，绘制T2-L的图像，如图乙所示，π取3.14，根据图像可求得当地重力加速度g＝　　　m/s2（结果保留3位有效数字）；
（2）如图丙所示，把双线摆的其中一根悬线换成一根很轻的硬杆，组成一个“杆线摆”。细线与轻杆的夹角为α，杆线摆可以绕着悬挂轴OO'来回摆动，小球的运动轨迹被约束在一个与水平面夹角为θ的倾斜平面内，这相当于单摆在斜面上来回摆动。若杆线摆等效摆长为L0，重力加速度为g，不计一切摩擦，摆角小于5°时，杆线摆周期T0的表达式为　　　　　　。（用第（2）问中的字母表示）
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（2025·浙江6月选考14题）在用单摆测重力加速度的实验中。
（1）如图1所示，可在单摆悬点处安装力传感器，也可在摆球的平衡位置处安装光电门。甲同学利用力传感器，获得传感器读取的力与时间的关系图像，如图2所示，则单摆的周期为　　　　s（结果保留3位有效数字）。乙同学利用光电门，从小钢球第1次遮光开始计时，记下第n次遮光的时刻t，则单摆的周期为T＝　　　　　　；
（2）丙同学发现小钢球已变形，为减小测量误差，他改变摆线长度l，测出对应的周期T，作出相应的l-T2关系图线，如图3所示。由此算出图线的斜率k和截距b，则重力加速度g＝　　　　　　，小钢球重心到摆线下端的高度差h＝　　　　　　；（结果均用k、b表示）
（3）丁同学用3D打印技术制作了一个圆心角等于5°、半径已知的圆弧槽，如图4所示。他让小钢球在槽中运动，测出其运动周期，算出重力加速度为8.64 m/s2。若周期测量无误，则获得的重力加速度明显偏离实际值的最主要原因是　　　　　　　。
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
实验9　用单摆测量重力加速度
实验基础必备
l'＋　全振动　　4π2k
教材原型实验
【典例1】　（1）80.00　（2）最低　1.8　9.88
解析：（1）单摆的摆长为L＝l＋＝80.00 cm。
（2）为减小实验计时误差，需小球经过最低点时开始计时；单摆周期T＝＝ s＝1.8 s；根据单摆周期公式T＝2π可得g＝，代入数值得g＝9.88 m/s2。
【典例2】　（1）BD　（2）　A
解析：（1）为了确保摆长一定，实验中应选用弹性差的细线，故A错误；为了精确测定摆长，减小误差，实验中应该先悬挂摆球后再测量摆线的长度，故B正确；在摆角小于5°范围内单摆的运动才能够近似看为简谐运动，可知，实验中应尽可能让小球摆动的幅度小一些，故C错误；为了减小测量误差，实验中，应通过测量多个全振动的时间计算周期，故D正确。
（2）摆长等于摆线长与摆球半径之和，则有T＝2π，变形得L＝T2－，结合图像有＝，解得g＝；根据图像，图像与纵轴的截距为负值，结合上述可知，图中图像不过原点的原因是计算摆长时用的是摆线长度而未计入小球半径。故选A。
创新拓展实验
【典例3】　（1）＋r　9.86　（2）2π
解析：（1）单摆的等效摆长应为小球的球心到悬挂的水平杆之间的距离，即L＝r＋，根据单摆周期公式T＝2π，可知T2＝L，可通过图像中的斜率求解当地的重力加速度，即g＝，代入数据可得g＝9.86 m/s2。
（2）根据单摆的周期公式T＝2π，“杆线摆”的摆长为轻杆长度L0，小球在斜面上做单摆运动时的等效重力加速度为gsin θ，故“杆线摆”的周期为T＝2π。
【典例4】　（1）1.31　　（2）4π2k　kb　（3）见解析
解析：（1）单摆摆动过程中，在最低点绳子的拉力最大，相邻两次拉力最大的时间间隔为半个周期。从图2可知，从起始值到终止值经历的时间间隔Δt＝7.653 0 s－1.127 7 s＝6.525 3 s
则有Δt＝10·，解得T＝1.31 s；由题可得（n－1）＝t，解得周期为T＝。
（2）设小钢球重心到摆线下端的高度差为h，则摆长为L＝h＋l，根据单摆周期公式有T＝2π，可得T＝2π，变形得l＝T2－h，可得l-T2图像的斜率为k＝
解得g＝4π2k；当T2＝b时l＝0，则有0＝×b－h，解得小钢球重心到摆线下端的高度差h＝kb
（3）存在空气阻力，且小球不是纯平动而有滚动，导致实际测出的周期大于理想情况下的周期，导致g的测量值小于真实值。
1 / 1(共50张PPT)
实验9　用单摆测量重力加速度
目 录
CONTENTS
实验基础必备
教材原型实验
创新拓展实验
课时跟踪检测
实验基础必备
装置原理 操作要领
测量摆长l和周期
T，由T＝2π得g
＝ （1）做单摆：将细线穿过带中心孔的小钢球，并打一
个比小孔大一些的结，然后把线的另一端用铁夹固定
在铁架台上，让摆球自然下垂。
（2）测摆长：用米尺量出摆线长l'（精确到毫米），
用游标卡尺测出小球直径D，则单摆的摆长l＝
。
（3）测周期：将单摆从平衡位置拉开一个角度（小于
5°），然后释放小球，记下单摆摆动30～50次的总时
间，算出一次 的时间，即为单摆的振动周
期
l'＋
　
全振动　
装置原理 操作要领
数据处理 （1）公式法：g＝ ，算出重力加速度g的值，再
求出g的平均值。
（2）图像法：根据测出的一系列摆长l对应的周期T，作
l-T2的图像，由单摆周期公式得l＝T2，图像应是一条
通过原点倾斜的直线，如图所示，求出图线的斜率k，即
可利用g＝ 求重力加速度
　
4π2k　
注意事项 误差分析
1.摆线要选1 cm左右、柔软不易
伸长的丝线，不要过长或过
短。 2.悬线长要待悬挂好球后再
测，计算摆长时要将悬线长加
上摆球半径。 3.单摆要在竖直平面内摆动，
不要形成圆锥摆。 4.要从平衡位置开始计时，并
数准全振动的次数 系统误差：悬点是否固定、小球与细线
是否符合要求、是单摆运动还是圆锥摆
运动等。
偶然误差：（1）振动时间t（单摆周期T
＝）的测量：是否从摆球通过平衡位
置开始计时、多记或漏记全振动的次
数、停表的读数等。
（2）长度的测量：测量摆线长、摆球
的直径读数时的误差等
教材原型实验
（2025·海南高考14题）小组用如图所示单摆测量当地重力加速度
（1）用游标卡尺测得小球直径d＝20 mm，刻度尺测得摆线长l＝79 cm，
则单摆摆长L＝ cm（保留四位有效数字）；
解析： 单摆的摆长为L＝l＋＝80.00 cm。
80.00　
（2）拉动小球，使摆线伸直且与竖直方向的夹角为θ（θ＜5°），无初速
度的释放小球，小球经过 （选填“最高”或“最低”）点时，开
始计时，记录小球做了30次全振动用时t＝54.00 s，则单摆周期T
＝ s，由此可得当地重力加速度g＝ m/s2（π2≈10）。
解析：为减小实验计时误差，需小球经过最低点时开始计时；单摆周期T
＝＝ s＝1.8 s；根据单摆周期公式T＝2π可得g＝，代入数值得g
＝9.88 m/s2。
最低　
1.8　
9.88　
（2025·天津北辰三模）实验小组的同学在实验室做“用单摆测量重
力加速度”的实验。
（1）下列操作正确的是 （填选项前字母）；
A. 选用弹性较好的细线
B. 应该先悬挂摆球后再测量摆线的长度
C. 尽可能让小球摆动的幅度大一些
D. 通过测量多个全振动的时间计算周期
BD　
解析： 为了确保摆长一定，实验中应选用弹性差的细线，故A错误；为了
精确测定摆长，减小误差，实验中应该先悬挂摆球后再测量摆线的长度，
故B正确；在摆角小于5°范围内单摆的运动才能够近似看为简谐运动，可
知，实验中应尽可能让小球摆动的幅度小一些，故C错误；为了减小测量
误差，实验中，应通过测量多个全振动的时间计算周期，故D正确。
（2）经测量得到5组不同的摆长L和对应的周期T，画出L-T2图线，然后在
图线上选取A、B两个点，坐标如图所示。则当地重力加速度的表达式g
＝ ，图中图像不过原点的原因是以下： （填选项前
字母）。
A. 计算摆长时用的是摆线长度而未计入小球半径
B. 计算摆长时用的是摆线长度加上小球直径
　
A　
解析：摆长等于摆线长与摆球半径之和，则有T＝2π，变形得L＝
T2－，结合图像有＝，解得g＝；根据图像，图
像与纵轴的截距为负值，结合上述可知，图中图像不过原点的原因是计算
摆长时用的是摆线长度而未计入小球半径。故选A。
创新拓展实验
创新角度 创新示例 创新分析
时间测
量的创
新 　 见[典例4] （1）利用力传感器，
获得力与时间的关系
图像。
（2）利用光电门，得
到单摆运动的周期
创新角度 创新示例 创新分析
实验原理的创新 　 见[典例3] （1）求出双线摆的等
效摆长。
（2）求出“杆线摆”
的等效重力加速度和
周期
（2026·黑龙江哈尔滨模拟）某同学利用双线摆测量当地的重力加速
度，实验装置如图甲所示。
（1）把两根不可伸长的轻绳系在质量分布均匀的金属小球的最上端，已
知每根绳长为d，两悬点间相距2s，小球半径为r，则双线摆的等效摆长L的
表达式为 ；测出双线摆做简谐运动的周期T与等效摆长L，
绘制T2-L的图像，如图乙所示，π取3.14，根据图像可求得当地重力加速度
g＝ m/s2（结果保留3位有效数字）；
＋r　
9.86　
解析： 单摆的等效摆长应为小球的球心到悬挂的水平杆之间的距离，即L
＝r＋，根据单摆周期公式T＝2π，可知T2＝L，可通过图像
中的斜率求解当地的重力加速度，即g＝，代入数据可得g＝9.86 m/s2。
（2）如图丙所示，把双线摆的其中一根悬线换成一根很轻的硬杆，组成
一个“杆线摆”。细线与轻杆的夹角为α，杆线摆可以绕着悬挂轴OO'来回
摆动，小球的运动轨迹被约束在一个与水平面夹角为θ的倾斜平面内，这
相当于单摆在斜面上来回摆动。若杆线摆等效摆长为L0，重力加速度为g，
不计一切摩擦，摆角小于5°时，杆线摆周期T0的表达式为 。
（用第（2）问中的字母表示）
解析：根据单摆的周期公式T＝2π，“杆线摆”的摆长为轻杆长度L0，
小球在斜面上做单摆运动时的等效重力加速度为gsin θ，故“杆线摆”的周
期为T＝2π。
2π　
（2025·浙江6月选考14题）在用单摆测重力加速度的实验中。
（1）如图1所示，可在单摆悬点处安装力传感器，也可在摆球的平衡位置
处安装光电门。甲同学利用力传感器，获得传感器读取的力与时间的关系
图像，如图2所示，则单摆的周期为 s（结果保留3位有效数字）。
乙同学利用光电门，从小钢球第1次遮光开始计时，记下第n次遮光的时刻
t，则单摆的周期为T＝ ；
1.31　
　
解析： 单摆摆动过程中，在最低点绳子的拉力最大，相邻两次拉力最大
的时间间隔为半个周期。从图2可知，从起始值到终止值经历的时间间隔Δt
＝7.653 0 s－1.127 7 s＝6.525 3 s
则有Δt＝10·，解得T＝1.31 s；由题可得（n－1）＝t，解得周期为T＝
。
（2）丙同学发现小钢球已变形，为减小测量误差，他改变摆线长度l，测
出对应的周期T，作出相应的l-T2关系图线，如图3所示。由此算出图线的
斜率k和截距b，则重力加速度g＝ ，小钢球重心到摆线下端的高度
差h＝ ；（结果均用k、b表示）
解析：设小钢球重心到摆线下端的高度差为h，则摆长为L＝h＋l，根据单
摆周期公式有T＝2π，可得T＝2π，变形得l＝T2－h，可得l-T2图
像的斜率为k＝
4π2k　
kb　
解得g＝4π2k；当T2＝b时l＝0，则有0＝×b－h，解得小钢球重心到摆线
下端的高度差h＝kb。
（3）丁同学用3D打印技术制作了一个圆心角等于5°、半径已知的圆弧
槽，如图4所示。他让小钢球在槽中运动，测出其运动周期，算出重力加
速度为8.64 m/s2。若周期测量无误，则获得的重力加速度明显偏离实际值
的最主要原因是 　　。
答案： 见解析
解析：存在空气阻力，且小球不是
纯平动而有滚动，导致实际测出的
周期大于理想情况下的周期，导致g的测量值小于真实值。
课时跟踪检测
1. （2026·天津和平期末）利用单摆可以测量当地的重力加速度。
（1）为了较精确地进行测量，以下两种单摆组装方式，应选择 （选
填“a”或“b”）。
解析： 根据单摆模型可知，单摆的悬点要固定，故选b。
b　
1
2
3
4
5
6
（2）组装好单摆，先用刻度尺测量摆线长度，再用游标卡尺测量小球的
直径，其示数如图甲，则小球直径为 mm；摆球在竖直平面内稳定
摆动后，用秒表记录单摆经历多次全振动所用的时间t如图乙所示，则t
＝ s。
解析： 小球直径为d＝9 mm＋3×0.1 mm＝9.3 mm，单摆经历多次全
振动所用的时间t＝60 s＋40.0 s＝100.0 s。
9.3 　
100.0　
1
2
3
4
5
6
（3）测量出多组单摆的摆长L和运动周期T，作出T2-L图像，如图丙所示，
由此可求出重力加速度g＝ m/s2。（取π2≈10，保留2位有效数字）
10　
解析： 根据单摆周期公式T＝2π，整理得T2＝L，则斜率为k＝
＝＝4，解得g＝10 m/s2。
1
2
3
4
5
6
（4）该图像不过坐标原点，原因可能是将 （选填“摆线长”
或“摆线长加小球直径”）作为摆长，上述操作在使用图像法求解重力加
速度时会使测量值 （选填“偏大”“偏小”或“无影响”）。
解析： 根据上述分析可知，理论如图像应该为过原点倾斜的直
线，题中图像相对理论图像而言，在相同周期下，所测摆长比实际值
偏小，则原因可能是将摆线长作为摆长，根据T＝2π，整理得T2
＝L＋，由于斜率不变，所以使用图像法求解重力加速度时对测
量值无影响。
摆线长　
无影响　
1
2
3
4
5
6
2. （2026·福建泉州期末）某班同学们用单摆测量重力加速度，实验装置
如图甲所示。
（1）第一组同学在测量单摆的周期时，从单摆运动到最低点开始计时且
计数为1，到第n次经过最低点所用的时间为t。在测量单摆的摆长时，先用
毫米刻度尺测得摆球悬挂后的摆线长（从悬点到摆球的最上端），再用螺
旋测微器测得摆球的直径为d（读数如图乙所示）。
1
2
3
4
5
6
①从图乙可知，摆球的直径为d＝ mm。
②该小组的一位同学认为单摆周期为T＝， 并由此计算当地的重力加速
度，他们的测量结果与实际值相比将 。 （选填“偏大”“偏小”
或“不变”）
5.980（5.979～5.981）　
偏大　
1
2
3
4
5
6
解析： 由图乙可知摆球的直径为d＝5.5 mm＋48.0×0.01 mm＝
5.980 mm
在一个周期内摆球有两次经过最低点，所以单摆的实际周期为T'＝＝
，而该小组的一位同学认为单摆周期为T＝，比实际周期更小；根据
单摆的周期公式T＝2π，解得g＝L，可知得到的重力加速度的测量值
偏大。
1
2
3
4
5
6
（2）第二组同学经测量得到7组摆长L和对应的周期T，画出T2-L图线，如
图丙所示。若取π2＝9.87，利用T2-L图线的斜率，求得当地重力加速度大
小g＝ m/s2。处理完数据后，该组同学发现在计算摆长时用的是摆
线长度而未计入小球半径，这样 （选填“影响”或“不影
响”）重力加速度的计算。
9.87　
不影响 　
1
2
3
4
5
6
解析： 根据单摆的周期公式T＝2π，可得T2＝L，则T2-L图线的
斜率为k＝＝ s2/m，解得g＝9.87 m/s2。
如果在测量摆长时，忘记加摆球的半径r，由于图像的斜率并没有受到影
响，则不会影响重力加速度的计算。
1
2
3
4
5
6
3. （2026·安徽合肥联考）某同学利用在半径为R的光滑圆弧球面上做简谐运动的匀质小球来测定当地的重力加速度，实验装置如图1所示，在该实验条件下，小球在圆弧球面上的运动可视为单摆。
（1）该同学首先利用游标卡尺测量小球的直径，示数如图2所示，则小球
的直径为d＝ cm。
1.150　
解析： 由游标卡尺的读数规则可知，小球的直径d＝11 mm＋0.05×10 mm＝11.50 mm＝1.150 cm。
1
2
3
4
5
6
（2）该同学在圆弧球面下方安装了压力传感器，将小球从A点由静止释放
后，压力传感器的示数变化如图3所示，则小球摆动的周期为T＝ 。
解析： 由题图3可知t0为小球从圆弧球面最左端运动到最右端的时
间，故小球的运动周期为T＝2t0。
2t0　
1
2
3
4
5
6
（3）根据已知的物理量，可得当地重力加速度g的表达式为g
＝ （用d、t0、R表示）。
解析： 小球的运动可视为单摆运动，该等效单摆的摆长为l＝R－，
由单摆周期公式T＝2π，可知，当地重力加速度的表达式为g＝
。
　
1
2
3
4
5
6
4. （2025·山东烟台三模）某同学课后尝试在家里做用单摆测量重力加速
度的实验。由于没有合适的摆球，于是他找到了一块鸡蛋大小、外形不规
则的大理石块代替小球进行实验。如图甲所示，实验过程中他先将石块用
细线系好，结点为M，将细线的上端固定于O点，然后利用刻度尺测出OM
间细线的长度l作为摆长，利用手机的秒表功能测出石块做简谐运动的周期
T，在测出几组不同摆长l对应的周期T的数值后，他作出的T2-l图像如图乙
所示。
1
2
3
4
5
6
（1）结点M到石块重心的距离为 cm；
解析： 设结点M到石块重心的距离为d，由单摆周期公式T＝2π
可得T2＝l＋d
由图乙可知当T2＝0时，可得d＝－l＝1.0 cm。
1.0　
1
2
3
4
5
6
（2）由此得出重力加速度的测量值为 m/s2；（取π＝3.14，计算
结果保留3位有效数字）
解析： 由图乙可得图像斜率k＝＝×102 s2/m，解得g
＝≈9.86 m/s2。
9.86　
1
2
3
4
5
6
（3）实验中，该同学将l作为摆长，这对重力加速度测量结果的影响是：
测量值 （选填“大于”“等于”或“小于”）真实值。
解析： 由单摆周期公式T＝2π可得T2＝l＋d，图像的
斜率k＝，可得重力加速度g＝，重力加速度和摆长无关，因此该
同学将l作为摆长，这对重力加速度测量结果无影响，最终得到的测量
值等于真实值。
等于　
1
2
3
4
5
6
5. （2026·甘肃民乐联考）一学生小组用图甲所示的装置做“用单摆测量
重力加速度的大小”实验。
（1）组装好装置，用毫米刻度尺测量摆线长度L，用螺旋测微器测量小钢
球直径，示数如图乙所示，小钢球直径d＝
mm，记摆长l＝L＋。
20.025（20.024或
20.026）　
1
2
3
4
5
6
解析： 根据螺旋测微器的读数规律，小钢球直径d＝20 mm＋
2.5×0.01 mm＝20.025 mm。
1
2
3
4
5
6
（2）拉开小钢球，使摆线偏离平衡位置的角度不大于5°，释放小钢球，
当其振动稳定时，应在 （选填“最高点”或“最低点”）开始
计时并计数，记下多次全振动的时间，计算出周期T。
解析： 为了减小误差，当小钢球振动稳定后，应在平衡位置开始计
时并计数，即在最低点开始计时并计数。
最低点　
1
2
3
4
5
6
（3）多次改变摆线长度，在小摆角下测得不同摆长l对应的小钢球摆动周
期T，并作出l-T2图像，图像为过原点的直线，其斜率为k，如图丙中实线
所示，则重力加速度g＝ 。（用k表示）
解析： 根据单摆周期公式有T＝2π，整理可得l＝T2，图线的斜
率k＝，解得g＝4π2k。
4π2k　
1
2
3
4
5
6
（4）若将摆线长度误认为摆长，仍用上述图像法处理数据，作出的图像
可能为图丙中的虚线 （选填“1”“2”或“3”）。
解析： 若将摆线长度L误认为摆长l，则有T＝2π，整理可得L＝
－，可知，斜率不变，纵轴截距为负值，可能为图丙中的虚线3。
3　
1
2
3
4
5
6
6. ★（2026·陕西咸阳模拟）如图1所示为利用“双线摆”和手机软件测量
当地重力加速度的实验装置。直尺两端固定在铁架台上，借助手机水平仪
调节直尺水平。用不可伸长的细线穿过小球，使小球两侧的细线等长，且
细线两端分别固定在直尺上，具体实验步骤如下：
1
2
3
4
5
6
（1）用游标卡尺测量小球直径为d，小球静止时用直尺测量小球上端到细
线两端点的距离均为l，直尺上细线两端点距离为s，则小球前后做单摆运
动时的等效摆长L＝ （用d、l、s表示）。
＋　
解析： 由几何关系可得小球做单摆运动时的等效摆长为L＝
＋＝＋。
1
2
3
4
5
6
（2）将准备好的铷磁铁与单摆小球来回摩擦充分接触，让小球被磁化具
有磁性。打开手机软件，点击进入磁力计工具。
（3）将手机放在小球平衡位置正下方，让双线摆在摆角小于5°条件下前
后做往复运动，小球经过最低点时，手机软件开始计时。点击“数据选
取”功能，记录多个周期下两个峰值的时间间隔如图2所示，则单摆周期
为 s（保留3位有效数字）。
2.33　
解析：由图2可知磁性小球经过最低点测得的磁感应强度B最大，小球两次
经最低点的时间间隔是半个周期，所以则单摆周期为T＝ s≈2.33 s。
1
2
3
4
5
6
（4）改变摆长，测量多组数据，在电脑利用软件建立T2-L关系图像，得到
如图3的函数图像，则当地重力加速度大小为 m/s2（π2取9.87，结
果保留3位有效数字）。
解析：根据单摆周期公式T＝2π，可得T2＝L，
由图3的函数图像可知＝4.055 5，解得g≈9.73
m/s2。
9.73　
1
2
3
4
5
6
THANKS
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