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第3课时　定点、定值、探索性问题
1.[2025·海口模拟] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为x+y=0,点P(2,1)是C上一点,过点P作斜率分别为k1,k2的两条直线l1,l2,且直线l1与C交于另一点A,直线l2与C交于另一点B.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)若k1+k2=1,证明:直线AB与y轴的交点为定点,并求出定点坐标.
2.[2025·山西忻州模拟] 已知抛物线C:x2=16y的准线为l,以(1,2)为圆心,面积为10π的圆与y轴的负半轴交于点Q,动点P到直线l的距离为2|PQ|.
(1)求动点P的轨迹Γ的方程.
(2)若直线l与y轴的交点为M,是否存在过点M且斜率存在的直线n交Γ于A,B两点,使|MA|·|MB|=3|AB| 若存在,求出直线n的方程;若不存在,请说明理由.
3.已知抛物线C:y2=-2px(p>0)的焦点为F,点M(x0,2)在C上,且|MF|=2|OF|,其中O为坐标原点,过点A(0,1)的直线l与C相交.
(1)求C的方程;
(2)若l与C仅有一个公共点且斜率存在,求l的斜率;
(3)若l与C交于M,N两点,记直线OM与直线ON的斜率分别为k1,k2,证明k1+k2为定值,并求出该定值.
4.已知点F1,F2分别为双曲线Γ:-y2=1的左、右焦点,直线l:y=kx+1与双曲线Γ:-y2=1有两个不同的交点A,B.
(1)当l经过点F1时,求F2到直线l的距离.
(2)若O为原点,直线l与Γ的两条渐近线在第一、二象限的交点分别为C,D,当△COD的面积最小时,求直线l的方程.
(3)设P为x轴上一点,是否存在实数k(k>0),使得△PAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形 若存在,求出k的值以及点P的坐标;若不存在,说明理由.
第3课时　定点、定值、探索性问题/
1.解:(1)由题知且a>0,b>0,解得所以双曲线C的标准方程为-y2=1.
(2)当直线AB的斜率不存在时,点A,B关于x轴对称,
设A(x0,y0),则B(x0,-y0),
由k1+k2=1,得+=1,
即=1,解得x0=0,不符合题意,所以直线AB的斜率存在.
设直线AB:y=kx+t,
由消去y,化简得(2k2-1)x2+4ktx+2t2+2=0,则2k2-1≠0,且△=2(t2+1-2k2)>0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=,x1+x2=-,
则k1+k2=+=
+=1,整理得(2k-1)x1x2+(t-2k+1)(x1+x2)-4t=0,所以(2k-1)·+(t-2k+1)·-4t=0,
整理得t2+(2k-2)t+1-2k=0,
即(t-1)(t+2k-1)=0,所以t=1或t=1-2k.当t=1时,直线AB的方程为y=kx+1,经过y轴上的定点(0,1);当t=1-2k时,直线AB的方程为y=k(x-2)+1,经过定点P(2,1),不符合题意.
综上,直线AB与y轴的交点为定点,且定点坐标为(0,1).
2.解:(1)以(1,2)为圆心,面积为10π的圆的方程为(x-1)2+(y-2)2=10,
令x=0,得y=-1或y=5,因为点Q在y轴的负半轴上,所以Q(0,-1).
易得抛物线C:x2=16y的准线l的方程为y=-4.设P(x,y),则|y+4|=2,整理得+=1,故动点P的轨迹Γ的方程为+=1.
(2)依题意可知M(0,-4),设直线n的方程为y=kx-4,A(x1,y1),B(x2,y2).由
整理得(3k2+4)x2-24kx+36=0,Δ=144(k2-4)>0,
则x1+x2=,x1x2=,
于是|AB|=|x1-x2|=
·=
.
因为A,M,B三点共线,所以·=|MA||MB|,
又因为·=(x1,y1+4)·(x2,y2+4)=(x1,kx1)·(x2,kx2)=(k2+1)x1x2=,|MA|·|MB|=3|AB|,所以=3×,解得k=±3,满足Δ>0,故存在满足题意的直线n,其方程为y=±3x-4.
3.解:(1)由抛物线的定义可知|MF|=-x0+,
又|MF|=2|OF|,所以|MF|=p,
即-x0=p,所以x0=-.
又M在抛物线上,所以4=-2p·,又p>0,所以p=2,
则抛物线C的方程为y2=-4x.
(2)设直线l的斜率为t,则l:y=tx+1.由消去y可得t2x2+(2t+4)x+1=0.
当t=0时,l:y=1,符合题意;当t≠0时,Δ=(2t+4)2-4t2=0,解得t=-1.综上,直线l的斜率为0或-1.
(3)由题得l的斜率存在且不为零.
设l的方程为y=kx+1,M(x1,y1),N(x2,y2),由可得k2x2+(2k+4)x+1=0,
则Δ=(2k+4)2-4k2=16k+16>0,即k>-1,x1+x2=-,x1x2=,所以k1==,k2==,则k1+k2=+=2k+=-4,
所以k1+k2为定值-4.
4.解:(1)由双曲线Γ:-y2=1得左焦点F1(-,0),右焦点F2(,0).
∵l经过点F1,∴0=-k+1,∴k=,∴直线l的方程为y=x+1,故F2到l的距离d==.
(2)由双曲线Γ:-y2=1得渐近线的方程为y=±x,∵直线l与Γ的两条渐近线在第一、二象限的交点分别为C,D,∴-由得交点C的横坐标为.由得交点D的横坐标为-.
∴S△CDO=×1×=≥,当且仅当k=0时取等号,故当△COD的面积最小时,直线l平行于x轴,此时l的方程为y=1.
(3)假设存在实数k(k>0),使得△PAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形.
设P(m,0),A(x1,y1),B(x2,y2),
由消去y得(1-2k2)x2-4kx-4=0,∴Δ=16k2-4(1-2k2)(-4)=16(1-k2)>0且1-2k2≠0,解得-1∴x1+x2=,x1x2=,
设AB的中点为M,则M,∴线段AB的垂直平分线的方程为y-=-,令y=0,则m=,
又·=0,∴(x1-m,y1)·(x2-m,y2)=0,∴(k2+1)x1x2+(k-m)(x1+x2)+1+m2=0,
∴(k2+1)+(k-m)+1+m2=0,∴-4-4km+(1+m2)(1-2k2)=0,∴-4-4k·+(1-2k2)=0,
∴4k4+k2-3=0,解得k=±,又k>0,∴k=,则点P(-3,0),
故存在实数k=,使得△PAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形,此时P(-3,0).

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