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第60练　分类加法计数原理与分步乘法计数原理
1.每天从甲地到乙地的飞机有5班,高铁有10趟,动车有6趟,公共汽车有12趟.某人某天从甲地前往乙地,则其出行方案共有 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.22种 B.33种
C.300种 D.3600种
2.[2025·江苏南京六校联合体调研] 甲、乙、丙、丁去听同时举行的3个讲座,每人可自由选择听其中一个讲座,则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的选法种数为 (　 )
A.6 B.12
C.18 D.24
3.如图,从A→C(图中不能折返回A)不同的走法有 (　 )
A.8种 B.6种
C.4种 D.2种
4.甲、乙、丙、丁四人打算从北京、上海、西安、长沙四个城市中任选一个前去游玩,其中甲去过北京,所以甲不去北京,则不同的选法有 (　 )
A.18种 B.48种
C.108种 D.192种
5.小明在某一天中有七个课间休息时段,为准备“小歌手”比赛他想要选出至少一个课间休息时段来练习唱歌,但他希望任意两个练习的课间之间都有至少两个课间不唱歌让他休息,则小明的练习方案有 (　 )
A.31种 B.18种
C.21种 D.33种
6.(多选题)现有不同的红球4个,黄球5个,绿球6个,则下列说法正确的是 (　 )
A.从中选出2个球,正好1红1黄,有9种不同的选法
B.若从每种颜色中选出1个球,则有120种不同的选法
C.若要选出2个不同颜色的球,则有31种不同的选法
D.若要选出2个球分给甲、乙两名同学,则有210种不同的选法
7.安排4位顾客去A,B,C三家餐馆就餐,其中一位顾客由于饮食特殊性,只能安排在A餐馆,则不同的安排方案共有　　　　种.
8.一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次为a,b,c.三位数中,当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213,134等).若a,b,c∈{1,2,3,4,5},且a,b,c互不相同,则这个三位数为“有缘数”的个数为　　　　.
9.用0,1,2,3,4组成的没有重复数字且比32 000小的数有 (　 )
A.212个 B.213个
C.224个 D.225个
10.高二某班为了准备校园樱花文化节活动的展示牌,计划用5种不同颜色的笔书写图中A,B,C,D四个区域的文字,规定每个区域只用一种颜色的笔书写文字,相邻区域书写的文字颜色不同,则不同的书写方法种数为 (　 )
A.120 B.160
C.180 D.240
11.某日,甲、乙、丙三个单位被系统随机预约到A,B,C三家医院接种疫苗且每个单位只能被随机预约到一家医院,每家医院每日至多接待两个单位.已知A医院接种的是只需要打一针的腺病毒载体疫苗,B医院接种的是需要打两针的灭活疫苗,C医院接种的是需要打三针的重组蛋白疫苗,则甲单位不接种需要打三针的重组蛋白疫苗的预约方案种数为 (　 )
A.27 B.24
C.18 D.16
12.(多选题)已知某种产品的加工需要经过5道工序,则下列说法正确的是 (　 )
A.若其中某道工序不能放在最后,则有96种加工顺序
B.若其中某2道工序既不能放在最前,也不能放在最后,则有72种加工顺序
C.若其中某2道工序必须相邻,则有48种加工顺序
D.若其中某2道工序不能相邻,则有36种加工顺序
13.集合A是{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}的子集,且A中的元素有完全平方数,则满足条件的集合A共有　　　　个.
14.[2025·辽宁抚顺六校协作体检测] 设一个四位数的个位数、十位数、百位数、千位数分别为a,b,c,d,当a+d=b+c时,称这个四位数为“和对称四位数”,且a+d为这个“和对称四位数”的对称和,例如8440是一个“和对称四位数”,其对称和为8,则对称和不大于4的“和对称四位数”的个数为　　　　.
15.(多选题)某人设计一项单人游戏,规则如下:先将一棋子放在如图所示的正方形ABCD(边长为2个单位)的顶点A处,然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位,如果掷出的点数为i(i=1,2,…,6),则棋子就按逆时针方向行走i个单位,一直循环下去.某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处,则 (　 )
A.抛掷三次骰子后所走的单位数可以是12
B.三次骰子的点数之和只可能有两种结果
C.三次骰子的点数之和超过10的走法有6种
D.回到点A处的所有不同走法共有27种
16.已知数列{an}共有5项,且满足:
①a1=,a5=;
②a1③cos2an+1=sin2an,n=1,2,3,4.
则满足条件的数列{an}共有　　　　个.
第60练　分类加法计数原理与分步乘法计数原理
1.B　[解析] 从甲地到乙地的不同出行方案的种数为5+10+6+12=33.故选B.
2.A　[解析] 甲、乙两人听同一个讲座,选法有3种,丙、丁两人听不同的讲座,选法有2种,所以恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的选法种数为3×2=6.故选A.
3.A　[解析] 分为两类;不经过B点有2种走法;经过B点有2×3=6(种)走法.故共有2+6=8(种)走法.故选A.
4.D　[解析] 分两步完成:第一步,甲在上海、西安、长沙三个城市中任选一个,有3种选法;第二步,乙、丙、丁从北京、上海、西安、长沙四个城市中分别任选一个,有4×4×4=64(种)选法.由分步乘法计数原理,可得不同的选法有3×64=192(种).故选D.
5.B　[解析] 将七个课间编号为1,2,3,4,5,6,7.若仅有一个课间练习,则每个课间都可以,有7种练习方案;若有两个课间练习,则选法有(1,4),(1,5),(1,6),(1,7),(2,5),(2,6),(2,7),(3,6),(3,7),(4,7),共10种练习方案;若有三个课间练习,则选法为(1,4,7),共1种练习方案.综上,小明的练习方案共有7+10+1=18(种).故选B.
6.BD　[解析] 对于A选项,选2个球,红、黄各1个,有4×5=20(种)不同的选法,故A选项错误.对于B选项,从每种颜色中选出1个球,共选3个,则有4×5×6=120(种)不同的选法,故B选项正确.对于C选项,要选出2个不同颜色的球,则有三种情况:若选1红1黄,则有4×5=20(种)不同的选法;若选1红1绿,则有4×6=24(种)不同的选法;若选1黄1绿,则有5×6=30(种)不同的选法.因此共有20+24+30=74(种)不同的选法,故C选项错误.对于D选项,甲先选有15种选法,乙再选有14种选法,所以共有15×14=210(种)不同的选法,故D选项正确.故选BD.
7.27　[解析] 由题意可知,其中一位顾客由于饮食特殊性,只能安排在A餐馆,则剩下的3位顾客每人就餐的餐馆有3种安排方案,故不同的安排方案共有33=27(种).
8.24　[解析] 根据题意知,在1,2,3,4,5中,能组成有缘数的组合有1,2,3;1,3,4;1,4,5;2,3,5.由1,2,3组成的三位数有123,132,213,231,312,321,共6个;同理,由1,3,4组成的三位数有6个;由1,4,5组成的三位数有6个;由2,3,5组成的三位数有6个.所以这个三位数为“有缘数”的个数为4×6=24.
9.D　[解析] 按数字位数分类讨论:一位数有5个;两位数有4×4=16(个);三位数有4×4×3=48(个);四位数有4×4×3×2=96(个);五位数分以下两种情况讨论:①万位数字为1或2,此时共有2=2×24=48(个),②万位数字为3,则千位数字从0或1中选择一个,其余三个数位任意排列,此时共有2=12(个).综上所述,共有5+16+48+96+48+12=225(个)比32 000小的数.故选D.
10.C　[解析] 由题意,区域A有5种书写方法,区域B有4种书写方法.若C,A不同色,则C有3种书写方法,D有2种书写方法,共有5×4×3×2=120(种)书写方法;若C,A同色,则D有3种书写方法,共有5×4×3=60(种)书写方法.综上可得,共有120+60=180(种)不同的书写方法.故选C.
11.D　[解析] 由题意,甲单位不接种需要打三针的重组蛋白疫苗,即甲单位不可预约C医院,则甲单位可预约A,B两家医院.①若甲单位预约A医院,乙单位预约A医院,则丙单位可预约B,C医院,有2种情况;②若甲单位预约A医院,乙单位预约B或C医院,则丙单位可预约A,B,C医院,有2×3=6(种)情况;③若甲单位预约B医院,乙单位预约A或C医院,则丙单位可预约A,B,C医院,有2×3=6(种)情况;④若甲单位预约B医院,乙单位预约B医院,则丙单位可预约A,C医院,有2种情况.所以甲单位不接种需要打三针的重组蛋白疫苗的预约方案种数为2+6+6+2=16.故选D.
12.AC　[解析] 设5道工序为甲、乙、丙、丁、戊.对于A,设甲工序不能放到最后,则甲有4种安排方式,根据分步乘法计数原理得,所有的加工顺序有4×4×3×2×1=96(种),故A正确;对于B,设甲、乙2道工序既不能放到最前,也不能放到最后,先安排甲、乙,则共有3×2=6(种)安排方式,再安排剩余3道工序,共有3×2×1=6(种)安排方式,根据分步乘法计数原理得,所有的加工顺序有6×6=36(种),故B错误;对于C,设甲、乙2道工序相邻,将甲和乙“捆绑”为一道工序,和剩余3道工序放在一起排序,则共有4×3×2×1×2=48(种)加工顺序,故C正确;对于D,设甲、乙2道工序不能相邻,则先安排剩余3道工序,在形成的4个空中,安排甲、乙,故共有3×2×1×4×3=72(种)加工顺序,故D错误.故选AC.
13.896　[解析] 集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}中的完全平方数有1,4,9,令B={1,4,9},C={2,3,5,6,7,8,10},则集合B={1,4,9}的非空子集有23-1=7(个),集合C={2,3,5,6,7,8,10}的子集有27=128(个),则满足条件的集合A为集合B的非空子集与集合C的子集的并集,故共有7×128=896(个).
14.40　[解析] 设a+d=b+c=s≤4.当s=1时,d的可能值为1(对应a=0),共有1种组合,b+c=1的解有2种:(0,1),(1,0).四位数的个数为1×2=2.当s=2时,d的可能值为1,2(对应a=1,0),共有2种组合,b+c=2的解有3种:(0,2),(1,1),(2,0).四位数的个数为2×3=6.当s=3时,d的可能值为1,2,3(对应a=2,1,0),共有3种组合,b+c=3的解有4种:(0,3),(1,2),(2,1),(3,0).四位数的个数为3×4=12.当s=4时,d的可能值为1,2,3,4(对应a=3,2,1,0),共有4种组合,b+c=4的解有5种:(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0).四位数的个数为4×5=20.因此对称和不大于4的“和对称四位数”共有2+6+12+20=40(个).
15.BCD　[解析] 对于A,B,由题意知,正方形ABCD(边长为2个单位)的周长是8,抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A处表示三次骰子的点数之和是8,16,故A错误,B正确;对于C,D,列举出在所得点数中三个数字能够使得点数和为8,16的有125,134,116,224,233,466,556,共有7种组合.前2种组合125,134,每种情况可以排列出3×2×1=6(种)结果,则共有2×3×2×1=12(种)走法;116,224,233,466,556各排列出3种结果,则共有5×3=15(种)走法,其中点数之和超过10的为466,556,共有3×2=6(种)走法,故C正确;根据分类加法计数原理知,共有12+15=27(种)走法,故D正确.故选BCD.
16.80　[解析] 因为cos2an+1=sin2an,cos2an+1+sin2an+1=1,所以sin2an+sin2an+1=1.又sin2a1=sin2=,所以sin2a2=,sin2a3=,sin2a4=,所以sin a2=±,sin a3=±,sin a4=±.又因为a1=,a5=,a1

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