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第61练　排列与组合
1.已知=21,则m= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.2 B.3
C.2或5 D.3或4
2.[2025·江苏盐城五校联盟月考] 对于一个自然数,如果从左往右,每一位上的数字依次增大,则称自然数是“渐升数”,那么四位数的“渐升数”共有 (　 )
A.126个 B.91个
C.84个 D.125个
3.有6名男医生、5名女医生,从中选出3名医生组成一个医疗小组,且医疗小组中男、女医生都要有,则不同的选法共有 (　 )
A.135种 B.150种
C.165种 D.270种
4.某班一天上午有4节课,下午有2节课,现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、心理6节课的课程表,要求数学课排在上午,体育课排在下午,则不同的排法种数是 (　 )
A.192 B.144
C.124 D.216
5.有4名男生、5名女生排成一行,甲不在正中间也不在两端的排法种数为 (　 )
A.336 B.7200
C.40 320 D.241 920
6.(多选题)某学校高二年级数学课外活动小组中有男生5人,女生3人,则下列说法正确的是 (　 )
A.从中选2人,1人做正组长,1人做副组长,共有56种不同的选法
B.从中选2人参加数学竞赛,其中男、女生各1人,共有12种不同的选法
C.将这8名学生排成一排,3名女生排在一起的排法共有4320种
D.8名学生排成一排,已知5名男生已排好,现将3名女生插入队伍中,则共有356种排法
7.在不超过20的质数中任取三个不同的数,则其和是偶数的取法有　　　　种.
8.4名男生和2名女生排成一排,若女生必须相邻,则有　　　　种不同的排法.(用数字作答)
9.把8个相同的篮球分发给甲、乙、丙、丁4人,则不同的分法种数为 (　 )
A.70 B.99
C.110 D.165
10.文昌中学举行志愿者爱心活动,某社区有三个服务站,高三年级5名同学到A,B,C三个服务站做志愿者,每名同学只去1个服务站,每个服务站至少去1人,其中同学甲不去A服务站,则不同的安排方法共有 (　 )
A.68种 B.98种
C.100种 D.120种
11.(多选题)由0,1,2,3,4,5这六个数字,组成没有重复数字的四位数,则下列说法错误的是 (　 )
A.该四位数中是奇数的有108个
B.该四位数中能被5整除的有108个
C.该四位数中,个位上的数字小于十位上的数字的有150个
D.若该四位数是偶数,将这些偶数从小到大排列,则第71个数是3142
12.现有登山运动员10人,要平均分为两组,其中熟悉道路的有4人,每组都需分配到2人,那么不同的分组方法有　　　　种.
13.如图,3根绳子上共挂有7只气球,绳子上的气球个数依次为2,2,3,每枪只能打破一只气球,而且同一条绳上,只有打破下面的气球才能打上面的气球,则将这些气球都打破的不同打法有　　　　种.(用数字作答)
14.在数字通信中,信号是由数字“0”和“1”排成一行组成的序列,不同的排列表示不同的信号.已知某信号由2个1和4个0组成,且每个0的左边或者右边位置至少有1个0与它相邻,则这样的信号有　　　　种.
15.集合S为不重复的数字组成的六位正整数,若S中任意两数之差均为偶数,则S中元素个数的最大值是 (　 )
A.67 000 B.67 200
C.68 800 D.68 880
16.(多选题)有6个红球、3个蓝球和3个黄球.将这些球放在一条直线上按序排列,假设同色球没有区别,则下列说法中正确的有 (　 )
A.将这12个球全排列,不同的排法共有9240种
B.蓝球和黄球不相邻的排法有2562种
C.同色球不相邻的排法有100种
D.不考虑球的顺序,将12个球分为两组(两个组拥有的球的数量可以不同),要求每一组内红球与蓝球的个数之和大于或等于3,则不同的分法有24种
第61练　排列与组合
1.C　[解析] 由==1,==7,==21,==35,知m=2或m=5.故选C.
2.A　[解析] 在1,2,3,…,9中任取4个数,其大小关系确定,所以“渐升数”共有=126(个).故选A.
3.A　[解析] 1男2女的选法有=6×10=60(种),2男1女的选法有=15×5=75(种),所以共有60+75=135(种)不同的选法.故选A.
4.A　[解析] 数学课排在上午有=4(种)排法,体育课排在下午有=2(种)排法,剩下的语文、政治、英语、心理4节课有=24(种)排法,所以共有4×2×24=192(种)不同的排法.故选A.
5.D　[解析] 方法一(元素分析法):先排甲,有6种排法,再排剩余8人,有种排法,故共有6·=241 920(种)排法.
方法二(位置分析法):先排正中间和两端,有种排法,再排包括甲在内的剩余6人,有种排法,故共有·=336×720=241 920(种)排法.
方法三(等机会法):9个人全排列,有种排法,甲排在每一个位置的机会都是均等的,依题意,甲不在正中间及两端的排法种数是×=241 920.
方法四(间接法):9个人全排列,有种排法,甲排在正中间,剩余8人全排列有种排法,同理甲在最左端或最右端,剩余8人全排列,也都有种排法,故甲不在正中间及两端的排法种数是-3·=6=241 920.故选D.
6.AC　[解析] 对于A,从8个人中选2人,1人做正组长,1人做副组长的选法共有=56(种),故A正确;对于B,从8个人中选2人参加数学竞赛,其中男、女生各1人的选法共有=15(种),故B错误;对于C,将3名女生捆绑在一起,形成一个大“元素”,与5名男生一起排序,则不同的排法种数为=6×720=4320,故C正确;对于D,8名学生排成一排,已知5名男生已排好,现将3名女生插入队伍中,由倍缩法可知,不同的排法种数为=336,故D错误.故选AC.
7.21　[解析] 不超过20的质数有2,3,5,7,11,13,17,19,共8个.要使取出的三个数之和为偶数,则必须有2,再从剩下的7个数中任取2个,则共有=21(种)取法.
8.240　[解析] 根据题意,分2步进行,先将2名女生排在一起,看作一个元素,考虑其顺序,有种排法,再将其与其他4名男生全排列,有种排法,则不同的排法共有=240(种).
9.D　[解析] 当8个相同的篮球只分给其中1人时,有4种分法;当8个相同的篮球分给其中的2人时,先从4人里面选出2人,再将8个相同的篮球排成一排,形成的7个空里面选出1个空插入1个“隔板”即可,此时有=42(种)分法;当8个相同的篮球分给其中的3人时,先从4人里面选出3人,再将8个相同的篮球排成一排,形成的7个空里面选出2个空插入2个“隔板”即可,此时有=84(种)分法;当8个相同的篮球分给其中的4人时,每人至少一个,此时将8个相同的篮球排成一排,形成的7个空里面选出3个空插入3个“隔板”即可,此时有=35(种)分法.因此把8个相同的篮球分发给甲、乙、丙、丁4人时,不同的分法种数为4+42+84+35=165.故选D.
10.C　[解析] 将5名同学按1,1,3和2,2,1分组,则分别有种和种分法.再将含有同学甲的一组安排到B服务站或C服务站,最后安排另两组,安排方法有种.所以不同的安排方法共有=100(种).故选C.
11.AD　[解析] 对于A,当个位上的数字是1,3,5时,千位上的数字不能是0,则该四位数中共有=144(个)奇数,故A中说法错误.对于B,能被5整除的数的个位上的数字是0或5,当个位上的数字是0时,可以组成=60(个)四位数,当个位上的数字是5时,千位上的数字有4种选法,中间两位可以从余下的4个数字中选2个,有=48(个)四位数,根据分类加法计数原理知,共有60+48=108(个)满足题意的四位数,故B中说法正确.对于C,该四位数中个位上的数字小于十位上的数字,若个位上的数字是0,则有=60(个)四位数;若个位上的数字是1,则有=36(个)四位数;若个位上的数字是2,则有=27(个)四位数;若个位上的数字是3,则有=18(个)四位数;若个位上的数字是4,则有=9(个)四位数,所以共有60+36+27+18+9=150(个)满足题意的四位数,故C中说法正确.对于D,当千位上的数字是1时,可以组成=36(个)偶数;当千位上的数字是2时,可以组成=24(个)偶数;当千位上的数字是3,百位上的数字为0时,可以组成=6(个)偶数,共有36+24+6=66(个)偶数.当千位上的数字是3,百位上的数字是1时,偶数从小到大依次为3102,3104,3120,3124,3140,…,则3140是由0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复数字的四位偶数,将这些四位偶数从小到大排列起来的第71个数,故D中说法错误.故选AD.
12.60　[解析] 登山运动员中不熟悉道路的有6人,熟悉道路的有4人,平均分为两组,有种方法.对所分得的两个组进行排列,有种排法.由分步乘法计数原理知,不同的分组方法有·=60(种).
13.210　[解析] 将7只气球编号,从下往上,从右往左依次编号为1,2,3,4,5,6,7,如图.原问题等价于求7只气球的排列,且1在2的前面,2在3的前面,4在5的前面,6在7的前面的排法总数,则共有=210(种)不同的打法.
14.6　[解析] 第一种情况,4个0全部相邻,把4个0看成1个元素,共有=3(种)信号;第二种情况,将4个0分成2组,每组2个0,每组不相邻,利用插空法共有=3(种)信号.综上,这样的信号共有3+3=6(种).
15.D　[解析] 因为集合S为不重复的数字组成的六位正整数,且S中任意两数之差均为偶数,所以集合S中的数全是奇数或者全是偶数.若S中的数全是奇数,则个位上的数字为1,3,5,7,9中的1个,有种选法,从左往右,首位上的数字不能为0,有种选法,中间4个位置的排法有种,所以S中最多有··=67 200(个)元素.若S中的数全是偶数,当个位上的数字是0时,有个;当个位上的数字不是0时,从2,4,6,8中选1个,有种选法,从左往右,首位上的数字不能为0,有种选法,中间4个位置的排法有种,这样的数有··个,所以S中最多有+··=15 120+53 760=68 880(个)元素.因为68 880>67 200,所以S中的数全是偶数时,元素个数最多,最多为68 880个.故选D.
16.BC　[解析] 对于A,将这12个球全排列,不同的排法共有=18 480(种),故A错误.对于B,蓝球和黄球不相邻,可先全排6个红球,加上两端,6个红球形成7个空,若蓝球两两间均不相邻,则将其插入上述7个空中的3个,将黄球选择剩余4个空插入即可,若黄球均不相邻,则有种方法,若黄球有2个相邻,则有种方法,若三个黄球均相邻,则有种方法,此时有(++)=700(种)排法;若蓝球只有2个相邻,则将其插入上述7个空中的2个,黄球再选择剩余5个空插入即可,同理可得有(++)=1470(种)排法;若3个蓝球都相邻,则将其插入上述7个空中的1个,黄球再选择剩余6个空插入即可,同理可得有(++)=392(种)排法.所以蓝球和黄球不相邻的排法有700+1470+392=2562(种),故B正确.对于C,因为有6个红球和6个非红球,任意2个红球之间至少要有1个非红球,所以1个蓝球与1个黄球相邻且最多出现1次.若蓝球与黄球不相邻,则红球和非红球交替放置,这时红球的排法只有2种,即最左端为红球或最右端为红球,则蓝球有排法,黄球有种排法,所以不同的排法有2=40(种);若有1个蓝球和1个黄球相邻,则可将其合并,看成一个“花球”,有种排法,则非红球由2个蓝球,2个黄球和1个“花球”组成,于是任意2个相邻红球之间将有1个非红球,这样的排法有=60(种).所以同色球不相邻的排法共有40+60=100(种),故C正确.对于D,不考虑球的顺序,将12个球分为两组(两个组拥有的球的数量可以不同),要求每一组内红球与蓝球的个数之和大于或等于3,6个红球和3个蓝球先分为2组,分法有3+6和4+5,其中3可以为3红,2红1蓝,1红2蓝,3蓝,再将黄球分成两组,有(0,3),(1,2),(2,1),(3,0),共4种分法,这样的分法共有4×4=16(种),其中4可以为4红,3红1蓝,2红2蓝,1红3蓝,再将黄球分成两组,有(0,3),(1,2),(2,1),(3,0),共4种分法,这样的分法共有4×4=16(种).综上,不同的分法有16+16=32(种),故D错误.故选BC.

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