资源简介

第62练　二项式定理
1.[2025·贵州部分学校联考] 在的展开式中,第3项的二项式系数是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.8 B.-8
C.28 D.-28
2.(2x-1)6的展开式中中间一项的系数是 (　 )
A.-20 B.-160
C.20 D.160
3.的展开式中的常数项为 (　 )
A.-15 B.-20
C.15 D.-6
4.[2025·江苏泰州一模] (n∈N*)的展开式中二项式系数的和为64,则展开式中的常数项为 (　 )
A.8 B.12
C.15 D.-20
5.[2025·江苏盐城三模] 在的展开式中,含x3的项的系数为15,则展开式中二项式系数最大的项是 (　 )
A.第2项 B.第3项
C.第4项 D.第5项
6.(多选题)[2026·唐山模拟] 在(x-y)5的展开式中,下列说法正确的是 (　 )
A.一共有5项
B.第3项为-10x3y2
C.所有项的系数和为0
D.所有项的二项式系数和为32
7.(x-2)(x-1)5的展开式中含x的项的系数为　　　　.
8.[2025·福建厦门三检] 设(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a1+a2+a3+a4+a5= (　 )
A.-2 B.-1
C.0 D.1
9.已知(其中a>0)的展开式中的第7项为7,则展开式中的有理项的系数和为 (　 )
A.43 B.-43
C.27 D.-27
10.[2025·辽宁沈阳一模] 若x+x2+…+xn能被5整除,则x,n的一组值可能为 (　 )
A.x=2,n=6
B.x=4,n=6
C.x=8,n=4
D.x=14,n=4
11.(多选题)已知(2-x)(1+x)2025=a0+a1x+a2x2+…+a2026x2026,则 (　 )
A.a1=4049
B.a0+a2+a4+…+a2026=22025
C.22026a0+22025a1+22024a2+…+a2026=32026
D.a1+2a2+3a3+…+2026a2026=2024×22024
12.[2026·浙江杭州学军中学开学考] 在的展开式中,仅第6项的二项式系数最大,则展开式中系数最大的项是　　　　.
13.已知x9+x10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+…+a10(x-1)10,则a9=　　　　　.
14.在的展开式中,含y6的项的系数为　　　　.
15.[2025·广东珠海二中月考] 已知(x2-x+2)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2nx2n,若|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2n|=4096,则a3= (　 )
A.-640 B.-200
C.-160 D.-40
16.(多选题)“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列,在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.在“杨辉三角”中,除每行两边的数都是1外,其余每个数都是其“肩上”的两个数之和,例如第4行的6为第3行中两个3的和,则下列说法中正确的是 (　 )
A.在“杨辉三角”中,第n行的所有数字之和为2n
B.在“杨辉三角”第2n行的数中,从左到右第n个数最大
C.在“杨辉三角”中,从第3行开始,取每行的第4个数得到一个数列,则该数列前10项的和为
D.记“杨辉三角”第n行的第i个数为ai,
第62练　二项式定理
1.C　[解析] 第3项的二项式系数为==28.故选C.
2.B　[解析] 由二项式定理得(2x-1)6的展开式的通项为Tr+1=(2x)6-r(-1)r,故T4=(2x)3(-1)3=-160x3,则展开式中中间一项的系数是-160.故选B.
3.C　[解析] 的展开式的通项为Tk+1=(-)k=(-1)k,令-6=0,解得k=4,所以的展开式中的常数项为(-1)4=15.故选C.
4.C　[解析] 由题可知,2n=64,则n=6,则展开式的通项为Tr+1=x6-r=(-1)r,令6-r=0,得r=4,所以常数项为(-1)4=15.故选C.
5.C　[解析] 的展开式的通项为Tr+1=·xn-r·=(-1)r··,r=0,1,2,…,n.由已知可得解得根据二项式系数的性质知,该展开式中二项式系数最大的项是第4项.故选C.
6.CD　[解析] (x-y)5的展开式共有6项,故A不正确;展开式的通项为Tr+1=x5-r(-y)r,令r=2,可得第3项为T3=x3(-y)2=10x3y2,故B不正确;令x=y=1,可得所有项的系数和为0,故C正确;所有项的二项式系数和为25=32,故D正确.故选CD.
7.-11　[解析] 由题可得展开式中含x的项为x·(-1)5x0-2(-1)4x=[(-2)(-1)4+(-1)5]x=-11x,故展开式中含x的项的系数为-11.
8.A　[解析] 令x=0,可得a0=1,令x=1,可得(-1)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5=-1,所以a1+a2+a3+a4+a5=-2.故选A.
9.D　[解析] 展开式的第7项为T6+1=(x2)n-6=(-a)6x2n-14,由题意可得2n-14=0,(-a)6=7(a>0),可得n=7,a=1,则展开式的通项为Tk+1=(-1)kx14-2k=(-1)k,k=0,1,2,…,7,令∈Z,则k=0,3,6,所以展开式中的有理项的系数和为(-1)0+(-1)3+(-1)6=1-35+7=-27.故选D.
10.C　[解析] 依题意,x+x2+…+xn=+x+x2+…+xn-1=(1+x)n-1.对于A,当x=2,n=6时,36-1=(33-1)(33+1)=26×28,不能被5整除,故A不正确;对于B,当x=4,n=6时,56-1不能被5整除,故B不正确;对于C,当x=8,n=4时,94-1=(92-1)(92+1)=80×82,能被5整除,故C正确;对于D,当x=14,n=4时,154-1=(152-1)(152+1)=224×226,不能被5整除,故D不正确.故选C.
11.AC　[解析] 对于A,(2-x)(1+x)2025的展开式中含x的项为2·x+(-x)·=(2×2025-1)x=4049x,所以a1=4049,故A正确;对于B,令x=1,得22025=a0+a1+…+a2026①,令x=-1,得0=a0-a1+a2-a3+…+a2026②,由得a0+a2+a4+…+a2026=22024,故B错误;对于C,令x=,得=a0+a1·+…+a2026·,所以22026a0+22025a1+22024a2+…+a2026=32026,故C正确;对于D,等号两边对x求导得-(1+x)2025+2025(2-x)(1+x)2024=a1+2a2x+…+2026a2026x2025,令x=1,得a1+2a2+3a3+…+2026a2026=2023×22024,故D错误.故选AC.
12.15x4　[解析] 由的展开式中,仅第6项的二项式系数最大,得展开式共11项,则n=10,所以的展开式的通项为Tr+1=x10-r=x10-2r(0≤r≤10,r∈N).设展开式中系数最大的项是Tr+1,则
即
解得≤r≤,又r∈N,所以r=3,则T4=x4=15x4,所以展开式中系数最大的项是15x4.
13.11　[解析] ∵x9+x10=[(x-1)+1]9+[(x-1)+1]10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+…+a10(x-1)10,∴a9=+=11.
14.1260　[解析] 表示有10个相乘,含y6的项可以这样得到:有6个提供-y,有2个提供x,有2个提供.故含y6的项的系数为(-1)6=1260.
15.A　[解析] (x2-x+2)n=[(x2+2)-x]n的展开式的通项为Tr+1=·(x2+2)n-r·(-x)r,0≤r≤n,r∈N,因为·(x2+2)n-r>0,且(x2+2)n-r的展开式中x的次数均为偶数,所以当r为偶数时,对应项的x的次数为偶数,且对应项的系数大于0,当r为奇数时,对应项的x的次数为奇数,且对应项的系数小于0,所以a0,a2,a4,…,a2n为正数,a1,a3,a5,…,a2n-1为负数.对于(x2-x+2)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2nx2n,令x=-1,则4n=a0-a1+a2-a3+…+a2n=|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|a2n|=4096,解得n=6.故(x2-x+2)6=[(x2+2)-x]6的展开式的通项为Tr+1=·(x2+2)6-r·(-x)r,0≤r≤6,r∈N,(x2+2)6-r的展开式的通项为Pk+1=·(x2)6-r-k·2k=·2k·x12-2r-2k,0≤k≤6-r,k∈N,r∈N,要使(x2-x+2)6的展开式中x的次数为3,则r=1,k=4或r=3,k=3,则a3=·(-1)1··24+·(-1)3··23=-640.故选A.
16.ACD　[解析] 对于A,第n行的所有数字之和为++…+=2n,故A正确;对于B,第2n行的数中,从左到右共有2n+1个数,则第n+1个数最大,故B错误;对于C,从第3行开始,取每行的第4个数得到一个数列,则该数列前10项的和为+++…+,且+++…+=+++…+=++…+=+=,故C正确;分别从两个角度考虑(x+1)2n的展开式中xn的系数,由(x+1)2n展开式的通项可知xn的系数为,由(x+1)2n=(x+1)n(x+1)n考虑,可知xn的系数为+++…+,故+++…+=,而第2n行的中间一项为第n+1项,即,故D正确.故选ACD.

展开更多......

收起↑