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第64练　随机事件的相互独立性与条件概率
1.某AI系统通过摄像头识别手势,准确率为90%.若连续识别3次手势,则至少有一次识别错误的概率是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.1-0.93 B.0.13
C.3×0.1×0.92 D.0.93
2.从甲、乙、丙、丁、戊5人中任选3人组成展示小组,则在甲被选中的条件下,乙被选中的概率为 (　 )
A. B.
C. D.
3.已知P(A|B)=,P(B)=,则P(AB)= (　 )
A. B.
C. D.
4.某工厂生产了一批产品,需等待检测后才能销售.检测人员从这批产品中随机抽取了5件产品来检测,现已知这5件产品中有3件正品,2件次品,从中不放回地取出产品,每次1件,共取两次.已知第一次取得次品,则第二次取得正品的概率是 (　 )
A. B.
C. D.
5.甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏,其中任何一人每射击一次击中目标得2分,未击中目标得0分.若甲、乙两人射击的命中率分别为和p,且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为.假设甲、乙两人射击互不影响,则p的值为 (　 )
A. B.
C. D.
6.(多选题)[2025·广西北海四模] 某班级有60%的学生报名参加了数学竞赛,40%的学生报名参加了物理竞赛.报名参加数学竞赛的学生中,有30%同时也报名参加了物理竞赛.从该班级中随机抽取一名学生,记事件A=“该学生报名参加数学竞赛”,事件B=“该学生报名参加物理竞赛”.则以下说法正确的是 (　 )
A.事件A和事件B相互独立
B.P(A|B)=0.45
C.P(B|A)=0.30
D.P(A∪B)=0.82
7.[2025·绵阳三诊] 在一次知识竞赛中,小张需要按顺序依次回答甲、乙、丙3个问题,已知他答对甲、乙、丙问题的概率分别为0.8,0.5,0.2,各题回答正确与否相互独立.若至少能够连续将2道题都答对,可获得额外加分,则小张获得额外加分的概率为　　　　.
8.质监部门对某种建筑构件的抗压能力进行检测,对此建筑构件实施两次打击,若没有受损,则认为该构件通过质检.若第一次打击后该构件没有受损的概率为0.85,当第一次没有受损时,第二次实施打击也没有受损的概率为0.8,则该构件通过质检的概率为 (　 )
A.0.4 B.0.16
C.0.68 D.0.17
9.银行储蓄卡的密码由6位数字组成,某人在银行自动取款机上取钱时,忘记了密码的最后1位数字,则任意按最后1位数字,不超过2次就按对的概率是 (　 )
A. B.
C. D.
10.在某次测试中,若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.5,0.6和0.7,且三人的测试结果相互独立,测试结束后,在甲、乙、丙三人中恰有两人没有获得优秀等级的条件下,乙获得优秀等级的概率为 (　 )
A. B. C. D.
11.(多选题)设A,B是一个随机试验中的两个事件,且P(A)=,P(B)=,P(B+A)=,则下列结论中正确的是 (　 )
A.P(B)=
B.P(+B)=
C.P(|B)=P(|A)
D.P(A|B)=
12.五一国际劳动节,学校团委举办“我劳动,我快乐”的演讲比赛,某班有甲、乙、丙等5名同学参加,抽签确定出场顺序,在“学生甲必须在学生乙的前面出场”的前提下,学生甲、乙相邻出场的概率为　　　　.
13.甲、乙两人的口袋中均装有3个球,甲的3个球为2个黑球和1个白球,乙的3个球均为黑球(黑球和白球的大小,材质一样).两人决定玩一场游戏:两人各从口袋中任取1个球与对方交换,重复进行这样的操作.第1次交换后,甲的口袋中黑球的个数为3的概率为　　　　;第2次交换后,甲的口袋中依然只有1个白球的概率为　　　　.
14.[2025·广东揭阳三模] 已知某早餐牛奶店甲推出了A和B两款新口味牛奶,另外一家早餐包子铺乙推出了一款新品包子C,且早餐牛奶店甲向某小区的一名用户配送A款新口味牛奶的概率为0.7,配送B款新口味牛奶的概率为0.5,同时配送A和B的概率为0.3;早餐包子铺乙向该用户配送新品包子C的概率为0.6,且甲店与乙店的配送结果互不影响.
(1)在甲店没有向该用户配送A款新口味牛奶的条件下,求它向该用户配送B款新口味牛奶的概率;
(2)求这两家店至少向该用户配送A,B,C中的一种的概率.
15.(多选题)[2025·浙江绍兴重点中学二联] 某考试有20道三项选择题.某同学通过某种手段提前知道了这20道选择题的答案中没有连续相同的选项.试卷下发后,更是发现自己一题也不会做,于是他按照“没有连续相同的选项”猜答案.设其猜对第n题的概率是Pn,则下列说法正确的是 (　 )
A.P(猜对第n+1题|猜对第n题)=
B.P(猜对第n+1题|猜错第n题)=
C.Pn=
D.全部猜对的概率为
第64练　随机事件的相互独立性与条件概率
1.A　[解析] 若连续识别3次手势,则至少有一次识别错误的对立事件为三次都识别正确,所以至少有一次识别错误的概率为1-0.93.故选A.
2.B　[解析] 设事件A=“甲被选中”,事件B=“乙被选中”,那么在甲被选中的条件下,乙被选中的概率为P(B|A)===.故选B.
3.C　[解析] 由概率的乘法公式可得P(AB)=P(A|B)·P(B)=×=.故选C.
4.C　[解析] 设事件A=“第一次取得次品”,事件B=“第二次取得正品”,则P(A)=,P(AB)==,故P(B|A)===.故选C.
5.C　[解析] 记甲、乙两人各射击一次的得分之和为X,则P(X=2)=×(1-p)+p=-p=,解得p=.故选C.
6.BCD　[解析] 依题意,P(A)=0.60,P(B)=0.40.对于C,在报名参加数学竞赛的学生中,同时报名参加物理竞赛的概率为P(B|A)=0.30,故C正确;对于A,P(AB)=P(A)×P(B|A)=0.60×0.30=0.18,P(A)P(B)=0.60×0.40=0.24,因为0.18≠0.24,所以事件A和事件B不独立,故A错误;对于B,P(A|B)===0.45,故B正确;对于D,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.60+0.40-0.18=0.82,故D正确.故选BCD.
7.0.42　[解析] 由题意,至少能够连续将2道题都答对,包含的情况有:甲乙都答对,丙正误都可;甲答错,乙丙都答对.则小张获得额外加分的概率为0.8×0.5+(1-0.8)×0.5×0.2=0.42.
8.C　[解析] 设事件Ai=“第i(i=1,2)次打击后该构件没有受损”,则由已知可得P(A1)=0.85,P(A2|A1)=0.8,所以由概率乘法公式可得P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=0.85×0.8=0.68,即该构件通过质检的概率是0.68.故选C.
9.C　[解析] 设事件Ai=“第i(i=1,2)次按对密码”,事件A=“任意按最后1位数字,不超过2次就按对”,则A=A1∪A2,因为事件A1与A2互斥,所以P(A)=P(A1)+P(A2)=P(A1)+P()P(A2|)=+×=.故选C.
10.C　[解析] 分别记甲、乙、丙三人获得优秀等级为事件A,B,C,记甲、乙、丙三人中恰有两人没有获得优秀等级为事件D,记乙获得优秀等级为事件E.由题知,P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(C)=0.7,所以P(D)=P(A )+P(B)+P( C)=0.5×0.4×0.3+0.5×0.6×0.3+0.5×0.4×0.7=0.29,P(DE)=P(B)=0.5×0.6×0.3=0.09,所以P(E|D)==.故选C.
11.ABD　[解析] 因为P(A)=,P(B)=,所以P()=,P()=.对于A,因为B与A为互斥事件,所以P(B+A)=P(B)+P(A)=P(B)-P(AB)+P(A)-P(AB)=+-2P(AB)=,所以P(AB)=,所以P(B)=P(B)-P(AB)=-=,故A正确;对于B,P(+B)=P()+P(B)-P(B)=P()+P(B)-[P(B)-P(AB)]=P()+P(AB)=+=,故B正确;对于C,P(|B)===,P(|A)====,所以P(|B)≠P(|A),故C错误;对于D,P(A|B)===,故D正确.故选ABD.
12.　[解析] 设“学生甲、乙相邻出场”为事件A,“学生甲必须在学生乙的前面出场”为事件B,5名同学的出场顺序共有种情况,学生甲必须在学生乙的前面出场的情况有种,所以P(B)==,学生甲、乙相邻出场且学生甲在学生乙前面的情况共有种,所以P(AB)==,则P(A|B)===.
13.　　[解析] 若第1次交换后,甲的口袋有3个黑球,则甲第一次取到白球与乙交换,所以甲的口袋中黑球个数为3的概率为.若第2次交换后,甲的口袋依然只有1个白球,包含两种情况:第一种情况,这两次甲和乙都交换的黑球,其概率P1=×=;第二种情况,第一次甲的白球和乙的黑球交换,第二次甲的黑球和乙的白球交换,其概率P2=×=.综上,第2次交换后,甲的口袋依然只有1个白球的概率P=+=.
14.解:(1)设甲店向该用户配送A款新口味牛奶为事件M,配送B款新口味牛奶为事件N,则甲店没有向该用户配送A款新口味牛奶为事件,
由题设可知P(M)=0.7,P(N)=0.5,P(MN)=0.3,P()=1-P(M)=0.3,又P(N)=P(MN)+P(N)=0.5,所以P(N)=0.2,故P(N|)==.
(2)设乙店向该用户配送新品包子C为事件Q,则这两家店向该用户至少配送A,B,C中的一种的概率P=1-P( ).因为甲店与乙店的配送结果互不影响,所以P( )=P( )·P(),
因为P()=P(N)+P( )=0.3,所以P( )=0.1,即P( )·P()=0.1×0.4=0.04,
所以所求概率P=1-P( )=1-0.04=0.96.
15.AC　[解析] 对于A,用An表示第n题猜对,则表示第n题猜错,n=1,2,…,20.设每道题的选项为a,b,c,不妨设第n题的正确答案为a,则在猜对第n题的条件下,该同学第n+1题可能选择b或c,又由没有连续相同的选项可知,第n+1题的正确答案必为b,c中的一个,则P(An+1|An)=,故A选项正确;对于B,由于没有连续相同的选项,不妨设第n题的正确答案为a,第n+1题的正确答案为b,则在该同学第n题猜错的条件下,该同学这两道题的选项可能为(b,a),(b,c),(c,a),(c,b),其中第n+1题答对的是(c,b),则P(An+1|)=,故B选项错误;对于C,容易得出Pn+1=Pn+(1-Pn)=Pn+,则Pn+1-=,又P1=,所以P1-=0,所以数列是各项均为0的常数列,所以Pn=,故C正确;对于D,全部猜对的概率为P(A1)P(A2|A1)P(A3|A2)…P(A20|A19)=×,故D错误.故选AC.

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