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第66练　离散型随机变量的分布列、数字特征
1.设离散型随机变量X服从两点分布,其分布列如下表,则a= (　 )
X 0 1
P a a+0.4
A.0.2 B.0.3
C.0.6 D.0.7
2.已知随机变量X的分布列为
X -1 0 1
P
若Y=aX+3,E(Y)=,则a的值为(　 )
A.4 B.-4
C.2 D.-2
3.已知甲、乙两台自动车床生产同种标准件,X表示甲车床生产1000件产品中的次品件数,Y表示乙车床生产1000件产品中的次品件数,经一段时间考察后,X,Y的分布列分别为
X 0 1 2 3
P 0.7 0.1 0.1 0.1
Y 0 1 2
P 0.5 0.3 0.2
据此判定 (　 )
A.甲比乙生产的标准件的质量好
B.乙比甲生产的标准件的质量好
C.甲与乙生产的标准件的质量相同
D.无法判定甲与乙哪个车床生产的标准件的质量好
4.口袋中装有编号分别为1,2,3的三个大小和质地完全相同的小球,从中任取两个球,记取出的球的最大编号为X,则D(X)= (　 )
A. B.
C. D.
5.已知在所有矿石中含有某种稀有元素的概率为0.1,小郅与小祥有一把探测器可识别该稀有元素且准确率高达0.9(即有0.1的概率对不含有该稀有元素的矿石作出反应).在某次探索实践任务中,他们共同发现了一堆由探测器检验含有该元素的矿石,但是否真的含有该元素则需进一步检验,在回实验室的途中,小祥提出以2000元的价格向小郅卖出所有矿石,若矿石中真实含有该元素,则价值10 000元,否则将一文不值.若小郅出钱购买,则他获得利润的均值为 (　 )
A.-2200元 B.3000元
C.2200元 D.7000元
6.(多选题)已知随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4 5
P p1 p2
其中,p1,成等比数列,则下列结论正确的是 (　 )
A.p1,,p2成等差数列
B.p1=±
C.P(2D.E(X)=
7.已知甲同学在某次期中考试中数学成绩为班级第一的概率为,记该同学在本次期中考试中数学成绩为班级第一的次数为离散型随机变量X,则D(2X+3)=　　　　.
8.[2025·天津部分区1月期末] 某种资格证考试,每位考生一年内最多有3次考试机会.一旦某次考试通过,便可领取资格证书,不再参加以后的考试;否则就继续参加考试,直到用完3次机会.小王决定参加考试,若他每次参加考试通过的概率依次为0.5,0.6,0.7,且每次考试是否通过相互独立,则小王在一年内领到资格证书的概率为　　　　,他在一年内参加考试次数的数学期望为　　　　.
9.[2025·湖南邵阳模拟] 某银行在贷款信用评估中,设定初始每个人是守信人的概率为0.5.经统计,守信人按时还款的概率是0.9,不守信人按时还款的概率是0.5.同时,银行制定了如下信用调整规则:若贷款人按时还款,则下一次评估时其为守信人的概率调整为0.6;若贷款人未按时还款,则下一次评估时其为守信人的概率调整为0.3.请回答以下问题:
(1)随机选取一位贷款人,求其首次贷款按时还款的概率;
(2)若某位贷款人首次贷款按时还款了,求该贷款人首次贷款时是守信人的概率;
(3)该银行对同一初始贷款人进行两次贷款评估,记两次评估中按时还款的次数为X,求X的分布列与数学期望.
10.设0X 0 1 2
P
则当p在区间(0,1)内增大时 (　 )
A.D(X)减小
B.D(X)增大
C.D(X)先减小后增大
D.D(X)先增大后减小
11.[2025·浙江金丽衢十二校一联] 抛掷一枚质地均匀的硬币,一直到出现正面向上或抛满100次时结束,设抛掷的次数为X,则随机变量X的数学期望E(X) (　 )
A.大于2
B.小于2
C.等于2
D.与2的大小关系无法确定
12.(多选题)赣南脐橙是江西省赣州市特产,中国国家地理标志产品,被誉为“中华名果”.近年赣南脐橙受黄龙病影响,脐橙产品合格率有所降低.现有6个脐橙,其中有3个不合格品,每次从中抽取1个且不放回,设X为抽到第2个合格品时的抽取次数,则下列说法中正确的是 (　 )
A.X的可能取值为2,3,4,5
B.当X=4时,共有108种抽取顺序
C.E(X)=
D.D(X)=
13.甲、乙、丙三人射击的命中率分别为,,,现要求三人各射击一次,假设每人射击相互独立,则至少有一人命中的概率为　　　　;记三人命中的总次数为X,则E(X)=　　　　.
14.已知集合A={1,2,3,4},B={1,2,3,4,5},从集合A中任取3个不同的元素,其中最小的元素用a表示,从集合B中任取3个不同的元素,其中最大的元素用b表示,记X=b-a,则随机变量X的期望为　　　　.
15.抓娃娃游戏一直以来吸引着小朋友和成年人,它不仅是一种娱乐活动,更是一种充满策略与技巧的挑战.已知某游戏厅有甲、乙、丙三台抓娃娃机,甲抓娃娃机每次中奖的概率为,乙抓娃娃机每次中奖的概率为,丙抓娃娃机每次中奖的概率为,中奖结果互不影响.
(1)若小张分别操作甲、乙、丙抓娃娃机一次,求小张中奖的概率.
(2)已知小张准备抓娃娃三次,现有两种方案供选择:
方案一:操作甲、乙、丙抓娃娃机各一次;
方案二:操作乙抓娃娃机三次.
假设甲、乙、丙三台抓娃娃机中奖一次获得娃娃的价值均为20元,请根据获得娃娃价值的期望,分析小张选择哪种方案较合适.
16.某中学举办了一次闯关比赛,比赛分为初赛与复赛,初赛胜利后才能进入复赛,初赛规定:三人组队参赛,每次只派一个人,且每人只派一次,如果一个人闯关失败,那么再派下一个人重新闯关,三人中只要有人闯关成功即视作初赛胜利,无需继续闯关.现有甲、乙、丙三人组队参加初赛,他们各自闯关成功的概率分别为p1,p2,p3.假定p1,p2,p3互不相等,且每人能否闯关成功相互独立.
(1)若计划依次派甲、乙、丙进行初赛闯关,p1=,p2=,p3=,求该小组初赛胜利的概率.
(2)已知1>p1>p2>p3>0.现有两种初赛人员派出方案:
方案一:依次派出甲、乙、丙;
方案二:依次派出丙、乙、甲.
设方案一和方案二派出的人数分别为随机变量X,Y,求E(X),E(Y),并比较它们的大小.
(3)初赛胜利小组的三人都可以进入复赛.复赛规定:单人参赛,每个人回答三道题,全部答对获得一等奖;答对两道题获得二等奖;答对一道题获得三等奖;全部答错不获奖.已知某学生进入了复赛,该学生在复赛中前两道题答对的概率均为a,第三道题答对的概率为b.若该学生获得一等奖的概率为,设该学生获得二等奖的概率为p,求p的最小值.
第66练　离散型随机变量的分布列、数字特征
1.B　[解析] 依题意可得a+a+0.4=1,解得a=0.3.故选B.
2.A　[解析] 由表可得E(X)=-+0+=-,由Y=aX+3,E(Y)=,可得E(Y)=aE(X)+3,所以-a+3=,解得a=4,故选A.
3.A　[解析] E(X)=0×0.7+1×0.1+2×0.1+3×0.1=0.6,E(Y)=0×0.5+1×0.3+2×0.2=0.7.因为E(Y)>E(X),所以甲比乙生产的标准件的质量好.
4.A　[解析] 由题意知,X的所有可能取值为2,3,则P(X=2)==,P(X=3)==,所以E(X)=2×+3×=,则D(X)=22×+32×-=,故选A.
5.B　[解析] 设“该矿石由探测器检验含有该元素”为事件A,“该矿石真的含有该元素”为事件B,则P(A)=0.1×0.9+0.9×0.1=0.18,P(B|A)==0.5,P(|A)==0.5,所以小郅获得利润的均值为0.5×8000+0.5×(-2000)=3000(元),故选B.
6.AD　[解析] 对于A,由+p1++p2+=1,得p1+p2==2×,则p1,,p2成等差数列,A正确;对于B,由,p1,成等比数列,得=×,而p1≥0,所以p1=,B错误;对于C,p2=,则P(27.　[解析] 由题意可得X服从两点分布,P(X=1)=,P(X=0)=,则E(X)=,D(X)=,故D(2X+3)=4D(X)=.
8.0.94　1.7　[解析] 小王在一年内领到资格证书的概率为0.5+(1-0.5)×0.6+(1-0.5)×(1-0.6)×0.7=0.94.设小王在一年内参加的考试次数为X,则X的可能取值为1,2,3,P(X=1)=0.5,P(X=2)=(1-0.5)×0.6=0.3,P(X=3)=(1-0.5)×(1-0.6)=0.2,所以数学期望E(X)=1×0.5+2×0.3+3×0.2=1.7.
9.解:(1)记事件A=“该贷款人首次贷款时为守信人”,事件B=“该贷款人首次贷款按时还款”,则P(A)=0.5,P(B|A)=0.9,P(B|)=0.5.
∵B=(BA)∪(B),且事件BA与事件B互斥,∴P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=0.5×0.9+0.5×0.5=0.7.
(2)由(1)得,P(A|B)===.
(3)X的可能取值为0,1,2.
第一次按时还款的概率为0.7,
第一次按时还款后,第二次按时还款的概率为0.6×0.9+0.4×0.5=0.74,
第一次不按时还款后,第二次按时还款的概率为0.3×0.9+0.7×0.5=0.62,则P(X=2)=0.7×0.74=0.518,P(X=1)=(1-0.7)×0.62+0.7×(1-0.74)=0.368,
P(X=0)=(1-0.7)×(1-0.62)=0.114,故X的分布列为
X 0 1 2
P 0.114 0.368 0.518
数学期望E(X)=0×0.114+1×0.368+2×0.518=1.404.
10.D　[解析] 方法一:因为E(X)=0×+1×+2×=p+,所以D(X)=++=-p2+p+=-+,因为0方法二:设随机变量Y=X-1,则Y的分布列为
Y -1 0 1
P
所以E(Y)=-1×+1×=p-,所以D(X)=D(Y)=E(Y2)-[E(Y)]2=+-=-+,因为011.B　[解析] 由题意,在第X(1≤X≤99)次后结束抛掷的概率为,抛满100次结束的概率为,所以E(X)=1×+2×+3×+…+99×+100×,则E(X)=1×+2×+3×+…+98×+199×,两式相减得E(X)=++…++200×-199×=++…++=1-,所以E(X)=2-<2.故选B.
12.ABD　[解析] 已知6个脐橙,其中有3个不合格品,即合格品有3个,每次从中抽取1个且不放回,所以抽到第2个合格品时的抽取次数X的可能取值为2,3,4,5,故选项A正确.当X=4时,表示前3次抽取中有1个合格品和2个不合格品,第4次抽到的是合格品.从3个合格品中选1个,有种选法,从3个不合格品中选2个,有种选法,前3次抽取的顺序有种,第4次抽到的是合格品,有2种抽取顺序.根据分步乘法计数原理,抽取顺序共有×2=3×3×6×2=108(种),故选项B正确.P(X=2)===,P(X=3)===,P(X=4)===,P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=1---=,故E(X)=2×+3×+4×+5×=+++1===,故选项C错误.D(X)=E(X2)-[E(X)]2=-=,故选项D正确.故选ABD.
13.　　[解析] 由题意得,至少有一人命中的概率P=1-=.由题意得X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)==,P(X=1)=++=,P(X=2)=×+×+×=,P(X=3)=××=,故E(X)=0×+1×+2×+3×=.
14.　[解析] 由题意得a的所有可能取值为1,2,P(a=2)==,P(a=1)==.b的所有可能取值为3,4,5,P(b=3)==,P(b=4)==,P(b=5)==.所以E(X)=E(b-a)=E(b)-E(a)=-=-=.
15.解:(1)记小张分别操作甲、乙、丙抓娃娃机一次能中奖为事件A,B,C,
则P(A)=,P(B)=,P(C)=,P()=,P()=,P()=.因为中奖结果互不影响,所以小张分别操作甲、乙、丙抓娃娃机一次能中奖的概率为1-P()P()P()=1-××=.
(2)若选择方案一:设小张获得娃娃的价值为X元,则X的可能取值为0,20,40,60,
P(X=0)=P()P()P()=,P(X=20)=P(A)P()P()+
P()P(B)P()+P()P()P(C)=××+××+××=,
P(X=60)=P(A)P(B)P(C)=××=,所以P(X=40)=1---==,
所以E(X)=0×+20×+40×+60×=15.
若选择方案二:设小张获得娃娃的件数为Z,获得娃娃的价值为Y元,则Z~B,Y=20Z,故E(Z)=3×=,E(Y)=20E(Z)=15.
因为E(Y)=E(X),所以选择方案一和方案二一样.
16.解:(1)设事件A=“该小组初赛胜利”,则P(A)=+×+××=,
所以该小组初赛胜利的概率为.
(2)X的可能取值为1,2,3,则P(X=1)=p1,P(X=2)=(1-p1)p2,P(X=3)=(1-p1)(1-p2),故E(X)=p1+2(1-p1)p2+3(1-p1)(1-p2)=p1p2-2p1-p2+3.Y的可能取值为1,2,3,
则P(Y=1)=p3,P(Y=2)=(1-p3)p2,P(Y=3)=(1-p3)(1-p2),
故E(Y)=p3+2(1-p3)p2+3(1-p3)(1-p2)=p2p3-2p3-p2+3,
所以E(X)-E(Y)=p1p2-2p1-p2+3-(p2p3-2p3-p2+3)=p1p2-2p1-p2p3+2p3=p2(p1-p3)-2(p1-p3)=(p1-p3)(p2-2).因为1>p1>p2>p3,所以p1-p3>0,p2-2<0,
所以E(X)(3)由题意可得=a2b,所以b=,则p=a2(1-b)+a(1-a)b=a2+2ab-=a2+-.
令f(a)=a2+-,0则f'(a)=2a-=.
令f'(a)=0,得a=,
所以当00,f(a)单调递增,故f(a)min=f=+-=,
所以p的最小值为.

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