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2026 年普通高中毕业班考前冲刺题（二）
数 学
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1．已知集合 A {x x 2 1}，B {x x a}， A B B ，则实数a 的取值范围为
A． ,1 B． ,3 C． 1, D． 3,
2．已知a,b R，则“2a 2b ”是“ log2 a log2 b ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知圆锥的母线长为2 2 ，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为
2
A． 2 B．2 2 C． 2 D．
2
1 3 BO
4．在△ ABC 中， AE AB， AD AC ，BD和CE交于点O，则 为
3 5 OD
A．3 B．4 C．5 D．6
5．在某马拉松比赛活动中，甲、乙、丙、丁四位志愿者被派往 A、B、C 三个服务站，若每
个服务站至少派一位志愿者，且每位志愿者只能被派往一个服务站，则在甲被派去 B 服
务站的条件下，甲、乙被派去不同服务站的概率为
1 1 2 5
A． B． C． D．
6 2 3 6
f x 2x 2 2 x6．已知函数 ，若关于m 的不等式 f m f 2m 3 0恒成立，则实数m 的
取值范围是
A． , 3 1, B． 1 3,
3
C． 5 5
3,
D．
, 2 ,
3 3
x2 y2
7．已知椭圆C : 1(a b 0) 的左顶点为 A，O为坐标原点，在C 上存在点P ，使
a2 b2

得 APO= ，则 C 的离心率的取值范围为
2
2 2 1 2 1
A． 0, B． ,1 C． , D． ,1
2 2 2 2 2
试卷第 1 页，共 4 页
3 2
8．已知曲线 y x x与曲线 y x a 有四条公切线，则实数a的取值范围是
5 5 1 1 1
A． 1, B． ， C． 1, D． ，
27 27 4 4 4
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9．已知复数 z1 ， z2 ，则下列命题成立的有
2 2
A． z1 z1 ,n Z B．若 z1 z2 z1 z2 ，则 z1z2 0
2 2 z 1 z C．若 z1 z2 0，则 z1 z2 D．
1
z2 z2
2
10．已知抛物线E：y 2 px p 0 的焦点为F ，以D p,0 为圆心，DF 为半径得到圆D ，
圆上有一点 p,1 ．过点F 的直线与E 交于P,Q两点，与圆D 另交于点M ，则
A． p 2 B．当 PF 4 FQ 时， P 的横坐标为2
6
C．当 PF 4 FQ 时， MF D． FM PQ FP FQ
5
11．在非等腰 ABC中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且角 A，B 满足
cos
2 B cos2 A sin A B ，则
A．a2 b2 c2
B． tan Atan B 1
a b 2 2
C．记 c 上的高为 h，则 的取值范围为 ,1
c h 3
D．△ ABC 的内切圆半径、外接圆半径、周长能构成等比数列
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．在 1 x (1 x)2 (1 x)3 (1 x)4 的展开式中，含 x2 项的系数为____ ．（用数字作答）
1
13．若矩形的边长之比为 ，一条对角线所在直线的斜率为 2，则矩形的一组邻边所在直线
3
的斜率为_____，_____ .（写出满足条件的一组即可）
试卷第 2 页，共 4 页
1
14．在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，M ， N 分别在棱BB1 ，B1C1 上，且C1N C1B1，
3
1
BM BB1，过点 A,M , N 的截面把直三棱柱 ABC A1B1C1切割成体积不同的两部分，
3
V1
记较小部分的体积为V1 ，较大部分的体积为V2 ，则 ________. V2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13 分）
在数 1 和 100 之间插入n个实数，使得这n 2个数构成递增的等比数列，将这n 2个
数的乘积记作Tn ，令an lgTn .
（1）求数列 an 的通项公式；
sin1
（2）若bn ，求数列 bn 的前n项和Tn . cosan cosan 1
16．（15 分）
f (x) ln x mx2已知函数 ln m(m 0)
（1）当m 1时，求曲线 y f (x)在 x 1处的切线方程；
ex
（ ）已知函数 g(x) mx22 ，若 x 0时， f x g(x)恒成立，求实数m 的取值范
m
围.
17．（15 分）
如图，四面体 ABCD中， AD CD， AD CD， ADB BDC ， E 为 AC 的中点．
（1）证明：平面BED 平面 ACD；
（2）设 AB BD 2， ACB 60 ，点F 在BD上，
①求四面体 ABCD与其外接球的体积比（化为最简形式）；
②当△ AFC 的面积最小时，求CF 与平面 ABD所成的角的正弦值．
试卷第 3 页，共 4 页
18．（17 分）
2
已知抛物线 ： y 4x，O为坐标原点，点 A ，B 在曲线 上，直线OA，OB 斜率之
1
积为 .
2
（1）求证：直线 AB 过定点；
（2）若圆C 面积为4 ，直线OA，OB 与圆C 都相切，
①证明：圆心C 在定曲线W 上，并求曲线W 的方程；
②若直线OA与曲线W 交于 E 、 F 两点，直线OB 与曲线W 交于 M 、 N 两点，求
EF MN 的最大值.
19．（17 分）
一个小盒里有 6 个除颜色外完全相同的小球，其中 4 个黑球，2 个红球，从盒子中每次
随机取出一个小球，若取出黑球，则放回小盒中；若取出红球，则有两种不同的操作，操作
一：把取出的红球放回小盒，并往小盒里加入 2 个红球；操作二：用 1 个除颜色外完全相同
的黑球替换该红球放回小盒中.
（1）分别计算在两种操作下，抽两次球，第二次取到的球是红球的概率；
（2）在操作二的前提下：
①求在第n n 2 次抽球时，抽到的球恰好是第二个红球的概率（结果用n 表示）.
②现规定当两个红球都被抽出来时停止抽球，且最多抽球 10 次，第 10 次抽球结束后无
论盒中是否还有红球均停止抽球，记抽球的次数为 X ，求 X 的数学期望.
试卷第 4 页，共 4 页
2026 年普通高中毕业班考前冲刺题（二）
数学参考答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1 2 3 4 5 6 7 8
A B C C D C B B
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错
的得 0 分.
9. ACD 10. AC 11. BCD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
1 49
12. 10 13. 1，1或7 ， （写出一组即可） 14.
7 59
[ 部分试题解析]
5. 【详解】记“甲被派去 B 服务站”为事件 A，“甲、乙被派去不同服务站”为事件 B，
n(AB) 5
n(A) C2C1A2 12 n(AB) (C2 1则 ,4 1 2 4 1)C1 A
2
2 10，所以P(B | A) n(A) 6
x 2 x x 1
6. 【详解】由 f x 2 2 2(2 2 x 1），易得 y f (x)关于 x 1对称，
t
设 t x 1，则 g(t) 2(2 2
t )(t 0)单调递增，所以 f (x)在 ( 1, )上单调递增，
5
所以 | m ( 1) | | 2m 3 ( 1) |，解得 3 m
3
a a2
7. 【详解】假设存在点P(x0 , y0 )，则 (x )
2 y2 ， 0 0
2 4
x2a a2 c2
所以 (x )2 b2(1 0 ) ，化简得0 x
2 ax b2 0在 ( a,0)上有解，
2 a2 4 a2
a
x a
易知 x a
c 2 2
是方程的一解，只需对称轴 c2 ，解得 ，所以e ( ,1)
2
2 a 2 2 a
2 3
8.【详解】设曲线 y x a 上的切点为 x1, y1 ，曲线 y x x上的切点为 x2 , y2 ，
2x1=3x
2 1
2 2 3 2
则切线方程分别为 y 2x1x x1 a, y (3x2 1)x 2x2 ，所以
x
2
1 a= 2x
3
2
2 3 9x
4
2 6x
2 1 4 3
即a x 2x 2 2x3 ，所以4a 1 9x2 8x2 6x
2
1 2 2 2
4
令 h(x) 9x4 8x3 6x2 h‘，且 (x) 12x(3x 1)(x 1)
7 5 1
结合图象可得，当 4a 1 0，即 a
27 27 4
p
2
2 p
10.【详解】抛物线E：y2 2 px的焦点为F ,0 ，圆D 方程为 x p y2 ，对于 A，
2 4
由点 p,1 在圆D上，得 p2 4 ，而 p 0，则 p 2，A 正确；
抛物线E：y2 4x的焦点为F 1,0 ，设直线 PQ方程为 x ty 1, P x1, y1 ,Q x2 , y2 ，由对称
x ty 1 y1 y2 4t
性不妨令点 P 在第一象限，由 2 ，得 y
2 4ty 4 0 ，则 ，对于 B，由
y 4x y1y2 4
y2
PF 4 FQ ，得 y1 4y2 ，解得 y1 4，x
1 4，B 错误； 1
4
4 4
对于 C，由选项 B 得点P 4,4 ，直线 PQ斜率 k ，即 tan PFD ，
3 3
3 6
则 cos PFD ，而 DF 1，因此 MF 2 DF cos PFD ，C 正确；
5 5
2
对于 D， PQ x1 x2 2 t y1 y2 4 4t 4 ，又
FP FQ x1 1 x2 1 ty1 2 ty2 2 t
2 y1y2 2t y1 y2 4 4t
2 4 ，
且圆D 的弦0 FM 2，因此 FM PQ FP FQ 4t2 4 FM 1 不一定小于0 ，D 错
误．
2 1 cos 2B 1 cos 2A
11. 【详解】由cos B cos
2 A sin A B 有， sin A B
2 2
即 sin(A B)sin(A B) sin A B ，因为 A, B 0, π ，则 A B π,π ，
且 ABC 为非等腰三角形，则 A B 0，可知sin A B 0，
π
即sinC sin(A B) 1，所以C= ，所以C ，即c2 a2 b2，故选项 A 错误，
2 2
π π 1
因为 B A ，则 tan B tan
2
A ，即 tan Atan B 1，故选项 B 正确；
2 tan A
b
对于选项 C：因为h bsin A，a b tan A， c ，
cos A
a b b tan A b sin A cos A

则 c h b sin Acos A 1，
bsin A
cos A
t2 1
令sin A cos A t ，且 A B ，则sin Acos A ，
2
π
因为 t sin A cos A 2 sin A ，
4
π π π π π π π 3π
且 A 0, , ，则 A , , ，
4 4 2 4 4 2 2 4
π 2
可得sin A ,1 t 1, 2
4
，则 ，
2
a b t 2t 2 2 2
,1所以 2 c h t 1 t 2 1 1 3 ，故 C 选项正确；
1 t
2 t
对于选项 D：因为 ABC 的内切圆半径
1
2 ab
2 ab ab a b c a b cr ，
a b c a b c a b c a b c 2
1
且外接圆半径R c ，
2
假设 ABC 的内切圆半径、外接圆半径、周长构成等比数列，
2
c a b c
则 a b c ，整理可得a
2
4ab b
2 0，此方程显然是有解的，
2 2
故选项 D 正确.
综上，正确答案为 BCD.
14.【详解】
设平面 AMN 与棱 A1C1 交点为D ，则 A1D 3DC1，（可先补成四棱柱，如图易得结论）
设M 到平面 ACC1A1 的距离为d ，设直三棱柱的体积为V
1 11 2 1 3
所以VM A V1B1ND M A AD S A B C AA1 S ACC A d 1 3 12 1 1 1 3 3 8 1 1
11 1
V 2V
54 8
49
V
108
V1 49所以
V2 59
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
解：（1）设这n 2个数分别为c1,c2 , ,cn 2 ，其中c1 1,cn 2 100，
则 Tn c1 c2 cn 1 cn 2 ①
Tn cn 2 cn 1 c1 c2 ②
两式相乘得
T 2n c1cn 2 c2cn 1 c
n 2 2n 4
n 2c1 100 10
T n 2n 10
an lgTn n 2
（2）由（1）可知
sin1 sin1 sin (n 3) (n 2)
bn
cosan cosan 1 cos n 2 cos n 3 cos n 2 cos n 3
sin(n 3)cos(n 2) cos(n 3)sin(n 2)
tan(n 3) tan(n 2)
cos n 2 cos n 3
所以Tn tan 4 tan 3 tan 5 tan 4 tan(n 3) tan(n 2) tan(n 3) tan 3
16.（15 分）
解：（1）函数定义域为 0，
2
当m 1时，曲线 f (x) ln x x 在 x 1处的点为 1， 1
1
求导得 f (x) 2x，则曲线 y f (x)在 x 1处的切线斜率k f (1) 1
x
则曲线 y f (x)在 x 1处的切线方程为 y x 即 x y 0
（2）由 f (x) g(x)恒成立，
ex x2 2 e e
x
x
即 ln x mx lnm mx 即 ln x lnm 即 ln(mx) 即m ln(mx) e
m ， m m
mx ln(mx) x e x eln(mx)即 即 ln(mx) x e
x
记 h(x) x e x ，即h(ln(mx)) h(x) 0
当 ln(mx) 0时，h(ln(mx)) 0 h(x)，不满足题意
当 ln(mx) 0时， x 0, 时，h x x 1 ex 0恒成立，所以h(x) 在 0， 上单
调递增，且h(x) 0，所以h(ln(mx)) h(x) 0 ln(mx) x
所以 ln(mx) x 0对于任意的 x 0, 恒成立
ex
m 对于任意的 x 0, 恒成立
x
ex ex x 1
记 F x ，则 F x 可得 F x 在 0,1 上单调递减，在 1， 上单调递增，
x x2
故 F x min F 1 e，所以m e
则实数m 的取值范围是[e, ) .
17.（15 分）
解：（1）证明：因为 AD CD，且E 为 AC 的中点，所以 AC DE，
在 ADB 中和△BCD中，因为 AD CD，且 ADB CDB，DB DB
所以 ADB≌ BCD，所以 AB BC，
又因为E 为 AC 的中点，所以 AC BE ，
因为DE BE E ，且DE,BE 平面BDE ，所以 AC 平面BDE ，
又因为 AC 平面 ACD，平面 ACD 平面BDE .
（2）解：①由（1）知 AB BC，且 ACB 60 ， AB 2，
所以 ABC为边长为 2 的等边三角形，则 AC 2, BE 3, AE 1，
因为 AD CD且 AD CD，所以 ACD为等腰直角三角形，且DE 1
可得DE 1，且E 为 ACD的外接圆的圆心，
又因为 AB BD 2，可得DE2 BE2 BD2 ，所以BE DE ，
3
取等边 ABC的外接圆的圆心O，则O为四面体 ABCD的球心，且OE ，
3
2 2 2 4 2 3
设四面体 ABCD的外接球的半径为 R，则R AE OE ，即R ，
3 3
4 4 2 3 32 3
所以外接球的体积为V πR3 π( )3 π，
3 3 3 27
又由DE2 BE2 BD2 ，所以DE BE ，
又因为 AC DE，且 AC BE E， AC,BE 平面 ABC，所以DE 平面 ABC，
1 3 3
所以四面体的体积为V 2 ， ABCD 2 1
3 4 3
VABCD 9 9则 ，即四面体 ABCD与外接球的体积比为 .
V 32π 32π
②由（1）知， AC 平面BDE ，连接EF ，因为EF 平面BDE ，
所以 AC EF，当 AFC 的面积最小时，点F 到直线 AC 的距离最小，
即 EF 的长度最小时， AFC 的面积取得最小值，
DE BE 3
在直角 BDE 中，当EF 的长度最小时，EF BD ，此时 EF ，
BD 2
又由DE AC,BE AC ，可得EA,EB,ED两两垂直，
以 E 为坐标原点，以EA,EB,ED所在的直线分别为 x, y, z轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则 A(1,0,0), B(0, 3,0), D(0,0,1),C( 1,0,0)，

可得 AB ( 1, 3,0), DB (0, 3, 1)，
DE2 1 3
在直角 BDE 中，DE 1, DB 3, BD 2，可得DF , BF ，
DB 2 2

所以3DF FB，设F(0, y, z)，则DF (0, y, z 1), FB (0, 3 y, z)，
3 3 3 3 3 3
所以3 (0, y ,z 1) (0, 3 y , z )，可得 y , z ，即 F (0, , )，所以CF (1, , ) ，
4 4 4 4 4 4

n AB x1 3y1 0
设平面 ABD的法向量为n (x1, y1, z1)，则 ，
n DB 3y1 z1 0

取 y1 1，可得 x1 3, z 3 ，所以n ( 3,1, 3)，

CF n 4 3
设CF 与平面 ABD所成的角的为 ，可得sin cos CF ,n ，
CF n 7
4 3所以，当 AFC 的面积最小时，CF 与平面 ABD所成的角的 .
7
18. （17 分）
2 2
y y 4 4
解：（1）设 A( 1 , y ) ，B( 2 , y )，则有 kOA ， kOB ， 1 2
4 4 y1 y2
4 4 16 1
故 kOA kOB ，即 y1 y2 32
y1 y2 y1y2 2
2
设直线 AB 方程为： x my t ，联立方程得： y 4my 4t 0，
由根与系数关系得： y1 y2 4t
即 4t 32，得 t 8，则直线 AB 过定点 (8,0)
（2）①依题意，圆C 半径为 r2 4 ，得 r 2
设圆心坐标为 (x0 , y0 )，过原点与圆相切的直线方程为 y kx，
kx0 y0
则有 2 2 2，化简得 (x0 4)k 2x0 y0k y
2
0 4 0
k 2 1
y2 4 1
设直线OA、OB 斜率分别为 k ， k ，则有 k k 01 2 1 2
x20 4 2
x2 y2 x2 y2
化简得： 0 0 1，即圆心C 为椭圆 1的点
12 6 12 6
x2 y2
所以该曲线的方程为 1 .
12 6
1
②设直线OA、OB 的方程分别为： y kx， y x，设E(x1, y1) ，M (x2 , y2 )
2k
y kx
2 12 1（2 1 k
2 )
则有 x2 y2 ，解得 x1 ，所以 | OE |
2
2
1 2k 1 2k
2 1
12 6
6(4k 2 1)
同理可得 | OM |2
2k 2 1
2 1（2 1 k
2) 6(4k 2 1)
则 | OE | | OM |2
2k 2 1 2k 2 1
2
2
1 6k 3
（2 2k 2 )
2 (4k
2 1) 2
72 36 81
2k 2 1 2k 2 1 (2k 2 1)2
2
所以 |EF| |MN| 2|OE| 2|OM| 36，当且仅当 k 时等号成立.
2
所以 |EF| |MN|的最大值为36 .
19.（17 分）
解：（1）记在操作一下，第二次取到红球的概率为 P1 ，则分为取到“黑红”和“红红”两种情况，
4 1 2 4 7
所以P1 ；
6 3 6 8 18
记在操作二下，取到红球的概率为P2 ，同样分为取到“黑红”和“红红”两种情况，
4 1 2 1 5
则 P2 ；
6 3 6 6 18
（2）①设第 k k n 次是第一次取到红球，第n 次是第二次取到红球的概率为Pk ，
k 1 n k 1
2 1 5 1
则 P ， k
3 3 6 6
则第 n 次恰好抽到第二个红球的概率 P 为 Pk 中 k 从1到n 1取值累加求和，即
0 n 2 1 n 3 2 n 4 n 2
2 1 5 1 2 1 5 1 2 1 5 1 2 1 1
P ，
3 3 6 6 3 3 6 6 3 3 6 6 3 3 6
利用等比数列求和公式即可得
0 n 2 1 n 3 2 n 4 n 2 0
1 1 2 5 2 5 2 5 2 5
P
3 6 3 6 3 6 3 6 3 6
n 2 n 1 5 2 6
1
6 3 5 n 21 1 5 5
n 1 n 2
4 1 5 5
n 1
4
1 1
3 6 2 6

18 6 5 3 61
6 5
3 5
n 1 n 1 n 1 n 1
1 5 4 1 5 2
1 ；
3 6 5 3 6 3
②由题可知， X 的取值依次为2,3 ,9,10，
当 X 10时，P X 10 1 P X 2 P X 3 P X 9 ，
由数学期望的定义和①中的概率公式可知，
E X 2 P X 2 3 P X 3 9 P X 9 10 1 P X 2 P X 3 P X 9
10 8 P X 2 7 P X 3 1 P X 9
1 2 8 1 2 81 5 5 5 1 2 2 2
10 8 7 1 8 7 1 ，
3 6 6 6 3 3 3 3
n n
1 5 1 2
设 an n 9 ,bn n 9 ,n 1,2, ,8，
3 6 3 3
9 9
5 2
由错位相减法可得a ， 1 a2 a8 5 10 ,b1 b2 b8 4 2
6 3
9 9 5 2
9 9
5 2
所以E X 10 5 10 4 2 9 10 2 .
6 3 6 3

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