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2026年北京密云区九年级中考一模数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“农历二十四节气”被联合国教科文组织列入人类非物质文化遗产代表作名录，被誉为“中国的第五大发明”，下列关于二十四节气的设计简图中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A. 霜降 B. 大雪
C. 谷雨 D. 小满
2.实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A. B. C. D.
3.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ）
A. B. C. 1 D. 4
4.为推进城市生态环境建设，某市计划种植一批生态防护林，目前已完成种植面积亩．整体规划完成后，累计种植面积将是目前已有种植面积的4倍，则规划完成后的累计种植面积为（ ）
A. 亩 B. 亩 C. 亩 D. 亩
5.若一个边形的每个内角都是，则的值为（ ）
A. 6 B. 8 C. 9 D. 10
6.《数学之美》是中国邮政为向数学学科致敬，于2025年3月14日发行的特种邮票，一套4枚，分别呈现了“圆周率”、“勾股定理”、“欧拉公式”和“莫比乌斯带”，这些邮票除图案外，质地与规格完全相同．若将此套邮票背面朝上，随机抽取两张，则抽到的邮票恰好为“勾股定理”和“欧拉公式”的概率是（）
A. B. C. D.
7.如图，，点在射线上，，以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点，连接．则的大小为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，在正方形中，对角线、相交于点，是线段上一动点（不与点重合），过点分别作、的垂线交、边于点、．记的面积为，的面积为．当点在线段上运动的过程中，给出下列四个结论：
①点与点重合时，；②；③一定存在；④当是的中点时，．上述结论中，所有正确结论的个数有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ．
10.分解因式： ．
11.方程的解为 ．
12.能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为 ， ．
13.已知点是反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点，则的值为 ．
14.某种水果按照果径大小可分为四个等级：标准果、优质果、精品果、礼品果．某采购商从采购的一批该种水果中随机抽取100个，根据果径分类标准得到的数据如下：
等级 标准果 优质果 精品果 礼品果
果径范围（单位：）
个数 10 30 40 20
若该采购商采购的这批水果共计2000个，估计等级为“精品果”的个数是 ．
15.如图，在正方形中，和相交于点，点为线段的中点，连接并延长交于点．若，则的长为 ．
16.某烘焙小组为制作一款庆典蛋糕，需完成（胚体烘烤）、（奶油打发）、（水果处理）、（糖霜制作）、（胚体抹面）、（裱花装饰）、（料胚组装）七道工序，工序完成需满足以下流程要求：
（1）只能在均完成后才能开始；
（2）只能在完成后才能开始；
（3）只能在和均完成后才能开始；
（4）可与并行进行，无先后干扰；
（5）一项工序同一时间只能由一名学生完成，完成后可接续其他工序，各工序所需时间如下表：
工序 胚体烘烤 奶油打发 水果处理 糖霜制作 胚体抹面 裱花装饰 料胚组装
时间/分钟
在不考虑其他因素的前提下，若由若干名学生合作完成，至少需要 分钟才能全部完成；若要在最短时间内完成，最少需要 名学生参与．
三、计算题：本大题共2小题，共8分。
17.计算．
18.解不等式组：，并写出它的正整数解．
四、解答题：本题共10小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题4分)
已知，求代数式的值．
20.(本小题5分)
如图，在中，，点是边上一点，且，过点作的平行线，与过点所作的边的垂线相交于点．
(1) 求证：四边形是平行四边形；
(2) 若，，求的长．
21.(本小题5分)
在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和．
(1) 求，的值；
(2) 当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，又小于函数的值，直接写出的取值范围．
22.(本小题4分)
如图，学校的跳远训练场地由助跑道、起跳板和落地区三个长方形区域组成，其中各长方形中较长的一边为长．已知起跳板的长度与助跑道的宽度相等，助跑道的长度是起跳板宽度的100倍，落地区的宽度与长度的比为，且落地区的长度比助跑道长度的少3米，落地区的宽度比助跑道的长度少22米，求起跳板的宽度（单位：米）．
23.(本小题10分)
水质被称作生态的“血脉”．为净化水质，环保部门计划为某水源地选择合适的净水植物有效降低水中的磷含量，其中总磷去除量（单位：）是衡量水质净化效果，尤其是水体脱氮除磷能力的关键指标．该部门随机抽取了20块自然条件相同的水域进行实验，得到各水域每立方米水体中的总磷去除量，并对数据（总磷去除量）进行了整体描述和分析，下面给出了部分信息：
①20块水域每立方米总磷去除量的频数分布表如下：
总磷去除量 频数
3
2
8
1
②水域总磷去除量在这一组的是：；
③20块水域每立方米总磷去除量的统计图如下：
(1) 写出表中的值；
(2) 随机抽取的这20块水域每立方米总磷去除量的中位数为 ；
(3) 下列推断合理的是 （填序号）
①12号水域的总磷去除量在20块水域的总磷去除量数据中从高到低排第7名；
②20块水域的总磷去除量数据中，每立方米总磷去除量的众数为；
③20块水域的总磷去除量数据中，每立方米总磷去除量低于的水域数量与水域总数的比为
(4) 号水域种植的是甲种净水植物，号水域种植的是乙种净水植物．已知甲、乙两种植物的每立方米总磷去除量的平均数分别为和；若某种植物在各水域每立方米总磷去除量的10个数据的方差越小，则这种植物的净水效果越稳定．据此推断：甲、乙两种植物中，这个地区比较适合种植的净水植物是 （填“甲”或“乙”）．
24.(本小题5分)
如图，是的直径，，连接交于点，为上一点，连接、和，．
(1) 求证：点为的中点；
(2) 若，，求的长．
25.(本小题7分)
某农业研究所研究两种植物生长调节剂（制剂和制剂）对某种蔬菜产量的影响．制剂的效果在一定浓度范围内随浓度增加而提高，但超过最佳浓度后，由于抑制生长等原因，产量反而下降．制剂的作用机理不同，通过实验发现，在测试浓度范围内，其产量与浓度之间近似满足稳定的线性增长关系：，其中为单位面积产量（单位：），为浓度（单位：）．在固定栽培条件下，改变制剂的施用浓度，测得单位面积产量数据如下：
浓度
产量
(1) 通过分析，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出函数的图象；
；
(2) 根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①若要求单位面积产量至少为，且希望使用制剂的浓度尽可能低，则选择制剂比选择制剂可以节省 的制剂；
②若使用制剂的单位面积产量至少比使用制剂的单位面积产量多，则浓度的取值范围是 （注：取值保留整数）
(3) 研究人员发现，每增加制剂，制剂和制剂的成本分别增加元和元．该蔬菜的目标产量为，若实际产量低于目标，则每短缺会造成元的损失（不足的部分按比例计算）．当制剂和制剂的浓度均为时，总成本（制剂成本与损失之和）较低的是制剂 （填写或），其最低总成本为 元．
26.(本小题5分)
在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1) 求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）
(2) 已知和是抛物线上的两点，若对于，，都有，求的取值范围．
27.(本小题9分)
在中，，，．点是边上一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接和，取线段的中点，连接．
(1) 依据题意，补全图形；
(2) 求证：；
(3) 连接，直接用等式表示线段、和之间的数量关系．
28.(本小题6分)
在平面直角坐标系中，若将点P沿x轴翻折得到点，再将点绕点Q顺时针旋转得到点，则称点为点P的“折旋点”．例如：点的“折旋点”是点．
(1) 如图1，已知点．
①点，若点B是点A的“折旋点”，则点B的坐标为 ；
②若点是点的“折旋点”，则点E的坐标为 ；
(2) 已知点．
①如图2，的半径为2，若上存在点M，使得点是点M的“折旋点”，且点在直线上，求b的取值范围；
②已知是y轴上的动点，的半径为2，若上存在点N，使得点是点N的“折旋点”，且点在直线上，直接写出t的取值范围．
1.【答案】B
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】x2
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】

13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】

17.【答案】解：原式．
18.【答案】解：，
解①得：，
解②得：，
∴不等式组的解集为：，
∵是正整数，
∴.

19.【答案】解：由得，，
∴
.

20.【答案】【小题1】
证明：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
【小题2】
解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
设，则，
在中，根据勾股定理得：
，
即，
解得：，
∴．

21.【答案】【小题1】
解：∵一次函数的图象经过点和，
∴，
解得；
【小题2】
解：由（1）可得一次函数的关系式为．
∵当时，对于x的每一个值，函数的值既大于函数，又小于函数的值，
∴当一次函数与重合时，，不合题意，
当时，在时，函数的值既大于函数的值，又小于函数的值；
当函数经过点时，，
解得，
此时当时，函数的值既大于函数的值，又小于函数的值；
所以当时，当时，函数的值既大于函数的值，又小于函数的值．

22.【答案】解：设起跳板的宽度为米，由题意，得助跑道的长度为米，落地区的长度为米，
∵落地区的宽度与长度的比为，
∴落地区的宽度为米，
∵落地区的宽度比助跑道的长度少22米，
∴，
解得；
答：起跳板的宽度为米.

23.【答案】【小题1】
解：；
【小题2】

【小题3】
①③
【小题4】
乙

24.【答案】【小题1】
解：如图，连接，
∵是的直径，，
∴，即，
∴
∵，，
∴，
∴
∴，
∴，
∴点为的中点；
【小题2】
解：设交于点，
在中，，，，可设，
∴，
即
解得，
∴
∵，
∴
设的半径为，则，，由勾股定理可得，
，
即，
解得，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，

25.【答案】【小题1】
解：如图为函数的图象．
【小题2】

【小题3】



26.【答案】【小题1】
解：




∴抛物线的顶点坐标为；
【小题2】
解：抛物线的对称轴为直线，点的横坐标，
∴到对称轴的距离为，
∵点满足，
∴，
当时，抛物线开口向上，点离对称轴越远，纵坐标越大，
要使对所有都有，则到对称轴的距离不小于到对称轴距离的最大值，
∴，
∵，
所∴，
解得，符合条件；
当时，抛物线开口向下，点离对称轴越近，纵坐标越大，
要使对所有都有，则到对称轴的距离不大于到对称轴距离的最小值，
∴，
∴，
∴，
解得，
结合得，符合条件
综上，的取值范围是 或．

27.【答案】【小题1】
【小题2】
证明：延长至，使得，连接，
∵，
∴,
∵是线段的中点,
∴
在中，，，,
∴,,
∵,
∴,
在和中，
,
∴，
∴,
∴
【小题3】
;
过点作,延长交于点,连接，
在中，，，
∴,
由（2）可知，
,
∵，
∴,
∴点在上运动，
∴,
∵，，
∴是等边三角形，
∴,
∴,
在和中，
∴,
∴,
∵是等边三角形，
则,
∴是等腰三角形，
∵，
∴,
∴,
设，
,,
∴,
∴,
在和中，
∴
∴,
∵
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
,
∴,
∴

28.【答案】【小题1】


【小题2】
解：①设动点，折旋后对应点，
∵点在直线上，
∴，即，
∴点M在直线上，
当直线与圆相切时，与y轴交点最高或最低，
如图，当点M在第二象限时，连接，记与y轴交点L，与x轴交点I，
∴，
令，则；令，则，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，即，
同理可得：当点M在第四象限时，连接，记与y轴交点J，与x轴交点K，
∴，
令，则；令，则，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，即，
∴b的取值范围为；
②由题意知，关于“折旋点”坐标为，
∴点N关于x轴—点的折旋点在以为圆心，半径为2的圆上，
如图，当圆在直线左侧与直线相切时，
过点作轴交x轴于点Q，交于点R，过点作交于点P，
∴，
将代入得：，即，
在中，，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，，，
∴，解得：；
如图，当圆在直线右侧与直线相切时，
过点作交于点S，过点作轴交y轴于点V，与交点W，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，解得：，
综上所述，t的取值范围为．

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