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北京市第四中学2025－2026学年度第二学期初二年级期中测验数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列式子中，属于最简二次根式的是（）
A. B. C. D.
2.以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　）
A. 2，3，4 B. 3，6，8 C. 5，7，9 D. 6，8，10
3.下列计算结果正确的是（）
A. B. C. D.
4.若A（-1，y1），B（3，y2）是一次函数y=3x+m图象上的两点，则y1和y2的大小关系是（　　）
A. y1＜y2 B. y1=y2 C. y1＞y2 D. 不能确定
5.下列说法正确的是（）
A. 菱形的四个内角都是直角 B. 矩形的对角线互相垂直
C. 正方形的每一条对角线平分一组对角 D. 平行四边形是轴对称图形
6.若一个正多边形的每一个内角为，则这个正多边形的边数是（ ）
A. 14 B. 13 C. 12 D. 11
7.如图，一次函数和的图象交于，则不等式组的解集为（ ）
A. B. C. D.
8.X射线因其极强的穿透性被广泛用于医学（如），工业（如金属探伤），治安（如机场安检）等领域．如图1，将一个厚度均匀的零件（图中阴影部分）放置在平面直角坐标系中．射线和射线是两条从原点开始分别沿x轴正半轴，y轴正半轴匀速运动的X射线，其中t为运动时间．当X射线穿过零件时会发生衰减，根据衰减情况我们可以得到射线与零件重合部分的所有线段长度之和为，与零件重合部分的所有线段长度之和为．已知和的函数图象分别如图2，图3所示，则说法错误的是（ ）
A. B.
C. 零件中心的小孔是正方形 D. 该零件的面积是12
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ．
10.如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB且E为垂足，如果∠A＝125°，则∠BCE＝ .
11.若正比例函数的图象经过第一、三象限，请你写出一个符合上述条件的的值 ．
12.将一次函数y=3x+b（b为常数）的图象向下平移2个单位长度，若平移后的一次函数图象经过点（-1，2），则b的值为 .
13.如图：分别以A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B、D，依次连接A，B，C，D和．若，，则四边形的面积为 ．
14.如图，在中，D、E分别是边、的中点，F是延长线上一点，且，若，，则 （用含m、n的式子表示）．
15.如图，平平同学从刘徽设计的“青朱出入图”出发，将两个边长不等的正方形纸片，剪拼成一个大正方形纸片．，，为剪痕与原正方形边的交点，已知，．那么正方形的边长为 ．
16.如图，正方形的边长为4，，过点A作的垂线，垂足为N，过点C作的垂线，垂足为P，连接交于点M，连接，设的周长为l，当°时，l的取值范围是 ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.计算：
(1) ；
(2) ．
四、解答题：本题共9小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
一个一次函数，当自变量时，函数值；当时，函数值．
(1) 求这个一次函数的解析式；
(2) 在所给平面直角坐标系中画出该函数的图象，并直接写出图象与两条坐标轴围成的三角形面积；
(3) 当时，自变量的取值范围是 ．
19.(本小题6分)
下面是正正同学设计的“依据等腰三角形作菱形”的作图过程．
已知：等腰中，．
求作：点，使得四边形为菱形．
作法：①作的角平分线，交线段于点；
②以点为圆心，线段的长为半径画弧，交线段的延长线于点；
③连接、．
点即为所求．
(1) 使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2) 完成下面的证明．
证明：，平分，
， ．
，，
四边形为平行四边形（ ）（填推理的依据）．
，
四边形为菱形（ ）（填推理的依据）．
20.(本小题6分)
在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，与过点且平行于轴的直线交于点．
(1) 求该函数的表达式及点的坐标；
(2) 当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围．
21.(本小题6分)
在 ABCD，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF.
(1) 求证：四边形BFDE是矩形；
(2) 若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB.
22.(本小题6分)
某外卖平台招聘外卖骑手，并提供了如下两种日工资方案：
方案一：每日无底薪，每完成一单外卖业务提成6元．
方案二：每日底薪120元，外卖业务的前30单没有提成，超过30单的部分，每完成一单提成10元．
设骑手每日完成的外卖业务量为单为正整数，方案一、方案二中骑手的日工资分别为元，元．
(1) 直接写出，关于的函数关系式；
(2) 小林是此外卖平台的一名骑手，他想日工资达到300元，从外卖业务量的角度考虑（越少越好），小林应该选择哪种方案？说明理由．
23.(本小题8分)
为提升学生的跳绳能力，学校为同学们安排了“活力跳跳营”课程．该课程分为体能提升（不含跳绳）和跳绳训练两个阶段：先进行T天（T可取0、2、4或6）的体能提升，从第天开始进入跳绳训练，每日跳绳训练后安排课堂测试，当跳绳的个数达到合格标准时立即停止跳绳．体育老师根据以往经验制定的课堂测试合格标准为：一名同学在跳绳训练的第x天跳绳个数为y个．经统计，对于给定的T，可以认为y是x的函数．当和时，部分数据如下：
x 1 2 3 4 5 6 7 8
时y的值 30 55 75 90 100 m 107 110
时y的值 70 120 155 170 180 185 188 190
时，从跳绳训练的第2日起，合格标准中每一日比前一日多跳的跳绳个数逐渐减少或保持不变．
对于给定的T，在平面直角坐标系中描出该T值下各有序数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线．
当和时，曲线，如图所示．
解答下列问题：
(1) 观察曲线，当跳绳训练天数x为第 天时，当天课堂测试的跳绳合格个数首次超过100；
(2) 表中m= ，并在给出的平面直角坐标系中画出时的曲线；
(3) 小月同学报名参加了学校的“活力跳跳营”课程．
①若小月的目标是在课堂测试中完成跳绳个数不少于150个，在T= 0、2、4、6四种训练方案中，小月最早在参加课程（包含体能提升和跳绳训练）的第 天可以完成目标．
②若课程的总天数均为8天，小月应该选择安排 天的体能提升训练，能使自己在课堂测试中的累计跳绳个数最多．
24.(本小题6分)
已知正方形和等腰直角三角形．连接、．
(1) 点P为线段的中点，连接
①如图所示，当点、分别在边、上时，请直接写出与之间的关系；
②将绕点旋转到图的位置，请写出与之间的数量关系并证明；
(2) 将△绕点旋转到图的位置，作于点，设、的长分别为、，则的值是 （用含，的式子表示）．
25.(本小题9分)
阳阳发现：利用公式可以把一些含根号的式子写成另一个式子的平方，如：
【问题解决】请你仿照阳阳的方法解决下面问题：
(1) 若（a，b为正整数），则 ；
(2) 已知n为正整数，化简= ；
(3) 【拓展延伸】
计算，请直接写出最后的化简结果．
26.(本小题9分)
电脑屏幕上的图形是由像素组成的．如果用放大镜观察电脑屏幕，我们会发现：屏幕上的图形，实际上是由若干个小正方形拼合而成的近似图形．据此，小赵同学进行了如下研究：
已知是由个边长为1的小正方形组成的网格(为正整数)．对于平面直角坐标系中的图形，我们按如下规则对进行染色：首先将水平放置在平面直角坐标系中，使得它的中心点与原点重合；此时，如果图形与某个小正方形的内部（不含边界）有交点，就将这个小正方形染成黑色，否则就将它染成白色．我们将这样染色后的网格称为图形的“阶马赛克”．
例如：图1和图2分别为函数的图像及其对应的“4阶马赛克”．
(1) 在下面的网格中画出直线的“4阶马赛克”；
(2) 对于实数，如果存在实数b，使得直线的“2阶马赛克”如下图所示，则k的取值范围是 ；
(3) 已知点，直线经过点．点从点出发沿水平方向向右移动，过点Q作直线的垂线，垂足为．已知当出发后，线段的“1阶马赛克”依次如下图所示，则的取值范围是 ．
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】x≥6
10.【答案】35
11.【答案】3/（即可）
12.【答案】7
13.【答案】24
14.【答案】/
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】【小题1】
解：
；
【小题2】
解：
．

18.【答案】【小题1】
解：设一次函数的解析式为，
，
解得：，
一次函数的解析式为；
【小题2】
解：由题意可知，函数图象过点和，
画函数图象如下：
令，则，
图象与两条坐标轴围成的三角形面积为；
【小题3】


19.【答案】【小题1】
解：如下图，
【小题2】

对角线互相平分的四边形是平行四边形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形

20.【答案】【小题1】
解：∵函数的图象经过点，
∴，
解得，
∴函数的解析式为，
∵函数与过点且平行于轴的直线交于点，
∴将代入，得
，
∴；
【小题2】
解：如图
当时，
，
∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值
∴，
解得．

21.【答案】【小题1】
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB// CD．
∵BE// DF，BE=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴四边形BFDE是矩形；
【小题2】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB// DC，
∴∠DFA=∠FAB．
在Rt△BCF中，由勾股定理，得
BC===5，
∴AD=BC=DF=5，
∴∠DAF=∠DFA，
∴∠DAF=∠FAB，
即AF平分∠DAB．

22.【答案】【小题1】
解：方案一日工资函数：（x为正整数），
方案二日工资分两段计算：当且为正整数时，日工资为固定底薪：，
当且为正整数时，，
答：函数关系式为（为正整数）；，且x为正整数；
【小题2】
解：当时，
，
解得，
当时，
，
解得，
∵，
∴从外卖业务量的角度考虑（越少越好），小林应该选择方案二．

23.【答案】【小题1】
3
【小题2】
解：∵时，从跳绳训练的第2日起，合格标准中每一日比前一日多跳的跳绳个数逐渐减少或保持不变，
而在跳绳训练的第5天跳绳个数为100个，在跳绳训练的第7天跳绳个数为107个，在跳绳训练的第8天跳绳个数为110个，
∴第5天和第7天相差（个），
第7天和第8天相差（个）
∴把7分成4和3，即第6天增加4个，第7天增加3个，第8天增加3个才符合题意，
∴．
画出时的曲线如图：
【小题3】
7
2

24.【答案】【小题1】
解：①∵四边形是正方形，
∴，
∵等腰直角三角形
∴
∴
∴
∴，
∵点P为线段的中点，
∴
∴；
∵
∴
如图，延长交于点，
设，则，
∴，
∴，
∴；
②
证明：如图，过点作交的延长线于点，连接，
∴，
∴
∵四边形是正方形，
∴，，
∴
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
∵点P为线段的中点，
∴
∴，即
【小题2】


25.【答案】【小题1】
5
【小题2】

【小题3】
解：
∵
，
∴，
即，
∴，
∴
．

26.【答案】【小题1】

【小题2】

【小题3】


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