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北京市第十五中学2025—2026学年度第二学期八年级数学期中试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.式子有意义, 则x的取值范围是( )
A. x1 B. x1 C. x>1 D. x<1
2.下列各组数中，不能构成直角三角形的是（）
A. 3，4，5 B. 1，1， C. 5，12，13 D. 4，6，8
3.下列各式计算正确的是（）
A. B. C. D.
4.正方形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）
A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线互相平分
5.对于一次函数，下列结论错误的是（ ）
A. 当x增加1时，y增加1 B. 函数值y随自变量x的增大而增大
C. 函数图象不经过第四象限 D. 函数图象与x轴交点坐标是
6.如图，每个小正方形的边长为1，在△ABC中，点D为AB的中点，则线段CD的长为（ ）
A. B. C. 3 D.
7.若矩形的宽为3.6，对角线相交所成钝角为，则对角线的长为（ ）
A. 3.6 B. 7.2 C. 1.8 D. 14.4
8.如图，在平面直角坐标系中，将置于第一象限，且轴．直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图2所示，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，共18分。
9.函数的自变量x的取值范围为 .
10.计算：＝ ．
11.如果直角三角形的两条边长分别为2和3，那么它的第三条边长为 .
12.如图，菱形在平面直角坐标系中，，若，则菱形的面积为 ．
13.在矩形纸片中，，将其折叠，使点与点重合，折痕为， ．
14.学校发起为儿童福利院捐书包的活动，每个书包60元．张华现有积攒的零花钱480元，记他用零花钱捐献的书包数为x个，剩余的钱数为y元，写出y关于x的函数解析式（不要求注明自变量取值范围） ．
15.《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，它奠定了中国传统数学的基本框架．其中记录的一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高丈（丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根尺，若设折断处离地面的高度为尺，则根据勾股定理，可列方程为： ．
16.对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．如图，已知四边形是“中方四边形”，四边形是它的中点四边形．
(1) 若线段的长度为，的长为 ；
(2) 若线段的长度为，则的最小值为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.计算：
(1)
(2)
四、解答题：本题共9小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
如图，在中，，于点，求的面积和斜边上的高．
19.(本小题6分)
已知一次函数的图象经过两点．
(1) 求的值；
(2) 若一次函数的图象与轴，轴的交点分别为．求交点坐标以及函数图象与坐标轴围成三角形的面积（为坐标原点）．
20.(本小题6分)
如图，在中，点是线段的中点．求作：线段，使得点在线段上，且．
作法：①连接，②以点为圆心，长为半径作弧，再以为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点；③连接，交于点，所以线段即为所求的线段．
(1) 使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
(2) 完成下面的证明：
证明：连接，，
∵ ， ，
∴四边形是平行四边形．
（ ）（填推理的依据），
∵交于点，
∴，即点是的中点．
（ ）（填推理的依据），
∵点是的中点，
∴（ ）（填推理的依据）．
21.(本小题6分)
如图，在Rt中，，D是AB的中点，F是CD的中点，过点C作交BF延长线于点E．
(1) 求证：四边形是菱形；
(2) 若，菱形的面积为，求的长．
22.(本小题8分)
小刚在研究弹簧的伸长量与所受拉力的关系时，准备了两个弹簧：弹簧A（1号弹簧）和弹簧B（2号弹簧）．弹簧A是均匀的线性弹簧，而弹簧B是根据特殊材料设计的非线性弹簧．小刚分别对两个弹簧施加不同的拉力（单位：），并记录了弹簧的伸长量（单位：），部分数据如下：
(1) 补全表格（结果保留小数点后一位）．
0 1 2 3 4 5 6
0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
0 0.8 1.4 1.9 2.3 2.6 2.9
(2) 通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；
(3) 根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①当拉力为时，弹簧 B的伸长量与弹簧A的伸长量的差约为 （结果保留小数点后一位）．
②在①的条件下，若将弹簧B的一部分拉力转移到弹簧A上，当两弹簧的伸长量相同时，其伸长量约为 （结果保留小数点后两位）．
23.(本小题6分)
如图，四边形是正方形，以点A为中心，将线段顺时针旋转，得到线段，连接，．
(1) 求的度数；
(2) 过点B作于点F，连接，依题意补全图形，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
24.(本小题8分)
阅读与思考：下面是小逸同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
作矩形的最大内接菱形的方法顶点在矩形边上的菱形叫做矩形的内接菱形．在实践活动课上，数学老师提出来一个问题“如何从一张矩形纸片中制作出一个最大的内接菱形”．实践小组成员经过思考后，分别给了3种不同的方法．方法一：通过折，将矩形纸片横对折后再竖对折，沿对角线剪一刀得到一个直角三角形，展开后就是菱形（如图1），则四边形是矩形的内接菱形．方法二：通过叠，取两个大小一样的矩形纸片，让两矩形的长两两相交，重叠的部分形成四边形，则四边形也是矩形的内接菱形．（如图2）方法三：通过尺规作图，作矩形的对角线的垂直平分线，与边交于点E，与边交于F，连接，，则四边形是矩形的内接菱形．实践小组通过三种方法得到的菱形进行分析，讨论，计算，对比，从而得出矩形的最大内接菱形．
任务：
(1) 图一菱形的面积与矩形的面积之比为
(2) 尺规作图：请你在图3中完成日记中的“方法三”的作图过程．（保留作图痕迹，不要求写作法）
(3) 若在矩形中，，，请你根据日记中三种方法，通过计算求出此矩形的内接菱形的面积最大值．
25.(本小题8分)
阅读并回答问题:为了化简，我们尝试找到两个数、，使且，则可将化为，即，从而使得化简．
例如，，
所以．
请仿照上例化简下列根式。
(1) ；
(2) ；
(3) 计算：．
26.(本小题6分)
通过学习勾股定理的证明，我们发现借助面积相等，可以把很多图形拼成正方形．如图（1）把两个边长为的正方形分别沿对角线剪开，将所得的个直角三角形拼在一起，就得到了一个边长为的大正方形．如图（2）是由个边长为的小正方形组成的图形，这个图形按图（3）的方式剪裁，并进行一定的旋转拼接，可拼成图（4）中的大正方形．
(1) 图（4）中拼成的正方形的边长为 ；
(2) 仿照上面的做法，将图（5）中这十个小正方形组成的图形，拼成一个大正方形，请在图（5）中画出裁剪方法，并求出拼成的正方形边长；
(3) 网格中的六边形是由边长为的正方形左上角剪去边长为的正方形所得，该六边形按一定的方法也可剪拼成一个正方形，则这个正方形的边长为 ；
如图甲，把六边形沿裁剪线，剪成①②③三部分，请在图甲中画出将②③与①拼成的正方形，然后标出②③变动后的位置．在图乙中画出一种与图甲不同位置的两条裁剪线，并在图乙中画出将此六边形剪拼成的正方形．
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】x≠-1
10.【答案】11
11.【答案】或
12.【答案】
13.【答案】5
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】【小题1】

【小题2】

17.【答案】【小题1】
解：
；
【小题2】
解：
.

18.【答案】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设的高为，
则.

19.【答案】【小题1】
解：把，两点坐标代入，
得，，
解得：，；
【小题2】
解：由（1）得，，即，
当时，；
当时，；
∴，，
∴的面积为．

20.【答案】【小题1】
解：如图所示：
①连接，②以点为圆心，长为半径作弧，再以为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点；③连接，交于点，所以线段即为所求的线段；
【小题2】
AM

两组对边分别相等的四边形是平行四边形
平行四边形对角线互相平分
三角形的中位线平行于三角形的第三条边且等于第三边的一半

21.【答案】【小题1】
证明：∵，
∴．
∵点F是的中点，
∴，
∴，
∴．
在中，点D是的中点，
∴，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形；
【小题2】
解：连接，
∵四边形是菱形，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．
∵菱形的面积是，
∴，
解得．
根据勾股定理，得．

22.【答案】【小题1】
3.0
【小题2】
解：如下图函数图象即为所求：
【小题3】
0.4
1.95

23.【答案】【小题1】
解：在正方形ABCD中，AB=AD=BC，，
，
，，
【小题2】
解：，
理由：根据题意补全图形，连接BD，
，
，
由（1）知，
，
，
在中，，
，
又，
，
，
，
，
，

24.【答案】【小题1】

【小题2】
解：先连接对角线，
以点A为圆心，大于线段一半长度为半径画弧，
以点C为圆心，同样长度为半径画弧，两弧交于M，N两点，
连接M，N两点，所得直线与边交于点E，与边交于点F，
则四边形即为所求：
【小题3】
解：方法一：在矩形中，，，
∴，
由（1）可知，菱形的面积与矩形的面积之比为，
∴菱形的面积为；
方法二：设菱形边长为x，即，
∵，，
∴，
在中，，
即，解得，
∴菱形边长为10，
∴菱形的面积为；
方法三：由方法二可知，同理可得菱形边长为10，
∴菱形的面积为；
∵，
∴此矩形的内接菱形的面积最大值为60．

25.【答案】【小题1】
【小题2】
【小题3】
解：
．

26.【答案】【小题1】

【小题2】
解：∵正方形的面积为，
∴正方形的边长为；
裁剪方法及拼接后的正方形如图所示；
【小题3】
解：∵正方形的面积为，
∴正方形的边长为，
裁剪方法及拼接后的正方形如图所示.

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