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北京市育才学校2025—2026学年度第二学期八年级数学学科期中考试试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列根式中，是最简二次根式的是（）
A. B. C. D.
2.下列各组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（）
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
3.在中，的对边分别为，且．下列结论正确的是（ ）
A. 为直角 B. 为直角
C. 为直角 D. 不是直角三角形
4.如图，在菱形ABCD中，已知∠A=60°，AB=5，则△ABD的周长是（　　）
A. 10
B. 12
C. 15
D. 20
5.一次函数的图象一定经过的点是（ ）
A. B. C. D.
6.在同一平面直角坐标系中，直线和直线的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
7.如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器，离地距离米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高米的学生刚走到离门间距米的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度为（ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
8.在矩形中，，，动点P从点A出发，沿路线作匀速运动，连接，则的面积y与动点P的运动路程x之间的函数图象为（ ）
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共9小题，每小题2分，共18分。
9.函数中，自变量x的取值范围是 ．
10.一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的每个内角为 度．
11.把直线向上平移个单位得到直线，则得到的新直线的解析式是 ．
12.若点和点在一次函数的图象上，则 （用“＞”、“＜”或“＝”连接）．
13.某计算程序如图所示，当输入x＝7时，输出y＝ ．
14.如图，在菱形中，对角线，交于点O，，．则菱形的面积是 ．
15.如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为 ．
16.如图1，在正方形中，点E是边的中点，点P是对角线上一动点，设，，图2是y关于x的函数图象，则图象上最低点Q的纵坐标是 ．
17.“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合的典型体现．如图，大正方形是由四个全等的直角三角形和小正方形组成．若，，则阴影部分的面积为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共7分。
18.化简：
(1)
(2)
四、解答题：本题共8小题，共59分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题7分)
如图，E，F为平行四边形ABCD的对角线BD上的两点，且BE=DF．求证：AE∥CF．
20.(本小题7分)
下面是小明设计的作矩形的尺规作图过程．
已知：中，．
求作：矩形．
作法：如图
①以点A为圆心，长为半径作弧；
②以点C为圆心，长为半径作弧，两弧交于点D（点D与点B在直线异侧）；
③连接、．
则四边形就是所求作的矩形．
根据小明设计的尺规作图过程，
(1) 使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
(2) 完成下面的证明（括号里填推理的依据）．
证明： ① ， ②，
∴四边形是平行四边形（ ③）．
又，
∴四边形是矩形（ ④ ）．
21.(本小题7分)
如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是
(1) 如图1，四边形的顶点均在格点上，则长为 ， ．
(2) 请利用图2的正方形网格的格点画一个三角形，满足三边的长分别为，，．
22.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点，且平行于直线．
(1) 求一次函数的解析式；
(2) 求该一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积．
(3) 当时，对于的每一个值，一次函数的值都小于一次函数的值，直接写出的取值范围．
23.(本小题7分)
如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF=BE，连接DF．
(1) 求证：四边形AEFD是矩形；
(2) 若AC=4，∠ABC=60°，求矩形AEFD的面积．
24.(本小题7分)
为了探究函数的图象与性质，甲同学根据学习一次函数的经验，借助函数的图象与性质进行了探究．下面是甲同学的探究过程：
第一步：的自变量的取值范围是全体实数；
第二步：与的几组对应值：
… 0 1 2 …
… 1 0 0 3 …
第三步：建立平面直角坐标系，画出函数图象；
第四步：借助函数图象研究该函数的性质．
(1) 补全表格，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象：
(2) 观察的函数图象，可得以下结论：
①当 时，函数有最小值为 ；
②当 时，随的增大而增大；
③若直线与的图象有且只有一个交点，则的取值范围是 ．
25.(本小题7分)
如图，在正方形中，E是边上的一点（不与A，D重合），连接，点B关于直线的对称点是点F，连接，，直线与直线交于点P，连接与直线交于点Q．
(1) 依题意补全图形；
(2) 求的度数；
(3) 用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
26.(本小题9分)
在平面直角坐标系中，如果P，Q为某个菱形相邻的两个顶点，且该菱形的两条对角线分别与x轴，y轴平行，那么称该菱形为点P，Q的“相关菱形”．图1为点P，Q的“相关菱形”的一个示意图．已知点A的坐标为，点B的坐标为，
(1) 如果，那么R，S，T中能够成为点A，B的“相关菱形”顶点的是 ；
(2) 如果点A，B的“相关菱形”为正方形，求点B的坐标．
(3) 如图2，在矩形中，F．点M的坐标为，如果在矩形上存在一点N，使得点M，N的“相关菱形”为正方形，直接写出m的取值范围．
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】B
9.【答案】x≥3
10.【答案】120
11.【答案】
12.【答案】＞
13.【答案】2
14.【答案】24
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】 /
18.【答案】【小题1】
解：
；
【小题2】
解：
．

19.【答案】证明：
连接AC交BD于点O，连接AF，CE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC，
∵BE=DF，
∴OB-BE=OD-DF
即OE=OF．
∴四边形AECF是平行四边形，
∴AE∥CF．
20.【答案】【小题1】
解：如图，
【小题2】

两组对边分别相等的四边形是平行四边形
有一个角是直角的平行四边形是矩形

21.【答案】【小题1】


【小题2】
解：如图所示，图中即为所求，其中，，
（答案不唯一，合理即可）


22.【答案】【小题1】
解：∵一次函数的图象过点，且平行于直线，
∴解得：，
即：；
【小题2】
解：当时，；
当时，，
∴；
【小题3】
解：∵，
∴，
∵当时，对于的每一个值，一次函数的值都小于一次函数的值，
∴，解得：.

23.【答案】【小题1】
证明：∵ 菱形ABCD
∴AD // BC ， AD=BC
∵CF=BE
∴BC=EF
∴AD // EF，AD=EF
∴四边形AEFD是平行四边形
∵AE⊥BC
∴∠AEF=90°
∴平行四边形AEFD是矩形
【小题2】
根据题意可知∠ABE=∠DCF,AB=CD,CF=BE
∴△ABE≌△DCF (SAS)
∴矩形AEFD的面积=菱形ABCD的面积
∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形
AC=4，AO=2，AB=4，由菱形的对角线互相垂直可得BO=
矩形AEFD的面积=菱形ABCD的面积=

24.【答案】【小题1】
解：当时，；
当时，；
当时，，
函数图象为：
故答案为：，1，2．
【小题2】


或

25.【答案】【小题1】
解：补全图形如图所示：
【小题2】
解：∵四边形是正方形，
∴，．
∵点B，F是关于直线对称，
∴，．
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，即．
【小题3】
解：，证明如下：
过点C作交延长线于点H．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
在中，．
∴．

26.【答案】【小题1】
【小题2】
如图2中，过点A作垂直x轴于H点．
∵点A，B的“相关菱形”为正方形，
∴为等腰直角三角形．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴或5．
∴B点的坐标为或．
【小题3】
如下图所示：当点N与点E重合时，过点M作MG⊥x轴，垂直为G．
∵点M，N的“相关菱形”为正方形，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴．
如下图所示：当点N与点O重合时，过点M作轴，垂直为G．
∵点M，N的“相关菱形”为正方形，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴．
∴m的取值范围是：．

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