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人教版2026·八年级下册
第二十四章 数据的分析
24.2数据的离散程度（第1课时）
学习目标
体会刻画数据离散程度的意义，会计算一组简单数据的离差平方和、方差．
一
会初步运用离差平方和、方差解决实际问题.
二
情境引入
刻画数据的集中趋势
统计量
平均数
中位数
众 数
离差平方和
方 差
四分位数
引言 在数据分析中，除了集中趋势，数据的波动情况也是人们经常关注的特征，统计中把它称为数据的离散程度.
刻画数据的离散程度
问题 某农业科学院专家为某地选择合适的甜玉米种子，选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是专家所关心的问题，为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，专家各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量（单位：t）如下表所示.
根据这些数据估计，专家应该选择哪种甜玉米种子呢
合作探究
由样本平均数估计总体平均数.
合作探究
分析：上面两组数据的平均数分别是
=7.537，=7.515.
说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大。由此可以估计出这个地区种植这两种甜玉米，它们的平均产量相差不大.
分析：为了直观地观察甲、乙两种甜玉米在各试验田产量的分布情况，我们把表中的两组数据分别用图形进行描述，如下图所示.
甲种甜玉米的产量 乙种甜玉米的产量
产量波动较大，多个产量离平均产量较远.
产量波动较小，较集中地分布在平均产量附近.
合作探究
合作探究
甲种甜玉米的产量 乙种甜玉米的产量
数据与平均数的差异相对较大
数据与平均数的差异相对较小
思考 从直观上判断乙种甜玉米的产量稳定性更好，如何用一个值刻画一组数据的波动程度或离散程度呢？
为了全面反映一组数据的离散程度，可以通过数据与平均数的差异来刻画.
离差的概念
数据 1 5 3 6 10
平均数 5
离差
4
0
2
1
5
合作探究
一般地，有n个数据，，…，，用表示它们的平均数，我们把-（=1，2，…，n）叫作关于平均数的离差.
数据 1 5 3 6 10
平均数 5
离差 4 0 2 1 5
思考 可以用平均离差刻画一组数据的离散程度吗
怎样做可以避免离差求和时正负抵消？
合作探究
离差平方和的概念
分析：避免离差求和时正负抵消，可以对离差进行平方，也可以取离差的绝对值.由于含有绝对值的式子的数学性质不如含有平方的式子，在统计中更多用离差的平方.
合作探究
方差反映了每个数据与平均数的平均差异程度，能较好地反映出数据的离散程度，是刻画数据离散程度最常用的统计量.
方差越大，数据的离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小.
根据样本数据计算得到的方差，叫作样本方差；根据总体数据计算得到的方差，叫作总体方差.
合作探究
数据 1 5 3 6 10
平均数 5
离差 4 0 2 1 5
离差平方和
方差
46
9.2
由样本方差估计总体方差.
合作探究
由此可知，在试验田中，乙种甜玉米的产量比较稳定。因此可以推测，在这个地区种植乙种甜玉米的产量比种植甲种的稳定。综合考虑甲、乙两个品种的平均产量和产量的稳定性，可以推测这个地区比较适合种植乙种甜玉米.
分析：离差平方和可以刻画一组数据的离散程度.
1.方差是离差平方的平均数.在数值上看，当离差绝对值大于1时，平方会使其值更大；当离差绝对值小于1时，平方会使其值更小.
2.在比较两组数据的离散程度时，离差平方和只适用于数据个数相同的情况，而方差则不受这个限制.
思考 用离差平方和是否可以刻画数据的离散程度？和方差比较，有什么不足
合作探究
例1 甲、乙两名气手枪运动员进行射击训练，10次射击成绩（单位：
环）如下表所示.
哪名射击运动员的发挥更稳定
甲 9 7 9 10 10 8 9 10 5 10
乙 9 10 7 8 10 9 9 8 7 9
典例分析
1.已知一组数据为2，3，4，5，6，求该组数据的离差平方和．
巩固练习
2.如图，有4组数据，将这4组数据按离散程度从小到大排序，先通过直
观判断排序，再根据方差排序.这两种排序的结果是否一致
（1）
（2）
（3）
（4）
四组数据的方差分别为
0，0.4，2，3.2.
巩固练习
3.根据方差比较第149页“问题1”中两组跳绳成绩的离散程度.
问题1 甲、乙两组同学的跳绳成绩（单位：次/min）如下：
甲组 182 194 143 185 156
乙组 199 148 242 170 141
你认为哪组的跳绳成绩更好
巩固练习
数据的离散程度
离差 一般地，有n个数据x1，x2，…，xn，用表示它们的平均数，我们把 （i=1，2，…，n）叫作xi关于平均数的离差.
离差平方和 把 叫作这n个数据关于平均数的离差平方和，记作“d2”.
方差 把离差的平方的平均数 叫作这组数据
的方差，记作“s2”.
方差越大，数据的离散程度 ；方差越小，数据的离散程度 .
越大
越小
归纳总结
课堂小结
数据的
离散程度
离差平方和
方差
感受中考
1.（2024年黑龙江龙东地区）一组数据2，3，3，4，则这组数据的方差为（ ）
A．1 B．0.8 C．0.6 D．0.5
D
2.（2025年河南）为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取20株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为S2甲=3.6，S2乙=5.8，则这两种小麦长势更整齐的是________（填“甲”或“乙”）.
甲
感受中考
3.（2025年四川泸州）某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个2）如下表所示：
根据表中数据，要从中选择一名
成绩好且发挥稳定的同学参加比
赛，应选择（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
B
感受中考
甲 乙 丙 丁
平均数 205 217 208 217
方差 4.6 4.6 6.9 9.6
4.（2025年山西）下表记录了某市连续五天的日最高气温和日最低气温．比较这五天的日最高气温与日最低气温的波动情况，下列说法正确的是（ ）
A．日最高气温的波动大 B．日最低气温的波动大
C．一样大 D．无法比较
A
感受中考
日期 气温 2月2号 2月2号 2月2号 2月2号 2月2号
最高/℃ 12 6 10 9 8
最底/℃ 1 -2 -1 0 2
5.（2025年山东烟台）求一组数据方差的算式为：
．
由算式提供的信息，下列说法错误的是（ ）
A．n的值是5
B．该组数据的平均数是7
C．该组数据的众数是6
D．若该组数据加入两个数7，7，则这组新数据的方差变小
C
感受中考
6.（2024年甘肃兰州）甲，乙两人在相同条件下各射击10次，两人的成绩（单位：环）如图所示，现有以下三个推断：
①甲的成绩更稳定；
②乙的平均成绩更高；
③每人再射击一次，乙的
成绩一定比甲高．其中正
确的是______．（填序号）
①②
感受中考
下 课
Thanks!
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