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（苏科2024版）《第12章定义、命题、证明》
期末复习综合检测卷
时间：120分钟 试卷满分：120分
选择题（每小题3分，共10个小题，共30分）
1．下列句子中，是真命题的是（ ）
A．你的作业做完了吗？ B．负数都小于0
C．过直线l外一点作l的平行线 D．相等的角是对顶角
【答案】B
【分析】可以判断真假的陈述句是命题，正确的命题是真命题，再逐项判断即可．
【详解】解：选项A是疑问句，不能判断真假，不是命题，不符合要求；
选项B“负数都小于0”是能判断真假的陈述句，且结论正确，因此是真命题，符合要求；
选项C是作图指令，不是能判断真假的陈述句，不是命题，不符合要求；
选项D“相等的角是对顶角”是命题，但相等的角不一定是对顶角，结论错误，是假命题，不符合要求．
2．下列语句中真命题的个数是（ ）
①两直线平行，同旁内角相等；
②命题“对顶角相等”是真命题；
③若，，则；
④在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据平行线性质、对顶角性质、平行线判定、垂线的基本事实，逐一判断各命题真假，统计真命题个数即可．
【详解】解：①两直线平行，同旁内角互补，原命题错误，是假命题．
②对顶角的性质为对顶角相等，因此“对顶角相等”是真命题，原命题正确，是真命题．
③该命题未限定在同一平面内，不在同一平面时，满足，，与不一定平行，原命题错误，是假命题．
④根据垂线的基本事实，在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题正确，是真命题．
综上，真命题共有2个．
3．如图，在中，点在的延长线上，点在上，且，，，则的度数为(　　)

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平行线的性质可以求得的度数，然后即可得到的度数，再根据三角形内角和，即可求得的度数．
【详解】解： ，，
，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查平行线的性质、三角形内角和，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
4．要说明命题“若，则”是假命题的反例可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了假命题和反例，解题的关键是掌握反例的定义．
假命题的反例需满足命题的题设，但不满足命题的结论，据此分析选项即可．
【详解】解：∵当，时，
∴，，即成立，
又∵，即不成立，
∴此例可作为原命题的反例，
故选：B．
5．如图，直线、，，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据平行线的性质可得，再利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：如图：∵直线、，
∴，
∵，，
∴．
6．在探究证明三角形的内角和定理时，综合实践小组的同学们作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和是”的是（ ）
A．图①过点C作 B．图②作于点D
C．图③过上一点D作 D．图④延长到点F，过点C作
【答案】B
【分析】本题主要考查三角形内角和定理的证明，根据平行线的性质，平角的定义即可得解，熟练掌握三角形内角和定理的证明方法，是解决本题的关键．
作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题．
【详解】解：A、由，
得，．
由，
得．
故A不符合题意；
B、由于D，
得，
无法证得三角形内角和是．
故B符合题意；
C、由，
得，，．
由，
得，，
那么．
由，
得．
故C不符合题意，
D、由，
得，．
由，
得．
故D不符合题意；
故选：B．
7．将一副直角三角尺如图放置，已知，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先明确等腰直角三角尺的锐角、另一个三角尺的锐角，再由得内错角，最后利用三角形外角性质，算出．
【详解】解：一副直角三角尺的固定角度为：等腰直角三角尺的锐角，另一个三角尺的锐角，
∵，
∴，
∵是的外角，
∴．
8．某人从A点出发，沿着六边形的公园逆时针转了一圈又回到了A处（如图）．如果在B，C，D，E，F五个转角处都转了，那么他在A处转过多少度角才能仍面向所指的方向（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查多边形外角和定理的应用，熟练掌握多边形外角和定理是解题的关键．
根据转过的角度之和等于多边形外角和，解答即可．
【详解】解：根据题意得：某人在途中转过了，
由于在B，C，D，E，F五个转角处都转了，
则他在A处转过的度数为
故选：D．
9．如图，在中，点分别在边上，将沿折叠至的位置，点的对应点为．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查与折叠有关的三角形的内角和问题，折叠的性质，得到，平角的定义，求出的度数，再利用三角形的内角和定理进行求解即可．
【详解】解：∵折叠，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故选A．
10．如果三角形的两个内角α与β满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．在三角形纸片ABC中，∠C＝100°，∠A＝∠B，将纸片沿着EF折叠，使得点A落在BC边上的点D处．设∠BED＝x°，则能使△BED和△CDF同时成为“准直角三角形”的x值为（　　）
A．10 B．25 C．30 D．70
【答案】A
【分析】先由三角形内角和定理求得∠A＝∠B＝40°，再由折叠性质求得∠EDF＝∠A＝40°，最后由“准直角三角形”定义求解即可．
【详解】解：∵∠C＝100°，∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝40°，
∵将纸片沿着EF折叠，使得点A落在BC边上的点D处，
∴∠EDF＝∠A＝40°，
当△BED为“准直角三角形”时，2∠DEB+∠B＝90°或∠DEB+2∠B＝90°，
∴2x+40°＝90°或x+2×40°＝90°，
∴x＝25°或x＝10°，
①当x＝25°时，即∠DEB＝25°，
∴∠CDE＝∠DEB+∠B＝65°，
∴∠CDF＝∠CDE﹣∠EDF＝25°，
∴∠CFD＝180°﹣∠C﹣∠CDF＝55°，
此时2∠CDF+∠CFD＝105°，2∠CFD+∠CDF＝135°，
∴△CDF不是“准直角三角形”；
②当x＝10°时，即∠DEB＝10°，
∴∠CDE＝∠DEB+∠B＝50°，
∴∠CDF＝∠CDE﹣∠EDF＝10°，
∴∠CFD＝180°﹣∠C﹣∠CDF＝70°，
此时2∠CDF+∠CFD＝90°，
∴△CDF是“准直角三角形”；
综上所述，能使△BED和△CDF同时成为“准直角三角形”的x值为10，
故选：A．
【点睛】本题考查新定义，折叠的性质，三角形内角和定理．理解新定义，掌握折叠的性质和三角形内角和定理是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共6个小题，共18分）
11．命题：“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”．请写出这个命题的题设是____．
【答案】两条平行线被第三条直线所截
【分析】命题的一般叙述形式为“如果……那么……”，其中“如果”所引出的部分是题设，“那么”所引出的部分是结论．
【详解】解：命题“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”可改写为“如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等”，因此这个命题的题设为两条平行线被第三条直线所截．
12．如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中等于________．
【答案】/度
【分析】本题主要考查三角形的内角和以及三角板的度数，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．根据三角板的度数得到，即可得到答案．
【详解】解：由题意可得：，，
．
故答案为：．
13．如图，在中，E为角平分线的延长线上一点，过点E作于点D，若，，则的度数为________ ．
【答案】
【分析】由E为角平分线的延长线上一点，得，则，因为，所以，由于点D，得，则，求得，所以，则，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵E为角平分线的延长线上一点，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵于点D，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
14．如图，的度数为___________．
【答案】/360度
【分析】本题考查了三角形外角的性质、四边形的内角和定理，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据三角形外角的性质得到，再根据四边形的内角和定理即可求解．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∵四边形的内角和为，
∴，
∴．
故答案为：．
15．马小虎在计算一个凸多边形的内角和时，由于粗心少算了2个内角，其和等于 ，则该多边形的边数是_________．
【答案】7或8
【分析】n边形的内角和为，多边形每个内角大于小于，因此少算的2个内角和的范围为，根据多边形内角和定理列出不等式，求解得到正整数n即可．
【详解】解：设少算的2个内角和为，该多边形的边数为n，
根据多边形内角和定理可得：，
整理得，
多边形每个内角满足内角，
∴少算的2个内角和的范围，
即，
移项得，
不等式同除以得，
为正整数，
∴或．
16．如图，在中，，，点D、E分别在的边上，连接，将沿折叠，交边于点F，且点与点C在直线的异侧．当的某条边与垂直时，________．
【答案】24或45
【分析】分三种情况：或或分别求解即可．
【详解】解：在中，，，
∴．
①如图，当时，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
；
∴①，
由折叠知，
∵，
∴
，②
∴得：；
∴，
由折叠知，
∴
；
②如图，当时，
则；
③如图，当时，不合题意；
综上可知，的度数为或．
三、解答题（共8个小题，共72分）
17．（8分）（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，点D，E分别是三角形的边，上的点，平分，．
(1)若，求的度数；
(2)点F在上，，求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查角平分线的定义、平行线的判定与性质、三角形的外角性质，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
（1）利用角平分线的定义和平行线的性质求得，进而利用三角形的外角性质求解即可；
（2）先利用同角的补角相等得到，则，然后利用平行线的性质可得结论．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
18．（8分）如图，，，．
(1)试说明：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的内角和定理；
（1）根据平行线的判定和性质定理即可得到结论；
（2）由平行线的性质及平角的定义可求解∠2的度数，再利用三角形的内角和定理可求解．
【详解】（1）∵，
∴（同旁内角互补，两直线平行）．
∴（两直线平行，同位角相等）．（两直线平行，内错角相等）．
∵，
∴．
∴（同位角相等，两直线平行）．
∴（两直线平行，内错角相等）．
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
19．（8分）如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明．
你选择的条件；________，结论：_____(填序号)．
【答案】①②③；④，证明见解析
【分析】本题考查了命题，平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂线的定义；
选择①②③为条件，④为结论组成一个命题．先由①得到 ，则根据平行线的性质得到，，再有②得到，所以，接着由③得到 ，然后根据平行线的性质得到，然后利用等量代换得到．
【详解】解：选择的条件：①②③，结论：④．
证明如下：，
，
，，
平分，
，
，
，，
，
，
．
故答案为：①②③；④．
20．（8分）如图，已知直线，给出下列信息：
①；②平分；③．
(1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 (只要填写序号)，并说明理由．
(2)在（1）的条件下，若比的倍少度，求的度数．
【答案】(1)①②；③；理由见解析
(2)
【分析】（1）由角平分线的定义可得，再根据等角的余角相等可得出，再由平行线的性质可得，从而结论得证；
（2）由（1）得：，根据比的倍少度，可得关系式，求得，，再根据即可得到的度数．
【详解】（1）解：条件：①②，结论：③．理由如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：①②；③．
（2）由（1）得：，
∵比的倍少度，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴．
∴的度数．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，等角的余角相等，平行线的性质，解方程组等知识．理解和掌握平行线的性质，等角的余角相等是解题的关键．
21．（9分）如图，在中，，，平分．
(1)若，，则_________；
(2)计算：若，求的度数；
(3)猜想：、、的关系_________．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先根据三角形内角和定理可计算出，再利用角平分线定义得，接着由得，根据三角形内角和得到，然后利用进行计算；
（2）由三角形内角和定理得，再根据角平分线定义得，接着利用互余得到，所以，然后整理得出，将其代入计算即可．
（3）同（2）得出，即可得到结论．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：∵，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（3）解：猜想：．
∵，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即．
故答案为：．
22．（9分）（1）探究一：如图1，与分别为的两个外角，
已知，，则的度数为________；
易得，与之间的数量关系为________．
（2）探究二：如图2，在四边形中，、分别是外角、的平分线，设，试说明与的数量关系；
（3）拓展应用：如图3，在（2）的条件下，作的平分线与的延长线交于点，在中，其中一个内角是另一个内角的4倍，请计算出所有符合条件的的值．
【答案】（1）； ．（2）；（3）或或或．
【分析】本题主要考查三角形外角性质、四边形内角和、角平分线性质及分类讨论思想，熟练掌握三角形与四边形的角度关系、角平分线性质，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．
（1）先利用三角形外角与内角的关系，结合已知角求出，再通过计算找出与的数量关系．
（2）利用四边形内角和、外角和以及角平分线的性质，推导出与（ ）的数量关系．
（3）先结合（2）的结论表示出内角，再根据“一个内角是另一个内角的倍”分情况列方程求解 ．
【详解】解：（1）求的度数及与的关系
∵是外角，，，
∴．
又∵是外角，，且，，，
∴，
∴．
∴，
，
∴ ．
故答案为：； ．
（2）四边形中，，
∴ ．
∵，，
∴ ．
又∵、分别平分、，
∴， ．
在中， ．
（3）由（2）知，平分，平分，
∴ ．
∴中，，即 ．
分四种情况讨论：
当时，，解得 ．
当时，，解得 ．
当时，，解得 ．
当时，，解得 ．
综上，的值为或或或．
23．（10分）我们定义：
在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”．
【概念理解】
如图1，，点在边上，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与，重合）
（1）的度数为　　 ，　　 （填“是”或“不是” “和谐三角形”；
（2）若，试说明：是“和谐三角形”．
【应用拓展】
（3）如图2，点在的边上，连结，作的平分线交于点，在上取点，使，．若△是“和谐三角形”，请直接写出的度数．
【答案】（1），不是（2）见解析（3）或者
【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质和判定，理解和谐三角形的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
（1）根据，得到，求得，得到，所以不是“和谐三角形”；
（2）因为是的一个外角，得到，求出，，所以，所以得到是“和谐三角形”；
（3）由，，得到，可以证明，得到，而，得到，由，得到，根据△是“和谐三角形”，即可求解．
【详解】解：（1），
，
，
，
不是“和谐三角形”；
故答案为：，不是；
（2）是的一个外角，
，
又，
，
，
，
是“和谐三角形”；
（3），，
，
，
，
而，
，
，
，
平分，
，
，
是“和谐三角形”，
或者
或者．
24．（12分）如图1，在一副三角板中，，， ．
(1)如图2，若一副三角板的直角顶点重合．
①当时，求的大小；②当平分时，判断与的位置关系，并说明理由；③当所在直线与所在直线互相垂直时，的度数为 ．
(2)如图3，，若三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒（），若边与三角板的一条直角边平行时，的值为 ．
【答案】(1)①；
②，理由见详解；
③或；
(2)或
【分析】本题主要考查平行线的性质与判定、三角形内角和及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质与判定、三角形内角和及三角形外角的性质是解题的关键．
（1）①由题意易得，则有，然后问题可求解；
②由题意易得，然后可得，进而问题可求解；
③当所在直线与所在直线互相垂直时，然后分两种情况进行分类求解即可；
（2）由题意可分当时，当时，进而分类求解即可．
【详解】（1）解：①∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
②，理由如下：
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴；
③当所在直线与所在直线互相垂直时，分两种情况：
Ⅰ、如图，于，交于点，
∵，
∴，
∴；
Ⅱ、如图，于，交于点，
∵，，
∴，
∴；
∴，
故答案为：或；
（2）解：边与三角板的一条直角边平行时，分两种情况：
①当时，如图，延长交于点，延长交于点，
由题意得：，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
解得：，
②当时，如图，
延长交于点，延长交于点，
由题意得：，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
故答案为：或．
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（苏科2024版）《第12章定义、命题、证明》
期末复习综合检测卷
时间：120分钟 试卷满分：120分
选择题（每小题3分，共10个小题，共30分）
1．下列句子中，是真命题的是（ ）
A．你的作业做完了吗？ B．负数都小于0
C．过直线l外一点作l的平行线 D．相等的角是对顶角
2．下列语句中真命题的个数是（ ）
①两直线平行，同旁内角相等；
②命题“对顶角相等”是真命题；
③若，，则；
④在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，在中，点在的延长线上，点在上，且，，，则的度数为(　　)

A． B． C． D．
4．要说明命题“若，则”是假命题的反例可以是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，直线、，，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
6．在探究证明三角形的内角和定理时，综合实践小组的同学们作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和是”的是（ ）
A．图①过点C作 B．图②作于点D
C．图③过上一点D作 D．图④延长到点F，过点C作
7．将一副直角三角尺如图放置，已知，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．某人从A点出发，沿着六边形的公园逆时针转了一圈又回到了A处（如图）．如果在B，C，D，E，F五个转角处都转了，那么他在A处转过多少度角才能仍面向所指的方向（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在中，点分别在边上，将沿折叠至的位置，点的对应点为．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如果三角形的两个内角α与β满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．在三角形纸片ABC中，∠C＝100°，∠A＝∠B，将纸片沿着EF折叠，使得点A落在BC边上的点D处．设∠BED＝x°，则能使△BED和△CDF同时成为“准直角三角形”的x值为（　　）
A．10 B．25 C．30 D．70
二、填空题（每小题3分，共6个小题，共18分）
11．命题：“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”．请写出这个命题的题设是____．
12．如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中等于________．
13．如图，在中，E为角平分线的延长线上一点，过点E作于点D，若，，则的度数为________ ．
14．如图，的度数为___________．
15．马小虎在计算一个凸多边形的内角和时，由于粗心少算了2个内角，其和等于 ，则该多边形的边数是_________．
16．如图，在中，，，点D、E分别在的边上，连接，将沿折叠，交边于点F，且点与点C在直线的异侧．当的某条边与垂直时，________．
三、解答题（共8个小题，共72分）
17．（8分）（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，点D，E分别是三角形的边，上的点，平分，．
(1)若，求的度数；
(2)点F在上，，求证：．
18．（8分）如图，，，．
(1)试说明：；
(2)若，，求的度数．
19．（8分）如图，中，点，在边上，点，分别在边，上，连接，，．①，；②；③平分；④，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明．
你选择的条件；________，结论：_____(填序号)．
20．（8分）如图，已知直线，给出下列信息：
①；②平分；③．
(1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 (只要填写序号)，并说明理由．
(2)在（1）的条件下，若比的倍少度，求的度数．
21．（9分）如图，在中，，，平分．
(1)若，，则_________；
(2)计算：若，求的度数；
(3)猜想：、、的关系_________．
22．（9分）（1）探究一：如图1，与分别为的两个外角，
已知，，则的度数为________；
易得，与之间的数量关系为________．
（2）探究二：如图2，在四边形中，、分别是外角、的平分线，设，试说明与的数量关系；
（3）拓展应用：如图3，在（2）的条件下，作的平分线与的延长线交于点，在中，其中一个内角是另一个内角的4倍，请计算出所有符合条件的的值．
23．（10分）我们定义：
在一个三角形中，若一个角的度数是另一个角度数的4倍，则这样的三角形称之为“和谐三角形”．如：三个内角分别为，，的三角形是“和谐三角形”．
【概念理解】
如图1，，点在边上，过点作交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与，重合）
（1）的度数为　　 ，　　 （填“是”或“不是” “和谐三角形”；
（2）若，试说明：是“和谐三角形”．
【应用拓展】
（3）如图2，点在的边上，连结，作的平分线交于点，在上取点，使，．若△是“和谐三角形”，请直接写出的度数．
24．（12分）如图1，在一副三角板中，，， ．
(1)如图2，若一副三角板的直角顶点重合．
①当时，求的大小；②当平分时，判断与的位置关系，并说明理由；③当所在直线与所在直线互相垂直时，的度数为 ．
(2)如图3，，若三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒（），若边与三角板的一条直角边平行时，的值为 ．
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