资源简介

(共57张PPT)
21.1 认识一元二次方程
第21章 一元二次方程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
一元二次方程的定义
一元二次方程的一般形式
一元二次方程的解(根)
知识点
一元二次方程的定义
知1－讲
1
1. 定义 整式方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程 .
2. 一元二次方程的“三要素” 一是整式方程，二是只含一个未知数，三是整理后未知数的最高次数是 2.
知1－讲
特别提醒
次数是 2 的项的系数的取值范围不明 确的方程不一定是一 元二次方程，如：(m－2)x2＋3x－8＝0不一定是关 于x的一元二次方程.
知1－练
例 1
下列方程：① x2＋y－6＝0；② x2＋＝2；③ x2－x－2＝0；④ 2x2－3x＝2(x2－2). 其中是一元二次方程的有_______.(填序号)
解题秘方：紧扣一元二次方程的“三要素”进行识别 .
③
知1－练
解：①含有两个未知数；②不是整式方程；
③符合一元二次方程的“三要素”；
④整理后未知数的最高次数不是2 .
判断一个方程是否是一元二次方程，要从原方程及整理后的方程两方面进行判断 .
知1－练
1－1. [期中·新乡] 下列方程是关于x的一元二次方程的是( )
A. x＋－2＝0 B. ax2＋x＋3＝0
C. (x＋1)2＝2 D. 2x3＋x2＋2＝0
C
知2－讲
知识点
一元二次方程的一般形式
2
1. 一元二次方程的一般形式
ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是已知数，a ≠0 )，其中a、 b、c分别叫做二次项系数、 一次项系数和常数项.
特别提醒 如果方程ax2＋bx＋c＝0是一元二次方程，则必隐含a≠0 这一条件 .
知2－讲
2. 特殊形式
特殊形式 二次项系数 一次项系数 常数项
ax2＋bx＝0(a≠0，b≠0) a b 0
ax2＋c＝0(a≠0，c≠0) a 0 c
ax2＝0(a≠0) a 0 0
知2－练
把下列一元二次方程化为一般形式，并指出方程的二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)(x＋1)(x－2)＝4；
(2)2(x－3)(x＋4)＝x2－10；
(3)(2x＋1)(x－2)＝5－3x.
例 2
知2－练
思路导引：
知2－练
解：(1)整理方程，得x2－x－6＝0.
其中二次项系数为1，一次项系数为 －1，常数项为 －6.
(2)整理方程，得x2＋2x－14＝0.
其中二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为－14 .
(3)整理方程，得2x2－7＝0.
其中二次项系数为2，一次项系数为0，常数项为 －7.
一次项及常数项都可为0.
注意不要漏掉“－”号 .
知2－练
2－1. 将一元二次方程3x2－2＝－4x化成一般形式 ax2＋bx＋c＝0(a>0)后，一次项和常数项分别是( )
A. －4，2 B. －4x，2
C. 4x，－2 D. 3x2，2
C
知2－练
2－2. [期末·开封]若关于x的方程(k－1)x2＋2x－3＝0 是一元二次方程，则k的值可以是_______. (写出一个即可)
0
(答案不唯一)
知3－讲
知识点
一元二次方程的解(根)
3
1. 定义 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根 .
知3－讲
2. 检验一元二次方程根的步骤
步骤 1：将已知数值分别代入一元二次方程的左右两边求值.
步骤 2：若方程左右两边的值相等，则这个数是一元二次方程的解(根)；否则，这个数不是一元二次方程的解(根).
知3－讲
特别解读
如果一个数是一元二次方程的解(根)，那么这个数一定能使方程左右两边的值相等 .
知3－练
判断x＝2，x＝3 是不是一元二次方程 x2－x＝6的根 .
例 3
解题秘方：紧扣一元二次方程根的定义进行判断 .
学了一元二次方程的解法后还可以通过解方程进行判断 .
知3－练
解：将x＝2代入方程，得左边＝4－2 ＝2，
∵右边＝6，2 ≠ 6，∴ x＝2不是原方程的根 .
将x＝3代入方程，得左边＝9－3＝6，
∵右边＝6，6 ＝6，
∴ x＝3 是原方程的根 .
知3－练
3－1. [期中·许昌]若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满 足9a＋3b＋c＝0，9a－3b＋c＝0，则该一元二次方程的根是( )
A. 6，3 B. 6，－3
C. 3，－3 D. 6，－6
C
认识一元二次方程
一元二次方程
定义
一般形式
解(根)
方程模型
题型
利用一元二次方程的定义求字母的值
1
已知方程2xa－xb－x2＋4＝0是关于x的一元二次方程，求a，b的值.
例 4
解题秘方：根据一元二次方程的定义， 该方程需满足：未知数的最高次数是2且二次项系数不为0， 所以指数a，b的取值只能是0，1或2.
解：当a，b的值是0或1时， 方程的最高次项是二次项－x2， 满足条件，所以有或或或
当a＝2时， 方程为x2－xb＋4＝0，
所以有或
当b＝2时， 方程为2xa－2x2＋4＝0，
所以有或
综上可知，a，b的值为或或或或或或或
特别提醒
对于此类问题要注意分类讨论思想的应用，讨论要全面，不可漏掉任何一种情况.
题型
利用一元二次方程根的定义求值
2
已知x＝2是关于x的一元二次方程x2－2a＝0的一个根，则一次函数y＝ax－1的图象不经过第____象限.
例 5
类型 1 求方程中字母的值
二
解题秘方：紧扣一元二次方程根的定义， 将根代入方程中求字母的值是解题的关键.
解： 将x＝2代入方程，得×22－2a＝0，∴a＝3.
∴y＝3x－1.
一次函数y＝3x－1的图象不经过第二象限.
方法点拨
已知一元二次方程的根，求方程中字母的值时，利用方程的根的定义，将方程的根代入方程中转化为以所求字母为未知数的方程，通过解方程求出字母的值.
已知a是一元二次方程x2－19x＋1＝0的一个根，试求a2－18a＋的值.
例 6
类型 2 求代数式的值
解题秘方：将x＝a代入一元二次方程x2－19x＋1＝0，再对等式变形，利用整体代入法求代数式的值.
解： ∵a是x2－19x＋1＝0的一个根，∴a2－19a＋1＝0.
∴a2＋1＝19a，a2＝19a－1.
∴原式＝19a－1－18a＋＝a－1＋＝＝＝18.
解法提醒
因为代数式a2－18a＋中含有a2，且其中一项的分母为a2＋1，所以把 a2－19a＋1＝0 变形为a2＋1＝19a和a2＝19a－1，从而把a2＋1和a2转化为一次式，再代入待求式子中整理化简，计算出结果.
已知a2＋3a＋1＝0，b2＋3b＋1＝0 (a≠b)，请构造一个以a，b为根的一元二次方程(以x为未知数)，并求x2＋3x＋2的值.
例 7
类型 3 构造一元二次方程求值
解题秘方：观察两个等式的结构，结合一元二次方程根的定义求解.
解： ∵a2＋3a＋1＝0，b2＋3b＋1＝0(a≠b)，
∴由一元二次方程的根的定义，可知以a，b为根的一元二次方程(以x为未知数) 是x2＋3x＋1＝0.
∴x2＋3x＋2＝(x2＋3x＋1)＋1＝1.
技巧点拨
根据一元二次方程的根的定义，若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，则ax12＋bx1＋c＝0， ax22＋bx2＋c＝0.反之，同样成立.
若关于x的一元二次方程ax2＋bx－1＝0 (a≠0)有一根为x＝1，则一元二次方程a(x－1)2＋b(x－1)－1＝0必有一根为_______.
例 8
类型 4 求关联方程的解
x＝2
解题秘方：两个方程的结构相同， 可以借助第一个方程的根来确定第二个方程的根.
解： ∵一元二次方程a(x－1)2＋b(x－1)－1＝0与ax2＋bx－1＝0(a≠0)的结构相同， 且一元二次方程ax2＋bx－1＝0 (a≠0) 有一根为x＝1，∴x－1＝1，解得x＝2.
解题通法
若两个方程的结构相同，将第二个方程中含x的代数式看成一个整体，则可以得到其取值与第一个方程的解相同，进而求出第二个方程的解．
题型
根据实际问题列一元二次方程
3
我国通过药品集中采购，大大减轻了群众的医药负担.如果某种药品经过两次降价，价格从140元/盒下调至35元/盒，设平均每次降价的百分率为x，可以列方程为________________ .
例 9
140(1－x)2＝35
解题秘方：设基准量为a， 平均变化率为x， 则变化两次后的量为a(1±x)2.
解： 由题意知第一次降价后的价格为140(1－x) 元/盒， 第二次降价后的价格为140(1－x)2元/盒，则可以列方程为140(1－x)2＝35.
方法点拨
根据实际问题列一元二次方程的一般步骤：
已知关于x的一元二次方程(m－2)x2＋6x－m2－m＝0 有一个根是 1，求 m的值 .
例10
易错点
忽视一元二次方程二次项系数不为0而致错
错解：∵ x＝1 是方程(m－2)x2＋6x－m2－m＝0的一个根，
∴ m－2＋6－m2－m＝0，即4－m2＝0，
∴ m＝±2.
正解：(接错解)
∵方程(m－2)x2＋6x－m2－m＝0 是关于x的一元二次方程，
∴ m－2 ≠ 0，即 m ≠ 2.
∴ m＝－2.
诊误区：
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中二次项系数a≠0 是一元二次方程的隐含条件，求出的字母的值要满足二次项系数不为0.
考法
利用一元二次方程根的定义求字母的值
1
[中考·达州] 已知关于x的方程x2＋mx－3＝0的一个根是1，则m的值为________.
例11
2
试题评析： 本题考查的是一元二次方程根的定义， 根据一元二次方程根的定义列出方程是解题的关键.
解：∵关于x的方程x2＋mx－3＝0的一个根是1，
∴1＋m－3＝0，解得m＝2.
考法
利用一元二次方程根的定义求式子的值
2
已知m是方程x2＋4x－1＝0的一个根，则(m＋5)(m－1)的值为________.
－4
例12
试题评析：本题考查的是一元二次方程根的定义， 把方程的根代入方程并将所得的式子和待求式灵活变形， 运用整体代入法求值.
解： 把x＝m代入x2＋4x－1＝0，
得m2＋4m－1＝0，即m2＋4m＝1.
∴(m＋5)(m－1)＝m2＋4m－5＝1－5＝－4.
考法
根据实际问题建立一元二次方程模型
3
[中考·福建 ] 为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5 m的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6 m2的矩形菜地作为实践基地，如图21.1－1所示.
例13
设矩形的一边长为x m，根据题意可列方程为( )
A. 5x2＝6 B. 5(1＋x2)＝6
C. x(5－x)＝6 D. 5(1＋x)2＝6
试题评析：本题考查了根据实际问题列一元二次方程， 先用含x的式子表示出矩形的另一条边长， 再利用矩形的面积公式， 列出方程即可.
解： 因为矩形的一边长为x m，
所以另一边长为(5－x)m，由题意， 得x(5－x) ＝6．
答案： C
1. 关于x的一元二次方程(m－3)x2＋m2x＝ 9x＋5化为一般形式后不含一次项，则m的值为( )
A. 0 B. ±3 C. 3 D. －3
D
2. 已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋a2－1＝0有一个根为x＝ 0，则a的值为( )
A. 0 B. ±1 C. 1 D. －1
D
3. 若x＝1是关于x的一元二次方程x2＋ax＋2b＝0的解，则2a＋4b＝( )
A. －2 B. －3 C. －1 D. －6
A
4. 若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋5＝0(a≠0) 有一个根为2 027， 则方程a(x＋1)2＋b(x＋1)＝－5必有一个根为( )
A. 2 027 B. 2 025 C. 2 024 D. 2 026
D
5. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》 中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何.” 其大意是： 一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为x步，根据题意可列方程为(　　)
A. x(60－x)＝864 B. x(x－60)＝864
C. x(60＋x)＝864 D. 2[x＋(x＋60)]＝864
A
6. [期中·驻马店] 若关于x的方程(k－1)x|k|＋1－kx＋1＝0是一元二次方程， 则k的值为______.
－1
7. 已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，如果a，b，c满足3a＋2b＋c＝1，我们就称这个一元二次方程为波浪方程.
(1)判断方程x2＋3x－8＝0是否为波浪方程，并说明理由.
解：方程x2＋3x－8＝0为波浪方程．
理由：∵a＝1，b＝3，c＝－8，
∴3a＋2b＋c＝3＋6－8＝1，
∴方程x2＋3x－8＝0为波浪方程．
(2) 已知关于x的波浪方程ax2＋bx－1＝0的一个根是x＝2，求a，b的值.
解：∵关于x的方程ax2＋bx－1＝0为波浪方程，
∴3a＋2b＋c＝1．又∵c＝－1，∴3a＋2b＝2.①
∵x＝2是关于x的方程ax2＋bx－1＝0的一个根，
∴4a＋2b－1＝0.②
联立①②，解得a＝－1，b＝.(共170张PPT)
21.2 一元二次方程的解法
第21章 一元二次方程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
直接开平方法
因式分解法
配方法
公式法
一元二次方程根的判别式
一元二次方程的根与系数的关系
知识点
直接开平方法
知1－讲
1
1. 直接开平方法 对于形如x2＝a(a≥0) 的方程，根据平方根的定义，得x＝±，通常表示成x1＝，x2＝－ (一元二次方程的两个根通常表示为x1，x2).这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.
知1－讲
2. 可用直接开平方法求解的几种基本形式
(1)x2＝a(a≥0)，可转化为x＝±.
(2)(x＋a)2＝b(b≥0)，可转化为x＋a＝±.
(3)(ax＋b)2＝c(c≥0)，可转化为ax＋b＝±.
(4)(ax＋b)2＝(cx＋d)2，可转化为ax＋b＝±(cx＋d).
知1－讲
特别警示
直接开平方法利用的是平方根的意义，所以要注意两点：
1. 不要只取正的平方根而遗漏负的平方根；
2. 只有非负数才有平方根，所以用直接开平方法解方程的前提是x2＝p中p ≥ 0.
知1－练
例 1
用直接开平方法解下列方程：
(1)9x2－81＝0；(2)2(x－3)2－50＝0.
解题秘方：先把方程化为x2＝a的形式，再利用直接开平方法求解.
知1－练
(1)9x2－81＝0；
解：移项，得9x2＝81. 方程两边都除以9，得 x2＝9.
直接开平方，得 x＝±3. 即x1＝3，x2＝－3 .
将方程变成左边是完全平方，右边是非负数的形式(如果方程右边是负数，那么这个方程无实数根）.
知1－练
(2)2(x－3)2－50＝0.
解：移项，得 2(x－3)2＝50.
方程两边都除以2，得(x－3)2＝25 .
直接开平方，得 x－3＝±5. 即x1＝8，x2＝－2 .
把x－3看成一个整体，求平方根 .
知1－练
1-1. 用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无实数根的方程为( )
A. x2－1＝0 B. x2＝0
C. x2＋4＝0 D. －x2＋3＝0
C
知1－练
1-2. 若关于x的代数式2x2＋2与2x2－10互为相反数，则x的值为( )
A. －2 B. ±2
C. D. ±
D
知2－讲
知识点
因式分解法
2
1. 因式分解法 利用因式分解，将方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，则这两个一次式至少有一个等于0，从而得到两个一元一次方程，分别求解后得到原一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做因式分 解法.
知2－讲
2. 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤
(1)整理方程，使其右边为0；
(2)将方程左边分解为两个一次式的乘积；
(3)令两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
(4)分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程 的解.
知2－讲
知识储备
1. 常用的因式分解的方法：(1)提公因式法；(2)公式法；(3)x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b).
2. 用因式分解法解一元二次方程的依据：
若两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个等于0，即“ 若 ab＝0，则a＝0或b＝0” .
知2－练
用因式分解法解下列方程 .
(1) 3x2－18x＝－27；
(2)(x－5)(x－6)＝x－5；
(3)[一题多解]4(x－3)2－25(x－2)2＝0；
例 2
解题秘方：按方程的特点选择恰当的因式分解的方法 .
知2－练
解：移项，得3x2－18x＋27＝0.
方程左边分解因式，得3(x－3)2＝0，
所以x1＝x2＝3.
(1) 3x2－18x＝－27；
知2－练
解：移项，得(x－5)(x－6)－(x－5)＝ 0.
方程左边分解因式，得(x－5)(x－7)＝0.
所以x－5＝0 或 x－7＝0.
得 x1＝5，x2＝7.
(2)(x－5)(x－6)＝x－5；
方程的两边不能同时除以x－5，这样会使方程丢一根 .
知2－练
解：(方法一)原方程可化为[2(x－3)]2－[5(x－2)]2＝0.
方程左边分解因式，得[2(x－3)＋5(x－2)][2(x－3)－
5(x－2)]＝0，即(7x－16)(－3x＋4)＝0.
所以7x－16 ＝0或－3x＋4＝0.
得 x1＝，x2＝.
(3)4(x－3)2－25(x－2)2＝0；
知2－练
(方法二)移项，得4(x－3)2＝25(x－2)2.
方程两边开平方，得2(x－3)＝±5(x－2)，
即2(x－3)＝5(x－2)或2(x－3)＝－5(x－2)，
得x1＝，x2＝.
知2－练
2－1. 用因式分解法解下列方程：
(1)x2－7x＝0；
(2)x(x－3)＝5x；
解：方程左边分解因式，得x(x－7)＝0.
∴x＝0或x－7＝0，得x1＝0，x2＝7．
移项，得x(x－3)－5x＝0.
方程左边分解因式，得x(x－8)＝0.
∴x＝0或x－8＝0，得x1＝0，x2＝8.
知2－练
(3)4x2－20x＋25＝0；
(4)(x＋1)2－4＝0；
解：方程左边分解因式，得(2x－5)2＝0.
∴x1＝x2＝．
方程左边分解因式，得(x＋1＋2)(x＋1－2)＝0，
即(x＋3)(x－1)＝0.
∴x＋3＝0或x－1＝0，得x1＝－3，x2＝1．
知2－练
(5)(x＋1)(x＋2)＝2x＋4．
解：由(x＋1)(x＋2)＝2x＋4，
得(x＋1)(x＋2)＝2(x＋2),
移项，得(x＋1)(x＋2)－2(x＋2)＝0，
方程左边分解因式，得(x＋2)(x＋1－2)＝0，
即(x＋2)(x－1)＝0，
∴x＋2＝0或x－1＝0，得x1＝－2，x2＝1.
知识点
配方法
知3－讲
3
1. 定义 通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
知3－讲
2. 用配方法解一元二次方程的一般步骤
一般步骤 方法 示例(2x2－7x＋3＝0)
一移 移项 将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边 2x2－7x＝－3
二化 二次项系数化为1 左、右两边都除以二次项系数 x2－x＝－
知3－讲
一般步骤 方法 示例(2x2－7x＋3＝0)
三配 配方 左、右两边都加上 一次项系数的绝对 值的一半的平方 x2－x＋()2＝－＋
()2，即(x－)2＝l
四开 开平方 利用平方根的定义 直接开平方 x－＝±
五解 解两个一元一次方程 移项、合并同类项 x1＝3，x2＝
知3－讲
特别解读
配方的依据是完全平方公式a2±2ab＋b2＝(a±b)2，其实质是将a看成未知数，b看成常数，则b2即是一次项系数一半的平方.
知3－讲
特别提醒
一元二次方程的配方与二次三项式的配方的区别：
一元二次方程的配方是方程的两边都除以二次项系数 a，而二次三项式的配方是提取二次项系数a，要注意区分.
知3－练
例 3
用配方法解一元二次方程：
(1)x2＋4x＋3＝0；(2)x2－x－＝0；
(3)2x2－4x－1＝0；(4)(1＋x)2＋2(1＋x)－3＝0.
解题秘方：先将方程配方化为(x＋n)2＝p的形式，再用直接开平方法求解.
知3－练
(1)x2＋4x＋3＝0；
解：移项，得x2＋4x＝－3 .
配方，得x2＋4x＋22＝－3＋22，即(x＋2)2＝1.
直接开平方，得x＋2＝±1.
所以x1＝－1，x2＝－3 .
知3－练
(2)x2－x－＝0；
解：移项，得x2－x＝.
配方，得x2－x＋()2＝＋()2，即(x－)2＝1.
直接开平方，得x－＝±1. 所以x1＝，x2＝－.
知3－练
(3)2x2－4x－1＝0；
解：移项，得2x2－4x＝1.
两边都除以2 ，得x2－2x＝.
配方，得x2－2x＋12＝＋12，即(x－1)2＝.
直接开平方，得x－1＝±.所以x1＝1＋，x2＝1－.
一定要先把二次项系数化为1.
知3－练
(4)(1＋x)2＋2(1＋x)－3＝0.
解：移项，得(1＋x)2＋2(1＋x)＝3 .
配方，得(1＋x)2＋2(1＋x)＋12＝3＋12，
即(1＋x＋1)2＝4.
直接开平方，得1＋x＋1＝±2 .
所以x1＝0，x2＝－4.
将1＋x看成一个整体进行配方，可达到简化效果 .
知3－练
3-1. 用配方法解一元二次方程3x2＋6x－1＝0时，将它化为(x＋a)2＝b的形式，则a＋b的值为( )
A. B.
C. 2 D.
B
知3－练
3－2. 解下列方程：
(1)x2＋4x＝7；
解：配方，得x2＋4x＋22＝7＋22，即(x＋2)2＝11．
直接开平方，得x＋2＝±．
∴x1＝－2＋，x2＝－2－．
(2)3x2－6x－2＝0；
知3－练
解：移项，得3x2－6x＝2．
两边都除以3，得x2－2x＝．
配方，得x2－2x＋12＝＋12，即(x－1)2＝．直接开平方，得x－1＝±．∴x1＝1＋，x2＝1－.
(3)(x－2)(x－5)＋1＝0．
知3－练
解：原方程整理，得x2－7x＋11＝0.
移项，得x2－7x＝－11.
配方，得x2－7x＋()2＝－11＋()2 ，即(x－)2＝.
直接开平方，得x－＝±.
∴x1＝, x2＝.
知识点
公式法
知4－讲
4
1. 公式法 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式为x＝ (b2－4ac≥0).将一元二次方程的系数a， b，c的值，直接代入这个公式，就可以求得方程的根.这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
知4－讲
2. 用公式法解一元二次方程的一般步骤
(1)把一元二次方程化成一般形式；
(2)确定公式中 a，b，c的值；
(3)求出b2－4ac的值；
(4)若b2－4ac ≥ 0，则把a，b及b2－4ac的值代入求根公式求解 .
知4－讲
3. 合理选择一元二次方程的解法
(1)若方程具有(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，可用直接开平方法求解；
(2)若一元二次方程一边为0，另一边易于分解成两个一次式的乘 积，可用因式分解法求解；
(3)当以上两种方法均不适用时，可选用配方法或公式法.
知4－讲
特别提醒
1. 公式法是解一元二次方程的通用解法(也称万能法)，它适用于所有的一元二次方程，但不一定是最高效的解法.
2. 只有当方程ax2＋bx＋c＝0中的a≠0，b2－4ac ≥0时，才能使用求根公式 .
3. 解一元二次方程的基本思路：将二次方程化为一次方程，即降次.
知4－练
用公式法解下列方程 .
(1)2x2－7x＋4＝0； (2)－3x2－5x＋2＝0；
(3)3x2－2x＝－1.
解题秘方：按照用公式法解一元二次方程的步骤求解.
例 4
知4－练
(1)2x2－7x＋4＝0；
解：这里a＝2，b＝－7，c＝4，
b2－4ac＝(－7)2－4×2×4＝17 ＞0 ，
∴ x＝＝，
即x1＝，x2＝.
求b2－4ac的值时，若代入的字母值是负数，则需将其用括号括起来，不能漏掉“－”号 .
知4－练
(2)－3x2－5x＋2＝0.
解：这里a＝－3，b＝－5，c＝2，
b2－4ac＝(－5)2－4×(－3)×2＝49＞0 ，
∴ x＝＝，即x1＝－2 ，x2＝.
知4－练
(3)3x2－2x＝－1；
解：将方程化为一般形式，得3x2－2 x＋1＝0.
∵b2－4ac＝(－2)2－4×3×1＝ 0，
∴ x＝，
即x1＝x2＝.
一定要整理成一般形式后，再确定求根公式中的a，b，c.
知4－练
活用巧记
观察方程选解法，先看能否开平方，
再看是否能分解，左分降次右化零，
求根公式最后用，系数符号要看清.
知4－练
4-1. 在用公式法解方程x2＋4 x＝2时，b2－4ac的值是( )
A. 16 B. 4
C. 32 D. 64
D
4-2. 用公式法解下列方程 ：
(1)y2－2y－2＝0；
知4－练
知4－练
(2)3x2－2x＝4；
知4－练
(3)5x2－2x＋1＝0.
知4－练
解下列方程 .
(1)4x2－64＝0；(2)x2＋10x－2＝0；
(3)2x2－7x－6＝0；
(4)x(x＋3)＝2x＋6.
解题秘方：根据方程的特点，选择适当的方法解一元二次方程 .
例 5
知4－练
(1)4x2－64＝0；
(2)x2＋10x－2＝0；
解：移项，得4x2＝64.方程两边都除以4，得x2＝16.
直接开平方，得x＝±4，即x1＝4，x2＝－4.
移项，得x2＋10x＝2.
配方，得x2＋10x＋52＝2＋52，即(x＋5)2＝27.
直接开平方，得x＋5＝±3.
∴x1＝－5＋3，x2＝－5－3.
知4－练
(3)2x2－7x－6＝0；
(4)x(x＋3)＝2x＋6.
解：这里a＝2，b＝－7，c＝－ 6，∵b2－4ac＝97＞0，
∴ x＝. 即x1＝，x2＝.
方程可变形为x(x＋3) －2(x＋3) ＝0.
方程左边分解因式，得(x＋3)(x－2) ＝0.
∴x＋3＝0或x－2＝0，得x1＝－3，x2＝2.
知4－练
5－1. [期末·周口]用适当的方法解下列方程：
(1)x2－4x－2＝0；
解：移项，得x2－4x＝2.
配方，得x2－4x＋22＝2＋22，即(x－2)2＝6.
直接开平方，得x－2＝±.
所以x1＝2＋，x2＝2－.
知4－练
(2)(x－2)2＝2x－4；
解：移项，得(x－2)2－2x＋4＝0，
即(x－2)2－2(x－2)＝0.
方程左边分解因式，得(x－2)(x－4)＝0.
所以x－2＝0或x－4＝0，得x1＝2，x2＝4.
知4－练
(3)x2－3x－2＝0；
解：这里a＝1, b＝－3, c＝－2，
因为b2－4ac＝(－3)2－4×1×(－2)＝17>0，
所以x＝＝，
即x1＝, x2＝.
知4－练
(4)(x＋3)2－16＝0.
解：移项，得(x＋3)2＝16.
直接开平方，得x＋3＝±4.
所以x1＝1, x2＝－7.
知识点
一元二次方程根的判别式
知5－讲
5
1. 一元二次方程根的判别式 式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式，通常用符号“Δ”来表示，即Δ＝b2－4ac.
希腊字母，读作delta.
知5－讲
2. 一元二次方程根的情况与根的判别式的关系
(1)Δ>0方程ax2＋bx＋c＝0(a ≠ 0)有两个不等的实数根.
(2)Δ＝0方程ax2＋bx＋c＝0(a ≠ 0)有两个相等的实数根.
(3)Δ<0方程ax2＋bx＋c＝0(a ≠ 0)没有实数根.
知5－讲
特别提醒
确定根的判别式时，需先将方程化为一般形式，确定a，b，c后再计算；使用一元二次方程根的判别式的前提是二次项系数不为0.
知5－练
不解方程，判断下列关于x的方程的根的 情况：
(1)x2＋2＝2x；(2)3x2－2x＝－9；
(3)x2－2(k＋1)x－k2＋2k－1＝0.
解题秘方： 先计算根的判别式的值， 再根据其正负性判断根的情况.
例 6
知5－练
解：(1) 原方程可化为x2－2x＋2＝0，
∵Δ＝(－2)2－4×1×2＝0，
∴方程有两个相等的实数根.
(2)原方程可化为3x2－2x＋9＝0，
∵Δ＝(－2)2－4×3×9＝－104<0，∴方程没有实数根.
先化为一般形式.
知5－练
(3) Δ＝[－2(k＋1)]2－4×1×(－k2＋2k－1)＝8＋8k2.
∵8k2≥0，∴8＋8k2＞0，即Δ＞0.
∴方程有两个不相等的实数根.
知5－练
6－1.[中考·安徽]下列方程中，有两个不相等的实数根的是( )
A. x2＋1＝0 B. x2－2x＋1＝0
C. x2＋x＋1＝0 D. x2＋x－1＝045
D
知5－练
若关于x的一元二次方程3x2－6x＋n＝0无实数根，则反比例函数y＝的图象所在的象限为( )
A. 第一、二象限 B. 第一、三象限
C. 第二、四象限 D. 第三、四象限
例 7
知5－练
解题秘方： 先根据一元二次方程无实数根的条件求出n的取值范围，再确定反比例函数系数的符号，从而判断图象所在的象限.
解： ∵关于x的一元二次方程3x2－6x＋n＝0无实数根，
∴Δ＝b2－4ac＝36－12n＜0，解得n＞3.∴3－n＜0.
∴反比例函数y＝的图象所在的象限为第二、四象限.
答案： C
知5－练
7－1. [中考·上海]已知关于x的一元二次方程2x2＋x－m＝0 没有实数根，则m的取值范围是________.
m<－
知识点
一元二次方程的根与系数的关系
知6－讲
6
1. 一元二次方程的根与系数的关系
(1)设二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根为x1，x2，那么x1＋x2＝－p，x1x2＝q.
(2)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a ≠ 0)，当b2－4ac ≥ 0 时，方程有实数根，设这两个实数根分别为x1，x2，这两个根与系数的关系是x1＋x2＝－，x1x2＝.
知6－讲
特别提醒
一元二次方程的根与系数的关系存在的前提是a ≠ 0，b2－4ac ≥ 0.
知6－讲
2. 与一元二次方程两根有关的代数式的常见变形
(1)x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2；
(2)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2；
(3)＋＝；
(4)＋＝.
知6－讲
(5)|x1－x2|＝＝；
(6)x1x22＋x12x2＝x1x2(x2＋x1).
知6－讲
3. 拓展 以x1，x2为根的一元二次方程(未知数为x，二次项系数为1)是x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0.
知6－练
设x1，x2是方程 4x2－7＝2x2＋8x的两个实数根，则 x1＋x2＝_______，x1x2＝_______.
解题秘方：先把一元二次方程化为一般形式，再根据一元二次方程的根与系数的关系求值.
4
－
例 8
知6－练
解：将方程化为一般形式，得2x2－8x－7＝ 0.
∴ x1＋x2＝－＝－＝4，x1x2＝＝＝－ .
知6－练
8－1.[中考·河北]若一元二次方程x(x＋2)－3＝0 的两根之和与两根之积分别为m，n，则点(m，n)在平面直角坐标系中位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
C
知6－练
已知方程x2－6x＋q＝0有一个根为 2，求方程的另一个根和q的值 .
思路导引：
例 9
知6－练
解：设这个方程的另一个根为 m，
则m＋2＝6，2m＝q，
解得 m＝4，q＝8.
即方程的另一个根为4，q的值为8 .
另解：把x＝2代入方程，求得q＝8，再解x2－6x＋8＝0，求得另一个根为 4.
知6－练
9－1.[中考·苏州]已知x1，x2是关于x的一元二次方程 x2＋ 2x－m＝0的两个实数根，其中x1＝1，则 x2＝______ .
－3
知6－练
已知实数x1，x2满足x1＋x2＝7，x1x2＝12，则以x1，x2为根的一元二次方程是( )
A. x2－7x＋12＝0 B. x2＋7x＋12＝0
C. x2＋7x－12＝0 D. x2－7x－12＝0
解题秘方：以 x1，x2为根的一元二次方程(未知数为x，二次项系数为1)是x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0.
例10
知6－练
答案：A
解：所求方程是x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0，
即x2－7x＋12＝0.
知6－练
10－1. 小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程 时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是 6 和 1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是－2和－5.则原来的方程是( )
A. x2＋6x＋5＝0 B. x2－7x＋10＝0
C. x2－5x＋2＝0 D. x2－6x－10＝0
B
一元二次方程的解法
解一元二次方程
直接开平方法
转化
配方法
公式法
因式分解法
根的判别式
根与系数的关系
题型
一元二次方程的其他解法
1
类型 1 利用十字相乘法解一元二次方程
阅读下列材料：
(1)将x2＋2x－35分解因式，我们可以按下面的方法解答：
解：①竖分二次项系数与常数项：
1＝1×1，－35＝( －5 )×( ＋7 ).
例11
②交叉相乘，验中项： →1×7＋1×( －5 ) ＝2.
③横向写出两因式： x2＋2x－35＝(x－5) (x＋7) .
我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法.
(2 )乘法原理：若ab＝0，则a＝0或b＝0.
试用上述方法和原理解下列方程：
(1)x2＋5x＋4＝0；
(2)x2－6x－7＝0.
解：(1)方程左边分解因式，得(x＋1)(x＋4)＝0，
所以x＋1＝0或x＋4＝0，得x1＝－1，x2＝－4.
(2)方程左边分解因式，得(x＋1)(x－7)＝0，
所以x＋1＝0或x－7＝0，得x1＝－1，x2＝7.
思路导引：
方法点拨
(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋q)x＋pq的逆向变形：x2＋(p＋q)x＋pq＝ (x＋p)(x＋q). 利用此方法可以将二次项系数为1的二次三项式进行因式分解.
类型 2 解含绝对值的一元二次方程(分类讨论法)
[一题多解] 解方程：x2＋|x|－2＝0.
例12
思路导引：
解：(方法一)当x≥0时，原方程可化为x2＋x－2＝0，
解得x＝1(x＝－2舍去)；
当x<0时，原方程可化为x2－x－2＝0，
解得x＝－1(x＝2舍去).
综上所述，原方程的解为x1＝1，x2＝－1.
根据绝对值的意义可得当x≥0时，|x|＝x.
x2＝|x|2，可以把原方程看成关于 |x|的一元二次方程.
(方法二) 原方程可化为|x|2＋|x|－2＝0，
所以(|x|－1)(|x|＋2)＝0.
因为|x|＋2>0，所以|x|－1＝0.所以|x|＝1.
所以x＝±1.
所以原方程的解为x1＝1，x2＝－1.
方法点拨
解含绝对值的一元二次方程的方法：
解含绝对值的一元二次方程时，应对绝对值符号内的式子分情况进行讨论，根据未知数的取值范围，对方程进行分类转化，最后利用解一元二次方程的方法进行求解，同时根据未知数的取值范围对根进行取舍.
类型 3 利用换元法解一元二次方程
阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整.
【问题】解方程： x2＋2x＋4－5＝0.
【提示】可以用换 元法解方程.
解：设＝t(t≥0 )，则x2＋2x＝t2，
所以原方程可化为t2＋4t－5＝0.
例13
思路导引：
解：方程左边分解因式，得(t＋5)(t－1) ＝0.
所以t＋5＝0或t－1＝0，得t1＝－5，t2＝1.
因为t≥0，所以t＝－5舍去.
当t＝1时，＝1，则x2＋2x＝1，
解得x1＝－1＋，x2＝－1－.
综上所述，原方程的解为x1＝－1＋，x2＝－1－.
解完方程后要注意还元，再解关于原方程未知数的方程.
思路点拨
运用换元法解方程的思路：
解复杂方程或高次方程时常用换元法，一般将方程的某一部分(具有相同结构，且重复出现的式子)看成一个整体，用另一个新字母代替，把原来的方程转化为关于新字母的方程，从而达到化繁为简(或降次)的目的.
类型 1 利用配方法求代数式的最值
我们可以利用配方法求一些多项式的最值.
如：x2＋2x＋3＝(x2＋2x＋1)－1＋3＝(x＋1)2＋2，因为(x＋1)2≥0，所 以(x＋1)2＋2≥2，所以x2＋2x＋3有最小值2；
例14
题型
利用配方法解决问题
2
－x2＋2x－2＝－(x2－2x＋1)＋1－2＝－(x－1)2－1，因为 (x－1)2≥0，所以－(x－1)2≤0，所以－(x－1)2－1≤－1，所以－x2＋2x－2有最大值－1.
(1)求代数式x2＋6x＋10的最小值；
(2)若代数式－x2＋4x＋m有最大值2，求m的值.
解题秘方：先将代数式配方成a(x＋m)2＋n的形式，然后利用完全平方式的非负性求最值.
解：(1)x2＋6x＋10＝(x2＋6x＋9)－9＋10 ＝(x＋3)2＋1.
因为(x＋3)2≥0，所以(x＋3)2＋1≥1，
所以x2＋6x＋10的最小值为1.
(2)－x2＋4x＋m＝－(x2－4x＋4)＋4＋m＝－(x－2)2＋4＋m.
因为－x2＋4x＋m有最大值2，
所以4＋m＝2. 所以m＝－2.
解法提醒
代数式ax2＋bx＋c(a≠0)配方成a(x＋m)2＋n的形式后，若a>0，则当x＝－m时，代数式取得最小值n；若a<0，则当x＝－m时，代数式取得最大值n.
其实质是利用和与加数的最值的关系求和的最值，即加数取最大(小)值时，其和最大(小).
类型 2 利用配方法解决非负数和的问题
已知2x2＋y2＋4x－6y＋11＝0，x，y为实数，求xy 的值.
例15
解题秘方：将等号左边配方，转化为两个完全平方式的和，再利用非负数的性质求x，y的值.
解：由2x2＋y2＋4x－6y＋11＝0，得2x2＋4x＋y2－6y＋11＝0，即2(x2＋2x)＋(y2－6y)＋11＝0.
配方，得2(x2＋2x＋1－1)＋(y2－6y＋9－9)＋11＝0，
即2(x＋1)2＋(y－3)2＝0，
∴x＋1＝0，y－3＝0.∴x＝－1，y＝3.
∴xy＝(－1)3＝－1.
添加常数项要在括号内完成，确保等式左右两边的值保持与原等式一致.
方法点拨
配方法的实质是把所要变形的式子转化为用平方和(差)即非负数的和(差)表示的式子，而非负数有以下重要性质：
1. 若有限个非负数的和为 0，则每一个非负数都为0；
2.非负数的最小值为0.
类型 3 利用配方法判断三角形的形状
已知a，b，c为△ABC的三边长.
(1)求证：a2－b2＋c2－2ac<0.
(2)当a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝0时，试判断△ABC的形状.
例16
解题秘方：(1) 把不等式的左边变形后根据三角形三边关系判断代数式的符号；(2)利用配方法将等式变形，得出三边关系，从而判断三角形的形状.
(1)证明：a2－b2＋c2－2ac＝(a－c)2－b2＝(a－c＋b)(a－c－b).
∵a，b，c为△ABC的三边长，
∴a－c＋b>0，a－c－b<0.
∴a2－b2＋c2－2ac<0.
根据三角形两边之和大于第三边，可知a＋b>c，b＋c>a，∴a－c＋b>0，a－c－b<0.
(2)解：由a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝0，
得2(a2＋b2＋c2－ab－ac－bc)＝0，
∴a2－2ab＋b2＋a2－2ac＋c2＋b2－2bc＋c2＝0，
∴(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2＝0.
∴a－b＝0，a－c＝0，b－c＝0，
∴a＝b＝c.∴△ABC为等边三角形.
解法提醒
解本题要充分利用数形结合思想，证不等关系时，要以形的关系判断式的符号；判断三角形的形状时，要以数的关系判断形中边的大小关系.
类型 4 利用配方法解特殊方程
若关于x的方程mx2＋2mhx＋mh2＋k＝0 (m，h，k均为常数，m≠0)的解是x1＝－3，x2＝2，求方程m(x＋h－3)2＋k＝0的解.
例17
解题秘方：先用配方法解一元二次方程mx2＋2mhx＋mh2＋k＝0，再运用整体思想解所求方程.
解：解方程mx2＋2mhx＋mh2＋k＝0，
得x1＝－h－，x2＝－h＋.
∵－h－<－h＋，
∴－h－＝－3，－h＋＝2.
解方程m(x＋h－3)2＋k＝0，得x1＝3－h＋，x2＝3－h－. ∴x1＝3＋2＝5，x2＝3－3＝0.
详解
移项 ，得mx2＋2mhx＝－mh2－k.
方程两边都除以m，得x2＋2hx＝－h2－.
配方，得(x＋h)2＝－，开平方，得x＋h＝± ，
∴ x1＝－h－，x2＝－h＋.
类型 1 证明一元二次方程根的情况
已知关于x的一元二次方程mx2－(3m＋2)x＋2m＋＝0(m≠0)，求证：方程总有两个不相等的实数根.
例18
题型
利用根的判别式解决问题
3
解题秘方：紧扣一元二次方程根的判别式的定义，利用根的判别式判断根的情况.
证明：Δ＝[－(3m＋2)]2－4m(2m＋)＝9m2＋12m＋4－8m2
－10m＝m2＋2m＋4＝(m＋1)2＋3.
∵(m＋1)2≥0，∴(m＋1)2＋3≥3，即Δ>0.
∴方程总有两个不相等的实数根.
方法点拨
证明一元二次方程根的情况，就是整理根的判别式，将其整理成m(x＋h)2＋k的形式，当m(x＋h)2＋k > 0时，方程有两个不相等的实数根；当m(x＋h)2＋k＝0时，方程有两个相等的实数根；当m(x＋h)2＋k<0时，方程没有实 数根.
类型 2 解决完全平方式问题
若关于x的二次三项式x2－2(k＋1)x＋k＋7是完全平方式，求k的值.
例19
解题秘方：紧扣完全平方式与相应的一元二次方程根的判别式之间的关系解题.
解：因为该二次三项式是完全平方式，
所以x2－2(k＋1) x＋k＋7＝0有两个相等的实数根.
所以Δ＝[－2(k＋1)]2－4(k＋7) ＝4k2＋4k－24＝0.
解得k1＝－3，k2＝2，即k的值为－3或2.
方法点拨
由二次三项式是完全平方式可得出两个结论：
1. 必须符合a2±2ab＋b2的结构.
2. 二次三项式等于 0时，一元二次方程有两个相等的实数根，即Δ＝0.
类型 3 求一元二次方程中待定字母的值
等腰三角形的边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，求n的值.
例20
解题秘方：先对三角形的边长分类讨论，再分析三边长的数量关系以及根的判别式，从而求出字母n的值.
解：∵该三角形是等腰三角形，∴分两种情况讨论：
(1) 当腰长为2，即a＝2或b＝2时，x＝2是方程的一个根.
把x＝2代入x2－6x＋n－1＝0，
得22－6×2＋n－1＝0，解得n＝9.
此时，原方程为x2－6x＋8＝0，解得x1＝2，x2＝4，
而边长为2，4，2时不能组成三角形，故n＝9不合题意，舍去.
注意讨论是否能组成三角形.
(2)当底边长为2，即a＝b时，方程x2－6x＋n－1＝0有两个相等的实数根，则Δ＝(－6)2－4(n－1) ＝40－4n＝0，解得n＝10.
此时，原方程为x2－6x＋9＝0，
解得x1＝x2＝3，即a＝3，b＝3.
∵边长为3，3，2时可以组成三角形，∴n＝10.
知识储备
当已知等腰三角形中一边的长时，通常要分两种情况讨论：
①已知的边长为腰长；
②已知的边长为底边长.
类型 1 求涉根代数式的值(整体代入法)
已知x1，x2是方程x2－4x＋2＝0的两个实数根，求：
(1)＋的值；
(2)(x1－x2)2的值.
例21
解题秘方：紧扣“与一元二次方程两根有关的代数式的常见变形” 进行解答.
题型
利用根与系数的关系解决问题
4
解：∵x1，x2是方程x2－4x＋2＝0的两个实数根，
∴x1＋x2＝4，x1x2＝2.
(1) ＋＝＝＝2.
(2)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝42－4×2＝8.
方法点拨
利用根与系数的关系求代数式值的方法：
一般利用恒等变形将代数式转化成含x1＋x2，x1x2的形式，从而结合根与系数的关系进行求值.
注意求值的前提是方程有两个实数根，即根的判别式大于或等于0.
类型 2 探究涉及根的字母系数值的存在性
已知关于x的方程(a－5)x2－4x－1＝0.
(1)若方程有实数根，求a的取值范围.
(2)是否存在这样的实数a，使方程的两根x1，x2满足x1＋x2＋x1x2＝3？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由.
例22
解题秘方：(1)方程没有指明是一元二次方程，则需考虑二次项系数为0和不为0两种情况；(2)对于存在性问题，先假设存在求出字母的值，再看它是否满足Δ≥0，从而确定存在性.
解：(1) 当a＝5时，方程为－4x－1＝0，方程有实数根；
当a≠5时，方程为一元二次方程，
Δ＝(－4)2－4(a－5)×(－1) ＝4a－4≥0，
解得a≥1.
∴a的取值范围为a≥1.
(2)存在.假设存在实数a满足题意.
由根与系数的关系得x1＋x2＝，x1x2＝－.
∵x1＋x2＋x1x2＝3，∴－＝3，解得a＝6.
经检验，a＝6是方程的解.
又∵a＝6满足Δ≥0，
∴当a＝6时，方程的两根x1，x2满足x1＋x2＋x1x2＝3.
解法提醒
1. 对于二次项系数含有字母的方程，当方程未指明是一元二次方程或有两个根时，必须将方程按二次项系数为0和不为0两种情况进行分类讨论；
2. 解答此类存在性问题，一般先假设存在，根据根与系数的关系列出关于字母系数的方程，求出字母系数的值，再看它是否满足根的判别式大于或等于0，最后确定字母系数值的存在性.
类型3 构造一元二次方程(构造法)
已知x1，x2是一元二次方程x2＋3x－5＝0的两根，求以x1＋2和x2＋2为根的一个一元二次方程.
例23
解题秘方：紧扣一元二次方程的根与系数的关系，利用两根的和与积确定系数写出方程.
解：∵x1，x2是一元二次方程x2＋3x－5＝0的两根，
∴x1＋x2＝－3，x1x2＝－5.
∴(x1＋2) ＋(x2＋2)＝x1＋x2＋4＝－3＋4＝1，
(x1＋2)(x2＋2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝－5－6＋4＝－7.
∴以x1＋2和x2＋2为根的一元二次方程为y2－y－7＝0.
(所求的方程不唯一)
方法点拨
根据两个一元二次方程根的关系求一元二次方程的方法：
1. 根据已知方程的两根之和与两根之积，求新方程的两根之和与两根之积；
2. 逆用根与系数的关系，写出二次项系数为 1 的新一元二次方程.
关于x的一元二次方程(m－2)x2＋2x＋1＝0有实数 根，求 m 的取值范围 .
例24
易错点
忽视应用一元二次方程根的判别式的前提而出错
1
错解：∵一元二次方程有实数根，
∴Δ≥0，即4－4(m－2) ≥0.解得m≤3.
正解：(接错解)
∵方程为一元二次方程，
∴ m－2 ≠ 0，即 m ≠ 2 .
∴ m 的取值范围是 m ≤ 3且 m ≠ 2.
诊误区：
应用Δ的前提是二次项系数不为0.
当待求的字母出现在二 次项系数中时，求出的字母的取值范围要使方程为一元二次方程，即二次项系数不为0.
已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋(a2－2a)x＋ a－1＝0 的两个实数根，且互为相反数，则a的值为( )
A. 2 B. 0 C. 1 D. 2 或 0
易错点
忽视“一元二次方程的根与系数的关系”的前提而出错
2
错解：D
例25
答案：B
正解：由根与系数的关系可得x1＋x2＝－(a2－2a)＝2a－a2.
∵ x1，x2互为相反数，∴ x1＋x2＝0，
即2a－a2＝0，解得 a1＝0，a2＝2.
当a＝2时，原方程为 x2＋1＝0，则方程无实数根，
∴ a＝0.
诊误区：
错误的原因是忽略根与系数的关系的使用条件，即在确定字母系数的值后必须检验b2－4ac是否大于或等于0.
[中考·无锡] 解方程：x2－2x－2＝0.
试题评析：本题考查了一元二次方程的解法，选择合适的解法是解题的关键.
考法
解一元二次方程
1
例26
解：移项，得x2－2x＝2.
配方，得x2－2x＋12＝2＋12，
即 (x－1)2＝3.
直接开平方，得x－1＝±，
所以x1＝1＋，x2＝1－.
[中考·广州]关于x的方程x2－x＋k2＋2＝0根的情况为( )
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 无实数根 D. 只有一个实数根
试题评析：本题考查了一元二次方程根的判别式，通过计算判别式并判断其符号即可确定根的情况.
考法
利用根的判别式判定根的情况
2
例27
答案： C
解：由题意，得Δ＝(－1)2－4×1× (k2＋2) ＝1－4(k2＋2)＝1－4k2－8＝－4k2－7.
因为k2≥0，所以－4k2≤0，
所以－4k2－7≤－7<0.
所以Δ恒为负数，所以方程无实数根.
[中考·东营] 若关于x的方程(k2－1)x2＋(k＋1)x＋＝0无实数根，则k的取值范围是_______.
试题评析：本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，分类讨论是解题的关键.
考法
利用根的判别式求字母的值
3
例28
k≤－1
解：当k2－1＝0且k＋1≠0，即k＝1时，原方程化为2x＋＝ 0，有实数根；当k2－1＝0且k＋1＝0，即k＝－1时，原方程化为＝0，此等式不成立，方程无解；当k2－1≠0，即k≠±1时，原方程(k2－1)x2＋(k＋1)x＋＝0是一元二次方程，因为方程无实数根，所以Δ＝(k＋1)2－4(k2－1)×＜0，
解得k＜－1. 综上所述，k的取值范围是k≤－1.
[中考·乐山]若方程x2－x－2＝0的两个根是x1和x2，则x12x2＋x1x22的值为( )
A. －1 B. 1 C. －2 D. 2
试题评析：本题考查了利用一元二次方程的根与系数的关系求代数式的值，熟记x1＋x2＝－，x1x2＝ 是解题的关键.
例29
考法
利用根与系数的关系求涉根的对称式的值
4
答案： C
解：因为x1和x2是方程x2－x－2＝0的两个根，所以x1＋x2＝1，x1x2＝－2，
所以x12x2＋x1x22＝x1x2(x1＋x2)＝－2×1＝－2.
[中考·烟台] 若一元二次方程2x2－ 4x－1＝0的两根为m，n，则3m2－4m＋n2的值为_______.
试题评析：本题考查了利用根与系数的关系求与根有关的代数式的值.解题的关键是将非对称的代数式通过单根代入转化为对称的代数式.
例30
考法
利用根与系数的关系求涉根的非对称
式的值
5
6
解：∵一元二次方程2x2－4x－1＝0的两 根为m，n，
∴2m2－4m＝1，m＋n＝－＝2，mn＝－，
∴3m2－4m＋n2＝2m2－4m＋m2＋n2＝1＋m2＋n2＝1＋(m＋n)2－2mn＝1＋22－2×(－)＝6.
[中考·日照]已知实数x1，x2(x1 ≠x2)是关于x的方程kx2＋2kx＋1＝0 (k≠0)的两个根，若＋＝2，则k的值为( )
A. 1 B. －1 C. D. －
考法
利用根与系数的关系求字母的值
6
例31
试题评析：本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，根据根与系数的关系用含k的式子表示x1＋x2和x1x2，再代入＋＝2解方程即可.
答案： B
解：因为x1，x2是关于x的一元二次方程kx2＋2kx＋1＝0(k≠0) 的两个根，
所以x1＋x2＝－＝－2，x1x2＝.
因为＋＝＝2，所以＝2，所以k＝－1.
1. [中考·潍坊]已知关于x的一元二次方程x2－mx－n2＋mn＋1＝0，其中m，n满足m－2n＝3，关于该方程根的情况，下列判断正确的是( )
A. 无实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根
D. 无法确定
C
2. 等腰三角形的两边长分别是方程x2－10x＋21＝0的两个根，则这个三角形的周长为(　　)
A. 17或13 B. 13或21
C. 17 D. 13
C
3. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于x的一元二次方程x2－10x＋m＝0的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为(　　)
A. B. 2 C. D. 2
C
4. [中考·南充]当2≤x≤5时，一次函数y＝(m＋1)x＋m2＋1有最大值6，则实数m的值为( )
A. －3或0 B. 0或1
C. －5或－3 D. －5或1
A
5. [华师一附中招生考试]设a，b为整数，关于x的一元二次方程x2＋(2a＋b＋3)x＋(a2＋ ab＋6)＝0有两个相等的实数根α，关于x的一元二次方程2ax2＋(4a－2b－2)x＋ (2a－2b－1)＝0有两个相等的实数根β. 那么以α，β为实数根的整系数一元二次方程是( )
A. 2x2＋7x＋6＝0 B. x2＋x－6＝0
C. x2＋4x＋4＝0 D. x2＋(a＋b)x＋ab＝0
A
6. [中考·山东]若关于x的一元二次方程x2＋ 4x－m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是_______.
m>－4
7. 已知方程x2－2x＋k＝0的一个根为－2，则方程的另一个根为________.
4
8. [中考·南京]已知4－是关于x的方程(x－2)(ax2＋bx＋c) ＝0(a，b，c是有理数，a≠0) 的一个根，则该方程的另外两个根 分别是_______，_______.
2
4＋
9. [中考·宿迁改编]方程x2－2 027x－2 028＝0的两个根分别是m，n，则(m2－2 026m－ 2 029)(n2－2 026n－2 029)＝________.
－4 054
10. [中考·滨州] 两个非零实数m，n满足m2＋n＝5，n2＋ m＝5，且m≠n，则＋＝_______.
－
11. 定义：在平面直角坐标系 中，到原点的距离等于1的点叫做“单位圆点” . 下列三个函数的图象上存在“单位圆 点” 的是_______(填序号) .
①y＝x＋2；②y＝；③y＝x2＋1.
③
12. 已知a，b，c是△ABC的三边长，且a2＋b2＋c2－6a－ 8b－10c＋50＝0.
(1)求a，b，c的值；
解：∵a2＋b2＋c2－6a－8b－10c＋50＝0,
∴(a－3)2＋(b－4)2＋(c－5)2＝0.
∴a－3＝0,b－4＝0,c－5＝0.∴a＝3,b＝4,c＝5.
(2)判断△ABC的形状.
解：∵a＝3,b＝4,c＝5,∴a2＋b2＝25,c2＝25.
∴a2＋b2＝c2.∴△ABC为直角三角形.
13. 阅读范例，解答问题.
范例：解方程x2＋|x＋1|－1＝0.
解：(1)当x＋1≥0，即x≥－1时，
原方程可变为x2＋x＋1－1＝0，解得x1＝0，x2＝－1.
(2)当x＋1<0，即x<－1时，
原方程可变为x2－(x＋1)－1＝0，解得x1＝－1，x2＝2.
∵x<－1，∴x1＝－1，x2＝2均舍去.
综上所述，原方程的解为x1＝0，x2＝－1.
依照上例解法，解方程：x2－2|x－2|－4＝0.
解：(1)当x－2≥0，即x≥2时，
原方程可变为x2－2(x－2)－4＝0，解得x1＝0，x2＝2．
∵x≥2，∴x＝0不合题意，舍去，∴x＝2．
(2)当x－2<0，即x<2时，
原方程可变为x2－2(2－x)－4＝0，解得x1＝－4，x2＝2．
∵x<2，∴x＝2不合题意，舍去，∴x＝－4．
综上所述，原方程的解为x＝2或x＝－4．
14. [中考·南充]设x1，x2是关于x的方程(x－1)(x－2) ＝m2的两根.
(1)当x1＝－1时，求x2及m的值.
解：把x1＝－1代入方程(x－1)(x－2)＝m2，
得m2＝6，∴m＝±，
∴(x－1)(x－2)＝6，即x2－3x－4＝0，
解得x1＝－1，x2＝4.故x2＝4，m＝±．
(2)求证：(x1－1)(x2－1) ≤0.
证明：方程(x－1)(x－2)＝m2可化为x2－3x＋2－m2＝0，
∵Δ＝(－3)2－4(2－m2)＝4m2＋1>0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
由根与系数的关系得x1＋x2＝3，x1x2＝2－m2，
∴(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝2－m2－3＋1＝
－m2．又∵－m2≤0，∴(x1－1)(x2－1)≤0．
15. 关于x的一元二次方程x2＋mx－1＝0，当m＝1时，该方程的正根称为黄金分割数.宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的帕特农神庙采用的就是黄金矩形的设计； 我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数.
(1)求黄金分割数；
解：将m＝1代入x2＋mx－1＝0，
得x2＋x－1＝0，解得x＝.
∵该方程的正根称为黄金分割数，
∴黄金分割数为．
(2)已知实数a，b满足：a2＋ma＝1，b2－2mb＝4，且b≠ －2a，求ab的值；
解：∵b2－2mb＝4，∴－－1＝0，
即(－)2＋m·(－)－1＝0．由b≠－2a可知－≠a，
∴a，－是一元二次方程x2＋mx－1＝0的两个不相等的实数根，∴a·(－)＝－1，即ab＝2．
(3)已知两个不相等的实数p，q满足：p2＋np－1＝q，q2＋nq－1＝p，求pq－n的值.
解：p2＋np－1＝q①，q2＋nq－1＝p②，
①＋②，得(p2＋np－1)＋(q2＋nq－1)＝q＋p，
∴(p2＋q2)＋n(p＋q)－2＝p＋q，
∴(p＋q)2－2pq＋n(p＋q)－2＝p＋q．
①－②，得(p2＋np－1)－(q2＋nq－1)＝q－p，
∴(p2－q2)＋n(p－q)＝－(p－q)，即(p－q)(p＋q＋n＋1)＝0.
∵p，q为两个不相等的实数，
∴p－q≠0，∴p＋q＋n＋1＝0，
∴p＋q＝－n－1．
把p＋q＝－n－1代入(p＋q)2－2pq＋n(p＋q)－2＝p＋q,
得(－n－1)2－2pq＋n(－n－1)－2＝－n－1，∴pq－n＝0．(共46张PPT)
章末核心要点分类整合
第21章 一元二次方程
1. 一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
2.一元二次方程的解法：(1)直接开平方法；(2)配方法；(3)公式法；(4)因式分解法.
3. 一元二次方程根的判别式是Δ＝b2－4ac，一元二次方程根的情况有三种：
(1)b2－4ac>0 方程有两个不相等的实数根；
(2)b2－4ac＝0 方程有两个相等的实数根；
(3)b2－4ac<0 方程没有实数根.
4. 设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝.
专题
一元二次方程的解法
1
链接中考>>一元二次方程的解法是本章的核心，也是本章的基础.以选择题形式考查时，一般是给出一个一元二次方程，选择它正确的解，只关注结果；有时作为解答题考查，方法不限，注重对过程的考查.
例 1
[中考·广元] 解方程：x2－(＋1)x＋＝0．
解：方程左边分解因式，
得(x－1)(x－)＝0，
所以x－1＝0或x－＝0，
解得x1＝1，x2＝.
专题
一元二次方程的根
2
链接中考>>涉及一元二次方程的根的问题有根的定义、根的判别式和根与系数的关系，单独考查时一般以选择题、填空题的形式出现，综合考查时常以解答题的形式出现.
[中考·北京]关于x的一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，则实数a的值为( )
A. －4 B. －1 C. 1 D. 4
例 2
解：由题意，得Δ＝22－4a＝0，
解得a＝1.
C
类型一 一元二次方程根的判别式
方法点拨：涉及一元二次方程根的情况时，一般都要考虑根的判别式.根据根的判别式值的情况可以判断一元二次方程根的情况，也可以根据一元二次方程根的情况，判断根的判别式值的情况.
例 3
[中考·内江] 已知关于x的一元二次方程x2－px＋1＝0 (p为常数)有两个不相等的实数根x1和x2.
(1)填空：x1＋x2＝_____，x1x2＝_____；
解：由根与系数的关系得x1＋x2＝p，x1x2＝1.
p
类型二 一元二次方程的根与系数的关系
1
(2)求＋，x1＋的值；
解：∵x1＋x2＝p，x1x2＝1，∴＋＝＝p.
∵x1为关于x的一元二次方程x2－px＋1＝0(p为常数)的实数根，
∴x12－px1＋1＝0. ∴x1－p＋＝0. ∴x1＋＝p.
(3)已知x12＋x22＝2p＋1，求p的值.
解：∵x12＋x22＝2p＋1，
∴(x1＋x2)2－2x1x2＝p2－2＝2p＋1，
∴p2－2p－3＝0，解得p＝－1或p＝3.
当p＝－1时，一元二次方程为x2＋x＋1＝0，此时Δ＝ 12－4×1×1＝－3＜0，不合题意，舍去；
当p＝3时，一元二次方程为x2－3x＋1＝0，此时Δ＝
(－3)2－4×1×1＝5＞0，符合题意. 综上所述，p＝3.
专题
一元二次方程的应用
3
链接中考>>一元二次方程的应用是本章重点考查的知识点，它是学习一元二次方程解法的真正目的，解决有关一元二次方程的应用题，关键就是建立一元二次方程模型，有从实际问题中建立一元二次方程模型，也有从几何图形中建立一元二次方程模型.考查的形式主要以解答题为主.
[中考·青岛]如图21－1，某小区要在长为16 m，宽为12 m的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为______m．
例 4
2
解：设小路的宽为x m，则矩形花坛的长为(16－2x)m，宽为(12－2x)m.
由题意，得(16－2x)(12－2x)＝×16×12，
整理得x2－14x＋24＝0，
解得x＝2或x＝12(舍去)，
所以小路的宽为2 m.
专题
整体代入法
4
专题解读>>整体代入法就是在解决问题时，不是着眼于局部特征，而是把注意力和着重点放在问题的整体结构上，通过对整体的把握和运用达到解决问题的目的.在本章中主要体现在求与根有关的式子的值的问题上.
例 5
已知x1，x2是方程3x2－2x－4＝0的两个实数根，不解方程求3x12＋2x2的值.
解题秘方：根据根的定义及根与系数的关系利用整体代入法求值.
解：(方法一)∵x1是方程3x2－2x－4＝0的根，
∴3x12－2x1－4＝0，即3x12＝2x1＋4.
根据根与系数的关系可知x1＋x2＝.
∴3x12＋2x2＝2x1＋4＋2x2＝2(x1＋x2)＋4＝.
(方法二)根据根与系数的关系可知x1＋x2＝，x1x2＝－.
∵x2是方程3x2－2x－4＝0的根，
∴3x22－2x2－4＝0，即2x2＝3x22－4.
∴3x12＋2x2＝3x12＋3x22－4＝3(x12＋x22)－4
＝3[(x1＋x2)2－2x1x2]－4
＝3× [()2－2×(－)]－4＝.
专题
分类讨论思想
5
专题解读>>分类讨论思想是一种常见的数学思想，在解含待定字母的一元二次方程的有关问题时经常用到，具体来说，就是把包含多种可能情况的问题，按照某一标准分成若干类，然后分别进行解决.
已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k(k＋1)＝0的两个实数根，第三边BC的长为5.
例 6
解：解方程，得x1＝k，x2＝k＋1.
由勾股定理，得k2＋(k＋1)2＝52.
解得k1＝3，k2＝－4(舍去).
∴当k＝3时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形.
(1)当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？
解：当△ABC是等腰三角形时，分类讨论如下：
①BC为底，即AB＝AC，此时应有Δ＝0，
但Δ＝[－(2k＋1)]2－4k(k＋1)＝1≠0，
∴这种情况不存在.
(2)当k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求此时△ABC的周长.
②BC为腰，有AB＝BC或AC＝BC这两种情况存在，求解如下：当BC为△ABC的腰时，它的长也是已知方程的根，
∴52－5(2k＋1)＋k(k＋1)＝0. 解得k1＝4，k2＝5.
当k＝4时，方程的两个根为x1＝k＝4，x2＝k＋1＝5，此时△ABC的周长为4＋5＋5＝14；当k＝5时，方程的两个根为x1＝k＝5，x2＝k＋1＝6，此时△ABC的周长为6＋5＋5＝16.
综上所述，当k为4或5时，△ABC是等腰三角形，△ABC的周长为14或16.
专题
数形结合思想
6
专题解读>> 数形结合思想是一种将数学中的数与形结合起来进行分析、研究和解决问题的思想，它通过利用几何直观性来阐明数之间的关系，或者利用数的精确性来解释形的属性．数形结合思想在解决数学问题时，能够起到事半功倍的效果，这种方法可以简捷地解决问题，并避免许多错误
[期中·周口]如图21－2，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm.点P从点A出发，沿边AB以1 cm/s的速度向点B移 动 ，点Q从点B出发沿边BC以2 cm/s的速度向点C移动，点P，Q同时出发.
当其中一点到达终点时，另一点也停
止移动.
例 7
解：设t s后，△PBQ的面积为4 cm2，
则AP＝t cm，BQ＝2t cm(0＜t≤3.5)，
∴BP＝AB－AP＝(5－t)cm，∴·2t(5－t) ＝4，
解得t＝1或t＝4(不合题意，舍去).
答：1 s后，△PBQ的面积为4 cm2.
(1)几秒后，△PBQ的面积为4 cm2？
解：由勾股定理，得(5－t)2＋(2t)2＝52，
解得t＝0(舍去) 或t＝2.
答：2 s后，PQ的长为5 cm.
(2)几秒后，PQ的长为5 cm(点P在点A处除外)？
1. 解方程(特殊值法)：(x－2 027)(x－2 028)＝2 025×2 026.
解：方程组的解一定是原方程的解，解得x＝4 053. 方程组的解也一定是
原方程的解，解得x＝2.∵原方程是一元二次方程，最多有两个实数解，∴原方程的根为x1＝4 053, x2＝2.
类型
巧解方程(组)
1
2. [中考·上海]解方程组：
解：由②，得x＝6－2y．③
把③代入①，得(6－2y)2－3(6－2y)y－4y2＝0，
整理，得6(y－6)(y－1)＝0，解得y＝1或y＝6．
当y＝1时，x＝6－2×1＝4；
当y＝6时，x＝6－2×6＝－6．
∴方程组的解为或
3. 已知关于x的一元二次方程x2－4mx＋2m2＝0.
(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；
证明：∵Δ＝(－4m)2－4·2m2＝8m2≥0,
∴不论m为何值，该方程总有两个实数根.
类型
利用根的判别式判断根的情况
2
(2)若x＝1是该方程的根，求代数式2(m－1)2＋3的值.
解：把x＝1代入方程，得1－4m＋2m2＝0, 则2m2－4m＝－1,∴2(m－1)2＋3＝2m2－4m＋2＋3＝－1＋2＋3＝4.
4. 已知α，β 是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根，且满足＋＝－1.求m的值.
类型
利用根与系数的关系求待定字母的值
3
解：∵原方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2－4ac＝(2m＋3)2－4m2＞0, 解得m＞－.
由题意得α＋β＝－(2m＋3), αβ＝m2≠0, 则＋＝＝
－(2m＋3)m2＝－1, 即m2－2m－3＝0, 解得m1＝3, m2＝－1.
经检验，m1＝3, m2＝－1是原方程的根.
又∵m＞－, ∴m＝3.
5. 如图，在矩形ABCD中，BC＝20 cm，点P，Q，M，N分别从点A，B，C，D同时出发沿 AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上运动，当有一个点先到达所在边的另一个端点时，运动立即停止.已知在相同
时间内，若BQ＝x cm(x≠0)，则AP＝
2x cm，CM＝3x cm，DN＝x2 cm.
类型
利用一元二次方程解几何问题
4
当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边可构成一个三角形？
解：当点Q与点M重合或点P与点N重合时，PQ,MN及矩形的边(AD或BC)的一部分(PN或QM)可构成一个三角形.
①当点P与点N重合时，由题意易得x2＋2x＝20,
解得x1＝－1，x2＝－－1(舍去).
∵此时BQ＋CM＝4x＝4(－1) cm＜20 cm，
∴此时点Q与点M不重合.∴x＝－1符合题意.
②当点Q与点M重合时，由题意易得x＋3x＝20, 解得x＝5.此时DN＝25 cm＞20 cm，不符合题意.
故所求x的值为－1.
6. [期中·郑州] 根据以下素材，完成下列任务.
类型
利用一元二次方程解实际问题
5
背景素材 背景 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳气体的排放，从而达到保护环境的目的，在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升.
背景素材 素材1 某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3 月份的销售量达到 5.07 万辆 .
素材2 某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；每辆售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆.
解：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x．根据题意，得3(1＋x)2＝5.07，
解得x1＝0.3＝30%，x2＝－2.3(不合题意，舍去)．
答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为30%．
问题解决 任务1 根据素材1，求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率.
解：设下调后每辆汽车的售价为y万元．
根据题意，得(y－15)(8＋×1)＝90，
整理得y2－44y＋480＝0．解得y1＝20，y2＝24．
又∵此次销售尽量让利于顾客，∴y＝20．
答：下调后每辆汽车的售价为20万元．
问题解决 任务2 根据素材2，若该店计划下调售价，使平均每周的销售利润为90万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆汽车的售价.
7. 阅读下面材料，并解决相关问题：
如图是一个三角形点阵，从上向下数有
无数多行，其中第一行有1个点，第二行
有2个点……第n行有n个点.
容易发现，三角形点阵中前4行的点数之和为10.
类型
利用一元二次方程解规律探究问题
6
(1)探索：三角形点阵中前8行的点数之和为______，前15行的点数之和为______，前n行的点数之和为________.
(2)体验：三角形点阵中前n行的点数之和_______(填“能”或“不能”)为500.
36
120
n(n＋1)
不能
(3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4 盆，第三排6盆……第n排2n盆的规律摆放，则一共能摆放多少排？
解：前n行的花盆数之和为2＋4＋6＋…＋2n＝2×(1＋n)×n＝n(n＋1)，
由题意得n(n＋1)＝420，整理，得n2＋n－420＝0，解得
n＝20或n＝－21(舍去)．
∴一共能摆放20排．(共80张PPT)
21.3 实践与探索
第21章 一元二次方程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
课时讲解
1
课时流程
2
建立一元二次方程的模型解实际问题
知识点
建立一元二次方程的模型解实际问题
知1－讲
1
1. 列一元二次方程解实际问题的一般步骤.
审 ——审题，明确已知量和未知量，找出它们之间的关系.
设 ——设未知数.
特别解读 第一步“审”一般不写出来，但它是关键的一步，只有审清题意，明确已知量、未知量及它们之间的关系才能准确列出方程.
知1－讲
列 ——根据题目中的等量关系，列出方程.
解 ——解方程，求出未知数的值.
检 ——检验方程的解能否保证实际问题有意义.
答 ——写出答案，应遵循“问什么，答什么；怎么问，怎么答”的原则.
知1－讲
特别解读
列方程，是解应用题的关键一步，一般先找出一个能够表达全部含义的等量关系，然后列代数式表示等量关系中的各个量，就得到含未知数的等式，即方程.
知1－讲
2. 列一元二次方程解应用题的注意事项
(1)在一道应用题中，往往含有几个未知量，应恰当地选择其中的一个用字母x表示，然后根据各量之间的数量关系，将其他几个量用含x的代数式表示出来.
(2)设未知数时必须写清单位、用对单位. 列方程时，方程两边各个代数式的单位必须一致，作答时必须写上单位.
(3)一定要对方程的根加以检验，看它是否符合实际意义.
知1－练
例 1
[一题多解] 如图21.3－1，在宽为20 m，长 为32 m的矩形地面上修筑等宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为
540 m2，求道路的宽.
知1－练
解法一：设道路的宽为x m，
由题意，得(20－x)(32－x)＝540，
解得x1＝50(不合题意，舍去)，x2＝2.
答：道路的宽为2 m.
解题秘方一：利用平移法，把求不规则图形的面积转化为求规则图形的面积.
知1－练
解法二：设道路的宽为x m，
由题意得32×20－(20x＋32x－x2)＝540.
解得x1＝50(不合题意，舍去)，x2＝2.
答：道路的宽为2 m.
解题秘方二： 利用分割法，把求不规则图形的面积转化为求规则图形面积的差，即草坪面积=矩形面积-道路面积.
道路面积为长为32 m的横向道路面积与长为20 m 的纵向道路面积的和，减去重叠部分的小正方形的面积.
知1－练
1-1. 如图，某学校综合实践基地内有一块长方形油菜花田地，长为 6 m，宽为5 m，现在其中修建一条观花道(图中阴影部分)供学生赏花，且观花道各处的宽度相同，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的. 则观花道的宽度是_______.
1 m
知1－练
建党节前，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地. 据了解，今年3 月份该基地接待参观人数10 万人，5 月份接待参观人数增加到12.1 万人.
解题秘方：紧扣增长率问题中的等量关系，建立一元二次方程的模型解决问题.
例 2
知1－练
(1)求这两个月参观人数的月平均增长率.
解：设这两个月参观人数的月平均增长率为x，
依题意，得10(1＋x)2＝12.1，
解得x1＝ 0.1＝10%，
x2＝－2.1(不合题意，舍去).
答：这两个月参观人数的月平均增长率为10% .
一定要对方程的根加以检验，
看它是否符合实际意义.
知1－练
(2)按照这个增长率，预计6 月份的参观人数是多少.
解：12.1×(1＋10 %)＝13.31(万人).
答：预计6 月份的参观人数是13 .31 万人.
知1－练
2-1.[期中·周口]某村在加入乡村振兴助农直播间 10 个月期间，直播间累计观看直播人次 7 000万，其中第一个月收 获的直播粉丝为 1 000人，第三个月收获的直播粉丝为 1 960 人 . 求第二、三个月收获的直播粉丝数量的月平均增长率 .
知1－练
解：设第二、三个月收获的直播粉丝数量的月平均增长率为x．
根据题意，得1 000(1＋x)2＝1 960，
解得x1＝0.4＝40%，x2＝－2.4(不符合题意，舍去)．
答：第二、三个月收获的直播粉丝数量的月平均增长率为40%．
知1－练
例 3
某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20件，每件盈利 45元，为了扩大销售、增加盈利、尽快减
少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价 1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利 2 100元，每件衬衫应降价多少元？请完成下列问题：
知1－练
解题秘方：用关系式“销售盈利＝每件盈利×件数”，建立方程进行解答 .
知1－练
(1)降价前，该商场衬衫每天的总盈利为______元；
(2) 设每件衬衫应降价x元，则每件衬衫盈利________元，平均每天可售出_________件；(用含x的代数式表示)
900
(45－x)
(20＋4x)
知1－练
(3)求出每件衬衫应降价多少元 .
解：由题意得(45－x)(20＋4x)＝2 100，
解得x1＝10，x2＝3 0，
∵尽快减少库存，∴ x＝30 .
答：每件衬衫应降价30元 .
在盈利相同的情况下，尽快减少库存，就是要多卖，降价越多，卖的也就越多.
知1－练
3-1.[期中·河南实验中学]中秋节是我国的传统节日，自古便有赏月、吃月饼等习俗．某甜品店在今年中秋节推出一种冰淇淋月饼，以150元/盒的价格售出，平均每周销售72盒.现甜品店为了回馈顾客，进行降价促销，经过调查发现，每盒每降价10元，周销售量就增加 3 盒 .已知该种月饼的成本价为100元/盒，当该种月饼每盒降价多少元时，甜品店每周销售这种月饼可获利 2 340 元？
知1－练
解：设该种月饼每盒降价x元，则每盒的销售利润为(150－x－100)元，周销售量为(72＋)盒．
根据题意得(150－x－100)(72＋)＝2 340，
整理得x2＋190x－4 200＝0，
解得x1＝－210(不符合题意，舍去)，x2＝20．
答：当该种月饼每盒降价20元时，甜品店每周销售这种月饼可获利2 340元．
实践与探索
一元二
次方程
的应用
建模
类型
增长(降低)率问题
图形面积问题
商品销售问题
建模
步骤
审
设
列
解
检
答
题型
建立一元二次方程模型解决数字问题
1
有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和是8，如果把十位数字与个位数字调换，所得的两位数与原来的两位数的乘积为1 855，则原来的两位数为_________.
解题秘方：设其中一个数字为x，用含x的式子表示另一个数字和两位数，根据题中的等量关系列方程即可.
例 4
35或53
解：设原来的两位数的十位数字为x，则个位数字为8－x.
根据题意，得[10x＋(8－x)][10(8－x) ＋x]＝1 855，
整理，得x2－8x＋15＝0，
解方程，得x1＝3，x2＝5.
当x＝3时，8－x＝5；当x＝5时，8－x＝3.
∴原来的两位数为35或53.
教你一招
列方程求解数字问题的方法：
解决数字问题的关键是用代数式表示出多位数，设未知数时，通常采用间接设元法，即设多位数的某一数位上的数字为x，然后将其他数位上的数字用含x的代数式表示出来，最后根据题中的数量关系列方程即可
知识储备
整数的常用表示方法：
1. 两位数＝十位上的数字×10＋个位上的数字.
2. 三位数 ＝ 百位上的数字×100＋ 十位上的数字×10＋ 个位上的数字.
3. 三个连续整数，设中间的数为x，则其余两个数分别为x－1，x＋1.
4. 三个连续偶数可设为2x－2，2x，2x＋2；三个连续奇数可设为2x－3，2x－1，2x＋1.
题型
建立一元二次方程模型解决围墙问题
2
如图21.3－2，某农场要建一个矩形养鸡场ABCD，养鸡场的一边靠墙(墙长25 m)，另外
三边用木栏围成，木栏长40 m.
解题秘方：紧扣矩形的面积公式建立一元二次方程模型解决问题，注意根据墙的长度对方程的解作出取舍.
例 5
类型 1 墙长增加限制问题
(1)若养鸡场的面积为168 m2，求养鸡场垂直于墙的一边AB的长.
解：设养鸡场垂直于墙的一边AB的长为x m，则另一边BC的长为(40－2x)m.
根据题意，得x(40－2x)＝168，解得x1＝14，x2＝6.
∵墙长25 m，∴0 m即0<40－2x≤25，解得7.5≤x<20，∴x＝14.
答：养鸡场垂直于墙的一边AB的长为14 m.
(2)养鸡场的面积能否达到210 m2？请说明理由.
解：养鸡场的面积不能达到210 m2. 理由如下：
设养鸡场垂直于墙的一边AB的长为y m，则另一边BC的长为(40－2y)m.
根据题意，得y(40－2y)＝210，整理，得y2－20y＋ 105＝0. ∵Δ＝(－20)2－4×1×105＝－20<0，
∴一元二次方程y2－20y＋105＝0没有实数根.
故养鸡场的面积不能达到210 m2.
解题通法
常见围墙问题为一边靠墙围成矩形场地，其本质是另三边长度之和等于木栏长度.此类问题一般利用矩形面积公式列一元二次方程求解.
在此类问题中，当墙的长度有限制时，需要根据墙的 长度，对求得的根加以取舍.
如图21.3－3，用长为30 m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10 m)，围成中间隔有一道篱笆(平行于AB)的长方形花圃.设花圃的一边AB的长为x m.
解题秘方：紧扣矩形的面积公式建立一元二次方程模型解决问题，注意中间的隔断对边长的影响.
类型 2 增加隔断，围成多个矩形问题
例 6
(1)BC的长可用含x的代数式表示为________m.
(2)当AB的长是多少米时，围成的花圃面积为63 m2？
(30－3x)
解：根据题意，得x(30－3x)＝63，
解得x1＝7，x2＝3.
当x＝7时，30－3x＝9<10，符合题意；
当x＝3时，30－3x＝21>10，不符合题意，舍去.
∴当AB的长是7 m时，围成的花圃面积为63 m2.
(3)围成的花圃面积能否为80 m2？若能，请求出AB的长 度；若不能，请说明理由.
解：不能. 理由如下：根据题意，得x(30－3x)＝80，
整理，得3x2－30x＋80＝0.
∵Δ＝(－30)2－4×3×80＝－60<0，
∴该方程没有实数根.∴围成的花圃面积不能为80 m2.
方法点拨
围墙问题中若增加了隔断，围成多个矩形，解答问题时，将多个矩形合并为一个矩形，根据矩形的面积公式列出一元二次方程．在增加了隔断的问题中，用代数式表示矩形的长和宽时，要注意隔断的数量.
电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害，“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．
例 7
类型 3 增加门问题
阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚(如图21.3－4)，一边利用小区的后墙(可利用墙长为45 m)，其他的边用总长70 m的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1 m长的出口(出口处不用栅栏)，不锈钢栅栏状如“山”字形. 若车棚占地面积为384 m2，
试求出电动车车棚的长(BC)和 宽(AB)．
解题秘方：紧扣矩形的面积公式建立一元二次方程模型解决问题，注意门的影响和墙的长度对结果的限制.
解：设电动车车棚的宽AB为x m，则车棚的长BC＝70＋2×1－3x＝ (72－3x)m.
根据题意，得x(72－3x)＝384，
整理，得x2－24x＋128＝0，解得x1＝16，x2＝8.
当x＝8时，72－3x＝72－3×8＝72－24＝48＞45，故舍 去；当x＝16时，72－3x＝72－3×16＝72－48＝24＜45，符合题意.
答：电动车车棚的长(BC) 为24 m，宽 (AB) 为16 m.
特别提醒
围墙问题中，若在栅栏上增加门，在用代数式表示矩形的长和宽时，栅栏的总长度要加上门的宽度，若有多个门 ， 就加上多个门的宽度．
题型
建立一元二次方程模型解决动态几何问题
3
如图21.3－5，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16 cm，AD＝6 cm.动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为 止；点Q以2 cm/s的速度向点D移动，当点P
停止运动时，点Q也随之停止.P，Q两点从
出发开始到几秒 时，点P和点Q之间的距
离是10 cm ？
例 8
解题秘方：紧扣图形中线段之间的数量关系，建立一元二次方程模型解决问题.
解：设P，Q两点从出发开始到t s时，点P和点Q
之间的距离是10 cm，则AP＝3t cm，CQ＝2t cm，
∴DQ＝(16－2t )cm.
如图21.3－5，过点P作PE⊥CD于点E，
则PE＝AD＝6 cm，DE＝AP＝3t cm.
当点P在点Q上方时，QE＝DQ－DE＝(16－5t)cm；
当点P在点Q下方时，QE＝DE－DQ＝(5t－16)cm.
在Rt△PQE中，QE2＋PE2＝PQ2，
即(16－5t)2＋62＝102. 解得t1＝，t2＝.
答：P，Q两点从出发开始到 s或 s时，点P和点Q之间的距离是10 cm.
方法点拨
点在几何图形上运动，运动的路程可以用线段长表示，运用线段之间的数量关系建立方程模型是解题的关键，在直角三角形中，勾股定理是建立一元二次方程的关键依据.
题型
建立一元二次方程模型解决一次函数应用问题
4
某博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观，如果游客过多，对馆中的珍贵文物会产生不利影响，但同时考虑到文物的保存费用问题，还要保证一定的门票收入.因此博物馆采取了提高门票价格的方法来控制参观人数，
例 9
在该方法的实施过程中发现，每周参观人数y与票价x (元)之间存在着如图21.3－6的一次函数关系，在这种情况下，如果要保证每周4万元的门票收入，那么每周应限定参观人数为多少？门票价格应为多少？
解题秘方： 根据函数图象的信息用待定系数法求每周参观人数与票价之间的函数关系式，再列一元二次方程求解即可.
解：设每周参观人数y与票价x之间的一次函数关系式为y＝kx＋b(k≠ 0，x>0).
根据题意，得解得
∴y＝－500x＋12 000(x>0).
根据题意，得xy＝40 000，即x(－500x＋12 000)＝40 000，
整理，得x2－24x＋80＝0，解得x1＝20，x2＝4.
把x1＝20，x2＝4分别代入y＝－500x＋12 000，
得y1＝2 000，y2＝10 000.
∵要控制参观人数，∴取x＝20，此时y＝2 000.
∴每周应限定参观人数为2 000人，门票价格应为20元.
特别提醒
在门票收入相同的情况下，控制参观人数，就是尽量减少参观人数，所以取参观人数少的情况作为符合题意的答案.
易错点
忽视限制条件，未进行根的取舍而出错
晋州是河北鸭梨的原产地，被誉为“中国鸭梨第一乡”，相传祖籍晋州的大唐名臣魏征曾亲手培育出优质鸭梨品种. 现有一个鸭梨销售点在经销时发 现：如果每箱鸭梨盈利15元，每天可售出60 箱；若每箱鸭梨每涨价 1 元，日销售量将减少 2 箱．现该销售点希望每天盈利1 000 元，同时又要顾客得到实惠，那么每箱鸭梨应涨价多少元？
例10
错解：设每箱鸭梨应涨价 x 元，则每天可以售出(60－2x)箱，每箱盈利(15＋x)元 .
根据题意，得(60－2x)(15＋x)＝1 000，
整理，得x2－15x＋50＝0，
解得x＝5 或 x＝10.
答：每箱鸭梨应涨价 5 元或 10 元 .
正解：(接错解)
∵要顾客得到实惠，∴x＝5.
答：每箱鸭梨应涨价 5 元 .
诊误区：
本题易忽视 “要顾客得到实惠”在实际问题中的影响．在此类问题中，当价格或销售数量受到限制时，需要根据限制条件作出取舍.
考法
利用一元二次方程解决图形面积问题
1
如图21.3－7，某校有一块长20 m、宽14 m的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路(图中阴影部
分) .小路把种植园分成面积均为
24 m2的9个矩形地块，请你求出
小路的宽度.
例11
试题评析：本题主要考查了一元二次方程的实际应用，用含x的式子表示出9个矩形地块总的长和宽，根据矩形的面积公式列方程求解即可.
解：设小路的宽度为x m.
由题意，得(20－4x)(14－4x)＝24×9，
整理，得2x2－17x＋8＝0.
解得x1＝，x2＝8(不合题意，舍去).
所以小路的宽度为 m.
考法
利用一元二次方程解决增长率问题
2
[中考·绵阳] 超市销售某种礼盒，该礼盒的原价为500元.因销量持续攀升，商家在3月份提价20%，后发现销量锐减，于是经过核算决定在3月份售价的基础上，4，5月份按照相同的降价率r连续降价.已知5月份礼盒的售价为486元 ，则r＝_______.
例12
10%
解：根据题意，得500 (1＋20%)(1－r)2＝ 486，
解得r1＝0.1＝10%，r2＝1.9(舍去).
考法
利用一元二次方程解商品销售问题
3
[中考·淮安]某商店销售一种玩具，经市场调查发 现，日销售量y (件)与每件的售价x (元)满足一次函数关系，部分数据如下表：
例13
每件的售价x/元 … 25 28 31 …
日销售量y/件 … 15 12 9 …
试题评析：本题考查了用待定系数法求一次函数的表达式和一元二次方程的应用，解题的关键是正确求出一次函数的表达式并列出一元二次方程.
(1)求y与x之间的函数表达式(不要求写出自变量x的取值 范围)；
解：设y与x之间的函数表达式为y＝ kx＋b(k≠0).
∵当x＝25时，y＝15； 当x＝28时，y＝12，
∴解得
∴y与x之间的函数表达式为y＝－x＋40.
(2)当玩具日销售额为300元时，求每件玩具的售价．
解：根据题意，得x(－x＋40)＝300，
整理，得x2－40x＋300＝0，
解得x1＝30，x2＝10.
答：每件玩具的售价为10元或30元.
1. 如图①，有一张长16 cm，宽8 cm的长方形硬纸片，裁去角上两个小正方形和两个小长方形(图中阴影部分)之后，恰好折成如图②所示的有盖纸盒.若纸盒的底面积是24 cm2，则纸盒的高为( )
A. 2 cm
B. 3 cm
C. 4 cm
D. 10 cm
A
2. 如图，小程的爸爸用一段10 m长的铁丝网围成一个一边靠墙(墙长5.5 m) 的矩形鸭舍，其面积为15 m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1 m宽的门(由其他材料制成)，则BC长为( )
A. 5 m或6 m
B. 2.5 m或3 m
C. 5 m
D. 3 m
C
3. 某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式(每两班之间都赛一场)，共需安排15场比 赛，则八年级班级的个数为( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
B
4. 如图，小球悬浮于液体中(F浮＝G，G＝mg，g＝10 N/kg)，若F浮＝20 N，小球质量m为(x2＋x) kg，则x的值为( )
A. 1
B. 4
C. 1或－2
D. －2
C
5. [中考·威海]如图，小明同学将正方形硬纸板沿实线剪 开，得到一个立方体的表面展开图.若正方形硬纸板的边长为 12 cm，则折成立方体的棱长为______cm.
6. 《九章算术》中提出了如下问题：“今有户不知高、 广，竿不知长短，横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出，问户高、广、邪各几何？”这段话的意思是：今有门不知其高、宽，有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？该问题中的门高是_______尺．
8
7. 如图是用图形“○” 和“●”按一定规律摆成的“小屋子”.按照此规律继续摆下去，第_____个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍.
12
8. 如图是某月的月历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，若圈出的四个数中，最大数与最小数的乘积为180，求最大数与最小数.
解：设最小数为x，则最大数为x＋8．
根据题意，得x(x＋8)＝180，
解得x1＝10，x2＝－18(不合题意，舍去)．
所以x＋8＝18．
答：最小数为10，最大数为18．
9. 2025年9月3日纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵中，受阅武器装备以新型四代装备为主体，展示我军强大的战略威慑实力.某商场以30元/件的进价购进一批坦克模型，并以50元/件的售价进行销售，第一周销售50件，第二、三周销售量持续上涨，第三周销售72件.
(1)求第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率；
解：设第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为x．由题意，得50(1＋x)2＝72．
解得x＝0.2＝20%或x＝－2.2(舍去)．
答：第二、三周该坦克模型销售量的周平均增长率为20%．
(2)经市场预测，在售价不变的情况下，第 四周的销售量将与第三周持平，现商场为了减少库存，进行降价促 销，通过调查发现，该坦克模型每件每降价1元，周销售量就增加4件，当该坦克模型每件降价多少元时，商场第四周销售该坦克模型可获利1 300元？
解：设当该坦克模型每件降价m元时，商场第四周销售该坦克模型可获利1 300元．
由题意，得(50－30－m)(72＋4m)＝1 300，
整理，得m2－2m－35＝0．
解得m＝7或m＝－5(舍去)．
答：当该坦克模型每件降价7元时，商场第四周销售该坦克模型可获利1 300元．
10. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝ 6 cm.点P从点A出发，以1 cm/s的速度向终点B运动，点Q从点B出发，以2 cm/s的速度向终点C运动.点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动. 设运动时间为t s.连结DP，DQ，PQ.
(1)在运动过程中，PQ的长能否为2 cm？若能，求出t的值； 若不能，请说明理由.
解：PQ的长能为2cm.
根据题意，得AP＝t cm，BQ＝2t cm，
∴BP＝(4－t)cm.
∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝90°.
在Rt△PBQ中，根据勾股定理，得PQ2＝BP2＋BQ2＝(4－ t)2＋(2t)2＝5t2－8t＋16.
当PQ＝2 cm时，5t2－8t＋16＝20，
即5t2－8t－4＝0，
解得t1＝2，t2＝－ (不符合题意，舍去).
∴PQ的长能为2cm，此时t的值为2.
(2)当t为何值时，△PDQ的面积为10 cm2？
解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD＝4 cm，AD＝BC＝6 cm.
∴S△PDQ＝S矩形ABCD－S△PAD－S△PBQ－S△DCQ＝4×6－12× 6t－12×2t×(4－t)－12×4×(6－2t)＝(t2－3t＋12) cm2.
当S△PDQ＝10 cm2时，t2－3t＋12＝10, 解得t1＝1，t2＝2.
∴当t的值为1或2时，△PDQ的面积为10cm2.

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